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Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre

Leçons de niveau 15
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Intégrales dépendant d'un paramètre
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Exercices no2
Cours : Mathématiques en MP

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Feuille d'exercices 1
Exo suiv. :Sommaire
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Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre
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Rappels de cours[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Intégrale paramétrique ».

Dans les trois théorèmes suivants, toutes les fonctions seront supposées (outre les hypothèses spécifiques à chacun) continues par morceaux, pour éviter de faire appel à la notion de mesurabilité, plus générale mais peu utile dans les cas concrets. désignera un intervalle réel et une application définie sur et à valeurs dans ou ( peut être infini). On définit

(pour les pour lesquels cette intégrale converge).

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème


Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

On considère , pour .

  1. Montrer que est continue (sur ) et que est bien définie sur .
  2. Pour tout , calculer .
  3. Pour tout , calculer .
  4. L'intégrale est-elle convergente ?
  5. Étudier de même , pour .

Sur le même thème : pour , on pose et .

Montrer que est de classe C sur mais que .

  1. Soit . Vérifier que sur , est positive, strictement décroissante, que et que n'est pas intégrable en 0.
  2. Soit une suite décroissante de réels tendant vers 0, et telle que . On pose (on suppose ) et . Vérifier que simplement et .
  3. Vérifier que pour tout , la suite des est positive mais non monotone. Soit son sup, vérifier que . En déduire qu'il n'existe pas de fonction intégrable telle que -presque partout.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

On pose pour tout et pour tout .

  1. À l'aide du théorème de dérivation pour les intégrales à paramètre, montrer que est de classe C sur et donner une relation entre la suite et la suite des dérivées successives de au point .
  2. Calculer directement à partir de sa définition, et en déduire l'expression de ses dérivées.
  3. En déduire .

Variante : pour et , on pose

.
  1. Montrer que est bien définie et dérivable sur . Calculer sa dérivée.
  2. En déduire la valeur de .

peut aussi se déduire de par changement de variable, et peut se calculer par récurrence à l'aide d'une IPP (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-7 question 1). Il s'agit en fait d'une intégrale de Wallis.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

On sait bien que l'intégrale de Dirichlet converge, mais non absolument.

Le but de cet exercice est de retrouver sa valeur en appliquant le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre à la fonction

.
  1. Montrer que est de classe C1 sur et calculer , , puis .
  2. Montrer que . Pour cela, on est certain de ne pas pouvoir appliquer le théorème d'interversion de avec , car si pour tout (ou au moins tout proche de ) , alors (par passage à la limite) , or n'est pas intégrable en . Par contre, on pourra facilement intervertir avec pour fixé (la question de l'intégrabilité en ne se posant plus). La méthode préconisée ici est de montrer que pour tout  :
    •  ;
    • .
  3. Conclure.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction Gamma d'Euler, définie par

.

On sait déjà (cf. devoir sur la fonction Gamma et la formule de Stirling) que :

  • son domaine de définition est  ;
  • (pour ) ;
  • (pour ).
  1. Montrer que est de classe C et donner l'expression de pour tout .
  2. Montrer que et en déduire que s'annule au plus une fois.
  3. Montrer que s'annule entre 1 et 2.
  4. Déterminer , , , et donner l'allure du graphe de .
  5. Calculer , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ().

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Fonction bêta ».

On définit la fonction bêta par : .

  1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si les deux réels et sont strictement positifs.
  2. Montrer que (la définition de est rappelée dans l'exercice précédent). Pour cette question, on admettra le théorème de Fubini car explicitement hors programme en classe de MP.
  3. En déduire une expression simple de si .
  4. Démontrer que .
  5. En déduire que la fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur , dont les seuls zéros sont les entiers négatifs ou nuls.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

On pose

  1. Montrer que pour tout réel , est intégrable sur . On pose alors .
  2. Montrer que est continue sur et dérivable sur . Calculer et en déduire , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ().

On pose puis .

  1. Montrer que l'application est définie et continue sur .
  2. Montrer qu'elle est de classe C1 sur .
  3. Calculer .
  4. À l'aide du changement de variable , montrer que .
  5. En déduire une expression de .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et définies sur par

.
  1. Montrer que et sont de classe C1 et calculer leurs dérivées.
  2. En déduire que est constante. Que vaut cette constante ?
  3. Déterminer la limite en de puis de , et retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss, .

Variante : pour , on pose

.
  1. Montrer que sur , est bien définie et continue.
  2. Montrer que est de classe C1 sur .
  3. Calculer et étudier la limite de en .
  4. Montrer que pour tout on a .
  5. Montrer que .
  6. En déduire que .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les fonctions considérées sont encore supposées continues par morceaux.

1. À l'aide des deux premiers théorèmes des rappels ci-dessus, démontrer la variante suivante du troisième :

Début d’un théorème
Fin du théorème

2. Démontrer la généralisation suivante, pour  :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient

.
  1. Montrer que est bien définie sur et de classe C2 et que .
  2. Montrer que (pour tout ).
  3. Déduire des deux points précédents que sur  :
    1. est dérivable et (pour tout ), puis
    2. est deux fois dérivable et .
  4. Calculer et montrer que est bornée.
  5. Déduire des questions 3.2 et 4 l'expression explicite de pour tout .
  6. Donner les valeurs explicites des deux intégrales suivantes :
    .
  7. On veut retrouver la valeur de l'intégrale de Dirichlet (voir supra). En utilisant la question 3.1, démontrer que .
  8. Conclure en considérant

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

On pose

et .

Montrer que est (au moins) de classe C2 sur et calculer , puis , puis .