Leçons de niveau 14

Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres

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Intégrales impropres
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Exercices no5
Leçon : Intégration de Riemann
Chapitre du cours : Intégrales généralisées

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propriétés de l'intégrale
Exo suiv. :Calcul numérique d'une intégrale
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Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres
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Soient .

Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Nature de :

  1. ,  ?
  2.  ?
  3. et  ?
  4.  ?
  5.  ?
  6.  ?
  7. et  ?
  8.  ?
  9.  ?
  10.  ?
  11.  ?
  12.  ?
  13. et  ?

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Nature de :

  1. et  ?
  2.  ?
  3.  ?
  4. , si  ?

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Nature de et de  ?

Nature de :

  1.  ?
  2.  ?
  3.  ?
  4. et  ?
  5.  ?
  6.  ?
  7. , et  ?
  8.  ?
  9.  ?

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction localement intégrable, et . On suppose que . Est-il vrai que sous cette hypothèse :

  1. Si l'intégrale converge alors  ?
  2. Si est positive alors l'intégrale converge ?
  3. Si est positive alors l'intégrale converge ?
  4. Si est positive alors  ?
  5. Si admet en une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale converge ?
  6. Si est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale converge ?

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

avec ,

calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

Pour quelle valeur de l'intégrale

est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.

Rappel : une primitive de est .

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

Montrer la convergence et calculer :

  1. , , et  ;
  2. et  ;
  3. et  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10. ou plus généralement, avec et  ;
  11. et () ;
  12.  ;
  13. et () ;
  14. .
  15. pour et  ;
  16. et  ;
  17. pour et pour  ;
  18. .

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Signification physique pour un toboggan  ?
  2. Convergence et calcul pour une planche  ?
  3. Et pour  ?

Exercice 5-9[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction continue telle que converge et soient . Pour tout , on pose :

.
  1. Montrer que .
  2. Montrer que si une fonction est continue et nulle en , alors .
  3. Déduire des deux questions précédentes que
    .
  4. Application : montrer que .

Exercice 5-10[modifier | modifier le wikicode]

Nature de  ?

Exercice 5-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction uniformément continue sur et telle que converge. Montrer que .

Exercice 5-12[modifier | modifier le wikicode]

Calculer et .