Leçons de niveau 14

Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C

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Décomposition en éléments simples dans C
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Chapitre no 2
Leçon : Fractions rationnelles
Chap. préc. :Corps des fractions rationnelles
Chap. suiv. :Décomposition en éléments simples dans R
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Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C
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Éléments théoriques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Or d’après le théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme Q possède, dans , p racines d'ordres avec .

La propriété précédente se généralise alors à

Début d’un théorème


Fin du théorème


Détermination de la partie entière[modifier | modifier le wikicode]

La partie entière d'une fraction rationnelle est le quotient de la division euclidienne de par . En particulier :

  • si alors  ;
  • si alors .

Exemples de décompositions[modifier | modifier le wikicode]

L'existence d'une décomposition étant établie, la difficulté réside dans les techniques pour déterminer les différents coefficients. Ces techniques sont applicables dans le corps des complexes ou dans le corps des réels dès que le polynôme Q est produit de facteurs du premier degré. Dans un souci de lisibilité,les exemples sont ici donnés avec des coefficients réels.

Pôles de degré 1[modifier | modifier le wikicode]

Étude d'un cas simple[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

Cette fraction admet deux pôles simples et donc . On en déduit que peut s'écrire sous la forme :

et il s'agit de déterminer et .

Une méthode qui est toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients des numérateurs. Cette méthode n’est pas très efficace car elle demande la résolution d’un nombre d’équations correspondant au nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire grandement le travail et les risques d'erreurs en éliminant, par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf un, ce qui permet de calculer directement ce dernier indépendamment des autres.

Ainsi dans notre exemple, en multipliant par , on obtient

.

En posant alors , il vient .

De même, en multipliant par et en posant , il vient puisque

.

La fonction se décompose alors en

.

Cas plus complexe[modifier | modifier le wikicode]

De même, prenons la fonction rationnelle :

.

Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités remarquables, on peut l'écrire

qui se décompose en

.

Pour trouver le coefficient , il suffit de multiplier les deux membres par puis de remplacer par  :

,
.

De même pour trouver , il suffit de multiplier par et de remplacer par  :

.

Pour , il suffit de multiplier par et de remplacer par  :

et pour , on multiplie par et on remplace par  :

.

Donc

.

Existence d'un pôle de degré supérieur à 1[modifier | modifier le wikicode]

Pour une fonction rationnelle de la forme

(où «  » est un polynôme quelconque de degré inférieur à 5) la décomposition en fractions partielles aura comme allure

La détermination des coefficients A, B, C, D, E, F s'opère en effectuant le changement de variable (autre méthode que précédemment mais qui conduit au même résultat final). La fraction s'écrit alors .

Wikipédia possède un article à propos de « Division suivant les puissances croissantes ».

La division de par suivant les puissances croissantes (voir l'article de Wikipédia) nous donne alors

.

Il suffit alors d'opérer la division et de revenir à la variable de départ.

Pôle unique[modifier | modifier le wikicode]

Si le pôle est unique, alors la décomposition en éléments simples peut se faire aisément en appliquant la formule de Taylor au polynôme numérateur, en l'unique pôle.