Leçons de niveau 14

Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

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Décomposition en éléments simples dans R
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Chapitre no 3
Leçon : Fractions rationnelles
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Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R
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Décomposition en éléments simples dans les réels[modifier | modifier le wikicode]

Principes généraux[modifier | modifier le wikicode]

Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemples de décompositions[modifier | modifier le wikicode]

Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Pour décomposer

en éléments simples, observons d’abord

.

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

.

Les différentes étapes sont :

  • En multipliant par il vient :
    ,
    soit :
    .
  • En posant  :
    ,
    soit : .
  • En remplaçant par et en posant , il vient :
    ,
    soit : .
  • En remplaçant par , par et en posant  :
    ,
    soit : .
  • La décomposition en éléments simples réels est donc :
    .

Passage par les complexes[modifier | modifier le wikicode]

Répétition d'un facteur irréductible du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Décomposons .

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

.

La détermination de A se fait en multipliant par et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

,

ce qui donne

.

En remplaçant par y, c'est-à-dire par  :

.

La décomposition finale est donc

.