Leçons de niveau 14

Application (mathématiques)/Famille

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Famille
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Chapitre no 4
Leçon : Application (mathématiques)
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Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d’un ensemble I. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va autoriser, comme pour les suites, à attribuer plusieurs indices à un même élément de E.

Définition et exemples[modifier | modifier le wikicode]


Panneau d’avertissement Une famille n’est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Opérations sur les familles[modifier | modifier le wikicode]

Panneau d’avertissement Si alors l'ensemble n'est pas défini en général (tandis que ). Mais dans ce contexte (intersection d'une famille de parties d'un ensemble E fixé), on a convenu, par la définition ci-dessus, que l'intersection d'une famille vide de parties de E est égale à E.

Changement d'indice[modifier | modifier le wikicode]


Associativité[modifier | modifier le wikicode]


Distributivité[modifier | modifier le wikicode]


Plus généralement, on a l'égalité (dans laquelle l'inclusion est immédiate mais l'inclusion utilise l'axiome du choix si est infini), ainsi que l'égalité duale[1].

Passage au complémentaire[modifier | modifier le wikicode]


Recouvrement, partition[modifier | modifier le wikicode]



Image directe et image réciproque[modifier | modifier le wikicode]


Référence[modifier | modifier le wikicode]

  1. Robert L. Vaught, Set Theory: An Introduction, Birkhäuser, 2001, 2e éd. (1re éd. 1985) [lire en ligne], p. 21 .