Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs

On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée $\gamma :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \gamma (t)=\left(x(t),y(t)\right)$ est

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Exercice 2-1

Soit $R>0$. Calculer la longueur du cercle $C_{R}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=R^{2}\right\}$, paramétré par $\left[0,2\pi \right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \left(R\cos t,R\sin t\right)$.

Solution

$L\left(C_{R}\right)=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left(-R\sin t\right)^{2}+\left(R\cos t\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=R\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=2\pi R$.

 

Exercice 2-2

Soit $a\geq b>0$. Montrer que la longueur de l'ellipse $E_{a,b}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\right.\right\}$ est égale à

$L_{a,b}:=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t$

(il s'agit d'une intégrale elliptique, qu'on ne demande donc pas de calculer).

Solution

On procède comme dans l'exercice précédent, en paramétrant l'ellipse par $\left[0,2\pi \right]\to \mathbb {R} ^{2},\,t\mapsto \left(a\cos t,b\sin t\right)$.

 

Soit $R>0$. On s'intéresse aux ellipses $E_{a,b}$ pour $ab=R^{2}$ (ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire $\pi R^{2}$, cf. Exercice 3-3).

On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle $E_{R,R}$. On note donc, pour tout $a\geq R$ :

$\ell (a):=L_{a,{\frac {R^{2}}{a}}}=\int _{0}^{2\pi }h_{t}(a)\,\mathrm {d} t$, avec $h_{t}(a):={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+{\frac {R^{4}\cos ^{2}t}{a^{2}}}}}$.

1. Montrer que pour tous réels positifs $\alpha ,\beta$, la fonction

   $h:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\sqrt {x^{2}\alpha +{\frac {\beta }{x^{2}}}}}$

   a une dérivée seconde constamment positive.

2. En déduire que $\forall t\in \mathbb {R} \quad \forall a\geq R\quad h_{t}(a)\geq h_{t}(R)+\left(a-R\right)h'_{t}(R)$.
3. En déduire que $\forall a\geq R\quad \ell (a)\geq \ell (R)$.

Solution

1. La fonction $h$ est de classe C^∞ et (sauf dans le cas trivial $\alpha =\beta =0$) strictement positive.

   En dérivant deux fois $h^{2}$, on obtient (pour tout $x>0$) :

   $h(x)h'(x)=\alpha x-{\frac {\beta }{x^{3}}}$ puis

   $\left(h'(x)\right)^{2}+h(x)h''(x)=\alpha +{\frac {3\beta }{x^{4}}}$, donc

   $h^{3}(x)h''(x)=\left(\alpha +{\frac {3\beta }{x^{4}}}\right)\left(\alpha x^{2}+{\frac {\beta }{x^{2}}}\right)-\left(\alpha x-{\frac {\beta }{x^{3}}}\right)^{2}={\frac {6\alpha \beta }{x^{2}}}+{\frac {2\beta ^{2}}{x^{6}}}\geq 0$ donc $h''(x)\geq 0$.

2. D'après le théorème des accroissements finis, pour tout $a>R$, il existe $c\in \left]R,a\right[$ tel que ${\frac {h_{t}(a)-h_{t}(R)}{a-R}}=h'_{t}(c)$

   et d'après la question précédente, $h'_{t}(c)\geq h'_{t}(R)$.

   Remarque

   C'est une propriété caractéristique des fonctions dérivables convexes.

3. D'après la question précédente, $\forall a\geq R\quad \ell (a)\geq \ell (R)+\left(a-R\right)\int _{0}^{2\pi }h'_{t}(R)\,\mathrm {d} t$.

   Or (cf. question 1) $h'_{t}(x)={\frac {x\sin ^{2}t-{\frac {R^{4}\cos ^{2}t}{x^{3}}}}{h_{t}(x)}}$,

   en particulier $h'_{t}(R)=R\,{\frac {\sin ^{2}t-\cos ^{2}t}{h_{t}(R)}}=-\cos 2t$,

   donc $\int _{0}^{2\pi }h'_{t}(R)\,\mathrm {d} t=0$.

 

Exercice 2-3

Pour $s\geq 0$, on considère la fonction $f_{s}:\left[-1,1\right]\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto s\left(1-x^{2}\right)$.

1. Dessiner sa courbe représentative ${\mathcal {C}}_{s}$.
2. Calculer la longueur de cette courbe.
3. Calculer la longueur de la courbe $x\in \left[0,1\right],\;y=x^{2}$.

Solution

1. Si $s>0$, ${\mathcal {C}}_{s}$ est un arc de parabole, d'extrémités $\left(-1,0\right)$ et $\left(1,0\right)$ et de sommet $\left(0,s\right)$. Pour $s=0$, ${\mathcal {C}}_{s}$ dégénère en un segment.
2. $L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+\left(f'_{s}(x)\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+4s^{2}x^{2}}}\,\mathrm {d} x$.
   • Sans surprise, la longueur minimale est donc $L\left({\mathcal {C}}_{0}\right)=2$.
   • Pour $s>0$, on effectue un changement de variable approprié :
     • On peut choisir $2sx=\tan t$ puis calculer une primitive sur $\left]-\pi /2,\pi /2\right[$ de ${\frac {1}{\cos ^{3}}}$, soit en calculant d'abord une primitive de ${\frac {1}{\cos }}$ puis en intégrant par parties (cf. Intégration en mathématiques, Exercice 17-2), soit en faisant le même changement de variable $u=\sin t$ que pour intégrer ${\frac {1}{\cos t}}$, suivi d'une décomposition en éléments simples :

       ${\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} t}{\cos ^{3}t}}&=\int {\frac {\mathrm {d} u}{(1-u^{2})^{2}}}\\&=\int \left({\frac {1}{(u+1)^{2}}}+{\frac {1}{(u-1)^{2}}}+{\frac {1}{u+1}}-{\frac {1}{u-1}}\right){\frac {\mathrm {d} u}{4}}\\&={\frac {1}{4}}\left[{\frac {2u}{1-u^{2}}}+\ln {\frac {1+u}{1-u}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {u}{1-u^{2}}}+\ln {\frac {1+u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\tan }{\cos }}+\ln \left(\tan +{\frac {1}{\cos }}\right)\right],\end{aligned}}$

       ce qui donne :

       ${\begin{aligned}L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)&={\frac {1}{2s}}\int _{-\arctan 2s}^{\arctan 2s}{\frac {\mathrm {d} t}{\cos ^{3}t}}\\&={\frac {1}{4s}}\left(2\times 2s{\sqrt {1+4s^{2}}}+\ln {\frac {2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}}{-2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}}}\right)\\&={\sqrt {1+4s^{2}}}+{\frac {1}{4s}}\ln {\frac {\left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {1+4s^{2}}}-2s\right)\left({\sqrt {1+4s^{2}}}+2s\right)}}\\&={\sqrt {1+4s^{2}}}+{\frac {1}{2s}}\ln \left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right).\end{aligned}}$

     • Un autre changement de variable possible est $2sx=\sinh u$ (cf. Trigonométrie hyperbolique), qui donne bien sûr le même résultat :

       ${\begin{aligned}L\left({\mathcal {C}}_{s}\right)&={\frac {1}{2s}}\int _{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}\cosh ^{2}u\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2s}}\int _{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}{\frac {1+\cosh 2u}{2}}\,\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{2s}}\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sinh 2u}{4}}\right]_{-\operatorname {arsinh} 2s}^{\operatorname {arsinh} 2s}={\frac {\operatorname {arsinh} 2s}{2s}}+{\sqrt {1+4s^{2}}}\\&={\frac {\ln \left(2s+{\sqrt {1+4s^{2}}}\right)}{2s}}+{\sqrt {1+4s^{2}}}.\end{aligned}}$

3. $L=\int _{0}^{1}{\sqrt {1+4x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}L\left({\mathcal {C}}_{1}\right)={\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{4}}\ln \left(2+{\sqrt {5}}\right)$.

 

Exercice 2-4

1. Soit $a>0$. Calculer la longueur de l'astroïde $x=a\cos ^{3}t,y=a\sin ^{3}t$.
2. Soit $R>0$. Calculer la longueur d'une arche de cycloïde $x=R\left(t-\sin t\right),\;y=R\left(1-\cos t\right),\;t\in [0,2\pi ]$.

Solution

1. $(x')^{2}+(y')^{2}=(-3a\cos ^{2}t\sin t)^{2}+(3a\sin ^{2}t\cos t)^{2}=(3a\cos t\sin t)^{2}$ donc la longueur de cette courbe est

   $\int _{0}^{2\pi }|3a\cos t\sin t|\,\mathrm {d} t=12a\int _{0}^{\pi /2}\cos t\sin t\,\mathrm {d} t=6a\int _{0}^{\pi /2}\sin(2t)\,\mathrm {d} t=3a[-\cos(2t)]_{0}^{\pi /2}=6a$.

2. $\left(x',y'\right)=R\left(1-\cos t,\sin t\right)$.

   $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=R^{2}\left(2-2\cos t\right)=4R^{2}\sin ^{2}{\frac {t}{2}}$ donc la longueur de cette courbe est

   $2R\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,\mathrm {d} t=4R\int _{0}^{\pi }\sin u\,\mathrm {d} u=4R[-\cos u]_{0}^{\pi }=8R$.

 

Exercice 2-5

1. Déterminer la longueur de la courbe $y={\sqrt {x}}\left(1-{\frac {x}{3}}\right)$ pour $0\leq x\leq 3$.
2. Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par $x=3\cos t-\cos(3t),\;y=3\sin t-\sin(3t),\;t\in [0,2\pi ]$.
3. Calculer la longueur de la courbe $(x,y,z)=(t^{2},2t,\ln t),\;1\leq t\leq \mathrm {e}$.

Solution

1. $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(1-{\frac {x}{3}}\right)+{\sqrt {x}}\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(1-{\frac {x}{3}}-{\frac {2x}{3}}\right)={\frac {1-x}{2{\sqrt {x}}}}$.

   $1+(y')^{2}={\frac {4x+(1-x)^{2}}{4x}}={\frac {(1+x)^{2}}{4x}}$.

   $\int _{0}^{3}{\sqrt {\frac {(1+x)^{2}}{4x}}}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{3}{\frac {1+x}{2{\sqrt {x}}}}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sqrt {3}}(1+u^{2})\;\mathrm {d} u=\left[u\left(1+{\frac {u^{2}}{3}}\right)\right]_{0}^{\sqrt {3}}=2{\sqrt {3}}$.

2. $x'=3(\sin(3t)-\sin t)$, $y'=3(\cos t-\cos(3t)$.

   $(x')^{2}+(y')^{2}=18(1-\sin(3t)\sin t-\cos t\cos(3t))=18(1-\cos(2t))=36\sin ^{2}t$.

   $\int _{0}^{2\pi }6|\sin t|\;\mathrm {d} t=12\int _{0}^{\pi }\sin t\;\mathrm {d} t=24$.

3. $(x',y',z')=\left(2t,2,{\frac {1}{t}}\right)$.

   $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}=\left(2t+{\frac {1}{t}}\right)^{2}$.

   $\int _{1}^{\mathrm {e} }\left(2t+{\frac {1}{t}}\right)\;\mathrm {d} t=\left[t^{2}+\ln t\right]_{1}^{\mathrm {e} }=\mathrm {e} ^{2}$.

 

Exercice 2-6

1. On considère une courbe plane définie par $x=r(\theta )\cos \theta ,\;y=r(\theta )\sin \theta ,\;\theta \in [a,b]$ où $r$ est une fonction C¹ sur $[a,b]$.
   Montrer que la longueur de cette courbe est $\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}(\theta )+(r')^{2}(\theta )}}\;\mathrm {d} \theta$.
2. Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire $r(\theta )=\cos \theta ,\;\theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$.
3. Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire $r(\theta )=1+\cos \theta ,\;\theta \in [-\pi ,\pi ]$.

Solution

1. $x'=r'\cos \theta -r\sin \theta$, $y'=r'\sin \theta +r\cos \theta$, $(x')^{2}+(y')^{2}=r^{2}+(r')^{2}$.
2. $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos ^{2}+\sin ^{2}}}={\frac {\pi }{2}}$ (pas étonnant car cette courbe est la moitié $y\geq 0$ du cercle $(x-1/2)^{2}+y^{2}=1/4$).
3. $r^{2}+(r')^{2}=2+2\cos \theta =4\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}$ et $\int _{-\pi }^{\pi }2\cos {\frac {\theta }{2}}\;\mathrm {d} \theta =4\left[\sin {\frac {\theta }{2}}\right]_{-\pi }^{\pi }=8$.