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Théorie des groupes/Groupes monogènes, ordre d'un élément

Leçons de niveau 15
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Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Chapitre no 6
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Chap. suiv. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Exercices :

Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Groupes monogènes

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Nous avons vu qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Nous avons vu aussi que Z est monogène et que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l’ensemble des éléments de G de la forme , n parcourant .

Si a est un générateur d'un groupe monogène G, tout élément de G est de la forme , avec . Il en résulte que tout groupe monogène est commutatif.


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Ordre d'un élément

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Remarques. 1° Nous avons vu que le sous-groupe de G engendré par g est l’ensemble des éléments de G de la forme gn, n parcourant les entiers rationnels. Il en résulte clairement que le sous-groupe de G engendré par g-1 est égal au sous-groupe de G engendré par g. Donc g et g-1 ont le même ordre.
2° Soient G un groupe, g un élément de G et H un sous-groupe de G comprenant g. Le sous-groupe de H engendré par g est égal au sous-groupe de G engendré par g, donc l'ordre de g dans H est égal à l'ordre de g dans G.
3° Un élément d'ordre 2 est souvent appelé une involution. Dans un groupe G de permutations d'un ensemble X, les involutions sont les permutations non identiques de X appartenant à G qui sont leur propre réciproque. Attention : on définit une permutation involutive comme une permutation qui est sa propre réciproque, même si cette permutation est la permutation identique. Les permutations involutives d'un ensemble X ne se réduisent donc pas aux involutions (éléments d'ordre 2) du groupe des permutations de X.


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Groupes simples commutatifs

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Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Dans la proposition qui précède, l'expression « groupe cyclique d'ordre premier » est redondante, comme le montre la proposition suivante :

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques.

  1. Le théorème précédent et le théorème de Jordan-Hölder (qui sera démontré plus loin mais ne dépend d'aucun des théorèmes non triviaux sur la divisibilité dans N ou Z) permettent de prouver le théorème fondamental de l'arithmétique (existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers). Ce sera fait dans les exercices sur le théorème de Jordan-Hölder. En revanche, cette méthode ne prouve pas le théorème de Bachet-Bézout.
  2. Les groupes alternés nous fourniront des exemples de groupes simples finis non commutatifs. Dans les exercices sur les groupes alternés, nous rencontrerons un groupe simple infini (non commutatif d’après le précédent théorème).