Leçons de niveau 14

Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale

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Propriétés de l'intégrale
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Exercices no4
Leçon : Intégration de Riemann

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Calculs d'aires
Exo suiv. :Intégrales impropres
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Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue telle que .

Montrer que est constante et égale à 0 ou 1.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue telle que

Montrer qu’il existe tel que

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la suite définie par converge et calculer sa limite.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient une fonction continue, T-périodique sur , et dans . Montrer que
  • Soient une fonction impaire sur , et . Que dire de  ? Quid si est paire ?

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit et de classe telle que . Montrer que :

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit et de classe . Montrer que :

.

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », , p. 260, lemme 7.23

Soient , et une fonction continue telle que

.

Démontrer que .

Exercice 4-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et des fonctions continues sur un intervalle (avec ).

On suppose que est croissante et que prend ses valeurs dans . On pose :

.
  1. Étudier les variations de la fonction définie par :
    .
    Montrer que .
  2. Comparer les fonctions et définies par :
     ;
    .
  3. Démontrer que :
    .
    Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Exercice 4-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre complexe de partie réelle strictement positive et une application de classe C1 telle que . Montrer que .

Exercice 4-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient une application continue et .

  1. Montrer que si admet en une limite (finie ou infinie) alors .
  2. Donner un exemple où n'a pas de limite en mais .

Exercice 4-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient continues, strictement positives, et équivalentes en . Montrer que :

  • si converge alors .
  • si diverge alors .

Exercice 4-12[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que et une fonction intégrable. Pour , on pose : .

  1. Soit un majorant de sur (pourquoi un tel existe-t-il ?). Montrer que pour tous on a : .
  2. En déduire que la fonction est continue sur .

Soient tels que et une fonction bornée, localement intégrable sur . Montrer que est intégrable sur .

Exercice 4-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que et une fonction de classe C1. Montrer que :

.

Exercice 4-14[modifier | modifier le wikicode]

Pour on pose

.
  1. Montrer que est de classe C1.
  2. Montrer que est impaire.
  3. Étudier les variations de sur .
  4. Soit .
    1. Montrer que pour tout on a : .
    2. En déduire que .
    3. Étudier la limite de quand tend vers .