Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif

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Dans tout ce chapitre, les anneaux $A$ et $B$ sont supposés commutatifs. Rappelons qu'un idéal de $A$ est alors une partie $I$ de $A$ telle que :

• $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $AI\subset I$ (ce qui implique $AI=I$).

Image réciproque par un morphisme

Propriété

Soit $\phi :A\to B$ un morphisme d'anneaux. Le noyau de $\phi$ est un idéal de $A$. Plus généralement, toute image réciproque par $\phi$ d'un idéal de $B$ est un idéal de $A$.

Démonstration

Soit $J$ un idéal de $B$, alors :

• $\phi ^{-1}(J)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ (comme image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes) ;
• $\forall x\in \phi ^{-1}(J)\quad \forall a\in A\quad \phi (ax)=\phi (a)\phi (x)\in AJ\subset J$ donc $ax\in \phi ^{-1}(J)$.

 

Idéal engendré

L'intersection d'une famille vide n'est pas définie en général mais par convention (locale à ce contexte), l'intersection d'une famille vide de parties de $A$ est $A$.

Intersection d'idéaux

Toute intersection d'une famille d'idéaux de $A$ est un idéal de $A$.

Démonstration

Soit $(J_{i})_{i\in I}$ une telle famille. Son intersection $J$ est un sous-groupe de $(A,+)$ (comme intersection de sous-groupes) et $AJ=A\ \bigcap _{i\in I}J_{i}\subset \bigcap _{i\in I}\left(AJ_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}J_{i}=J$.

 

Cette propriété est l'ingrédient de l'une des deux définitions (clairement équivalentes) de l'idéal engendré par une partie :

Définition

Soit $X$ une partie de $A$. On appelle idéal engendré par $X$, et l'on note $(X)$ :

• l'intersection de tous les idéaux de $A$ contenant $X$,

ou encore :

• l'ensemble des combinaisons linéaires, à coefficients dans $A$, d'éléments de $X$.

C'est donc le plus petit idéal de $A$ contenant $X$.

Début de l'exemple

Exemples

• On appelle idéal principal tout idéal engendré par un singleton.
  Soit $a\in A$. L'idéal $(\{a\})$, que l’on note simplement $(a)$ est égal à $Aa:=\{xa\mid x\in A\}$.
• Soient B un anneau intègre, b un élément non inversible de B, et A = B[X] (l'anneau des polynômes à coefficients dans B). Dans A, l'idéal (X, b) n'est pas principal (voir cet exercice).

Fin de l'exemple

Somme d'idéaux

Définition

La somme d'une famille $(I_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ d'idéaux de $A$, notée $\sum _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }$, est l'idéal engendré par la réunion $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }$. C'est donc l'ensemble des sommes finies d'éléments de cette réunion.

L'idéal engendré par une partie $X$ est donc égal à la somme $\sum _{x\in X}(x)$ des idéaux principaux engendrés par chaque élément de $X$.

Divisibilité dans un anneau intègre

On suppose dans cette section que l'anneau $A$ est commutatif et que $a,b\in A$.

Définition

On dit que :

• $a$ divise $b$, et l'on note $a\mid b$, si $b\in (a)$, ou encore, si $(b)\subset (a)$ ;
• $a$ et $b$ sont associés si $a\mid b$ et $b\mid a$, ou encore, si $(b)=(a)$

La relation « divise » est donc un préordre et la relation d'association est la relation d'équivalence liée à ce préordre.

Propriété

Si l'anneau $A$ est intègre alors

$a$ et $b$ sont associés (si et) seulement s'il existe dans $A$ un élément inversible $u$ tel que $b=ua$.

Faites ces exercices : un contre-exemple dans le cas non intègre.

Démonstration

Si $b=ua$ avec $u$ inversible alors $b\in (a)$ et $a=u^{-1}b\in (b)$ donc $a$ et $b$ sont associés.

Réciproquement, supposons qu'il existe $u,v\in A$ tels que $b=ua$ et $a=vb$. On en déduit que $a=vua$ donc si $a\neq 0$ alors $1=vu$ et $u$ est inversible. Si $a=0$, on a $b=u0=0=1a$.