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Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

Leçons de niveau 14
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Décomposition en éléments simples dans R
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Chapitre no 3
Leçon : Fractions rationnelles
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Décomposition en éléments simples dans les réels

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Principes généraux

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Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemples de décompositions

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Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré

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Pour décomposer

en éléments simples, observons d’abord

.

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

.

Les différentes étapes sont :

  • En multipliant par il vient :
    ,
    soit :
    .
  • En posant  :
    ,
    soit : .
  • En remplaçant par et en posant , il vient :
    ,
    ,
    soit : .
  • En remplaçant par , par et en posant  :
    ,
    soit : .
  • La décomposition en éléments simples réels est donc :
    .

Passage par les complexes

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On peut décomposer sur la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.

Exemple : . Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :

.
.

Par la méthode du cache,

.

Puisque est réelle,

et
.

Par parité de , on en déduit :

.

Répétition d'un facteur irréductible du second degré

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Décomposons .

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

.

La détermination de A se fait en multipliant par et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

,

ce qui donne

.

En remplaçant par y, c'est-à-dire par  :

.

La décomposition finale est donc

.