Leçons de niveau 15

Série numérique/Convergence absolue

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Convergence absolue
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Chapitre no 4
Leçon : Série numérique
Chap. préc. :Séries à termes positifs
Chap. suiv. :Propriétés
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Série numérique/Convergence absolue
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Critère de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Le critère de convergence suivant est un corollaire immédiat du théorème correspondant sur les suites de Cauchy.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Séries absolument convergentes[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


La démonstration est immédiate en utilisant (l'inégalité triangulaire et) le critère de Cauchy. On montre même que la convergence est inconditionnelle, c'est-à-dire conservée par permutation des termes.

Panneau d’avertissement

La réciproque est fausse : par exemple, la « série harmonique alternée » et la série sont semi-convergentes : voir les exercices sur les séries et , la série et la série .

Séries semi-convergentes[modifier | modifier le wikicode]

Contrairement aux séries absolument convergentes, une série semi-convergente peut avoir n'importe quelle somme lorsqu'on modifie l'ordre de ses termes. Plus précisément :

Début d’un théorème
Fin du théorème