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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif

Leçons de niveau 14
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Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
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Chapitre no 29
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Formes différentielles et différentielles de fonctions
Chap. suiv. :Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
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Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

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Définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

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     Soient un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel [1],
     Soient une courbe continue fermée a priori gauche [2] à orientation non préférentielle et
     Soient une surface ouverte dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée la limitant [3],
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux à travers la surface ouverte orientée ,
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion qui a été introduite une 1ère fois au paragraphe
     nous nous proposons « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation »
     nous nous proposons du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont un exemple a été fourni au paragraphe
       nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont « exemple de calcul de flux de champ vectoriel »
     nous nous proposons du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
     Ci-contre schéma de définition du flux d'un champ vectoriel d'un espace tridimensionnel à travers une surface ouverte limitée par la courbe fermée [4].

Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

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1ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

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Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

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Définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

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     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée par
     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit «» [7],
     Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.

2ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

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Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel à travers deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour fermé et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant [3]

     Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 1ère définition la 2ème définition, en effet le champ vectoriel étant à flux conservatif,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux à travers les deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour fermé et
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux à travers dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant [3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : est le même c.-à-d. «» «» [7] ;
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : formant la surface fermée et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : formant la surface fermée et on conserve donc l'orientation de et on inverse celle de ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] c.-à-d., après transposition,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] soit finalement,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] C.Q.F.D. [10] ;
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 2ème définition la 1ère définition, en effet le champ vectoriel étant à flux conservatif,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : son flux sortant à travers une surface fermée quelconque est nul c.-à-d. «» [7] ou,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur une courbe fermée quelconque qui sépare en surfaces ouvertes et s'appuyant toutes deux sur puis
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation d'une des surfaces ouvertes en accord avec celle de [3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation d'une des surfaces ouvertes par exemple ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de [3]
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : traçant sur orientant dans un sens arbitraire l'orientation de l'autre surface étant l'opposée il s'agit donc de ,
     Établissement de l'équivalence des deux définitions : on en déduit alors «» [7] ou encore «» [7] C.Q.F.D. [10].

Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)

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     Le théorème de Green - Ostrogradsky [11], [12] admis transforme le flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque [13]
                  Le théorème de Green - Ostrogradsky admis transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel [14] sur l'expansion tridimensionnelle
                       Le théorème de Green - Ostrogradsky admis transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel sur intérieure à la surface fermée d'où :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que la divergence du champ vectoriel c.-à-d. [14] soit définie en tout point de et pour cela
     Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que le champ vectoriel doit être continûment dérivable en tout point de .

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

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     Propriété directe : Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

  • la 2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel «» [7], [17],
  • l'application du théorème de Green - Ostrogradsky [11], [12] «» [7], [15], [18],
  • l'utilisation des deux résultats ci-dessus «» [15] et, comme l'expansion tridimensionnelle sur laquelle l'intégration est faite est quelconque,
    l'utilisation des deux résultats ci-dessus la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit «» [14] ;

     Propriété directe : un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » est tel que sa divergence [14] est nulle en tout point de son domaine de définition.

     Propriété réciproque : soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant [14], [19] et une expansion tridimensionnelle quelconque limitée par , ,
                 Propriété réciproque : soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant et étant une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

  • l'utilisation du théorème de Green - Ostrogradsky [11], [12] «» [15], [7], [18],
  • la nullité de la divergence [14] du champ vectoriel «» [15],
  • l'utilisation des deux résultats ci-dessus «» [7] ce qui assure que le champ vectoriel est « à flux conservatif » ;

     Propriété réciproque : un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel vérifiant [14], [19] est « à flux conservatif ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : la condition pour que la propriété réciproque soit applicable est qu'il n'existe aucun point de pour lequel la divergence du champ vectoriel n'est pas défini.

Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

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     D'après le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre,
     D'après le paragraphe la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif »
          D'après le paragraphe la C.N. mais a priori non suffisante s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel « à flux conservatif » à savoir «» [14], [19].
     Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien

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     En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en «» et
     En repérage cartésien la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14], [19],
     En repérage cartésien nous explicitons cette dernière selon «» [21], [22].

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire

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     En repérage cylindro-polaire [23], le champ vectoriel se décomposant en «» et
            En repérage cylindro-polaire la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14], [19],
            En repérage cylindro-polaire nous explicitons cette dernière selon «» [21], [24].

     Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution [25] : la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour que «» soit « à flux conservatif »
                 Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. mais a priori non suffisante se simplifie en « ».

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique

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     En repérage sphérique [26], le champ vectoriel se décomposant en «» et
            En repérage sphérique la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant «» [14], [19],
            En repérage sphérique cette dernière se réécrit selon «» [21], [27].

     Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique [28] : la C.N. [20] mais a priori non suffisante pour que «» soit « à flux conservatif »
                 Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. mais a priori non suffisante se simplifie en «».

Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

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     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit que «» [14], [19]
     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition de en absence de restriction
     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point en lequel soit non défini ou [29] c.-à-d.
     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point d'un ouvert quelconque de l'espace de définition de [30]
     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point tel que, pour tout point , le segment c.-à-d. que
     Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu' tout ouvert de l'espace de définition de [30] est étoilé [31] d'où la proposition suivante :

est « à flux conservatif » sur un ouvert étoilé de [31] ssi « en tout point de cet ouvert ».

Notes et références

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  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 et 1,6 Voir le paragraphe « Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. C.-à-d. non plane.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 et 3,6 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte à partir de celle de la courbe fermée la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de limitrophe de et le tournant dans le sens choisi sur , le sens défini sur en correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur en tout autre point étant obtenu par continuité » on peut aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en  ;
       dans l'hypothèse excessivement rare où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée indirecte au sens de la physique voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on utilisera la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en , ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  4. L'orientation de la surface ouverte étant liée à celle de la courbe fermée la limitant selon la règle rappelée en note « 3 » plus haut dans ce chapitre.
  5. Voir le paragraphe « Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Dont un des vecteurs de définition de la forme bilinéaire symétrique est un élément de surface c.-à-d., au sens de la physique, un infiniment petit d'ordre deux.
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 et 7,17 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. 8,0 et 8,1 C'est l'orientation systématiquement choisie sauf avis contraire.
  9. 9,0 et 9,1 Quand c'est sous-entendu, il s'agit toujours du flux sortant
  10. 10,0 et 10,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  11. 11,0 11,1 et 11,2 George Green (1793 - 1841) physicien britannique à qui on doit, entre autres, un essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme paru en dans lequel on trouve le théorème de Green - Riemann ou formule de Green - Riemann, cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes, ainsi que l'idée des fonctions de Green ;
        Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ;
        George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1sup>ère démonstration de ce théorème fût donnée en par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit aussi, entre autres, le théorème de flux - divergence portant partiellement son nom.
  12. 12,0 12,1 et 12,2 Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit, entre autres, ce théorème portant son nom ainsi que celui de George Green (1793 - 1841) physicien britannique qui l'établit indépendamment de lui
  13. C.-à-d. une intégrale surfacique sur une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
  14. 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 et 14,13 Voir le paragraphe « Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 et 15,6 Voir le paragraphe « Les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. 16,0 et 16,1 Pour appliquer ce théorème, il est indispensable que la surface fermée soit orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
  17. Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre.
  18. 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « théorème de Green - Ostrogradsky » plus haut dans ce chapitre.
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 et 19,7 Il faut qu'il n'existe aucun point serait ou non défini.
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 et 20,5 Condition Nécessaire.
  21. 21,0 21,1 et 21,2 Voir la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes au paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. Voir le paragraphe « Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Correspondant à radial c.-à-d. tel que et et
        Correspondant à la composante radiale ne dépendant que de soit «» et .
  26. Voir le paragraphe « Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. Correspondant à radial c.-à-d. tel que et et
        Correspondant à la composante radiale ne dépendant que de soit «» et .
  29. Voir le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
  30. 30,0 et 30,1 C.-à-d. en absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel .
  31. 31,0 et 31,1 Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que, pour tout point de le segment soit inclus dans , on dit alors que est « étoilée par rapport à » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points.