Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans R

Exercice 1-1

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ les fractions rationnelles

$f(X):={\frac {2}{\left(X-1\right)X\left(X+1\right)}},\ g(X):={\frac {2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}}{\text{ et }}h(X):={\frac {2}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)\left(X+3\right)}}.$

Solution

$f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{X}}+{\frac {c}{X+1}}\quad (*)$.

En multipliant $(*)$ par $X-1$ puis en posant $X=1$, on trouve

$a={\frac {2}{1\left(1+1\right)}}=1$.

En multipliant $(*)$ par $X$ puis en posant $X=0$, on trouve

$b={\frac {2}{\left(0-1\right)\left(0+1\right)}}=-2$.

En multipliant $(*)$ par $X+1$ puis en posant $X=-1$, on trouve

$c={\frac {2}{\left(-1-1\right)\left(-1\right)}}=1$

(on pouvait aussi remarquer que $f$ est impaire donc $c=a$).

$f(X)={\frac {1}{X-1}}-{\frac {2}{X}}+{\frac {1}{X+1}}$.

On peut calculer de même les décompositions de $g$ et $h$, ou les déduire de celle de $f$ :

$g(X)=f(X+1)={\frac {1}{X}}-{\frac {2}{X+1}}+{\frac {1}{X+2}}$.

$h(X)=f(X+2)={\frac {1}{X+1}}-{\frac {2}{X+2}}+{\frac {1}{X+3}}$.

 

Exercice 1-2

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ la fraction rationnelle

$f(X):={\frac {1}{1+X^{4}}}$.

Solution

$X^{4}+1=\left(X+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)=\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)$

donc

${\frac {1}{X^{4}+1}}={\frac {aX+b}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}+{\frac {cX+d}{X^{2}-{\sqrt {2}}X+1}}$.

Par parité, $c=-a$ et $d=b$. Puis $b={\frac {1}{2}}$ (par évaluation en $0$). Puis (en réduisant au même dénominateur et en identifiant le coefficient de degré 2 du numérateur) $-2a{\sqrt {2}}+1=0$. Donc la décomposition en éléments simples est

$f(X)=g(X)+g(-X)$ avec $g(X):={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}X+{\frac {1}{2}}}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}$.

 

Exercice 1-3

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles

$f(X):={\frac {1}{\left(X^{2}-3X+2\right)^{2}}}$ et $g(X):={\frac {X^{2}}{\left(X^{2}-1\right)^{2}}}$

Solution

$X^{2}-3X+2=\left(X-1\right)\left(X-2\right)$ donc

$f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{\left(X-1\right)^{2}}}+{\frac {c}{X-2}}+{\frac {d}{\left(X-2\right)^{2}}}$.

Après réduction au même dénominateur :

${\begin{aligned}1&=\left(a\left(X-1\right)+b\right)\left(X-2\right)^{2}+\left(c\left(X-2\right)+d\right)\left(X-1\right)^{2}\\&=\left(aX+b-a\right)\left(X^{2}-4X+4\right)+\left(cX+d-2c\right)\left(X^{2}-2X+1\right)\\&=\left(a+c\right)X^{3}+\left(b-5a+d-4c\right)X^{2}+\left(8a-4b+5c-2d\right)X+4b-4a+d-2c.\end{aligned}}$

Par identification des coefficients et résolution du système :

$a=2,\quad c=-2,\quad b=d=1$

donc

$f(X)={\frac {2}{X-1}}+{\frac {1}{\left(X-1\right)^{2}}}-{\frac {2}{X-2}}+{\frac {1}{\left(X-2\right)^{2}}}$.

De même,

$g(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{\left(X-1\right)^{2}}}+{\frac {c}{X+1}}+{\frac {d}{\left(X+1\right)^{2}}}$.

Par parité, $c=-a$ et $d=b$. Puis (après réduction au même dénominateur)

$X^{2}=2a(X^{2}-1)+2b(X^{2}+1)$

donc $a=b={\frac {1}{4}}$ et

$g(X)={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{X-1}}+{\frac {1}{\left(X-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{X+1}}+{\frac {1}{\left(X+1\right)^{2}}}\right)$.

 

Exercice 1-4

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles

$f(X):={\frac {X^{2}}{X+1}}$ et $g(X):={\frac {4X^{4}-28X^{3}-66X^{2}-7X+2}{(2X+1)^{2}(X^{2}-6X+4)}}$.

Solution

$f(X)={\frac {X^{2}-1+1}{X+1}}=X-1+{\frac {1}{X+1}}$ et $g(X)=1+{\frac {2}{2X+1}}-{\frac {1}{(2X+1)^{2}}}-{\frac {3(1+{\sqrt {5}})/2}{X-3-{\sqrt {5}}}}-{\frac {3(1-{\sqrt {5}})/2}{X-3+{\sqrt {5}}}}$.

 

Exercice 1-5

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles :

• $f(X):={\frac {X^{3}}{X-1}}$ ;
• $g(X):={\frac {X^{2}}{(X-1)(X-2)}}$ ;
• $h(X):={\frac {1}{(X-1)^{2}(X+1)}}$ ;
• $k(X):={2X^{4}-7X^{3}+17X^{2}-16X-2 \over (X^{2}-1)(2X-3)}$.

Solution

• $f(X)=X^{2}+X+1+{\frac {1}{X-1}}$ ;
• $g(X):=1-{\frac {1}{X-1}}+{\frac {4}{X-2}}$ (par la méthode des coefficients indéterminés, ou par la méthode du cache, ou par la technique spécifique aux pôles simples) ;
• $h(X)={\frac {1/2}{(X-1)^{2}}}-{\frac {1/4}{X-1}}+{\frac {1/4}{X+1}}$ ;
• $k={A \over B}$ avec $B=2X^{3}-3X^{2}-2X+3$, $A=(X-2)B+13X^{2}-23X+4$, donc $k=X-2+{a \over X-1}+{b \over X+1}+{c \over 2X-3}$ avec
  ${a \over X-1}+{b \over X+1}+{c \over 2X-3}={13X^{2}-23X+4 \over (X-1)(X+1)(2X-3)}$, d'où $a=3,b=4,c=-1$.

 

Exercice 1-6

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

${\frac {1}{(X-1)(X^{3}-1)}}$.

On posera $Y=X-1$ et l'on effectuera une division suivant les puissances croissantes de $Y$.

Solution

$(X-1)(X^{3}-1)=(X-1)^{2}(X^{2}+X+1)=Y^{2}\left((Y+1)^{2}+(Y+1)+1\right)=Y^{2}\left(Y^{2}+3Y+3\right)$.

$3=\left(3+3Y+Y^{2}\right)(1-Y)+2Y^{2}+Y^{3}$.

${\frac {1}{Y^{2}\left(Y^{2}+3Y+3\right)}}={\frac {1-Y}{3Y^{2}}}+{\frac {2+Y}{3\left(Y^{2}+3Y+3\right)}}={\frac {1}{3(X-1)^{2}}}-{\frac {1}{3(X-1)}}+{\frac {X+1}{3\left(X^{2}+X+1\right)}}$.

 

Exercice 1-7

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ :

$F(X):={\frac {X^{2}}{(X^{2}+1)(X^{2}+4)}}$ et $G(X):={\frac {4X^{3}}{X^{4}-1}}$.

Solution

${\frac {Y}{(Y+1)(Y+4)}}={\frac {-1}{3(Y+1)}}+{\frac {4}{3(Y+4)}}$ donc $F(X)={\frac {-1}{3(X^{2}+1)}}+{\frac {4}{3(X^{2}+4)}}$.

Pour tout réel $t\neq \pm 1$, $G(t)=\left(\ln |t^{4}-1|\right)'=\left(\ln(t^{2}+1)\right)'+\left(\ln |t-1|\right)'+\left(\ln |t+1|\right)'={\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{t+1}}$, donc $G(X)={\frac {2X}{X^{2}+1}}+{\frac {1}{X-1}}+{\frac {1}{X+1}}$.

 

Exercice 1-8

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ :

$F(X):={\frac {1}{X^{2}(X^{2}+X+1)}}$, puis $G(X):={\frac {F(X)}{X^{2}+X+1}}$.

Solution

$1=(1+X+X^{2})(1-X)+X^{3}$ donc $F(X)={\frac {1}{X^{2}}}-{\frac {1}{X}}+{\frac {X}{X^{2}+X+1}}$.

$G(X)=F(X)-XF(X)+{\frac {X}{(X^{2}+X+1)^{2}}}$ et $XF(X)={\frac {1}{X}}-1+{\frac {X^{2}}{X^{2}+X+1}}={\frac {1}{X}}-{\frac {X+1}{X^{2}+X+1}}$ donc

$G(X)={\frac {1}{X^{2}}}-{\frac {1}{X}}+{\frac {X}{X^{2}+X+1}}-{\frac {1}{X}}+{\frac {X+1}{X^{2}+X+1}}+{\frac {X}{(X^{2}+X+1)^{2}}}=-{\frac {2}{X}}+{\frac {1}{X^{2}}}+{\frac {2X+1}{X^{2}+X+1}}+{\frac {X}{(X^{2}+X+1)^{2}}}$.

 

Exercice 1-8

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ :

$G:={X^{4} \over X^{3}+1}$.

Solution

$G={X(X^{3}+1)-X \over X^{3}+1}=X-{X \over X^{3}+1}=X+{a \over X+1}+{bX+c \over X^{2}-X+1}$, d'où $a={-1 \over 3}$ et $-b\mathrm {j} +c={-\mathrm {j} \over -\mathrm {j} +1}={1-\mathrm {j} \over 3}$ donc $b=c={1 \over 3}$
(autre méthode : ${-X^{2} \over X^{3}+1}={aX \over X+1}+{bX^{2}+cX \over X^{2}-X+1}$ donc $X\to \infty$ donne $0=a+b$, et ${-X \over X^{3}+1}={a \over X+1}+{bX+c \over X^{2}-X+1}$ donc $X=0$ donne $0=a+c$, donc $c=b=-a$).

 

Voir aussi

• Mathématiques en MPSI, devoir 1, exercice 1
• « Décomposition en éléments simples (calculateur en ligne) », sur wolframalpha.com