Leçons de niveau 14

Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs

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Calculs de longueurs
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Exercices no2
Leçon : Intégration de Riemann

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Primitives et fonctions trigonométriques inverses
Exo suiv. :Calculs d'aires
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Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs
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On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée est

.

Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer la longueur du cercle , paramétré par .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que la longueur de l'ellipse est égale à

(il s'agit d'une intégrale elliptique, qu'on ne demande donc pas de calculer).

Soit . On s'intéresse aux ellipses pour (ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire , cf. Exercice 3-3).

On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle . On note donc, pour tout  :

, avec .
  1. Montrer que pour tous réels positifs , la fonction
    a une dérivée seconde constamment positive.
  2. En déduire que .
  3. En déduire que .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on considère la fonction .

  1. Dessiner sa courbe représentative .
  2. Calculer la longueur de cette courbe.
  3. Calculer la longueur de la courbe .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Calculer la longueur de l'astroïde .
  2. Soit . Calculer la longueur d'une arche de cycloïde .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Néphroïde ».
  1. Déterminer la longueur de la courbe pour .
  2. Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par .
  3. Calculer la longueur de la courbe .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. On considère une courbe plane définie par est une fonction C1 sur .
    Montrer que la longueur de cette courbe est .
  2. Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire .
  3. Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire .