Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Entiers naturels

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Entiers naturels
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Chapitre no 5
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. :Relations binaires
Chap. suiv. :Rudiments de combinatoire
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Introduction aux mathématiques/Entiers naturels
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L'essentiel de ce chapitre est détaillé dans les leçons « Axiomes de Peano » et « Arithmétique ».

Axiomatique de Peano[modifier | modifier le wikicode]



Suite définie par une relation de récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Grâce à l'axiome 5, on démontre :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Addition et multiplication dans [modifier | modifier le wikicode]

On note , puis les neufs premiers itérés de . Pour ne pas à avoir recours à une infinité de symboles, on a trouvé un moyen plus malin, que vous connaissez depuis l'école élémentaire. On a bien sûr reconnu en notre ensemble usuel pour compter ; ceci fera l’objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l’addition et à la multiplication.

Le théorème ci-dessus permet de définir l'addition et la multiplication dans par :

Remarques
  • .
  • L'entier est également noté .




Ordre sur [modifier | modifier le wikicode]

On définit ≤ à partir de l'addition :

(l'entier est alors unique et noté ).

Alors :

  • ≤ est une relation d'ordre sur  ;
  • toute partie non vide de admet un plus petit élément (en particulier, l'ordre est total) ;
  • lui-même a 0 pour plus petit élément ;
  • le successeur d'un entier est son plus petit majorant strict.

De plus (exercice), ≤ est compatible avec l'addition et la multiplication, au sens où

Division euclidienne[modifier | modifier le wikicode]

On note .

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque
On a alors : . En particulier, . On résume ce fait en disant que l'ordre sur est archimédien.




Récurrences[modifier | modifier le wikicode]

On déduit immédiatement du cinquième axiome de Peano (voir supra), et de l'expression de sous la forme  :

Début d’un théorème


Fin du théorème


En appliquant ce théorème à , on obtient :




En appliquant le théorème à , que l'on écrit moins formellement , on obtient un autre corollaire :




Par contraposition, on déduit du corollaire précédent ou, directement, du cinquième axiome de Peano :