En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Intégrales impropres
Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
.
Nature de :
,
?
?
et
?
?
?
?
?
et
?
?
?
?
?
?
et
?
Solution
et
sont continues positives sur
et équivalentes en
, or
, donc
.
et
donc
diverge à la fois en
et en
(et vaut
puisque l'intégrande est
sur
).
- L'intégrande est positif, continu sur
et majoré par
donc l'intégrale est (absolument) convergente, d'après l'exemple de Riemann du cours.
Remarque : une autre façon de montrer que cette intégrale converge est de la transformer, par le changement de variable
, en une intégrale non impropre, que l'on peut même calculer : cf. Changement de variable en calcul intégral, exercice 3-3-b.
-
- En
,
donc l'intégrale converge (absolument) si et seulement si
, comme l'intégrale de Riemann. En
, elle converge toujours (absolument) car (par croissances comparées)
.
Remarquons qu'en fait,
où
désigne la fonction Gamma. En particulier pour tout entier
,
.
.
- Notons
. Alors
converge si et seulement si les intégrales
et
sont convergentes.
Comme
, la convergence de
équivaut à celle de
.
- Si
,
donc
est bornée sur
, d'où la convergence de
.
- Si
,
donc il existe
tel que pour tout
,
, d'où la divergence de
.
- Si
,
donc
converge si et seulement si
.
- Conclusion pour
: cette intégrale converge si et seulement si
ou (
et
).
Quant à l'intégrale
, sa convergence est équivalente à celle de
(par le changement de variable
).
D'après ce qui précède, cette intégrale converge si et seulement si :
ou bien
, ou bien (
et
).
Conclusion pour
: cette intégrale converge si et seulement si
ou (
et
).
Finalement,
converge si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :
et ![{\displaystyle \beta <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ba26339e6e99cc538e0ec31f1b6a6c438440ae)
,
et ![{\displaystyle \alpha <-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c1763a421816dbdfc76597bcd82cd0d25bb6d)
,
et
.
- L'intégrande est positif et continu sur
. L'intégrale converge en
si et seulement si (
et
) ou (
et
), et converge en
si et seulement si (
et
) ou (
et
). Donc l'intégrale converge (des deux côtés) si et seulement si
ou
.
- L'intégrande est continu sur
et
donc l'intégrale est absolument convergente, d'après l'exemple de Riemann.
- Par changement de variable et équivalent, l'intégrale en
est de même nature que celle de
en
donc divergente, d'après l'exemple de Riemann du cours.
-
- En
, par équivalent, l'intégrale est de même nature que celle de
donc d'après l'exemple de Riemann du cours, elle converge (absolument) si et seulement si
, c'est-à-dire
(elle n'est même pas impropre si
).
- Remarquons d'abord que pour tout
,
(par une étude de variations très simple). En
, l'intégrande est équivalent à
. Donc l'intégrale converge si et seulement si
(pour
elle est même faussement impropre).
- L'intégrande est équivalent à
en
et à
en
. L'intégrale est donc convergente (absolument) si et seulement si
et
sont strictement inférieurs à
, c'est-à-dire
et
.
car
. Par conséquent :
- l'intégrale est faussement impropre en 0.
car quand
,
. Puisque
, l'intégrale converge donc aussi en
.
- Soit
. Quand
,
donc
. Par conséquent, l'intégrale n'est impropre qu'en
.
Elle converge (absolument) si et seulement si
, c'est-à-dire
. En effet :
- si
avec
alors
, intégrable en
(intégrale de Riemann) ;
- si
alors
.
- En
, l'intégrande tend vers
mais en
, il est
donc non intégrable.
- En
, l'intégrande est équivalent à
donc non intégrable.
- En
,
est équivalent à
donc intégrable si et seulement si
;
est équivalent à
donc intégrable si et seulement si
.
Nature de :
et
?
?
?
, si
?
Solution
- L'intégrale de
converge :
- en
si et seulement si
ou
(voir l'exemple des intégrales de Bertrand dans le cours) ;
- en
si et seulement si
ou
(voir encore l'exemple des intégrales de Bertrand dans le cours) ;
- en
si et seulement si
, puisque
(et d'après l'exemple de Riemann du cours).
- Par conséquent, la première intégrale converge si et seulement si
et
et la seconde converge si et seulement si
.
- En
, l'intégrale est faussement impropre (l'intégrande tend vers
).
En
, par équivalents, l'intégrale converge (absolument) si et seulement si
, c'est-à-dire
.
- En
, l'intégrale est faussement impropre (par équivalents, l'intégrande tend vers
).
En
, par équivalents, l'intégrale converge (absolument) si et seulement si
, c'est-à-dire
(elle est même faussement impropre si
).
- En
, si
,
donc l'intégrale converge si et seulement si
. (En
,
donc l'intégrale est absolument convergente.)
Nature de
et de
?
Solution
En
, par équivalents, la première intégrale converge (absolument) si et seulement si
et la seconde si et seulement si
.
En
, pour chacune des deux intégrales, on a :
- convergence absolue si et seulement si
. En effet, cette condition évidemment suffisante est également nécessaire car si
,
(par comparaison avec la série harmonique) donc aussi (par changement de variable et équivalent)
.
- convergence simple si et seulement si
. En effet, cette condition est non seulement nécessaire (car si
alors
et
, minorées par
, ne tendent pas vers 0) mais aussi suffisante, d'après l'application de la règle d'Abel vue en cours.
En résumé :
- la première intégrale converge lorsque
et sa convergence n'est jamais absolue ;
- la seconde converge lorsque
mais sa convergence n'est absolue que si
.
Nature de :
?
?
?
et
?
?
?
,
et
?
?
?
Solution
- Par changement de variable, cette intégrale est absolument convergente, comme celle de
en
.
- Par changement de variable, cette intégrale est absolument convergente, comme celle (faussement impropre) de
en
.
- Par changement de variable, cette intégrale est semi-convergente, comme celle de
en
.
-
- Supposons
(sinon, l'intégrale diverge évidemment). Par changement de variable, l'intégrale
est de même nature que
avec
.
Elle est donc convergente si et seulement si
c'est-à-dire
, et sa convergence n'est jamais absolue.
converge (absolument) car
et
.
- En
, l'intégrale est faussement impropre (l'intégrande tend vers
).
En
, elle diverge, puisque
et
, dont l'intégrale est divergente.
- L'intégrande est continu sur
(et même sur
). En
,
donc l'intégrale est semi-convergente, comme somme d'une intégrale semi-convergente et d'une intégrale absolument convergente.
- En
, la fonction (positive)
est intégrable si et seulement si
, c'est-à-dire
.
En
, l'intégrale converge si
(car
) et diverge si
(car
).
Finalement,
converge si et seulement si
.
Par changement de variable
,
.
Par changement de variable
,
, semi-convergente.
- En
,
donc l'intégrale est faussement impropre. En
,
, donc même conclusion que dans la question 6.
- En
,
donc même conclusion que pour l'intégrale précédente.
Soient
une fonction localement intégrable, et
. On suppose que
. Est-il vrai que sous cette hypothèse :
- Si l'intégrale
converge alors
?
- Si
est positive alors l'intégrale
converge ?
- Si
est positive alors l'intégrale
converge ?
- Si
est positive alors
?
- Si
admet en
une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale
converge ?
- Si
est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale
converge ?
Solution
- Vrai car si
alors
.
- Vrai car
(où
désigne la partie entière de
)
donc
quand
.
- Faux. On peut même construire un contre-exemple où, de plus, la fonction positive
est continue et non bornée :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}ng(n^{3}(x-n))&{\text{ si }}&n\leq x\leq n+{\frac {1}{n^{3}}}{\text{ pour un }}n\in \mathbb {N} ^{*}\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5f979a3e7db227cff3b6d62c6bff592d321519)
- pour n'importe quelle fonction continue non nulle
, nulle en
et
(par construction,
, avec
).
- Faux, d'après les deux points précédents (c'est pourquoi la notion de divergence grossière n'existe pas pour les intégrales).
- Vrai :
- Montrons d'abord que cette limite
est forcément
. Pour tout entier naturel
, puisque
, on a :
. Par passage à la limite, on en déduit :
.
- Sachant maintenant que
, montrons que l'intégrale converge.
![{\displaystyle \forall A\in \mathbb {R} _{+}\quad \left|\int _{0}^{A}f(x)\,\mathrm {d} x-I_{\lfloor A\rfloor }\right|=\left|\int _{\lfloor A\rfloor }^{A}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{\lfloor A\rfloor }^{A}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x\leq \left(A-\lfloor A\rfloor \right)\sup _{\lfloor A\rfloor \leq x\leq A}\left|f(x)\right|\leq \sup _{x\geq \lfloor A\rfloor }\left|f(x)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4383b02de2e74ffb34d6f7d92be67d3ee0c40b5)
donc
quand
.
- Faux. Exemple :
(
).
En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que
avec
,
calculer :
;
;
.
Pour quelle valeur de
l'intégrale
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}-{\frac {\alpha }{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270fad250abc42e8e9a3db25956fc4d7b37a0b99)
est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.
Rappel : une primitive de
est
.
Solution
La primitive nulle en 0 de l'intégrande est
.
Or
![{\displaystyle \ln \left(x{\sqrt {2}}+{\sqrt {2x^{2}+1}}\right)=\ln \left(2x{\sqrt {2}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2x^{2}}}}}\right)\right)=\ln \left(2x{\sqrt {2}}\right)+\ln \left(1+o(1/x)\right)=\ln x+\ln \left(2{\sqrt {2}}\right)+o(1/x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9b6461765ee02b08ad4ab9cd23c8a838b9f21)
et
.
Par conséquent,
![{\displaystyle F(x)={\frac {\ln x+\ln(2{\sqrt {2}})}{\sqrt {2}}}-\alpha \ln x+O\left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345717aa3da0418c4def6e9879cca052136cc5d7)
et la limite de
en
est donc finie si et seulement si
, et vaut alors
.
Montrer la convergence et calculer :
,
,
et
;
et
;
et
;
;
;
;
;
;
;
ou plus généralement,
avec
et
;
et
(
) ;
;
et
(
) ;
.
pour
et
;
et
;
pour
et
pour
;
.
Solution
,
,
et
, ce qui se réécrit
et donc (par récurrence)
(il s'agit en fait de l'intégrale de Wallis
. Pour une autre méthode, voir Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-2) ;
donc
.
Le changement de variable
permettait d'ailleurs de prévoir que ces deux intégrales sont égales.
et
;
- La décomposition en éléments simples de l'intégrande est
.
Une primitive sur
est donc :
.
Puisque
, l'intégrale converge et
.
- Raisonnement analogue, avec
(détail du calcul dans cette leçon),
(sur
) et
.
- Raisonnement analogue, avec
(détail du calcul dans cet exercice),
(sur
) et
.
- Raisonnement analogue, avec
(détail du calcul dans cet exercice),
(sur
,
et
) et
.
- Par double intégration par parties,
.
- Par changement de variable
,
(ce qui prouve « à la volée » la convergence).
- Par équivalents, l'intégrale converge en 0 car
. Par changement de variable
, l'intégrale
est l'opposée de
(donc, comme elle, convergente), si bien que
est convergente et nulle.
- L'intégrande (positif et continu sur
) est majoré par
(intégrable sur
) donc l'intégrale converge. Par changement de variable
,
donc
(ce qui, pour
, était prévisible au vu de la question précédente, par dérivation par rapport au paramètre).
- Par changement de variable
,
, avec
, continue sur
. Puisque
, l'intégrale est donc convergente et vaut
.
- La première intégrale converge en
comme celle de
.
- Cas général :
. L'intégrande s'écrit alors
donc admet pour primitive
.
.
- Cas particulier :
. Par changement de variable
puis
,
(ce qui était prévisible au vu du cas général, en faisant tendre
vers
et en intervertissant limite et intégrale).
- Autre méthode (traitant simultanément des deux cas) : pour
et
, on trouve
et l'on en déduit
.
- Seconde intégrale :
.
- La fonction
est continue. En
, elle est équivalente à
donc positive et intégrable. Comme elle est impaire, elle est donc (absolument) intégrable sur
et d'intégrale nulle.
donc l'intégrale converge et vaut
.
.
et
.
(cf. Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 4#Exercice 7-3) donc
- si
,
;
- si
, ![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{t^{\alpha }}}\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {t^{1-\alpha }\ln t}{1-\alpha }}-{\frac {t^{1-\alpha }}{(1-\alpha )^{2}}}\right]_{0}^{1}=-{\frac {1}{(1-\alpha )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb1bc5421282f14f05c84ad18681f089fec8317)
.
Soit
.
- Signification physique pour un toboggan
?
- Convergence et calcul pour une planche
?
- Et pour
?
Solution
est la durée de descente de l'altitude
à l'altitude
.
En effet, si l'on note
l'abscisse curviligne à l'instant
d'un mobile parti (à vitesse nulle) d'un point d'altitude
à l'instant 0 et glissant sur le toboggan :
- son énergie cinétique est
(où
est sa masse) et
- son énergie potentielle est
.
- Par conservation de l'énergie mécanique,
, d'où
, or par ailleurs,
.
- Si
alors
.
- Si
alors
(par changement de variable
)
.
Il s'agit, comme le périmètre de l'ellipse, d'une intégrale elliptique donc non calculable explicitement.
Soit
une fonction continue telle que
converge et soient
.
Pour tout
, on pose :
.
- Montrer que
.
- Montrer que si une fonction
est continue et nulle en
, alors
.
- Déduire des deux questions précédentes que
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(at)-f(bt)}{t}}\,\mathrm {d} t=f(0)\ln {\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6e0bf800b3e0b2a6d273f2678ba468544f68f6)
.
- Application : montrer que
.
Solution
.
- Posons, pour tout
,
. Alors,
. Or (en supposant, sans perte de généralité,
)
. Par conséquent,
.
- Soit
. Alors,
donc d'après la question précédente,
.
vérifie les hypothèses. Signalons qu'il existe dans ce cas particulier une autre méthode (par dérivation d'une intégrale à paramètre), qui ne s'étend qu'au cas où
est dérivable et nulle à l'infini.
Nature de
?
Soit
une fonction uniformément continue sur
et telle que
converge. Montrer que
.
Calculer
et
.
Solution
.
(cf. Fonction Gamma) donc en divisant par
,
.
Pour
et
, on pose :
.
- À l'aide d'une intégration par parties, trouver une relation entre
et
.
- Montrer par ailleurs que
.
- Pour
fixé, déduire de ces deux questions un équivalent de
quand
.
- Pour
fixé, quand
, montrer que
a un développement asymptotique d'ordre
de la forme
. On déterminera les
.