En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte
Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1], Soient une courbe continue fermée a priori gauche [2] à orientation non préférentielle et Soient une surface ouverte dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée la limitant [3], nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux à travers la surface ouverte orientée , nous nous proposons de présenter plus formellement la notion qui a été introduite une 1ère fois au paragraphe nous nous proposons « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » nous nous proposons du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont un exemple a été fourni au paragraphe nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont « exemple de calcul de flux de champ vectoriel » nous nous proposons du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Ci-contre schéma de définition du flux d'un champ vectoriel d'un espace tridimensionnel à travers une surface ouverte limitée par la courbe fermée [4].
Flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel
Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1] et Soient un vecteur surface élémentaire positionné en [5], point de définition du champ vectoriel, on appelle « flux élémentaire du champ vectoriel à travers le vecteur élément de surface », on appelle « la forme bilinéaire symétrique[6] «».
Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte
Flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte
Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1] et Soient une surface ouverte limitée par la courbe fermée , orientée de façon arbitraire, Soient une surface ouverte limitée par la courbe fermée , l'orientation de étant définie en accord avec celle de [3], on appelle « flux du champ vectoriel à travers la surface ouverte orientée », on appelle « l'intégrale surfacique «» [7]. Unité de flux de champ vectoriel : étant l'unité dans laquelle les composantes et la norme du champ vectoriel sont mesurées, Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux du champ vectoriel à travers la surface Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux est .
1ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel
Champ vectoriel à flux conservatif (1ère définition)
Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1] est dit « à flux conservatif » Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, étant une courbe fermée quelconque orientée de façon arbitraire, Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte quelconque Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel si, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte s'appuyant sur Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel est indépendant de la surface ouverte choisie Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ou, et étant deux surfaces ouvertes quelconques s'appuyant Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ou, et étant deux surfaces ouvertes toutes deux sur et dont Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ou, et étant les orientations sont en accord avec celle de [3], Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi « c.-à-d. Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi «» [7].
Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée
Flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée
Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1] et Soient une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur [8], on appelle « flux sortant [9] du champ vectoriel à travers la surface fermée », on appelle « l'intégrale surfacique «» [7].
Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée par Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit «» [7], Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.
2ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel
Champ vectoriel à flux conservatif (2ème définition)
Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1] est dit « à flux conservatif » Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée quelconque Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée est nul ou Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, étant une surface fermée quelconque orientée Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, étant une surface fermée quelconque de l'intérieur vers l'extérieur, Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ssi, «» [7].
Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel à travers deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour fermé et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant [3]
Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 1ère définition la 2ème définition, en effet le champ vectoriel étant à flux conservatif, Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux à travers les deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour fermé et Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux à travers dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant [3] Établissement de l'équivalence des deux définitions : est le même c.-à-d. «» «» [7] ; Établissement de l'équivalence des deux définitions : formant la surface fermée et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur Établissement de l'équivalence des deux définitions : formant la surface fermée et on conserve donc l'orientation de et on inverse celle de , Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] c.-à-d., après transposition, Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] soit finalement, Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] C.Q.F.D. [10] ; Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 2ème définition la 1ère définition, en effet le champ vectoriel étant à flux conservatif, Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux sortant à travers une surface fermée quelconque est nul c.-à-d. «» [7] ou, Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur une courbe fermée quelconque qui sépare en surfaces ouvertes et s'appuyant toutes deux sur puis Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation d'une des surfaces ouvertes en accord avec celle de [3] Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation d'une des surfaces ouvertes par exemple , Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de [3] Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation de l'autre surface étant l'opposée il s'agit donc de , Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] ou encore «» [7] C.Q.F.D. [10].
Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)
Le théorème de Green - Ostrogradsky[11],[12]admis transforme le flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque [13] Le théorème de Green - Ostrogradsky admis transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel [14] sur l'expansion tridimensionnelle Le théorème de Green - Ostrogradsky admis transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel sur intérieure à la surface fermée d'où :
Début d’un théorème
Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)
Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1], Soient une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur [8] et Soient l'expansion tridimensionnelle intérieure à la surface fermée , le « flux sortant [9] du champ vectoriel à travers la surface fermée », «» [7] le « flux sortant est égal à l'intégrale volumique [15] de la divergence du champ vectoriel [14] sur soit
Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que la divergence du champ vectoriel c.-à-d. [14] soit définie en tout point de et pour cela Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que le champ vectoriel doit être continûment dérivable en tout point de .
Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel
Propriété directe : Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,
la 2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel «» [7],[17],
l'utilisation des deux résultats ci-dessus «» [15] et, comme l'expansion tridimensionnelle sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, l'utilisation des deux résultats ci-dessus la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit «» [14] ;
Propriété directe : un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » est tel que sa divergence[14] est nulle en tout point de son domaine de définition.
Propriété réciproque : soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant [14],[19] et une expansion tridimensionnelle quelconque limitée par , , Propriété réciproque : soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant et étant une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur,
l'utilisation des deux résultats ci-dessus «» [7] ce qui assure que le champ vectoriel est « à flux conservatif » ;
Propriété réciproque : un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant [14],[19] est « à flux conservatif ».
Début d’un théorème
Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel
Un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel est « à flux conservatif » ssi «» [14],[19].
Fin du théorème
Remarque : la condition pour que la propriété réciproque soit applicable est qu'il n'existe aucun point de pour lequel la divergence du champ vectoriel n'est pas défini.
Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif
D'après le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre, D'après le paragraphe la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » D'après le paragraphe la C.N. mais a priori non suffisantes'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel « à flux conservatif » à savoir «» [14],[19]. Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :
Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien
En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en «» et En repérage cartésien la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14],[19], En repérage cartésien nous explicitons cette dernière selon «» [21],[22].
Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire
En repérage cylindro-polaire [23], le champ vectoriel se décomposant en «» et En repérage cylindro-polaire la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14],[19], En repérage cylindro-polaire nous explicitons cette dernière selon «» [21],[24].
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution[25] : la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour que «» soit « à flux conservatif » Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. mais a priori non suffisantese simplifie en «».
Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique
En repérage sphérique [26], le champ vectoriel se décomposant en «» et En repérage sphérique la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14],[19], En repérage sphérique cette dernière se réécrit selon «» [21],[27].
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique[28] : la C.N. [20]mais a priori non suffisante pour que «» soit « à flux conservatif » Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. mais a priori non suffisantese simplifie en «».
Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif
Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit que «» [14],[19] Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition de en absence de restriction Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point en lequel soit non défini ou [29] c.-à-d. Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point d'un ouvert quelconque de l'espace de définition de [30] Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point tel que, pour tout point , le segment c.-à-d. que Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu' tout ouvert de l'espace de définition de [30] est étoilé[31] d'où la proposition suivante :
est « à flux conservatif » sur un ouvert étoilé de [31] ssi « en tout point de cet ouvert ».
↑ 3,03,13,23,33,43,5 et 3,6 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte à partir de celle de la courbe fermée la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de limitrophe de et le tournant dans le sens choisi sur , le sens défini sur en correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur en tout autre point étant obtenu par continuité » on peut aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en ; dans l'hypothèse excessivement rare où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée indirecte au sens de la physiquevoir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on utilisera la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en , ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ L'orientation de la surface ouverte étant liée à celle de la courbe fermée la limitant selon la règle rappelée en note « 3 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Dont un des vecteurs de définition de la forme bilinéaire symétrique est un élément de surface c.-à-d., au sens de la physique, un infiniment petit d'ordre deux.
↑ 11,011,1 et 11,2George Green (1793 - 1841) physicien britannique à qui on doit, entre autres, un essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme paru en dans lequel on trouve le théorème de Green - Riemannou formule de Green - Riemann, cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes, ainsi que l'idée des fonctions de Green ; Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analysepartie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentiellepartie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1sup>ère démonstration de ce théorème fût donnée en par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit aussi, entre autres, le théorème de flux - divergence portant partiellement son nom.
↑ 12,012,1 et 12,2Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit, entre autres, ce théorème portant son nom ainsi que celui de George Green (1793 - 1841) physicien britannique qui l'établit indépendamment de lui
↑ C.-à-d. une intégrale surfacique sur une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
↑ 30,0 et 30,1 C.-à-d. en absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel .
↑ 31,0 et 31,1 Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que, pour tout point de le segment soit inclus dans , on dit alors que est « étoilée par rapport à » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points.