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Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples dans R
Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.
Pour décomposer
en éléments simples, observons d’abord
- .
Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que
- .
Les différentes étapes sont :
- En multipliant par il vient :
- ,
- soit :
- .
- En posant :
- ,
- soit : .
- En remplaçant par et en posant , il vient :
- ,
- ,
- soit : .
- En remplaçant par , par et en posant :
- ,
- soit : .
- La décomposition en éléments simples réels est donc :
- .
On peut décomposer sur la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.
Exemple : . Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :
- .
- .
Par la méthode du cache,
- .
Puisque est réelle,
- et
- .
Par parité de , on en déduit :
- .
Décomposons .
Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme
- .
La détermination de A se fait en multipliant par et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire
- ,
ce qui donne
- .
En remplaçant par y, c'est-à-dire par :
- .
La décomposition finale est donc
- .