Corps (mathématiques)/Définitions
Corps
[modifier | modifier le wikicode]Rappelons qu'un anneau A est non nul si et seulement, dans cet anneau,
Reprenons la définition d'un corps donnée dans la leçon Anneau (mathématiques)/Définitions.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse (pour la loi multiplicative de l'anneau), c'est-à-dire que pour tout élément de , il existe un élément de tel que .
Un corps a donc toujours au moins deux éléments.
Puisque l'élément 0 d'un anneau est absorbant pour la multiplication et que , l'élément 0 n'a pas d'inverse. Toujours parce que l'élément 0 est absorbant, l'inverse d'un élément non nul est forcément non nul.
Un corps est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :
- est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté ;
- est un groupe abélien (son neutre est noté ) ;
- est distributive par rapport à .
Un corps commutatif est un corps qui est commutatif en tant qu'anneau, c'est-à-dire que sa loi multiplicative est commutative.
Un corps (commutatif) est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :
- est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté ;
- est également un groupe abélien (son neutre est noté ) ;
- est distributive par rapport à .
Pour certains auteurs, un corps est nécessairement commutatif. Pour désigner un corps non forcément commutatif, ils disent corps gauche ou anneau à division. On adopte ici la terminologie de Bourbaki[1] et de S. Lang[2].
L'exemple le plus célèbre de corps non commutatif est celui des quaternions.
Les ensembles de nombres suivants sont des corps, lorsqu'on les munit de leurs opérations usuelles + et × :
- les rationnels ;
- les réels ;
- les nombres complexes .
Morphisme
[modifier | modifier le wikicode]Un morphisme d'anneaux d’un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d’un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.
Sous-corps
[modifier | modifier le wikicode]Soient un corps et une partie de . Les conditions suivantes sont équivalentes :
- P est une partie stable (pour + et ) de et muni des lois induites par celles de est lui-même un corps ;
- est un sous-anneau de et
- est un sous-groupe de et muni de la loi est un sous-groupe du groupe multiplicatif .
Soit un groupe et une partie non vide de stable pour . Si est un groupe alors c’est un sous-groupe de .
Puisque est un groupe alors il admet un élément neutre noté . On a évidemment . Puisque est un élément de , il est inversible dans d'inverse .
On peut donc écrire .
Par associativité de , on a soit d'où
est un groupe donc tout élément admet un inverse tel que , donc est l"inverse de dans , or cet inverse est unique donc
Pour conclure , l'élément neutre de appartient à et l’inverse de tout élément de est dans , donc est bien un sous-groupe de .
Démontrons enfin la proposition.
On sait que est une partie non vide de , stable pour . De plus est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque est un corps donc est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de et donc et .
- De même est une partie non vide de , stable pour . De plus est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque est un corps donc est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de et donc et .
- Ainsi est stable pour les lois et , contient et et est stable par passage au symétrique, donc est un sous-anneau de
est un sous-anneau de donc est un sous-groupe additif de .
- Puisque est un sous-anneau de , est une loi de composition interne, associative admettant comme élément neutre, de plus si alors donc est un sous-groupe de .
étant un sous-groupe il est donc non vide de plus est une loi de composition interne donc est stable pour .
- De même étant un sous-groupe est une loi de composition interne, donc si alors . De même si alors donc est stable pour .
- Puisque et sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois.
- Puisque est abélien, la loi est commutative. Et puisque est un corps commutatif, est aussi abélien donc la loi est commutative.
- Puisque est un corps, la loi est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans .
- étant un sous-groupe d'élément neutre , est non nul.
- Donc est un corps.
Toute partie d’un corps vérifiant les conditions de la proposition précédente est appelé sous-corps de .
Soit où les sont des sous-corps de .
Chaque est donc un sous-groupe de et chaque est un sous-groupe de .
Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc est un sous-groupe de et est un sous-groupe de .
Donc d’après la proposition précédente est un sous-corps de .
Soit un corps. Soit une partie de . L'ensemble des sous-corps de qui contiennent est non vide, et possède, au sens de l'inclusion, un plus petit élément.
est non vide car il contient . Posons alors . Donc est inclus dans tout sous-corps de contenant .
donc .
D'après la propriété précédente est un sous-corps.
Le plus petit sous-corps d’un corps contenant la partie est appelée sous-corps de engendré par .
Corps des fractions
[modifier | modifier le wikicode]Soit un anneau (commutatif) intègre.
Soit . On munit :
- d’une loi interne définie par : ;
- d’une loi interne définie par : ;
- d’une relation d'équivalence définie par :
Alors muni des deux lois induites est un corps.
- Montrons que est bien une relation d'équivalence.
- est bien symétrique.
- est évidement réflexive.
- est transitive. En effet soit et . On a donc et . Calculons en utilisant la commutativité et l'associativité dans de la multiplication.. Enfin étant non nul on a . En effet, puisque alors , soit par distributivité, et puisque l'anneau est intègre et que alors et donc .
- Comme est intègre, , les deux lois sont donc bien internes.
- Montrons que les deux lois sont bien commutatives, associatives et possèdent un élément neutre.
- On a puisque est un anneau commutatif.
- De même .
- L'associativité de sur découle de l'associativité de sur .
- Soit . On a du fait de l'associativité, commutativité et distributivité des deux opérations sur .
- On a donc est élément neutre pour l’addition sur .
- De même donc est élément neutre pour la multiplication sur .
- Montrons que est compatible avec l'addition.
- Soit et , on a donc . De plus et .
- Enfin, donc .
- Montrons que est compatible avec la multiplication.
- On a et .
- D'où et donc .
- On a donc muni de deux lois internes, commutatives, associatives et possédant un élément neutre.
- Pour affirmer que est un anneau commutatif, il reste à montrer que la deuxième loi est distributive par rapport à la première.
- Soit trois classes de .
- On a .
- De même .
- Or donc .
- Enfin, cet anneau est un corps car si , c'est-à-dire si , alors et .
Le corps ainsi défini est appelé corps des fractions de et noté ou .
Un élément est noté .
- L'application est un morphisme injectif d'anneaux, qui permet d'identifier canoniquement à un sous-anneau de .
- Le sous-corps de engendré par ce sous-anneau est tout entier.
- est donc le « plus petit corps contenant », c'est-à-dire que pour tout corps et tout morphisme injectif d'anneaux , il existe un unique morphisme de corps tel que .
Caractéristique
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est clairement un morphisme d'anneaux. Il est unique car on doit avoir et tout morphisme de groupes de dans est entièrement déterminé par l'image du générateur .
Pour un anneau intègre (en particulier pour un corps), l'unique morphisme d'anneaux est :
- ou bien injectif ; dans ce cas est dit de caractéristique nulle. L'injection se prolonge en un morphisme de corps ;
- ou bien de noyau avec premier ; dans ce cas, est dit de caractéristique p. L'application induit une injection .
Le noyau de est un idéal de donc de la forme pour un certain . L'isomorphisme de sur canoniquement induit par est un plongement de dans .
- Si alors le morphisme est injectif donc s'étend à , par propriété universelle de .
- Si alors est premier car est intègre (comme sous-anneau de ).
Notes et références
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