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Exercice : Calcul numérique d'une intégraleIntégration de Riemann/Exercices/Calcul numérique d'une intégrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
I
=
4
∫
0
1
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle I=4\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}}
. Calculer :
la valeur exacte de
I
{\displaystyle I}
;
pour chacune des trois méthodes du cours, la valeur approchée et un encadrement de l'erreur pour
n
=
10
{\displaystyle n=10}
;
pour chacune des trois méthodes du cours, comment choisir
n
{\displaystyle n}
pour que l'erreur soit majorée par
10
−
4
{\displaystyle 10^{-4}}
.
Solution
I
=
4
arctan
1
=
π
{\displaystyle I=4\arctan 1=\pi }
.
Soit
f
(
t
)
=
4
1
+
t
2
{\displaystyle f(t)={\frac {4}{1+t^{2}}}}
. Alors,
f
′
(
t
)
=
8
t
(
1
+
t
2
)
2
{\displaystyle f'(t)={\frac {8t}{(1+t^{2})^{2}}}}
et
f
″
(
t
)
=
8
(
1
−
3
t
2
)
(
1
+
t
2
)
3
{\displaystyle f''(t)={\frac {8(1-3t^{2})}{(1+t^{2})^{3}}}}
(décroissante sur
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
). Pour
n
=
10
{\displaystyle n=10}
on a donc :
I
rect
=
1
10
∑
i
=
0
9
f
(
i
/
10
)
=
4
10
∑
i
=
0
9
1
1
+
i
2
/
10
2
=
40
(
1
100
+
1
101
+
1
104
+
1
109
+
1
116
+
1
125
+
1
136
+
1
149
+
1
164
+
1
181
)
≈
3
,
24
{\displaystyle I^{\text{rect}}={\frac {1}{10}}\sum _{i=0}^{9}f(i/10)={\frac {4}{10}}\sum _{i=0}^{9}{\frac {1}{1+i^{2}/10^{2}}}=40\left({\frac {1}{100}}+{\frac {1}{101}}+{\frac {1}{104}}+{\frac {1}{109}}+{\frac {1}{116}}+{\frac {1}{125}}+{\frac {1}{136}}+{\frac {1}{149}}+{\frac {1}{164}}+{\frac {1}{181}}\right)\approx 3{,}24}
et
0
≤
I
−
I
rect
≤
1
20
f
′
(
1
/
3
)
=
3
3
40
≈
0
,
13
{\displaystyle 0\leq I-I^{\text{rect}}\leq {\frac {1}{20}}f'(1/{\sqrt {3}})={\frac {3{\sqrt {3}}}{40}}\approx 0{,}13}
;
I
med
=
1
10
∑
i
=
0
9
f
(
2
i
+
1
20
)
=
4
10
∑
k
=
0
9
1
1
+
(
2
i
+
1
)
2
/
20
2
=
160
(
1
401
+
1
409
+
1
425
+
⋯
+
1
761
)
≈
3,142
{\displaystyle I^{\text{med}}={\frac {1}{10}}\sum _{i=0}^{9}f\left({\frac {2i+1}{20}}\right)={\frac {4}{10}}\sum _{k=0}^{9}{\frac {1}{1+(2i+1)^{2}/20^{2}}}=160\left({\frac {1}{401}}+{\frac {1}{409}}+{\frac {1}{425}}+\dots +{\frac {1}{761}}\right)\approx 3{,}142}
et
|
I
−
I
med
|
≤
1
2400
sup
|
f
″
|
(
[
0
,
1
]
)
=
f
″
(
0
)
2400
≈
0,003
{\displaystyle |I-I^{\text{med}}|\leq {\frac {1}{2400}}\sup |f''|([0,1])={\frac {f''(0)}{2400}}\approx 0{,}003}
;
I
trap
=
1
10
(
f
(
0
)
+
f
(
1
)
2
+
∑
i
=
1
9
f
(
i
/
10
)
)
=
20
(
1
100
+
2
101
+
2
104
+
⋯
+
2
181
+
1
200
)
≈
3,139
9
{\displaystyle I^{\text{trap}}={\frac {1}{10}}\left({\frac {f(0)+f(1)}{2}}+\sum _{i=1}^{9}f(i/10)\right)=20\left({\frac {1}{100}}+{\frac {2}{101}}+{\frac {2}{104}}+\dots +{\frac {2}{181}}+{\frac {1}{200}}\right)\approx 3{,}1399}
et
|
I
−
I
trap
|
≤
1
1200
sup
|
f
″
|
(
[
0
,
1
]
)
≈
0,006
{\displaystyle |I-I^{\text{trap}}|\leq {\frac {1}{1200}}\sup |f''|([0,1])\approx 0{,}006}
.
10
−
4
≥
1
2
n
f
′
(
1
/
3
)
=
3
3
4
n
⇔
n
≥
3
3
.10
4
4
≈
12990
,
4
{\displaystyle 10^{-4}\geq {\frac {1}{2n}}f'(1/{\sqrt {3}})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4n}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {3{\sqrt {3}}.10^{4}}{4}}\approx 12990{,}4}
;
10
−
4
≥
1
24
n
2
f
″
(
0
)
⇔
n
≥
100
3
≈
57
,
7
{\displaystyle 10^{-4}\geq {\frac {1}{24n^{2}}}f''(0)\Leftrightarrow n\geq {\frac {100}{\sqrt {3}}}\approx 57{,}7}
;
10
−
4
≥
1
12
n
2
f
″
(
0
)
⇔
n
≥
200
3
≈
115
,
5
{\displaystyle 10^{-4}\geq {\frac {1}{12n^{2}}}f''(0)\Leftrightarrow n\geq {\frac {200}{\sqrt {3}}}\approx 115{,}5}
.
Déterminer une valeur approchée à
10
−
2
{\displaystyle 10^{-2}}
près de
I
:=
∫
0
1
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle I:=\int _{0}^{1}\operatorname {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
en utilisant :
une des trois méthodes du cours ;
un développement de l'intégrande en série entière.
Solution
Soit
f
(
t
)
=
e
−
t
2
{\displaystyle f(t)=\operatorname {e} ^{-t^{2}}}
.
f
′
(
t
)
=
−
2
t
e
−
t
2
{\displaystyle f'(t)=-2t\operatorname {e} ^{-t^{2}}}
et
f
″
(
t
)
=
2
(
2
t
2
−
1
)
e
−
t
2
{\displaystyle f''(t)=2(2t^{2}-1)\operatorname {e} ^{-t^{2}}}
(croissante sur
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
).
10
−
2
≥
1
2
n
max
|
f
′
|
(
[
0
,
1
]
)
=
1
2
n
|
f
′
|
(
1
/
2
)
=
1
2
n
2
e
⇔
n
≥
100
2
e
⇔
n
≥
43
{\displaystyle 10^{-2}\geq {\frac {1}{2n}}\max |f'|([0,1])={\frac {1}{2n}}|f'|(1/{\sqrt {2}})={\frac {1}{2n}}{\sqrt {\frac {2}{\mathrm {e} }}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {100}{\sqrt {2\mathrm {e} }}}\Leftrightarrow n\geq 43}
et une valeur approchée de
I
{\displaystyle I}
à
10
−
2
{\displaystyle 10^{-2}}
près par excès est
I
rect
=
1
43
∑
i
=
0
42
f
(
i
/
43
)
≈
0,754
{\displaystyle I^{\text{rect}}={\frac {1}{43}}\sum _{i=0}^{42}f(i/43)\approx 0{,}754}
;
10
−
2
≥
1
24
n
2
max
|
f
″
|
(
[
0
,
1
]
)
=
|
f
″
(
0
)
|
24
n
2
⇔
n
≥
10
12
≈
2
,
8
{\displaystyle 10^{-2}\geq {\frac {1}{24n^{2}}}\max |f''|([0,1])={\frac {|f''(0)|}{24n^{2}}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {10}{\sqrt {12}}}\approx 2{,}8}
et
I
med
=
1
3
(
f
(
1
/
6
)
+
f
(
1
/
2
)
+
f
(
5
/
6
)
)
≈
0,750
{\displaystyle I^{\text{med}}={\frac {1}{3}}(f(1/6)+f(1/2)+f(5/6))\approx 0{,}750}
;
10
−
2
≥
1
12
n
2
max
|
f
″
|
(
[
0
,
1
]
)
=
|
f
″
(
0
)
|
12
n
2
⇔
n
≥
10
6
≈
4
,
1
{\displaystyle 10^{-2}\geq {\frac {1}{12n^{2}}}\max |f''|([0,1])={\frac {|f''(0)|}{12n^{2}}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {10}{\sqrt {6}}}\approx 4{,}1}
et
I
trap
=
1
5
(
f
(
0
)
+
f
(
1
)
2
+
∑
i
=
1
4
f
(
i
/
5
)
)
≈
0,744
{\displaystyle I^{\text{trap}}={\frac {1}{5}}\left({\frac {f(0)+f(1)}{2}}+\sum _{i=1}^{4}f(i/5)\right)\approx 0{,}744}
.
f
(
t
)
=
∑
n
∈
N
(
−
1
)
n
t
2
n
n
!
{\displaystyle f(t)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}t^{2n}}{n!}}}
donc
I
=
∑
n
∈
N
(
−
1
)
n
n
!
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle I=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}}
.
n
!
(
2
n
+
1
)
≥
100
⇔
n
≥
4
{\displaystyle n!(2n+1)\geq 100\Leftrightarrow n\geq 4}
et une valeur approchée de
I
{\displaystyle I}
à
10
−
2
{\displaystyle 10^{-2}}
près par défaut est
∑
n
=
0
3
(
−
1
)
n
n
!
(
2
n
+
1
)
=
1
−
1
3
+
1
10
−
1
42
≈
0,743
{\displaystyle \sum _{n=0}^{3}{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{42}}\approx 0{,}743}
.