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Exercice : Intégrales impropres
Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient .
Nature de :
- , ?
- ?
- et ? ?
- ?
- ?
- ?
- et ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- et ?
Solution
- et sont continues positives sur et équivalentes en , or , donc .
et donc diverge à la fois en et en (et vaut puisque l'intégrande est sur ).
- L'intégrande est positif, continu sur et majoré par donc l'intégrale est (absolument) convergente, d'après l'exemple de Riemann du cours.
Remarque : une autre façon de montrer que cette intégrale converge est de la transformer, par le changement de variable , en une intégrale non impropre, que l'on peut même calculer : cf. Changement de variable en calcul intégral, exercice 3-3-b.
-
- En , donc l'intégrale converge (absolument) si et seulement si , comme l'intégrale de Riemann. En , elle converge toujours (absolument) car (par croissances comparées) .
Remarquons qu'en fait, où désigne la fonction Gamma. En particulier pour tout entier , .
- .
- Notons . Alors converge si et seulement si les intégrales et sont convergentes.
Comme , la convergence de équivaut à celle de .
- Si , donc est bornée sur , d'où la convergence de .
- Si , donc il existe tel que pour tout , , d'où la divergence de .
- Si , donc converge si et seulement si .
- Conclusion pour : cette intégrale converge si et seulement si ou ( et ).
Quant à l'intégrale , sa convergence est équivalente à celle de
(par le changement de variable ).
D'après ce qui précède, cette intégrale converge si et seulement si :
ou bien , ou bien ( et ).
Conclusion pour : cette intégrale converge si et seulement si
ou ( et ).
Finalement, converge si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :
- et
- , et
- , et .
- L'intégrande est positif et continu sur . L'intégrale converge en si et seulement si ( et ) ou ( et ), et converge en si et seulement si ( et ) ou ( et ). Donc l'intégrale converge (des deux côtés) si et seulement si ou .
- L'intégrande est continu sur et donc l'intégrale est absolument convergente, d'après l'exemple de Riemann.
- Par changement de variable et équivalent, l'intégrale en est de même nature que celle de en donc divergente, d'après l'exemple de Riemann du cours.
-
- En , par équivalent, l'intégrale est de même nature que celle de donc d'après l'exemple de Riemann du cours, elle converge (absolument) si et seulement si , c'est-à-dire (elle n'est même pas impropre si ).
- Remarquons d'abord que pour tout , (par une étude de variations très simple). En , l'intégrande est équivalent à . Donc l'intégrale converge si et seulement si (pour elle est même faussement impropre).
- L'intégrande est équivalent à en et à en . L'intégrale est donc convergente (absolument) si et seulement si et sont strictement inférieurs à , c'est-à-dire et .
- car . Par conséquent :
- l'intégrale est faussement impropre en 0.
- car quand , . Puisque , l'intégrale converge donc aussi en .
- Soit . Quand , donc . Par conséquent, l'intégrale n'est impropre qu'en .
Elle converge (absolument) si et seulement si , c'est-à-dire . En effet :
- si avec alors , intégrable en (intégrale de Riemann) ;
- si alors .
- En , l'intégrande tend vers mais en , il est donc non intégrable.
- En , l'intégrande est équivalent à donc non intégrable.
- En ,
- est équivalent à donc intégrable si et seulement si ;
- est équivalent à donc intégrable si et seulement si .
Nature de :
- et ?
- ?
- ?
- , si ?
Solution
- L'intégrale de converge :
- en si et seulement si ou (voir l'exemple des intégrales de Bertrand dans le cours) ;
- en si et seulement si ou (voir encore l'exemple des intégrales de Bertrand dans le cours) ;
- en si et seulement si , puisque (et d'après l'exemple de Riemann du cours).
- Par conséquent, la première intégrale converge si et seulement si et et la seconde converge si et seulement si .
- En , l'intégrale est faussement impropre (l'intégrande tend vers ).
En , par équivalents, l'intégrale converge (absolument) si et seulement si , c'est-à-dire .
- En , l'intégrale est faussement impropre (par équivalents, l'intégrande tend vers ).
En , par équivalents, l'intégrale converge (absolument) si et seulement si , c'est-à-dire (elle est même faussement impropre si ).
- En , si , donc l'intégrale converge si et seulement si . (En , donc l'intégrale est absolument convergente.)
Nature de et de ?
Solution
En , par équivalents, la première intégrale converge (absolument) si et seulement si et la seconde si et seulement si .
En , pour chacune des deux intégrales, on a :
- convergence absolue si et seulement si . En effet, cette condition évidemment suffisante est également nécessaire car si , (par comparaison avec la série harmonique) donc aussi (par changement de variable et équivalent) .
- convergence simple si et seulement si . En effet, cette condition est non seulement nécessaire (car si alors et , minorées par , ne tendent pas vers 0) mais aussi suffisante, d'après l'application de la règle d'Abel vue en cours.
En résumé :
- la première intégrale converge lorsque et sa convergence n'est jamais absolue ;
- la seconde converge lorsque mais sa convergence n'est absolue que si .
Nature de :
- ?
- ?
- ?
- et ?
- ?
- ?
- , et ?
- ?
- ?
Solution
- Par changement de variable, cette intégrale est absolument convergente, comme celle de en .
- Par changement de variable, cette intégrale est absolument convergente, comme celle (faussement impropre) de en .
- Par changement de variable, cette intégrale est semi-convergente, comme celle de en .
-
- Supposons (sinon, l'intégrale diverge évidemment). Par changement de variable, l'intégrale est de même nature que avec .
Elle est donc convergente si et seulement si c'est-à-dire , et sa convergence n'est jamais absolue.
- converge (absolument) car et .
- En , l'intégrale est faussement impropre (l'intégrande tend vers ).
En , elle diverge, puisque et , dont l'intégrale est divergente.
- L'intégrande est continu sur (et même sur ). En , donc l'intégrale est semi-convergente, comme somme d'une intégrale semi-convergente et d'une intégrale absolument convergente.
- En , la fonction (positive) est intégrable si et seulement si , c'est-à-dire .
En , l'intégrale converge si (car ) et diverge si (car ).
Finalement, converge si et seulement si .
Par changement de variable , .
Par changement de variable , , semi-convergente.
- En , donc l'intégrale est faussement impropre. En , , donc même conclusion que dans la question 6.
- En , donc même conclusion que pour l'intégrale précédente.
Soient une fonction localement intégrable, et . On suppose que . Est-il vrai que sous cette hypothèse :
- Si l'intégrale converge alors ?
- Si est positive alors l'intégrale converge ?
- Si est positive alors l'intégrale converge ?
- Si est positive alors ?
- Si admet en une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale converge ?
- Si est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale converge ?
Solution
- Vrai car si alors .
- Vrai car (où désigne la partie entière de )
donc quand .
- Faux. On peut même construire un contre-exemple où, de plus, la fonction positive est continue et non bornée :
- pour n'importe quelle fonction continue non nulle , nulle en et (par construction, , avec ).
- Faux, d'après les deux points précédents (c'est pourquoi la notion de divergence grossière n'existe pas pour les intégrales).
- Vrai :
- Montrons d'abord que cette limite est forcément . Pour tout entier naturel , puisque , on a : . Par passage à la limite, on en déduit : .
- Sachant maintenant que , montrons que l'intégrale converge.
donc quand .
- Faux. Exemple : ().
En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que
- avec ,
calculer :
- ;
- ;
- .
Pour quelle valeur de l'intégrale
est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.
Rappel : une primitive de est .
Solution
La primitive nulle en 0 de l'intégrande est
- .
Or
et
- .
Par conséquent,
et la limite de en est donc finie si et seulement si , et vaut alors .
Montrer la convergence et calculer :
- , , et ;
- et ;
- et ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ou plus généralement, avec et ;
- et () ;
- ;
- et () ;
- .
- pour et ;
- et ;
- pour et pour ;
- .
Solution
- ,
,
et
, ce qui se réécrit
et donc (par récurrence) (il s'agit en fait de l'intégrale de Wallis . Pour une autre méthode, voir Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-2) ;
- donc .
Le changement de variable permettait d'ailleurs de prévoir que ces deux intégrales sont égales.
- et ;
- La décomposition en éléments simples de l'intégrande est .
Une primitive sur est donc : .
Puisque , l'intégrale converge et .
- Raisonnement analogue, avec (détail du calcul dans cette leçon), (sur ) et .
- Raisonnement analogue, avec (détail du calcul dans cet exercice), (sur ) et .
- Raisonnement analogue, avec (détail du calcul dans cet exercice), (sur , et ) et .
- Par double intégration par parties, .
- Par changement de variable , (ce qui prouve « à la volée » la convergence).
- Par équivalents, l'intégrale converge en 0 car . Par changement de variable , l'intégrale est l'opposée de (donc, comme elle, convergente), si bien que est convergente et nulle.
- L'intégrande (positif et continu sur ) est majoré par (intégrable sur ) donc l'intégrale converge. Par changement de variable , donc (ce qui, pour , était prévisible au vu de la question précédente, par dérivation par rapport au paramètre).
- Par changement de variable , , avec , continue sur . Puisque , l'intégrale est donc convergente et vaut .
- La première intégrale converge en comme celle de .
- Cas général : . L'intégrande s'écrit alors donc admet pour primitive .
- .
- Cas particulier : . Par changement de variable puis ,
- (ce qui était prévisible au vu du cas général, en faisant tendre vers et en intervertissant limite et intégrale).
- Autre méthode (traitant simultanément des deux cas) : pour et , on trouve et l'on en déduit .
- Seconde intégrale : .
- La fonction est continue. En , elle est équivalente à donc positive et intégrable. Comme elle est impaire, elle est donc (absolument) intégrable sur et d'intégrale nulle.
- donc l'intégrale converge et vaut .
.
- et .
- (cf. Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 4#Exercice 7-3) donc
- si , ;
- si ,
- .
Soit .
- Signification physique pour un toboggan ?
- Convergence et calcul pour une planche ?
- Et pour ?
Solution
- est la durée de descente de l'altitude à l'altitude .
En effet, si l'on note l'abscisse curviligne à l'instant d'un mobile parti (à vitesse nulle) d'un point d'altitude à l'instant 0 et glissant sur le toboggan :
- son énergie cinétique est (où est sa masse) et
- son énergie potentielle est .
- Par conservation de l'énergie mécanique, , d'où
, or par ailleurs, .
- Si alors .
- Si alors (par changement de variable )
.
Il s'agit, comme le périmètre de l'ellipse, d'une intégrale elliptique donc non calculable explicitement.
Soit une fonction continue telle que converge et soient .
Pour tout , on pose :
- .
- Montrer que .
- Montrer que si une fonction est continue et nulle en , alors .
- Déduire des deux questions précédentes que
.
- Application : montrer que .
Solution
- .
- Posons, pour tout , . Alors, . Or (en supposant, sans perte de généralité, )
. Par conséquent, .
- Soit . Alors, donc d'après la question précédente, .
- vérifie les hypothèses. Signalons qu'il existe dans ce cas particulier une autre méthode (par dérivation d'une intégrale à paramètre), qui ne s'étend qu'au cas où est dérivable et nulle à l'infini.
Nature de ?
Soit une fonction uniformément continue sur et telle que converge. Montrer que .
Calculer et .
Solution
- .
- (cf. Fonction Gamma) donc en divisant par , .
Pour et , on pose :
- .
- À l'aide d'une intégration par parties, trouver une relation entre et .
- Montrer par ailleurs que .
- Pour fixé, déduire de ces deux questions un équivalent de quand .
- Pour fixé, quand , montrer que a un développement asymptotique d'ordre de la forme . On déterminera les .