Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 4

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$.

Exercice 7-1

$f(x)=\cos x\ln(1+\cos x)$

Solution

$f$ est définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{(2k+1)\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$, qui est la réunion de tous les intervalles $I_{k}:=\left](2k-1)\pi ,(2k+1)\pi \right[$ pour $k\in \mathbb {Z}$.

Une intégration par parties donne $\int f=[\sin x\ln(1+\cos x)]+\int {\frac {\sin ^{2}}{1+\cos }}$, or ${\frac {\sin ^{2}}{1+\cos }}={\frac {1-\cos ^{2}}{1+\cos }}=1-\cos$.

Une primitive de $f$ sur $I_{k}$ est donc $F:x\mapsto \sin x\ln(1+\cos x)+x-\sin x$.

 

Exercice 7-2

$f(x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

Solution

$f$ est définie sur $\left[1,+\infty \right[$.

Une intégration par parties donne $\int f=[xf(x)]-\int xf'(x)\,\mathrm {d} x=[xf(x)]-\int {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x$.

Une primitive de $f$ sur $\left[1,+\infty \right[$ est donc $F:x\mapsto xf(x)-{\sqrt {x^{2}-1}}$.

 

Exercice 7-3

$f(x)=x^{\alpha }\ln x$, pour $\alpha$ réel différent de $-1$.

Solution

$f$ est définie sur $\left]0,+\infty \right[$. Sur cet intervalle, une simple intégration par parties donne une primitive de $f$ : $F(x)={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\ln x-{\frac {x^{\alpha +1}}{(\alpha +1)^{2}}}$.

 

Exercice 7-4

$f(x)=x^{2}\operatorname {e} ^{x}$

Solution

En enchaînant deux intégrations par parties, on trouve une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ : $F(x)=\left(x^{2}-2x+2\right)\operatorname {e} ^{x}$.

 

Exercice 7-5

$f(x)=\mathrm {e} ^{3x}$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F=f/3$.

 

Exercice 7-6

$f(x)=x\operatorname {e} ^{-x^{2}}$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto -\operatorname {e} ^{-x^{2}}/2$.

 

Exercice 7-7

$f(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{1+\mathrm {e} ^{x}}}$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \ln \left(1+\mathrm {e} ^{x}\right)$.

 

Exercice 7-8

$f(x)={\frac {1}{x\ln |x|}}$

Solution

Sur chacun des quatre intervalles $\left]-\infty ,-1\right[$, $\left]-1,0\right[$, $\left]0,1\right[$ et $\left]1,+\infty \right[$, une primitive de $f=u'/u$ avec $u(x)=\ln |x|$ est $F=\ln |u|$.

 

Exercice 7-9

$f(x)={\frac {\cos(\ln x)}{x}}$

Solution

Une primitive sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ de $f=\ln '\times \cos \circ \ln$ est $F=\sin \circ \ln$.

 

Exercice 7-10

$f(x)=\cos x\operatorname {e} ^{\sin x}$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \operatorname {e} ^{\sin x}$.

 

Exercice 7-11

$f(x)={\frac {\ln ^{k}(x)}{x}}$, pour $k\in \mathbb {N}$.

Solution

Une primitive sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ de $f=\ln '\ln ^{k}$ est $F={\frac {\ln ^{k+1}}{k+1}}$.

 

Exercice 7-12

$f(x)={\frac {\mathrm {e} ^{\tan x}}{1+\cos 2x}}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $f={\frac {\tan '}{2}}\times \exp \circ \tan$ est $F={\frac {\exp \circ \tan }{2}}$.

 

Exercice 7-13

$f(x)={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}}$ (cf. Trigonométrie hyperbolique).

Solution

Sur $\left]0,+\infty \right[$,

$F(x)=-2\int _{x}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{t}-\mathrm {e} ^{-t}}}=-2\int _{x}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t}{(\mathrm {e} ^{t})^{2}-1}}=-2\int _{\mathrm {e} ^{x}}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} y}{y^{2}-1}}=\int _{\mathrm {e} ^{x}}^{+\infty }\left({\frac {1}{y+1}}-{\frac {1}{y-1}}\right)\;\mathrm {d} y=\ln {\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}=\ln \tanh {\frac {x}{2}}$

donc (par imparité de $f$) sur $\mathbb {R} ^{*}$,

$F(x)=\ln \tanh {\frac {|x|}{2}}$.