Mécanique 1 (PCSI)/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers

**Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
Chap. suiv. :	Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Mécanique 1 (PCSI)/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Système de points matériels déformable ou non, fermé ou ouvert, centre d'inertie d'un système fermé de points matériels, cas particulier d'un solide

Nous considérerons que tout système d'expansion tridimensionnelle finie peut être modélisé, à l'échelle non microscopique ^[1], par un système discret de points matériels dans la mesure où le nombre d'atomes le constituant est dénombrable ^[2] et
Nous considérerons qu'il est possible de modéliser, à l'échelle non microscopique ^[1], chaque atome par un point matériel.

Sauf avis contraire, le système de points matériels envisagé sera discret ^[3].

Définition d'un système (discret) de points matériels

Un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériel est donc un ensemble discret de « points matériels » ^[4], le qualificatif « discret » assurant le caractère « fini » du nombre de points matériels ^[5] ;

un objet macroscopique ^[6] peut être considéré comme une juxtaposition d'un grand nombre d'objets mésoscopiques ^[6], chacun d'entre eux étant modélisé par un point matériel, ce sera la modélisation utilisée par la suite $\;{\big (}$ sauf avis contraire ^[7] ${\big )}$ .

Système (discret) déformable ou non de points matériels

Un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels est dit « déformable » si la distance entre deux points matériels quelconques peut varier ^[8] et

Un système $\;\color {transparent}{\big (}$ discret $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels est dit « indéformable » si la distance $\;d_{i,\,j}=M_{i}M_{j}=cste\;\forall \left(i\,,\,j\right)\;$ avec $\;\left(i\,,\,j\neq i\right)\in \left[\vert 1\,,\,N\vert \right]^{2}$ .

Remarque, modélisation en système continu de matière : comme nous l'avons vu à la note « ⁷ » plus haut dans ce chapitre, il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière ^[7], dans ce cas un système continu de matière sera dit « indéformable » si le volume de son expansion tridimensionnelle est constant d'une part et si la masse volumique du milieu au point générique $\;M\;$ ne dépend pas de l'instant où on considère le système continu de matière.

Système (discret) fermé ou ouvert de points matériels

Préliminaire : dans ce qui suit, au lieu de considérer un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels à nombre fixé, nous envisageons le système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels situé à l'intérieur d'une surface fermée $\;(\Sigma )\;$ appelée surface de contrôle, celle-ci étant usuellement considérée comme fixe dans l'espace affine euclidien d'étude.

Un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels limité par la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ est dit « fermé » s'il reste constitué des mêmes points à tout instant d'observation du système à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$ dans ce cas le nombre de points matériels du système ne varie pas ${\big ]}\;$ et

Un système $\;\color {transparent}{\big (}$ discret $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels limité par la surface de contrôle $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ est dit « ouvert » si le contenu du système à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ peut dépendre de l'instant d'observation du système ${\big [}$ dans ce cas le nombre de points matériels du système ouvert limité par $\;(\Sigma )\;$ peut varier ^[9],

il $\;\nearrow \;$ si le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;>\;$ au nombre de points matériels en sortant ^[10],
il $\;\searrow \;$ si au contraire le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;<\;$ au nombre de points matériels en sortant ^[11] et enfin
il reste constant si le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;=\;$ au nombre de points matériels en sortant, on parle alors d'« écoulement stationnaire » du système ouvert à travers $\;(\Sigma )\;$ ^[12] ${\big ]}$ .

Remarque, modélisation en système continu de matière, suite ^[13] : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière ^[7], dans ce cas un système continu de matière sera qualifié de « fermé ou ouvert » relativement à la surface fixe de contrôle $\;(\Sigma )\;$ à l'intérieur de laquelle il est limité, selon la même définition à savoir

« fermé » si aucune quantité de matière n'est échangée avec l'extérieur ${\bigg [}$ dans ce cas la masse du système reste constante égale à $\;m=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ ^[14] avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma ){\bigg ]}\;$ et
« ouvert » s'il y a échange de quantité de matière avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un ou deux trous dans la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ ${\bigg [}$ dans ce cas la masse du système peut varier car la masse volumique au point générique $\;M\;$ du système ouvert dépend du temps $\;t\;$ selon $\;m(t)=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$ ^[14] avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma ){\bigg ]}$ .

Centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels

On appelle « centre d'inertie $\;{\big (}$ C.D.I. ${\big )}\;$ » d'un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ fermé ^[15] de $\;N\;$ points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16], le barycentre $\;G\;$ de ce système de points pondérés par leur masse ^[17] soit

«

\;\exists !\;G\;\;{\text{tel que}}\;\;\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;

».

Propriété : choisissant un point $\;A\;$ de l'espace affine euclidien tridimensionnel dans lequel baigne le système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] comme origine $\;{\big (}$ non nécessairement fixe ${\big )}\;$ pour repérer les points ^[18], on peut écrire la relation « $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}}{\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}}}\;$ » ^[19] ou « $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}}{m}}\;$ » avec « $\;m=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;$ la masse du système de points » ^[20].

Remarque, modélisation en système continu de matière, fin ^[21] : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système « fermé » de points matériels en système continu « fermé » de matière ^[7], le système étant défini relativement à la surface $\;(\Sigma )\;$ à l'intérieur de laquelle il est limité, et
Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;{\big (}$ C.D.I. ${\big )}$ $\;G\;$ défini selon « $\;\exists !\;G\;\;{\text{tel que}}\;\;\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}={\vec {0}}\;$ » ^[14]^, ^[22] avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma )$ ,

           Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big (}$ C.D.I. $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ est repérable par rapport à un point $\;A\;{\big (}$ non nécessairement fixe ^[18] ${\big )}\;$ de l'espace affine euclidien
           Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big (}$ C.D.I. $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ à trois dimensions dans lequel baigne le système continu fermé, selon la relation
           Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big (}$ C.D.I. $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ « $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}\;d{\mathcal {V}}}{\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}}}\;$ » ^[14]^, ^[23] ou « $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}\;d{\mathcal {V}}}{m}}\;$ » ^[14] avec « $\;m=$
                                                                                                    Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big (}$ C.D.I. $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ $\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ ^[14] la masse du système » ^[20].

Cas particulier d'un solide dans le cadre des systèmes (discrets) de points matériels

Un solide $\;{\big (}$ au sens de la mécanique ${\big )}\;$ est un système de points matériels « fermé et indéformable » ^[24].

Solide en translation, définition, propriété du mouvement d'un point quelconque, exemples de translation rectiligne et de translation circulaire

L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes $\;{\big (}$ discrets ${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d. dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels ^[25].

Définition d'un solide en translation

Le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] est « en translation » si tout bipoint non nul $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\;$ ^[26] du solide ^[27] se déplace $\;{\big (}$ dans le référentiel d'étude ${\big )}\;$ parallèlement à lui-même.

Propriété du mouvement d'un point quelconque d'un solide en translation

     Soient $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, le bipoint $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\;$ ^[26] se déplaçant parallèlement à lui-même,
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou,
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la relation de Chasles ^[28] et la propriété de
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la « commutation de la dérivation et de la prise de différence »,
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{j}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou,
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant par définition du vecteur vitesse des points $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}$ ,
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{M_{j}}(t)\;\;\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\vert 1\,\ldots \,N\vert \right]\;$ avec $\;j\neq i\;$ »
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante c.-à-d. tous les points du solide en translation ont même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;$
     Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante définissant le vecteur vitesse du solide en translation à l'instant $\;t$ .

     Montrons maintenant que le vecteur vitesse du solide en translation est aussi le vecteur vitesse du C.D.I. ^[29]^, ^[30] de ce dernier et
     Montrons maintenant pour cela considérons $\;M_{i}\;$ un point quelconque du solide en translation et $\;G\;$ son C.D.I. ^[29] ;
     Montrons maintenant pour cela le bipoint $\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\;$ ^[26] se déplaçant parallèlement à lui-même, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {GM_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou,
     Montrons maintenant pour cela avec $\;O\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la relation de Chasles ^[28] et la propriété de
     Montrons maintenant pour cela avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la « commutation de la dérivation et de la prise de différence », $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ soit,
     Montrons maintenant pour cela avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant par définition des vecteurs vitesse du point $\;M_{i}\;$ et du C.D.I. ^[29] $\;G\;$ du solide,
     Montrons maintenant la propriété suivante « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;\;\forall \,i\,\in \left[\vert 1\,,\,N\vert \right]\;$ » ^[31] établissant que
     Montrons maintenant la propriété suivante « le vecteur vitesse du solide en translation $\;{\vec {V}}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;$ est aussi celui de son C.D.I. ^[29] $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ».

Exemples de translation

Translation rectiligne

La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation rectiligne est une droite, les trajectoires des différents points étant confondues ou parallèles, on définit le plus souvent le mouvement de translation rectiligne du solide par le mouvement de son C.D.I. ^[29] $\;G$ ;

un cas particulier est une translation rectiligne uniforme si le vecteur vitesse du solide en translation reste constant $\;\ldots$

Translation circulaire

La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation circulaire est un cercle, les trajectoires des différents points étant de « même rayon » ^[32] mais de « centre différent » ^[33], le mouvement des différents points sur leur trajectoire respective est de « même vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ » ^[34] $\;{\big [}$ donc de « même vitesse angulaire $\;\omega (t)\;$ » ${\big ]}$ , on définit le plus souvent le mouvement de translation circulaire du solide par le mouvement de son C.D.I. ^[29] $\;G\;$ de « vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ » ^[34] sur sa trajectoire c.-à-d. le cercle de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R=CG$ , d'où

«

\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;

» ^[35] et «

\;{\vec {a}}_{G}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)-\omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {CG}}(t)\;

» ^[36].

Cas particulier : translation circulaire uniforme si le vecteur rotation instantanée ^[34] du C.D.I. ^[29] du solide en translation circulaire ^[37] est constant $\;\ldots$

Autres translations

Il y a autant de translations possibles qu'il y a de courbes planes ou gauches, par exemple un ballon ne tournant pas sur lui-même et qui subit une chute libre avec vitesse initiale est en translation parabolique $\;\ldots$

Solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe

L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes $\;{\big (}$ discrets ${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d. dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels ^[25].

Définition d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] est « en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ » si tout point $\;M_{i}\;$ se déplace $\;{\big (}$ dans le référentiel d'étude ${\big )}\;$ sur un cercle d'axe fixe $\;\left(\Delta \right)$ .

Propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation atour d'un axe fixe

     Deux points quelconques d'un même plan $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )$ , $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ avec $\;j\neq i$ , doivent nécessairement avoir « même centre $\;H\;$ de rotation » ^[38] de plus,
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , le solide ne se déformant pas, l'angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}\;$ doit rester constant $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}}{dt}}(t)=0\;$ ou,
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , en notant $\;M_{\text{réf}}\;$ un point fixe du référentiel dans le plan des deux trajectoires circulaires et
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , en définissant les abscisses angulaires de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}M_{i}\\M_{j}\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha _{i}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{i}}}\right)}}(t)\\\alpha _{j}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}=\alpha _{j}-\alpha _{i}\;$ ^[39],
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , la réécriture de la nullité de la dérivée temporelle de l'angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}\;$ selon $\;{\dfrac {d\alpha _{j}}{dt}}(t)-{\dfrac {d\alpha _{i}}{dt}}(t)=0\;$ ou $\;{\dfrac {d\alpha _{j}}{dt}}(t)={\dfrac {d\alpha _{i}}{dt}}(t)\;$ soit,
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , par définition de la vitesse angulaire des points $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}$ , la propriété suivante
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , « $\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{j}}(t)\;$ » avec $\;M_{j}\;$ et $\;M_{i}\;$ quelconques ^[40] de même projeté orthogonal sur l'axe $\;(\Delta )\;$ c.-à-d.
     Deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , tous les points du solide d'un même plan $\;\perp \;$ à l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire ;

     deux points quelconques d'un même plan $\;(\Pi )\;$ contenant l'axe $\;(\Delta )$ , $\;M_{i}\;$ et $\;M_{k}\;$ avec $\;k\neq i$ , doivent nécessairement, par absence de déformation lors de la rotation autour de l'axe $\;(\Delta )$ ,
     deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$ contenant l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{k}}\;$ avec $\;\color {transparent}{k\neq i}$ , doivent nécessairement, rester dans le même plan $\;(\Pi )\;$ contenant $\;(\Delta )\;$ et par suite
     deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$ contenant l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{k}}\;$ avec $\;\color {transparent}{k\neq i}$ , doivent nécessairement, avoir la même vitesse angulaire de rotation autour de $\;(\Delta )$ $\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{k}}(t)$ ,
     deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$ contenant l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , d'où, en appelant $\;\omega _{(\Pi )}(t)\;$ la vitesse angulaire de rotation de ce plan $\;(\Pi )$ , la propriété suivante
     deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$ contenant l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , « $\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{k}}(t)=\omega _{(\Pi )}(t)\;$ » avec $\;M_{k}\;$ et $\;M_{i}\;$ quelconques ^[41] d'un même plan $\;(\Pi )\;$ contenant l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ c.-à-d.
     deux points quelconques d'un même plan $\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$ contenant l'axe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , tous les points du solide d'un même plan $\;(\Pi )\;$ contenant l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire ;

nous en déduisons, par transitivité de la propriété « même vitesse angulaire », l'énoncé suivant

deux points quelconques ^[42] du solide en rotation autour de l'axe

\;(\Delta )\;

ont même vitesse angulaire «

\;\omega _{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;

» à un instant

\;t\;

fixé.

     En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ est caractérisé par le vecteur rotation instantanée du solide à l'instant $\;t$ ,
     En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ est caractérisé par « $\;{\vec {\Omega }}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)=\omega _{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ » ou plus simplement
     En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ est caractérisé par « $\;{\vec {\Omega }}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ » en absence d'ambiguïté possible.

Expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Avec $\;A\;$ un point fixe de l'axe de rotation $\;(\Delta )\;$ et $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] autour de l'axe fixe $\;(\Delta )$ , les expressions intrinsèques du vecteur vitesse et du vecteur accélération de $\;M_{i}$ , point quelconque du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] s'écrivent respectivement

pour le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ selon « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\;$ » ^[43] et
pour le vecteur accélération de $\;M_{i}\;$ selon « $\;{\vec {a}}_{M_{i}}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ » où $\;C_{M_{i}}\;$ est le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe de rotation $\;(\Delta )\;$ ^[44]^, ^[45].

Expression de la vitesse instantanée d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe en fonction de la vitesse angulaire du solide et de la distance orthogonale du point à l'axe

     Soit $\;r_{i}\;$ la distance orthogonale du point $\;M_{i}\;$ à l'axe $\;(\Delta )$ , axe fixe autour duquel le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] tourne $\;{\big [}r_{i}\;$ est aussi le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}{\big ]}\;$ et
     Soit $\;\omega (t)\;$ la vitesse angulaire de rotation du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] autour de $\;(\Delta )$ ,
     l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ s'écrivant $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ avec $\;C_{M_{i}}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe $\;(\Delta )\;$ ^[46],
     l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, en choisissant de repérer le point $\;M_{i}\;$ par un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;(\Delta )\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ ^[47],
     l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, en définissant les coordonnées du point $\;M_{i}\;$ suivant $\;M_{i}\,\left(r_{i}\,,\,\theta _{i}\,,\,z_{i}\right)$ ,
     l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, selon $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\omega (t)\,{\vec {u}}_{\Delta }\wedge r_{i}\,{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ ^[48] soit « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$ » ^[49] ;

orientant la trajectoire de $\;M_{i}\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$ c.-à-d. choisissant le vecteur unitaire tangentiel de Frenet ^[50] $\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$ ^[51] lié au point $\;M_{i}\;$ tel que $\;{\vec {\tau }}(M_{i})={\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$ ^[52], nous en déduisons

la vitesse instantanée de

\;M_{i}\;

sur sa trajectoire selon «

\;v_{M_{i}}(t)=r_{i}\,\omega (t)\;

» ^[53] ;

remarque : en particulier la vitesse instantanée de tout point de l'axe est nulle, l'axe étant fixe et
remarque : en particulier la vitesse instantanée d'un point hors de l'axe est d'autant plus grande que le point est éloigné de l'axe.

Comparaison d'un mouvement de translation d'un solide et de celui de rotation autour d'un axe fixe du même solide

La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des systèmes $\;{\big (}$ discrets ${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d.
{{Al[5}}La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels ^[25].

Dans le cas du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] en translation, il suffit de préciser le mouvement de son C.D.I. ^[29] $\;G\;$ pour en déduire le mouvement d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide car
Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en translation, il suffit de préciser « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$ ».

     Dans le cas du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ ^[16] en rotation autour d'un axe fixe $\;(\Delta )$ , le mouvement de son C.D.I. ^[29] $\;G\;$ n'est pas utile ^[54] pour déterminer le mouvement d'un point quelconque mais,
          Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , il faut connaître le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ du solide avec $\;\omega (t)\;$ sa vitesse angulaire et
          Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , il faut connaître la distance $\;r_{i}\;$ séparant ce point quelconque de l'axe de rotation soit
          Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , le vecteur vitesse du point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge r_{i}\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$ » ^[47] ou
          Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$ , le vecteur vitesse du point quelconque $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ du solide « $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[-r_{i}\;{\vec {n}}(M_{i})\right]=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$ » ^[55].

Remarque : il convient donc de distinguer nettement $\succ \;$ un mouvement de rotation du solide autour d'un axe fixe qui est décrit par le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide dépendant de la disposition du point relativement à l'axe et
Remarque : il convient donc de distinguer nettement $\succ \;$ un mouvement de translation circulaire du solide qui est décrit par le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. ^[29] de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide étant égal au vecteur vitesse du C.D.I. ^[29]^, ^[56].

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 C.-à-d. à l'échelle macroscopique ou mésoscopique $\;{\big [}$ revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Ce qui est réalisé dans la mesure où l'expansion tridimensionnelle est finie.
↑ D'où le qualificatif « discret » mis entre parenthèses dans les paragraphes qui suivent, puisque nous n'y envisageons pas d'autre modèle.
↑ Pour un objet d'échelle mésoscopique $\;{\big (}$ revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}\;$ les points matériels peuvent être les atomes ou molécules constituant le système,
pour un objet d’échelle macroscopique, les points matériels peuvent être les objets mésoscopiques précédents et
ainsi de suite, par exemple, le système solaire peut être considéré comme un ensemble de points matériels modélisant chaque planète $\;\ldots$
↑ Nombre pouvant être très grand par exemple un objet mésoscopique contient un nombre très grand d’atomes même si l'objet lui-même est considéré comme un infiniment petit macroscopique.
↑ ^6,0 et ^6,1 Revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 et ^7,3 En effet il est possible de remplacer le système discret de points matériels $\;M_{i}\,(m_{i})\;$ séparés par du vide par un système continu de matière, chaque objet mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ et de masse $\;dm$ , actuellement modélisé par un point $\;M_{i}\;$ de volume nul, de masse $\;m_{i}\;$ à identifier à $\;dm$ , étant remplacé par un fond continu de matière de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}$ , cette masse volumique variant en général avec $\;M$ , la masse de l'objet macroscopique n'étant plus calculé par $\;m=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;$ mais par $\;m=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ ${\big [}$ revoir la « notion d'intégrale volumique » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ C'est donc le cas le plus fréquent.
↑ Exemple de l'air contenu dans un pneumatique dans le cas où la valve est ouverte $\;{\big [}$ l'ouverture de cette dernière étant équivalente à la création d'un trou dans la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ constituant le pneumatique ${\big ]}$ : ainsi par l'intermédiaire de la valve ouverte on peut laisser fuiter de l'air ou en injecter grâce à une pompe ;
autre exemple d'un fluide s'écoulant dans un tuyau, ce dernier limité par deux sections fixes $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ constituant la surface de contrôle $\;(\Sigma )$ , chaque section fixe $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ ${\big [}$ jouant le rôle de trous à travers $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ autorisant l'échange de fluide avec l'extérieur de $\;(\Sigma )$ , avec entrée par l'intermédiaire de $\;S_{1}\;$ et sortie par $\;S_{2}$ .
↑ C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec injection d'air grâce à une pompe, dans ce cas le nombre de molécules d'air entrant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air en sortant est nul.
↑ C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec fuite d'air, dans ce cas le nombre de molécules d'air sortant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air y entrant est nul.
↑ C'est ce qui se passe dans l'exemple de l'écoulement d'air ou d'eau à travers un tuyau, le système ouvert étant l'intérieur de la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ constitué du tuyau et des deux sections fixes $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$ , le nombre de molécules de fluide entrant par unité de temps à travers $\;S_{1}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le débit moléculaire entrant dans $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ étant égal au nombre de molécules de fluide sortant par unité de temps à travers $\;S_{2}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le débit moléculaire sortant de $\;(\Sigma ){\big ]}$ , l'égalité des débits entrant et sortant assurant la stationnarité de l'écoulement.
↑ Suite de la remarque du paragraphe « système (discret) déformable ou non de points matériels » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 et ^14,5 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Déformable ou non.
↑ ^16,00 ^16,01 ^16,02 ^16,03 ^16,04 ^16,05 ^16,06 ^16,07 ^16,08 et ^16,09 $\;m_{i}\;$ étant la masse du point matériel $\;M_{i}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle est évidemment réalisée car la masse de chaque point qui joue le rôle de cœfficient affecté étant strictement positive, la somme de toutes les masses l'est aussi.
↑ ^18,0 et ^18,1 Si $\;A\;$ n'est pas fixe, le vecteur $\;{\overrightarrow {AM}}\;$ ne caractérise plus le mouvement de $\;M\;$ puisqu'il dépend aussi du mouvement de $\;A$ , on évitera donc de l'appeler « vecteur position de $\;M$ ».
↑ Voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle de Leibniz » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^20,0 et ^20,1 La masse du système de points étant constante puisque le système est fermé.
↑ Suite de la remarque du paragraphe « système (discret) déformable ou non de points matériels » et de celle du paragraphe « système (discret) fermé ou ouvert de points matériels » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle $\;{\big (}$ ce qui représente la masse du système ${\big )}\;$ est évidemment réalisée car la masse volumique au point générique du système qui joue le rôle de densité volumique de cœfficient affecté étant strictement positive, la masse du système $\;m=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ l'est aussi.
↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La définition étant donnée pour un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels mais restant valable pour un système continu de matière.
↑ ^25,0 ^25,1 et ^25,2 Mais les résultats trouvés pourront aisément être prolongés aux solides à matière continue, lesquels sont le cas le plus fréquent en mécanique.
↑ ^26,0 ^26,1 et ^26,2 Un bipoint non nul est un ensemble ordonné de deux points distincts, il est donc caractérisé par la direction passant par les deux points, le sens sur cette direction et la distance séparant les deux points, il peut être représenté par le vecteur déplacement relatif allant du 1^er point vers le 2^nd.
↑ Du caractère « indéformable » du solide, on en déduit que la norme de tout bipoint reste constante soit $\;\Vert {\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\Vert =cste$ .
↑ ^28,0 et ^28,1 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ ^29,00 ^29,01 ^29,02 ^29,03 ^29,04 ^29,05 ^29,06 ^29,07 ^29,08 ^29,09 ^29,10 et ^29,11 Centre D'Inertie.
↑ Le C.D.I. du solide peut ne pas être un point du solide $\;{\big (}$ c'est le cas d'une boule creuse homogène, le C.D.I. est le centre de la boule mais comme il n'y a pas de matière au centre, le C.D.I. est donc dans le vide ${\big )}\;$ mais le solide étant indéformable, la position relative du C.D.I. par rapport aux autres points du solide ne change pas, le C.D.I. est donc fixe relativement au solide ;
dans le cas où le C.D.I. du solide serait un point particulier $\;M_{k}\;$ de ce dernier, le point $\;M_{i}\;$ est choisi tel que $\;i\neq k$ .
↑ Dans le cas où le C.D.I. serait un point particulier $\;M_{k}\;$ du solide, nous avons supposé $\;i\neq k\;$ pour établir $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ mais ce dernier étant aussi $\;{\vec {V}}_{M_{k}}(t)$ , nous avons évidemment $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour $\;i=k$ .
↑ Si ce n’était pas le cas, le bipoint joignant deux points quelconques ne resterait pas constant au cours du temps.
↑ Pour le bipoint $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}$ , les centres $\;C_{i}\;$ et $\;C_{j}\;$ des trajectoires de $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ sont tels que $\;{\overrightarrow {C_{i}C_{j}}}={\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}$ .
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Pour un point $\;M\;$ du solide décrivant un cercle de centre $\;C_{M}$ , le vecteur vitesse est « $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ Pour un point $\;M\;$ du solide décrivant un cercle de centre $\;C_{M}$ , le vecteur accélération « $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M}M}}(t)-\omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{G}(t)\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ Réserver l'appellation « vecteur rotation instantanée du solide » quand ce dernier est en rotation, cas étudié dans le paragraphe « solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe » plus loin dans ce chapitre.
↑ Qui est le projeté orthogonal commun de $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ sur l'axe $\;(\Delta )$ .
↑ Par utilisation de la relation de Chasles pour les angles d'un même plan,
Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français du XIX^ème siècle, voir la note « ²⁸ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ La restriction $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour $\;j=i\;$ , cette restriction est supprimée.
↑ La restriction $\;M_{k}\neq M_{i}\;$ était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour $\;k=i\;$ , cette restriction est supprimée.
↑ Quelconques c.-à-d., ni situés dans un même plan contenant l'axe $\;(\Delta )$ , ni situés dans un même plan $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )$ .
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ C'est aussi le centre du cercle décrit par $\;M_{i}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^47,0 et ^47,1 Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point de l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ $\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})={\dfrac {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}{r_{i}}}\;$ étant le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée au point $\;M_{i}$ .
↑ $\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ étant le vecteur unitaire orthoradial de la base cylindro-polaire liée au point $\;M_{i}$ .
↑ Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre $\;{\big (}$ ou base ${\big )}\;$ de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Voir les paragraphes « notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue » et « notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « préliminaire (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ On rappelle qu'il s’agit de la composante du vecteur vitesse sur le 1^er vecteur de base de Frenet, le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(M_{i})$ , voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Il peut d'ailleurs avoir un mouvement quelconque, être par exemple immobile si l'axe de rotation passe par le C.D.I. du solide, ou avoir une vitesse instantanée plus ou moins grande suivant la distance le séparant de l'axe de rotation dans le cas où ce dernier ne passe pas par le C.D.I. du solide.
↑ En utilisant la base de Frenet liée au point $\;M_{i}$ , le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$ étant tangent au cercle décrit par $\;M_{i}\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ et le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}(M_{i})\;$ centripète relativement au cercle décrit par $\;M_{i}\;$ c.-à-d. tel que $\;{\vec {n}}(M_{i})=-{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ où $\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ est le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}$ , voir le paragraphe « préliminaire (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑
Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ $\;M_{i}\;$ du solide en translation circulaire peut s'écrire sous forme du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ identique à $\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ $\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$ ${\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$ car $\;{\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)={\overrightarrow {CG}}(t)\;$ $\;{\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)={\overrightarrow {CG}}(t)\;$ caractéristique de la translation circulaire, comme
Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ $\;M_{i}\;$ du solide en rotation autour d'un axe fixe s'écrit sous forme du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge r_{i}\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge r_{i}\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$
Même si la différence fondamentale est que
- dans le cas d'une translation circulaire le vecteur vitesse est indépendant du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier étant le même que celui décrit par le C.D.I. alors que
- dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe le vecteur vitesse dépend du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier dépendant de la distance le séparant de l'axe de rotation ;
c'est donc la raison pour laquelle on réserve l'appellation « vecteur rotation instantanée d'un solide » au cas où ce dernier est en rotation autour d'un axe fixe et on parle de « vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide » quand ce dernier est en translation circulaire.

Mécanique 1 (PCSI)

Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. circul. unif. ou non

Loi de la quant. de mouv. : Forces, principe des actions réciproques

[non_microscopique-1] 1,0 et ^1,1 C.-à-d. à l'échelle macroscopique ou mésoscopique $\;{\big [}$ revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .

[2] Ce qui est réalisé dans la mesure où l'expansion tridimensionnelle est finie.

[3] D'où le qualificatif « discret » mis entre parenthèses dans les paragraphes qui suivent, puisque nous n'y envisageons pas d'autre modèle.

[4] Pour un objet d'échelle mésoscopique $\;{\big (}$ revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}\;$ les points matériels peuvent être les atomes ou molécules constituant le système,
pour un objet d’échelle macroscopique, les points matériels peuvent être les objets mésoscopiques précédents et
ainsi de suite, par exemple, le système solaire peut être considéré comme un ensemble de points matériels modélisant chaque planète $\;\ldots$

[5] Nombre pouvant être très grand par exemple un objet mésoscopique contient un nombre très grand d’atomes même si l'objet lui-même est considéré comme un infiniment petit macroscopique.

[macroscopique_ou_mésoscopique-6] 6,0 et ^6,1 Revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[système_continu_de_matière-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 et ^7,3 En effet il est possible de remplacer le système discret de points matériels $\;M_{i}\,(m_{i})\;$ séparés par du vide par un système continu de matière, chaque objet mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ et de masse $\;dm$ , actuellement modélisé par un point $\;M_{i}\;$ de volume nul, de masse $\;m_{i}\;$ à identifier à $\;dm$ , étant remplacé par un fond continu de matière de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}$ , cette masse volumique variant en général avec $\;M$ , la masse de l'objet macroscopique n'étant plus calculé par $\;m=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;$ mais par $\;m=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ ${\big [}$ revoir la « notion d'intégrale volumique » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[8] C'est donc le cas le plus fréquent.

[9] Exemple de l'air contenu dans un pneumatique dans le cas où la valve est ouverte $\;{\big [}$ l'ouverture de cette dernière étant équivalente à la création d'un trou dans la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ constituant le pneumatique ${\big ]}$ : ainsi par l'intermédiaire de la valve ouverte on peut laisser fuiter de l'air ou en injecter grâce à une pompe ;
autre exemple d'un fluide s'écoulant dans un tuyau, ce dernier limité par deux sections fixes $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ constituant la surface de contrôle $\;(\Sigma )$ , chaque section fixe $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ ${\big [}$ jouant le rôle de trous à travers $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ autorisant l'échange de fluide avec l'extérieur de $\;(\Sigma )$ , avec entrée par l'intermédiaire de $\;S_{1}\;$ et sortie par $\;S_{2}$ .

[10] C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec injection d'air grâce à une pompe, dans ce cas le nombre de molécules d'air entrant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air en sortant est nul.

[11] C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec fuite d'air, dans ce cas le nombre de molécules d'air sortant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air y entrant est nul.

[12] C'est ce qui se passe dans l'exemple de l'écoulement d'air ou d'eau à travers un tuyau, le système ouvert étant l'intérieur de la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ constitué du tuyau et des deux sections fixes $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$ , le nombre de molécules de fluide entrant par unité de temps à travers $\;S_{1}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le débit moléculaire entrant dans $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ étant égal au nombre de molécules de fluide sortant par unité de temps à travers $\;S_{2}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le débit moléculaire sortant de $\;(\Sigma ){\big ]}$ , l'égalité des débits entrant et sortant assurant la stationnarité de l'écoulement.

[13] Suite de la remarque du paragraphe « système (discret) déformable ou non de points matériels » plus haut dans ce chapitre.

[intégrale_volumique-14] 14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 et ^14,5 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[15] Déformable ou non.

[masse_d'un_point-16] 16,00 ^16,01 ^16,02 ^16,03 ^16,04 ^16,05 ^16,06 ^16,07 ^16,08 et ^16,09 $\;m_{i}\;$ étant la masse du point matériel $\;M_{i}$ .

[17] Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle est évidemment réalisée car la masse de chaque point qui joue le rôle de cœfficient affecté étant strictement positive, la somme de toutes les masses l'est aussi.

[A_non_fixe-18] 18,0 et ^18,1 Si $\;A\;$ n'est pas fixe, le vecteur $\;{\overrightarrow {AM}}\;$ ne caractérise plus le mouvement de $\;M\;$ puisqu'il dépend aussi du mouvement de $\;A$ , on évitera donc de l'appeler « vecteur position de $\;M$ ».

[19] Voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle de Leibniz » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[masse_constante-20] 20,0 et ^20,1 La masse du système de points étant constante puisque le système est fermé.

[21] Suite de la remarque du paragraphe « système (discret) déformable ou non de points matériels » et de celle du paragraphe « système (discret) fermé ou ouvert de points matériels » plus haut dans ce chapitre.

[22] Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle $\;{\big (}$ ce qui représente la masse du système ${\big )}\;$ est évidemment réalisée car la masse volumique au point générique du système qui joue le rôle de densité volumique de cœfficient affecté étant strictement positive, la masse du système $\;m=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ l'est aussi.

[23] Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[24] La définition étant donnée pour un système $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de points matériels mais restant valable pour un système continu de matière.

[prolongement_aux_systèmes_continus_de_matière-25] 25,0 ^25,1 et ^25,2 Mais les résultats trouvés pourront aisément être prolongés aux solides à matière continue, lesquels sont le cas le plus fréquent en mécanique.

[bipoint-26] 26,0 ^26,1 et ^26,2 Un bipoint non nul est un ensemble ordonné de deux points distincts, il est donc caractérisé par la direction passant par les deux points, le sens sur cette direction et la distance séparant les deux points, il peut être représenté par le vecteur déplacement relatif allant du 1^er point vers le 2^nd.

[27] Du caractère « indéformable » du solide, on en déduit que la norme de tout bipoint reste constante soit $\;\Vert {\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\Vert =cste$ .

[Chasles-28] 28,0 et ^28,1 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.

[C.D.I.-29] 29,00 ^29,01 ^29,02 ^29,03 ^29,04 ^29,05 ^29,06 ^29,07 ^29,08 ^29,09 ^29,10 et ^29,11 Centre D'Inertie.

[G_point_hors_matière-30] Le C.D.I. du solide peut ne pas être un point du solide $\;{\big (}$ c'est le cas d'une boule creuse homogène, le C.D.I. est le centre de la boule mais comme il n'y a pas de matière au centre, le C.D.I. est donc dans le vide ${\big )}\;$ mais le solide étant indéformable, la position relative du C.D.I. par rapport aux autres points du solide ne change pas, le C.D.I. est donc fixe relativement au solide ;
dans le cas où le C.D.I. du solide serait un point particulier $\;M_{k}\;$ de ce dernier, le point $\;M_{i}\;$ est choisi tel que $\;i\neq k$ .

[31] Dans le cas où le C.D.I. serait un point particulier $\;M_{k}\;$ du solide, nous avons supposé $\;i\neq k\;$ pour établir $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ mais ce dernier étant aussi $\;{\vec {V}}_{M_{k}}(t)$ , nous avons évidemment $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour $\;i=k$ .

[32] Si ce n’était pas le cas, le bipoint joignant deux points quelconques ne resterait pas constant au cours du temps.

[33] Pour le bipoint $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}$ , les centres $\;C_{i}\;$ et $\;C_{j}\;$ des trajectoires de $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ sont tels que $\;{\overrightarrow {C_{i}C_{j}}}={\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}$ .

[vecteur_rotation_instantanée-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[vecteur_vitesse_d'un_solide_en_translation_circulaire-35] Pour un point $\;M\;$ du solide décrivant un cercle de centre $\;C_{M}$ , le vecteur vitesse est « $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .

[vecteur_d'un_solide_en_translation_circulaire-36] Pour un point $\;M\;$ du solide décrivant un cercle de centre $\;C_{M}$ , le vecteur accélération « $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M}M}}(t)-\omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{G}(t)\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .

[37] Réserver l'appellation « vecteur rotation instantanée du solide » quand ce dernier est en rotation, cas étudié dans le paragraphe « solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe » plus loin dans ce chapitre.

[38] Qui est le projeté orthogonal commun de $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ sur l'axe $\;(\Delta )$ .

[39] Par utilisation de la relation de Chasles pour les angles d'un même plan,
Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français du XIX^ème siècle, voir la note « ²⁸ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.

[40] La restriction $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour $\;j=i\;$ , cette restriction est supprimée.

[41] La restriction $\;M_{k}\neq M_{i}\;$ était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour $\;k=i\;$ , cette restriction est supprimée.

[42] Quelconques c.-à-d., ni situés dans un même plan contenant l'axe $\;(\Delta )$ , ni situés dans un même plan $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )$ .

[vecteur_vitesse_d'un_point_de_solide_en_rotation-43] Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .

[44] C'est aussi le centre du cercle décrit par $\;M_{i}$ .

[vecteur_accélération_d'un_point_de_solide_en_rotation-45] Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .

[46] Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe » plus haut dans ce chapitre.

[repérage_cylindro-polaire-47] 47,0 et ^47,1 Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point de l'espace » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[48] $\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})={\dfrac {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}{r_{i}}}\;$ étant le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée au point $\;M_{i}$ .

[49] $\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ étant le vecteur unitaire orthoradial de la base cylindro-polaire liée au point $\;M_{i}$ .

[Frenet-50] Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre $\;{\big (}$ ou base ${\big )}\;$ de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .

[1er_vecteur_de_base_de_Frenet-51] Voir les paragraphes « notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue » et « notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[52] Voir le paragraphe « préliminaire (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[53] On rappelle qu'il s’agit de la composante du vecteur vitesse sur le 1^er vecteur de base de Frenet, le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(M_{i})$ , voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[54] Il peut d'ailleurs avoir un mouvement quelconque, être par exemple immobile si l'axe de rotation passe par le C.D.I. du solide, ou avoir une vitesse instantanée plus ou moins grande suivant la distance le séparant de l'axe de rotation dans le cas où ce dernier ne passe pas par le C.D.I. du solide.

[55] En utilisant la base de Frenet liée au point $\;M_{i}$ , le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$ étant tangent au cercle décrit par $\;M_{i}\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ et le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}(M_{i})\;$ centripète relativement au cercle décrit par $\;M_{i}\;$ c.-à-d. tel que $\;{\vec {n}}(M_{i})=-{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ où $\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ est le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}$ , voir le paragraphe « préliminaire (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[56] Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide en translation circulaire peut s'écrire sous forme du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ identique à $\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {\Omega }}_{G}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$ car $\;{\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)={\overrightarrow {CG}}(t)\;$ caractéristique de la translation circulaire, comme
Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide en rotation autour d'un axe fixe s'écrit sous forme du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge r_{i}\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$
Même si la différence fondamentale est que
dans le cas d'une translation circulaire le vecteur vitesse est indépendant du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier étant le même que celui décrit par le C.D.I. alors que

dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe le vecteur vitesse dépend du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier dépendant de la distance le séparant de l'axe de rotation ;
c'est donc la raison pour laquelle on réserve l'appellation « vecteur rotation instantanée d'un solide » au cas où ce dernier est en rotation autour d'un axe fixe et on parle de « vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide » quand ce dernier est en translation circulaire.

[57] s le cas d'une translation circulaire le vecteur vitesse est indépendant du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier étant le même que celui décrit par le C.D.I. alors que

[58] s le cas d'une rotation autour d'un axe fixe le vecteur vitesse dépend du point $\;M_{i}$ , le rayon du cercle décrit par ce dernier dépendant de la distance le séparant de l'axe de rotation ;

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