Introduction aux mathématiques/Entiers naturels
L'essentiel de ce chapitre est détaillé dans les leçons « Axiomes de Peano » et « Arithmétique ».
Axiomatique de Peano
[modifier | modifier le wikicode]L'ensemble des entiers naturels, noté , est défini par les axiomes de Peano :
- L'ensemble possède un élément particulier que l'on note 0 ;
- Chaque élément n possède un successeur que l'on note S(n) ;
- 0 n'est le successeur d'aucun élément ;
- si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux ;
- Toute partie de contenant 0 et stable par S est égale à tout entier.
Suite définie par une relation de récurrence
[modifier | modifier le wikicode]Grâce à l'axiome 5, on démontre :
Addition et multiplication dans
[modifier | modifier le wikicode]On note , puis les neufs premiers itérés de . Pour ne pas à avoir recours à une infinité de symboles, on a trouvé un moyen plus malin, que vous connaissez depuis l'école élémentaire. On a bien sûr reconnu en notre ensemble usuel pour compter ; ceci fera l’objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l’addition et à la multiplication.
Le théorème ci-dessus permet de définir l'addition et la multiplication dans par :
- Remarques
-
- .
- L'entier est également noté .
- L'addition et la multiplication sur sont associatives et commutatives.
- est neutre pour l'addition et est neutre pour la multiplication.
- La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
- Tout élément est régulier pour l'addition, c'est-à-dire : .
Ordre sur
[modifier | modifier le wikicode]On définit ≤ à partir de l'addition :
(l'entier est alors unique et noté ).
Alors :
- ≤ est une relation d'ordre sur ;
- toute partie non vide de admet un plus petit élément (en particulier, l'ordre est total) ;
- lui-même a 0 pour plus petit élément ;
- le successeur d'un entier est son plus petit majorant strict.
De plus (exercice), ≤ est compatible avec l'addition et la multiplication, au sens où
Division euclidienne
[modifier | modifier le wikicode]On note .
Soit . Il existe un unique couple , tel que et .
L'entier (resp. ) est appelé le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de par .
Deux entiers et vérifient ces deux conditions si et seulement si , et .
L'entier est donc uniquement déterminé en fonction de , qui doit vérifier , c'est-à-dire . Un tel entier (donc un tel couple ) est évidemment unique, et existe car est non vide (il contient 0) et majoré (par ).
- Remarque
- On a alors : . En particulier, . On résume ce fait en disant que l'ordre sur est archimédien.
On définit sur une relation binaire, la divisibilité par . Dans ce cas, on dit que divise ou que est un multiple de . C'est une relation d'ordre. L'élément minimal est et maximal est . On appelle nombre premier tout entier naturel admettant exactement deux diviseurs : et lui-même.
Récurrences
[modifier | modifier le wikicode]On déduit immédiatement du cinquième axiome de Peano (voir supra), et de l'expression de sous la forme :
Si est une propriété telle que :
- est vraie — c'est l'initialisation de la récurrence,
- — c'est l'hérédité,
alors est vrai.
En appliquant ce théorème à , on obtient :
En appliquant le théorème à , que l'on écrit moins formellement , on obtient un autre corollaire :
Soit une propriété telle que :
- est vraie — c'est l'initialisation de la récurrence ;
- — c'est l'hérédité.
Alors est vrai.
Par contraposition, on déduit du corollaire précédent ou, directement, du cinquième axiome de Peano :
Soit une propriété telle que :
- (où est le symbole de négation).
Alors est vrai.