En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples dans C Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'existence d'une décomposition étant établie, la difficulté réside dans les techniques pour déterminer les différents coefficients. Ces techniques sont applicables dans le corps des complexes ou dans le corps des réels dès que le polynôme Q est produit de facteurs du premier degré. Dans un souci de lisibilité, les exemples sont ici donnés avec des coefficients réels.
Cette fraction admet deux pôles simples et donc . On en déduit que peut s'écrire sous la forme :
et il s'agit de déterminer et .
Une méthode qui est toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients des numérateurs. Cette méthode n’est pas très efficace car elle demande la résolution d’un nombre d’équations correspondant au nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire grandement le travail et les risques d'erreurs en éliminant, par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf un, ce qui permet de calculer directement ce dernier indépendamment des autres.
Ainsi dans notre exemple, en multipliant par , on obtient
.
En posant alors , il vient .
De même, en multipliant par et en posant , il vient puisque
(où « » est un polynôme quelconque de degré inférieur à 5) la décomposition en fractions partielles aura comme allure
La détermination des coefficients A, B, C, D, E, F s'opère en effectuant le changement de variable (autre méthode que précédemment mais qui conduit au même résultat final). La fraction s'écrit alors
.
Si le pôle est unique, alors la décomposition en éléments simples peut se faire aisément en appliquant la formule de Taylor au polynôme numérateur, en l'unique pôle.