Série numérique/Produit de Cauchy

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Définition

Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ est la série de terme général

$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$.

Début d’un théorème

Théorème de Mertens

Lorsque $\sum a_n$ est absolument convergente et $\sum b_n$ est convergente, leur produit de Cauchy $\sum c_n$ est une série convergente, et l'on a

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n=\left(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j\right)$.

Fin du théorème

'Démonstration'

On suppose que

$A_n:=\sum _{0\le i\le n}{a}_i\to A\text{et}{B}_n:=\sum _{0\le j\le n}{b}_j\to B$.

On a

$C_n:=\sum _{k\le n}(a\ast b{)}_k=\sum _{i+j\le n}{a}_i(B_j-B_{j-1})=\sum _{i+j=n}{a}_i{B}_j$.

Soit $\epsilon >0$. Pour $N_1$ et $N_2$ assez grands,

$\mathrm{\forall }j\ge N_1|B_j-B|\le \epsilon \text{puis}\mathrm{\forall }i>N_2|a_i|\le \epsilon /N_1.$

On en déduit, en notant $M$ un majorant de $\sum |a_i|$ et de tous les $|B_j-B|$ :

$\mathrm{\forall }n\ge N_1+N_2|C_n-A_{n}B|=|\sum _{i=0}^n{a}_i(B_{n-i}-B)|\le \sum _{0\le i\le n-N_1}|a_i|\epsilon +\sum _{n-N_1<i\le n}|a_i|M\le 2M\epsilon$.

 

Remarque

Réciproquement, si $\sum c_n$ converge pour toute série convergente $\sum b_n$, alors $\sum |a_n|$ converge : cf. cet exercice (de niveau 16 ou 17).

Début de l'exemple

Exemple

Faites ces exercices : $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}$.

Faites ces exercices : $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$.

Soient $a_n:=\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^2}$, $b_n:=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$ et $c_n:=(a\ast b{)}_n=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n\frac{1}{(k+1{)}^2(n-k+1)}$.

Alors, $\sum c_n$ est convergente (non absolument) et $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n=\frac{{\pi }^2}{12}\times \ln 2$.

Fin de l'exemple

Corollaire

Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.

Début de l'exemple

Exemples

Voir les cours sur : Série exponentielle et Série géométrique.

• Soient $a_n:=\frac{x^n}{n!}$, $b_n:=\frac{y^n}{n!}$ et

  $c_n:=(a\ast b{)}_n=\sum _{k=0}^n\frac{x^k{y}^{n-k}}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}=\frac{(x+y{)}^n}{n!}$.

  Alors, $\sum c_n$ est absolument convergente et ${\mathrm{e}}^{x+y}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y$.

• Soient $a_n:=\frac{x^n}{n!}$, $b_n:=\frac{(-1{)}^n}{2^n}$ et $c_n:=(a\ast b{)}_n=\sum _{k=0}^n\frac{x^k(-1{)}^{n-k}}{k!2^{n-k}}$.

  Alors, $\sum c_n$ est absolument convergente et $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n={\mathrm{e}}^x\times \frac{1}{1-\frac{-1}{2}}=\frac{2{\mathrm{e}}^x}{3}$.

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

Si les trois séries $\sum a_n$, $\sum b_n$ et $\sum c_n$ (leur produit de Cauchy) sont convergentes, alors

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n=\left(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j\right)$.

Fin du théorème

'Démonstration'

La suite $(a_n)$ est bornée donc la série entière $f(x):=\sum a_n{x}^n$ est définie non seulement pour $x=1$ (par hypothèse) mais aussi pour $x\in [0,1[$ (avec convergence absolue). De plus, d'après le théorème de convergence radiale d'Abel, $f$ est continue sur $[0,1]$.

De même pour $g(x):=\sum b_n{x}^n$ et $h(x):=\sum c_n{x}^n$.

Or d'après le théorème de Mertens « faible » (le cas particulier du produit de deux séries absolument convergentes),

$\mathrm{\forall }x\in [0,1[h(x)=f(x)g(x)$

donc (par continuité)

$h(1)=f(1)g(1)$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Reprenons le premier exemple ci-dessus. Une autre façon de le traiter est de prouver d'abord la convergence de $\sum c_n$ par le test de convergence pour les séries alternées. On peut en effet démontrer que $|c_n|\sim \frac{{\pi }^2}{6n}$ et $|c_n|-|c_{n+1}|\sim \frac{{\pi }^2}{6n^2}>0$, donc la suite $(|c_n|)$ est bien décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.

Une fois cette convergence démontrée, la valeur $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n=\frac{{\pi }^2}{12}\times \ln 2$ se déduit du théorème ci-dessus.

Fin de l'exemple