Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif

**Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 29
Chap. préc. :	Formes différentielles et différentielles de fonctions
Chap. suiv. :	Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
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Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

     Soient un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel ^[1],
     Soient une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ ${\big (}$ a priori gauche ^[2] ${\big )}\;$ à orientation non préférentielle et
     Soient une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ la limitant ^[3],
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux à travers la surface ouverte orientée $\;({\mathcal {S}})$ ,
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion qui a été introduite une 1^ère fois au paragraphe
     nous nous proposons « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation »
     nous nous proposons du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont un exemple a été fourni au paragraphe
       nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont « exemple de calcul de flux de champ vectoriel »
     nous nous proposons du même chap. $17$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
     Ci-contre schéma de définition du flux d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ d'un espace tridimensionnel à travers une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ limitée par la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ ^[4].

Flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

Soient

\;{\vec {A}}(M)\;

un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ^[1] et
Soient

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;

un vecteur surface élémentaire positionné en

\;M\;

^[5], point de définition du champ vectoriel,
on appelle « flux élémentaire du champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

à travers le vecteur élément de surface

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}

»,
on appelle « la forme bilinéaire symétrique ^[6] «

\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;

».

Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Soient

\;{\vec {A}}(M)\;

un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ^[1] et
Soient

\;({\mathcal {S}})\;

une surface ouverte limitée par la courbe fermée

\;(\Gamma )

, orientée de façon arbitraire,
Soient

\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;

une surface ouverte limitée par la courbe fermée

\;\color {transparent}{(\Gamma )}

, l'orientation de

\;({\mathcal {S}})\;

étant définie en accord avec celle de

\;(\Gamma )\;

^[3],
on appelle « flux du champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

à travers la surface ouverte orientée

\;({\mathcal {S}})\;

»,
on appelle « l'intégrale surfacique «

\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;

» ^[7].
Unité de flux de champ vectoriel :

\left[A\right]\;

étant l'unité dans laquelle les composantes et la norme du champ vectoriel

\;{\vec {A}}\;

sont mesurées,
Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux

\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;

du champ vectoriel

\;{\vec {A}}\;

à travers la surface

\;({\mathcal {S}})\;

Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux

\;\color {transparent}{\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}\;

est

\;\left[A\right]\cdot m^{2}

.

1^ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Champ vectoriel à flux conservatif (1^ère définition)

Un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

de l'espace tridimensionnel ^[1] est dit « à flux conservatif »
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi,

\;(\Gamma )\;

étant une courbe fermée quelconque orientée

\;{\big (}

de façon arbitraire

{\big )}

,
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte quelconque
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel si, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte s'appuyant sur

\;(\Gamma )\;

Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel est indépendant de la surface ouverte choisie
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ou,

\;{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}\;

et

\;{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}\;

étant deux surfaces ouvertes quelconques s'appuyant
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ou,

\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\;

et

\;\color {transparent}{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\;

étant deux surfaces ouvertes toutes deux sur

\;(\Gamma )\;

et dont
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ou,

\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\;

et

\;\color {transparent}{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\;

étant les orientations sont en accord avec celle de

\;(\Gamma )\;

^[3],
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi «

\;\Phi _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right],\;\;\forall \;(\Gamma )\;

c.-à-d.
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi «

\;\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M},\;\;\forall \;(\Gamma )\;

» ^[7].

Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Soient

\;{\vec {A}}(M)\;

un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ^[1] et
Soient

\;({\mathcal {S}})\;

une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur ^[8],
on appelle « flux sortant ^[9] du champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

à travers la surface fermée

\;({\mathcal {S}})\;

»,
on appelle « l'intégrale surfacique «

\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;

» ^[7].

     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ par
     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ de l'extérieur vers l'intérieur, on définit « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{entrant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;$ » ^[7],
     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ de l'extérieur vers l'intérieur, on définit ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.

2^ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Champ vectoriel à flux conservatif (2^ème définition)

Un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

de l'espace tridimensionnel ^[1] est dit « à flux conservatif »
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée quelconque
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée est nul ou
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi,

\;({\mathcal {S}})\;

étant une surface fermée quelconque orientée
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi,

\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;

étant une surface fermée quelconque de l'intérieur vers l'extérieur,
Un champ vectoriel

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

de l'espace tridimensionnel ssi, «

\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;

» ^[7].

Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;({\mathcal {S}}')\;$ s'appuyant sur le même contour fermé $\;(\Gamma )\;$ et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant ^[3]

     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\bullet \;$ la 1^ère définition $\Rightarrow$ la 2^ème définition, en effet le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ son flux à travers les deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;({\mathcal {S}}')\;$ s'appuyant sur le même contour fermé $\;(\Gamma )\;$ et
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ son flux à travers dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant ^[3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ est le même c.-à-d. « $\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{({\mathcal {S}}')}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ » ^[7] ;
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ formant la surface fermée $\;({\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}')\;$ et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ formant la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}')}\;$ et ${\big [}$ on conserve donc l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ et on inverse celle de $\;({\mathcal {S}}'){\big ]}$ ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ on en déduit alors « $\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=-\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ » ^[7] c.-à-d., après transposition,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ on en déduit alors « $\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;$ » ^[7] soit finalement,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ on en déduit alors « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}}\,\cup \,{\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$ » ^[7] C.Q.F.D. ^[10] ;
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\bullet \;$ la 2^ème définition $\Rightarrow$ la 1^ère définition, en effet le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ son flux sortant à travers une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque est nul c.-à-d. « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$ » ^[7] ou,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ traçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ quelconque qui sépare $\;({\mathcal {S}})\;$ en surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {S}}_{2})\;$ s'appuyant toutes deux sur $\;(\Gamma )\;$ puis
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;(\Gamma )\;$ dans un sens arbitraire $\Rightarrow$ l'orientation d'une des surfaces ouvertes en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$ ^[3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation d'une des surfaces ouvertes ${\big [}$ par exemple $\;({\mathcal {S}}_{1}){\big ]}$ ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de $\;(\Gamma )\;$ ^[3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation de l'autre surface étant l'opposée ${\big [}$ il s'agit donc de $\;({\mathcal {S}}_{2}){\big ]}$ ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$ on en déduit alors « $\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot \left(-{\overrightarrow {dS}}_{M}\right)=0\;$ » ^[7] ou encore « $\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ » ^[7] C.Q.F.D. ^[10].

Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)

     Le théorème de Green - Ostrogradsky ^[11]^, ^[12] $\;{\big (}$ admis ${\big )}\;$ transforme le flux sortant d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque $\;({\mathcal {S}})\;$ ^[13]
                  Le théorème de Green - Ostrogradsky $\;\color {transparent}{\big (}$ admis $\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ ^[14] sur $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;$ l'expansion tridimensionnelle
                       Le théorème de Green - Ostrogradsky $\;\color {transparent}{\big (}$ admis $\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ sur $\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\;$ intérieure à la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ d'où :

Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)

Soient

\;{\vec {A}}(M)\;

un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel ^[1],
Soient

\;({\mathcal {S}})\;

une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur ^[8] et
Soient

\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;

l'expansion tridimensionnelle intérieure à la surface fermée

\;({\mathcal {S}})

,
le « flux sortant ^[9] du champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

à travers la surface fermée

\;({\mathcal {S}})\;

», «

\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;

» ^[7]
le « flux sortant est égal à l'intégrale volumique ^[15] de la divergence du champ vectoriel

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;

^[14] sur

\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;

soit «

\;\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;

» ^[15]^, ^[16] ou
«

\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;

^[7]

{\begin{array}{c}\qquad \\=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;

» ^[15]^, ^[16]..

Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que la divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(P)\;$ c.-à-d. $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ ^[14] soit définie en tout point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}$ et pour cela
Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(P)\;$ doit être continûment dérivable en tout point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}$ .

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Propriété directe : Soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

la 2^ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel $\Rightarrow$ « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;\;\forall \;({\mathcal {S}})\end{array}}\;$ » ^[7]^, ^[17],
l'application du théorème de Green - Ostrogradsky ^[11]^, ^[12] $\Rightarrow$ « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$ » ^[7]^, ^[15]^, ^[18],
l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=0\;\;\forall \;({\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})})\;$ » ^[15] et, comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})})\;$ sur laquelle l'intégration est faite est quelconque,
l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=0\;\;\forall \;P\;$ » ^[14] ;

Propriété directe : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » est tel que sa divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ ^[14] est nulle en tout point $\;M\;$ de son domaine de définition.

Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ ^[14]^, ^[19] et une expansion tridimensionnelle quelconque limitée par $\;({\mathcal {S}})$ , $\;{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}$ ,
Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M}\;$ et $({\mathcal {S}})\;$ étant une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

l'utilisation du théorème de Green - Ostrogradsky ^[11]^, ^[12] $\Rightarrow$ « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;$ » ^[15]^, ^[7]^, ^[18],
la nullité de la divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ ^[14] du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}0\;d\tau _{P}=0\;$ » ^[15],
l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ « $\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$ » ^[7] ce qui assure que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est « à flux conservatif » ;

Propriété réciproque : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ ^[14]^, ^[19] est « à flux conservatif ».

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

de l'espace tridimensionnel est « à flux conservatif » ssi «

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;

» ^[14]^, ^[19].

Remarque : la condition pour que la propriété réciproque soit applicable est qu'il n'existe aucun point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}\;$ pour lequel la divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ n'est pas défini.

Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

     D'après le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre,
     D'après le paragraphe la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour qu'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif »
          D'après le paragraphe la C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$ mais a priori non suffisante $\color {transparent}{\big )}\;$ s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à flux conservatif » à savoir « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ » ^[14]^, ^[19].
     Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien

     En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en « $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et
     En repérage cartésien la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ » ^[14]^, ^[19],
     En repérage cartésien nous explicitons cette dernière selon « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)=0\;$ » ^[21]^, ^[22].

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire

     En repérage cylindro-polaire ^[23], le champ vectoriel se décomposant en « $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et
            En repérage cylindro-polaire la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ » ^[14]^, ^[19],
            En repérage cylindro-polaire nous explicitons cette dernière selon « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)=0\;$ » ^[21]^, ^[24].

Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution ^[25] : la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour que « $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(\rho )\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ » soit « à flux conservatif »
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$ mais a priori non suffisante $\color {transparent}{\big )}\;$ se simplifie en « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d\left[\rho \,A_{\rho }\right]}{d\rho }}(M)=0\;$ ».

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique

     En repérage sphérique ^[26], le champ vectoriel se décomposant en « $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » et
            En repérage sphérique la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ » ^[14]^, ^[19],
            En repérage sphérique cette dernière se réécrit selon « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)=0\;$ » ^[21]^, ^[27].

Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique ^[28] : la C.N. ^[20] $\;{\big (}$ mais a priori non suffisante ${\big )}\;$ pour que « $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r)\;{\vec {u}}_{r}(\theta \,,\,\varphi )\;$ » soit « à flux conservatif »
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. $\;\color {transparent}{\big (}$ mais a priori non suffisante $\color {transparent}{\big )}\;$ se simplifie en « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\;{\dfrac {d\left[r^{2}\,A_{r}\right]}{dr}}(M)=0\;$ ».

Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

     Pour que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit que « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$ » ^[14]^, ^[19]
     Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}$ $\;{\big (}\mathbb {R} ^{3}\;$ en absence de restriction ${\big )}\;$
     Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point en lequel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ soit non défini ou $\;\neq 0\;$ ^[29] c.-à-d.
     Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point $\;P\;$ d'un ouvert quelconque $\;U\;$ de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}\;$ ^[30]
     Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point $\;\color {transparent}{P}\;$ tel que, pour tout point $\;Q\in U$ , le segment $\;\left[PQ\right]\not \subset U\;$ c.-à-d. que
     Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu' tout ouvert $\;U\;$ de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}\;$ ^[30] est étoilé ^[31] d'où la proposition suivante :

\;{\vec {A}}(M)\;

est « à flux conservatif » sur un ouvert étoilé de

\;\mathbb {R} ^{3}\;

^[31] ssi «

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;

en tout point de cet ouvert ».

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 et ^1,6 Voir le paragraphe « Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ C.-à-d. non plane.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 et ^3,6 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite $\;{\big \{}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ avec choix d'une base orthonormée directe $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de celle de la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point $\;P_{\Gamma }\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ limitrophe de $\;(\Gamma )\;$ et le tournant dans le sens choisi sur $\;(\Gamma )$ , le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;P_{\Gamma }\;$ correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en tout autre point $\;M\;$ étant obtenu par continuité » $\;{\big [}$ on peut aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur $\;(\Gamma )$ en un point $\;P\;$ de cette dernière, l'index pointant un point $\;M\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de $\;P\;$ et le majeur pointant le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;M{\big ]}$ ;
dans l'hypothèse $\;{\big (}$ excessivement rare ${\big )}\;$ où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche $\;{\big \{}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ avec choix d'une base orthonormée indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , on utilisera la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur $\;(\Gamma )$ en un point $\;P\;$ de cette dernière, l'index pointant un point $\;M\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de $\;P\;$ et le majeur pointant le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;M$ , ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe $\;\ldots$
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ L'orientation de la surface ouverte étant liée à celle de la courbe fermée la limitant selon la règle rappelée en note « ³ » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Dont un des vecteurs de définition de la forme bilinéaire symétrique est un élément de surface c.-à-d., au sens de la physique, un infiniment petit d'ordre deux.
↑ ^7,00 ^7,01 ^7,02 ^7,03 ^7,04 ^7,05 ^7,06 ^7,07 ^7,08 ^7,09 ^7,10 ^7,11 ^7,12 ^7,13 ^7,14 ^7,15 ^7,16 et ^7,17 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^8,0 et ^8,1 C'est l'orientation systématiquement choisie sauf avis contraire.
↑ ^9,0 et ^9,1 Quand c'est sous-entendu, il s'agit toujours du flux sortant $\;\ldots$
↑ ^10,0 et ^10,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 George Green (1793 - 1841) physicien britannique à qui on doit, entre autres, un essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme paru en $\;1828\;$ dans lequel on trouve le théorème de Green - Riemann $\;{\big (}$ ou formule de Green - Riemann ${\big )}$ , cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes, ainsi que l'idée des fonctions de Green ;
Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ ;
George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre $\;{\big (}$ il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie ${\big )}\;$ et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1sup>ère démonstration de ce théorème fût donnée en $\;1820\;$ par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe $\;{\big (}$ province de l'Ukraine ${\big )}\;$ à qui on doit aussi, entre autres, le théorème de flux - divergence portant partiellement son nom.
↑ ^12,0 ^12,1 et ^12,2 Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe $\;{\big (}$ province de l'Ukraine ${\big )}\;$ à qui on doit, entre autres, ce théorème portant son nom $\;{\big [}$ ainsi que celui de George Green (1793 - 1841) physicien britannique qui l'établit indépendamment de lui ${\big ]}\;\ldots$
↑ C.-à-d. une intégrale surfacique sur une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
↑ ^14,00 ^14,01 ^14,02 ^14,03 ^14,04 ^14,05 ^14,06 ^14,07 ^14,08 ^14,09 ^14,10 ^14,11 ^14,12 et ^14,13 Voir le paragraphe « Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 ^15,5 et ^15,6 Voir le paragraphe « Les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^16,0 et ^16,1 Pour appliquer ce théorème, il est indispensable que la surface fermée soit orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
↑ Voir le paragraphe « 2^ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^18,0 et ^18,1 Voir le paragraphe « théorème de Green - Ostrogradsky » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 ^19,5 ^19,6 et ^19,7 Il faut qu'il n'existe aucun point $\;M\;$ où $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ serait $\;\neq 0\;$ ou non défini.
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 ^20,3 ^20,4 et ^20,5 Condition Nécessaire.
↑ ^21,0 ^21,1 et ^21,2 Voir la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes au paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Correspondant à $\;{\vec {A}}(M)\;$ radial $\;{\Big \{}$ c.-à-d. tel que $\;A_{\theta }(M)=0\;\;\forall \;M\;$ et $\;A_{z}(M)=0\;\;\forall \;M{\Big \}}\;$ et
Correspondant à la composante radiale ne dépendant que de $\;\rho \;$ soit « $\;A_{\rho }(M)=A_{\rho }(\rho )\;$ » $\;{\Bigg \{}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)=0\;\;\forall \;M\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)=0\;\;\forall \;M{\Bigg \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Correspondant à $\;{\vec {A}}(M)\;$ radial $\;{\Big \{}$ c.-à-d. tel que $\;A_{\theta }(M)=0\;\;\forall \;M\;$ et $\;A_{\varphi }(M)=0\;\;\forall \;M{\Big \}}\;$ et
Correspondant à la composante radiale ne dépendant que de $\;r$ soit « $\;A_{r}(M)=A_{r}(r)\;$ » $\;{\Bigg \{}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)=0\;\;\forall \;M\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)=0\;\;\forall \;M{\Bigg \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^30,0 et ^30,1 C.-à-d. $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ en absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel $\;{\vec {A}}$ .
↑ ^31,0 et ^31,1 Une partie $\;U\;$ ouverte ou non de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ est dite « étoilée » lorsque $\;U\;$ contient au moins un point $\;P\;$ tel que, pour tout point $\;Q\;$ de $\;U\;$ le segment $\;\left[PQ\right]\;$ soit inclus dans $\;U$ , on dit alors que $\;U\;$ est « étoilée par rapport à $\;P\;$ » ${\big \{}U\;$ est « convexe » ssi $\;U\;$ est étoilée par rapport à chacun de ses points ${\big \}}$ .