Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Intégration de Riemann : Intégrale et primitives Intégration de Riemann/Intégrale et primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.
Début de l'exemple
Exemple
La fonction
f
:
x
↦
x
5
−
3
x
2
+
7
π
{\displaystyle f:x\mapsto x^{5}-3x^{2}+7\pi }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
1
:
x
↦
x
6
6
−
x
3
+
7
π
x
{\displaystyle F_{1}:x\mapsto {\frac {x^{6}}{6}}-x^{3}+7\pi x}
Pour trouver ce résultat, on lit le tableau des dérivées « en sens inverse » ou on utilise le tableau de primitives ci-dessous.
Fin de l'exemple
les propriétés de la dérivation :
Attention !
F
G
{\displaystyle FG}
n'est pas une primitive de
f
g
{\displaystyle fg}
F
′
G
+
F
G
′
=
f
G
+
F
g
{\displaystyle F'G+FG'=fG+Fg}
f
g
=
F
′
G
′
{\displaystyle fg=F'G'}
Contre-exemple : Soient les fonctions
f
:
x
↦
x
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto x+1}
g
:
x
↦
e
x
{\displaystyle g:x\mapsto e^{x}}
F
:
x
↦
x
2
2
+
x
{\displaystyle F:x\mapsto {\frac {x^{2}}{2}}+x}
G
:
x
↦
e
x
{\displaystyle G:x\mapsto e^{x}}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
1/
F
G
:
x
↦
(
x
2
2
+
x
)
e
x
{\displaystyle FG:x\mapsto ({\frac {x^{2}}{2}}+x)e^{x}}
f
g
{\displaystyle fg}
(
F
G
)
′
(
x
)
=
(
F
′
G
+
F
G
′
)
(
x
)
=
(
x
+
1
)
e
x
+
(
x
2
2
+
x
)
e
x
≠
f
g
(
x
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle (FG)'(x)=(F'G+FG')(x)=(x+1)e^{x}+\left({\frac {x^{2}}{2}}+x\right)e^{x}\neq fg(x)\,\forall x\in \mathbb {R} }
2/
φ
:
x
↦
x
e
x
{\displaystyle \varphi :x\mapsto xe^{x}}
f
g
{\displaystyle fg}
φ
′
(
x
)
=
x
e
x
+
1
×
e
x
=
(
x
+
1
)
e
x
=
f
g
(
x
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle \varphi '(x)=xe^{x}+1\times e^{x}=(x+1)e^{x}=fg(x)\,\forall x\in \mathbb {R} }
Soient
a
,
b
,
C
∈
R
{\displaystyle a,b,C\in \mathbb {R} }
k
{\displaystyle k}
Tableau des primitives simples
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
D
D
{\displaystyle D_{D}}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
0
{\displaystyle 0}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle C}
a
x
+
b
{\displaystyle ax+b}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
a
x
2
2
+
b
x
+
C
{\displaystyle {\frac {ax^{2}}{2}}+bx+C}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
∀
n
∈
R
−
{
−
1
}
{\displaystyle \forall {n}\in \mathbb {R} -\{-1\}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
2
3
x
x
+
C
{\displaystyle {\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+C}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
ln
x
+
C
{\displaystyle \ln x+C}
1
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
x
+
C
{\displaystyle {\sqrt {x}}+C}
−
1
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
1
x
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{x}}+C}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
−
cos
x
+
C
{\displaystyle -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
sin
x
+
C
{\displaystyle \sin x+C}
1
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}
R
∖
{
π
2
+
k
π
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}
tan
x
+
C
{\displaystyle \tan x+C}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}
R
∖
{
k
π
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{k\pi \right\}}
cotan
x
+
C
{\displaystyle \operatorname {cotan} x+C}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e
x
+
C
{\displaystyle e^{x}+C}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle x\ln x-x+C}
Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :
Début d’un théorème
Fin du théorème
Remarques :
Dans la première partie du théorème, la variable
x
{\displaystyle x}
Ce théorème montre que toute fonction continue admet des primitives.
'Démonstration'
Notons
F
0
{\displaystyle F_{0}}
x
↦
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}
a
{\displaystyle a}
F
0
(
a
)
=
∫
a
a
f
(
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle F_{0}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
f
{\displaystyle f}
F
0
′
=
f
{\displaystyle F_{0}'=f}
définition de la dérivée ) que
∀
x
0
∈
R
lim
x
→
x
0
F
0
(
x
)
−
F
0
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} \quad \lim _{x\to x_{0}}{\frac {F_{0}(x)-F_{0}(x_{0})}{x-x_{0}}}=f(x_{0}).}
F
0
(
x
)
−
F
0
(
x
0
)
x
−
x
0
=
1
x
−
x
0
(
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
0
f
(
t
)
d
t
)
=
1
x
−
x
0
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {F_{0}(x)-F_{0}(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {1}{x-x_{0}}}\left(\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}
F
0
(
x
)
−
F
0
(
x
0
)
x
−
x
0
−
f
(
x
0
)
=
1
x
−
x
0
(
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
−
(
x
−
x
0
)
f
(
x
0
)
)
=
1
x
−
x
0
∫
x
0
x
(
f
(
t
)
−
f
(
x
0
)
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {F_{0}(x)-F_{0}(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})={\frac {1}{x-x_{0}}}\left(\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-(x-x_{0})f(x_{0})\right)={\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}\left(f(t)-f(x_{0})\right)\,\mathrm {d} t.}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
η
>
0
{\displaystyle \eta >0}
∀
t
∈
[
x
0
−
η
,
x
0
+
η
]
|
f
(
t
)
−
f
(
x
0
)
|
≤
ε
{\displaystyle \forall t\in [x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta ]\quad |f(t)-f(x_{0})|\leq \varepsilon }
∀
x
∈
[
x
0
−
η
,
x
0
+
η
]
|
F
0
(
x
)
−
F
0
(
x
0
)
x
−
x
0
−
f
(
x
0
)
|
≤
1
x
−
x
0
∫
x
0
x
|
f
(
t
)
−
f
(
x
0
)
|
d
t
≤
ε
{\displaystyle \forall x\in [x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta ]\quad \left|{\frac {F_{0}(x)-F_{0}(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq {\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\leq \varepsilon }
Toute primitive de
f
{\displaystyle f}
F
=
F
0
+
k
{\displaystyle F=F_{0}+k}
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
(
F
0
(
b
)
+
k
)
−
(
F
0
(
a
)
+
k
)
=
F
0
(
b
)
−
F
0
(
a
)
=
F
0
(
b
)
−
0
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(b)-F(a)=(F_{0}(b)+k)-(F_{0}(a)+k)=F_{0}(b)-F_{0}(a)=F_{0}(b)-0=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
Exemples :
∫
0
1
x
2
d
x
=
[
x
3
3
]
0
1
=
1
3
3
−
0
3
3
=
1
3
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}.}
∫
2
5
x
2
d
x
=
[
x
3
3
]
2
5
=
125
3
−
8
3
=
117
3
=
39.
{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{2}^{5}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}
∫
0
1
e
2
x
d
x
=
[
1
2
e
2
x
]
=
e
2
−
1
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{2x}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{2x}\right]={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2}}.}
Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) :
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
On note
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}
ensemble de toutes les primitives de
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
.
Donc, si
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
∫
f
(
x
)
d
x
=
{
x
↦
F
(
x
)
+
k
∣
k
∈
R
}
.
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=\{x\mapsto F(x)+k\mid k\in \mathbb {R} \}.}
Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de
f
{\displaystyle f}
il faut toutefois bien garder à l'esprit qu’il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près .
La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du théorème fondamental de l'analyse.
Notez qu'on n'utilise (presque) jamais la définition théorique de l'intégrale pour calculer une intégrale.
Début d’un théorème
Fin du théorème
'Démonstration'
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'un produit :
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
⇒
u
′
v
=
(
u
v
)
′
−
u
v
′
⇒
∫
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
−
∫
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\Rightarrow u'v=(uv)'-uv'\Rightarrow \int u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\left[u(x)v(x)\right]-\int u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x}
Exemples :
1/ Calculer
∫
x
e
x
d
x
{\displaystyle \int xe^{x}\,\mathrm {d} x}
On intègre par parties en posant :
u
(
x
)
=
x
⇒
u
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle u(x)=x\Rightarrow u'(x)=1}
v
′
(
x
)
=
e
x
⇐
v
(
x
)
=
e
x
.
{\displaystyle v'(x)=e^{x}\Leftarrow v(x)=e^{x}.}
On a donc :
∫
x
e
x
d
x
=
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
=
(
x
−
1
)
e
x
+
C
(
C
∈
R
)
.
{\displaystyle \int xe^{x}\,\mathrm {d} x=xe^{x}-\int e^{x}\,\mathrm {d} x=(x-1)e^{x}+C\;(C\in \mathbb {R} ).}
2/ Une double intégration par parties :
Calculer
∫
e
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x}
On intègre par parties en posant :
u
(
x
)
=
e
x
⇒
u
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle u(x)=e^{x}\Rightarrow u'(x)=e^{x}}
v
′
(
x
)
=
sin
x
⇐
v
(
x
)
=
−
cos
x
.
{\displaystyle v'(x)=\sin x\Leftarrow v(x)=-\cos x.}
On a donc :
∫
e
x
sin
x
d
x
=
−
e
x
cos
x
+
∫
e
x
cos
x
d
x
.
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x.}
Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :
u
(
x
)
=
e
x
⇒
u
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle u(x)=e^{x}\Rightarrow u'(x)=e^{x}}
v
′
(
x
)
=
cos
x
⇐
v
(
x
)
=
sin
x
.
{\displaystyle v'(x)=\cos x\Leftarrow v(x)=\sin x.}
On a donc :
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
sin
x
−
∫
e
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x}
Solution : on retombe sur ses pieds et le serpent garde sa queue !
En fait, il suffit d'« injecter » le résultat obtenu pour
∫
e
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x}
dans le résultat obtenu dans la première intégration par parties ; on obtient :
∫
e
x
sin
x
d
x
=
−
e
x
cos
x
+
∫
e
x
cos
x
d
x
=
−
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x
−
∫
e
x
sin
x
d
x
.
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x=-e^{x}\cos x+{\color {Blue}\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x}=-e^{x}\cos x+{\color {Blue}e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x}.}
Il suffit alors d'ajouter de chaque côté
∫
e
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x}
2
∫
e
x
sin
x
d
x
=
−
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x
+
C
;
(
C
∈
R
)
{\displaystyle 2\int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x=-e^{x}\cos x+e^{x}\sin x+C^{;}(C\in \mathbb {R} )}
∫
e
x
sin
x
d
x
=
e
x
(
sin
x
−
cos
x
)
2
+
C
(
C
∈
R
)
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\,\mathrm {d} x={\frac {e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}}+C\;(C\in \mathbb {R} )}
3/ Calculer
∫
ln
x
d
x
.
{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x.}
On ne connaît pas a priori de primitive de
x
↦
ln
x
{\displaystyle x\mapsto \ln x}
L'astuce dans ces cas-là (une fonction « seule » dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :
u
(
x
)
=
ln
x
⇒
u
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle u(x)=\ln x\Rightarrow u'(x)={\frac {1}{x}}}
v
′
(
x
)
=
1
⇐
v
(
x
)
=
x
{\displaystyle v'(x)=1\Leftarrow v(x)=x}
(On a remarqué que
ln
x
=
1
×
ln
x
{\displaystyle \ln x=1\times \ln x}
On a donc :
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
∫
x
1
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
(
C
∈
R
)
.
{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=x\ln x-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C\;(C\in \mathbb {R} ).}
Donc (c'est un résultat à retenir) :
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
(
C
∈
R
)
{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C\;(C\in \mathbb {R} )}
α
≠
−
1
{\displaystyle \alpha \neq -1}
∫
x
α
ln
x
d
x
=
x
α
+
1
α
+
1
ln
x
−
x
α
+
1
(
α
+
1
)
2
+
C
(
C
∈
R
)
{\displaystyle \int x^{\alpha }\ln x\,\mathrm {d} x={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\ln x-{\frac {x^{\alpha +1}}{(\alpha +1)^{2}}}+C\;(C\in \mathbb {R} )}
:
Début d’un théorème
Fin du théorème
'Démonstration'
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'une composée :
f
′
(
x
)
=
(
f
(
φ
(
t
)
)
′
=
f
′
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
{\displaystyle f'(x)=(f(\varphi (t))'=f'(\varphi (t))\varphi '(t)}
Remarque : Une fonction
φ
{\displaystyle \varphi }
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
Pour utiliser cette formule en pratique :
poser
x
=
φ
(
t
)
{\displaystyle x=\varphi (t)}
d
x
=
φ
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} x=\varphi '(t)\,\mathrm {d} t}
changer les bornes d'intégration : si
x
=
α
=
φ
(
t
)
{\displaystyle x=\alpha =\varphi (t)}
t
=
a
{\displaystyle t=a}
x
=
β
=
φ
(
t
)
{\displaystyle x=\beta =\varphi (t)}
t
=
b
{\displaystyle t=b}
Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.
Exemples :
1/
∫
1
2
x
+
2
x
2
+
4
x
−
1
=
∫
4
11
d
t
2
t
=
[
1
2
ln
t
]
4
11
=
ln
11
−
ln
4
2
{\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {x+2}{x^{2}+4x-1}}=\int _{4}^{11}\,{\frac {\mathrm {d} t}{2t}}=\left[{\frac {1}{2}}\ln t\right]_{4}^{11}={\frac {\ln 11-\ln 4}{2}}}
On a fait le changement de variables
t
=
x
2
+
4
x
−
1
=
φ
−
1
(
x
)
{\displaystyle t=x^{2}+4x-1=\varphi ^{-1}(x)}
d
t
=
2
x
+
4
d
x
=
2
(
x
+
2
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} t=2x+4\,\mathrm {d} x=2(x+2)\,\mathrm {d} x}
Pour les bornes : si
x
=
1
{\displaystyle x=1}
t
=
1
2
+
4
×
1
−
1
=
4
{\displaystyle t=1^{2}+4\times 1-1=4}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
t
=
2
2
+
4
×
2
−
1
=
11
{\displaystyle t=2^{2}+4\times 2-1=11}
2/
I
=
∫
d
x
1
+
cos
2
x
=
∫
d
x
2
cos
2
x
+
sin
2
x
=
∫
d
x
cos
2
x
(
2
+
tan
2
x
)
{\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\cos ^{2}x}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{2\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{2}x(2+\tan ^{2}x)}}}
cos
2
x
+
sin
2
x
=
1
∀
x
∈
R
{\displaystyle \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1\,\forall x\in \mathbb {R} }
On pose
t
=
tan
x
{\displaystyle t=\tan x}
d
t
=
d
x
cos
2
x
{\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{2}x}}}
I
=
∫
d
t
2
+
t
2
=
∫
d
t
2
(
1
+
(
t
2
)
2
)
=
2
2
∫
d
u
1
+
u
2
=
2
2
arctan
u
=
2
2
arctan
(
2
2
t
)
=
2
2
arctan
(
2
2
tan
x
)
{\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} t}{2+t^{2}}}=\int {\frac {\mathrm {d} t}{2(1+({\frac {t}{\sqrt {2}}})^{2})}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\arctan u={\frac {\sqrt {2}}{2}}\arctan({\frac {\sqrt {2}}{2}}t)={\frac {\sqrt {2}}{2}}\arctan({\frac {\sqrt {2}}{2}}\tan x)}
On a posé
u
=
t
2
{\displaystyle u={\frac {t}{\sqrt {2}}}}
d
t
=
2
d
u
{\displaystyle \mathrm {d} t={\sqrt {2}}\,\mathrm {d} u}
Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la décomposer en éléments simples . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :
A
(
x
)
=
∫
a
x
+
b
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
d
x
{\displaystyle A(x)=\int {\frac {ax+b}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}\,\mathrm {d} x}
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
|
δ
=
c
2
−
4
d
<
0
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} |\delta =c^{2}-4d<0}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Pour calculer
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur :
a
x
+
b
=
a
2
(
2
x
+
c
)
+
b
−
a
c
2
⇒
A
(
x
)
=
∫
a
x
+
b
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
d
x
=
∫
a
2
(
2
x
+
c
)
+
b
−
a
c
2
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
d
x
=
a
2
∫
d
(
x
2
+
c
x
+
d
)
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
+
(
b
−
a
c
2
)
∫
d
x
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
{\displaystyle ax+b={\frac {a}{2}}(2x+c)+b-{\frac {ac}{2}}\Rightarrow A(x)=\int {\frac {ax+b}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {{\frac {a}{2}}(2x+c)+b-{\frac {ac}{2}}}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {a}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (x^{2}+cx+d)}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}+\left(b-{\frac {ac}{2}}\right)\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}}
∫
d
x
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}}
2/ Remplacer
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle x^{2}+cx+d}
On obtient
x
2
+
c
x
+
d
=
(
x
+
c
2
)
2
+
d
−
c
2
4
=
t
2
+
k
2
o
u
`
t
=
x
+
c
2
e
t
k
=
d
−
c
2
4
{\displaystyle x^{2}+cx+d=\left(x+{\frac {c}{2}}\right)^{2}+d-{\frac {c^{2}}{4}}=t^{2}+k^{2}\mathrm {\;o{\grave {u}}\;} t=x+{\frac {c}{2}}\mathrm {\;et\;} k={\sqrt {d-{\frac {c^{2}}{4}}}}}
On cherche à calculer
∫
d
x
(
x
2
+
c
x
+
d
)
n
=
∫
d
t
(
t
2
+
k
2
)
n
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+cx+d)^{n}}}=\int {\frac {\mathrm {d} t}{(t^{2}+k^{2})^{n}}}}
3/ Calculer
∫
d
t
(
t
2
+
k
2
)
n
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} t}{(t^{2}+k^{2})^{n}}}}
Si
n
=
1
{\displaystyle n=1}
∫
d
t
(
t
2
+
k
2
)
=
1
k
arctan
(
t
k
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} t}{(t^{2}+k^{2})}}={\frac {1}{k}}\operatorname {arctan} \left({\frac {t}{k}}\right)}
fonction arctan »).
Si
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
u
=
arctan
(
t
k
)
{\displaystyle u=\operatorname {arctan} ({\frac {t}{k}})}
∫
d
t
(
t
2
+
k
2
)
n
=
k
1
−
2
n
∫
cos
2
n
−
2
u
d
u
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} t}{(t^{2}+k^{2})^{n}}}=k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u\;\mathrm {d} u}
par linéarisation avec les formules d'Euler .
Voir Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques .
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e249807d9c29c495652b2b5f57d34fefd7193a4)
![{\displaystyle \forall t\in [x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta ]\quad |f(t)-f(x_{0})|\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b084e6da05072321f8ffaa74b8ef4c40dff62922)
![{\displaystyle \forall x\in [x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta ]\quad \left|{\frac {F_{0}(x)-F_{0}(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq {\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0182edba15e36c6ae658724c99a766147e0490e2)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f8acf6b627f18f9705cad5d2dae76296176c60)
![{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{2}^{5}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ff04a1f38791f0d77753807c36983c177353d0)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{2x}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{2x}\right]={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f6a4846356d1f1204814e16795a452de456663)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0eff99d3644077823fdacf5a1317718634129e)
![{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\Rightarrow u'v=(uv)'-uv'\Rightarrow \int u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\left[u(x)v(x)\right]-\int u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9685bbb59fd031c4b6eccb0aef3ca7b47bde433c)
Faites ces exercices : Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 4#Exercice 7-3 (niveau 13).
![{\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {x+2}{x^{2}+4x-1}}=\int _{4}^{11}\,{\frac {\mathrm {d} t}{2t}}=\left[{\frac {1}{2}}\ln t\right]_{4}^{11}={\frac {\ln 11-\ln 4}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50dbf7adac40fe49a2392de15a4fb0cf2cf11a2)
