Intégration de Riemann/Intégrales généralisées

**Intégrales généralisées**
Leçon : Intégration de Riemann

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Centre d'inertie
Chap. suiv. :	Calcul numérique d'une intégrale
Exercices :	Intégrales impropres

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Intégration de Riemann : Intégrales généralisées
Intégration de Riemann/Intégrales généralisées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{2}}

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan x d x

.

Définitions et premières propriétés

Définition

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne $b$ (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :

Définition : intégrale généralisée (ou impropre)

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Wikipédia possède un article à propos de « Intégrale impropre ».

Soit $f$ une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle $] a, b [$ avec $a, b \in ℝ \cup {\pm \infty}$ .

On appelle intégrale généralisée de $f$ entre $a$ et $b$ la limite suivante :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = lim_{x \to a, y \to b} \int_{x}^{y} f (t) d t$ .

L'intégrale est dite convergente si cette limite existe et est finie et divergente dans le cas contraire.

Le symbole $\int_{a}^{b} f (t) d t$ n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.

Exemple

Soit $λ \in ℂ$ . Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- λ t} d t$ converge si et seulement si $Re (λ) > 0$ , et calculer dans ce cas la valeur de cette intégrale.

Solution

Si $λ = 0$ , $\int_{0}^{x} e^{- λ t} d t = x \to_{x \to + \infty}^{} + \infty$ .

Si $λ \neq 0$ , $\int_{0}^{x} e^{- λ t} d t = {[\frac{e^{- λ t}}{- λ}]}_{0}^{x} = \frac{1 - e^{- λ x}}{λ}$ admet une limite finie (quand $x \to + \infty$ ) si et seulement si $Re (λ) > 0$ , et cette limite vaut alors $\frac{1}{λ}$ .

Remarque

Soit $c \in] a, b [$ . On a $\int_{a}^{b} f (t) d t = I \in ℝ$ si et seulement si les deux limites $lim_{x \to a} \int_{x}^{c} f (t) d t$ et $lim_{, y \to b} \int_{c}^{y} f (t) d t$ existent et si leur somme est égale à $I$ .
$\int_{a}^{b} f (t) d t = I \in ℝ$ si et seulement si pour toutes fonctions $x, y$ telles que $lim_{ε \to ℓ} x (ε) = a$ et $lim_{ε \to ℓ} y (ε) = b$ (où $ℓ$ est par exemple $+ \infty$ ou $0^{+}$ ), on a $lim_{ε \to ℓ} \int_{x (ε)}^{y (ε)} f (t) d t = I$ .
Il ne suffit donc pas, pour que $\int_{a}^{b} f (t) d t = I$ , qu'il existe deux fonctions $x, y$ telles que $lim_{ε \to ℓ} x (ε) = a$ et $lim_{ε \to ℓ} y (ε) = b$ et telles que $lim_{ε \to ℓ} \int_{x (ε)}^{y (ε)} f (t) d t = I$ . Par exemple, pour toute fonction $f$ impaire, $lim_{x \to + \infty} \int_{- x}^{x} f (t) d t = 0$ mais cela n'implique aucunement que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t$ converge (penser à la fonction $f = \sin$ , dont la primitive $- \cos$ n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même $\int_{- x}^{2 x} f (t) d t = \cos (- x) - \cos (2 x) = \cos x - (2 \cos^{2} x - 1)$ n'a pas de limite quand $x \to + \infty$ puisqu'elle vaut par exemple $0$ pour $x = 2 k π (k \in ℕ)$ et $- 2$ pour $= (2 k + 1) π (k \in ℕ)$ ).

Premières propriétés

Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Exemple

\int_{0}^{1} \frac{\sin t}{t} d t

est convergente.

Il suffit de remarquer que le prolongement par continuité en $0$ de $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ est :

x \mapsto {\begin{matrix} \frac{\sin x}{x}, & si x \neq 0 \\ 1, & si x = 0. \end{matrix}

Calcul explicite

Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ impropre en $b$ , d'expliciter la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand $x$ tend vers $b$ .

Exemple de Riemann

Le premier exemple de référence à connaître est :

Soit $α \in ℝ$ .

L'intégrale impropre
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α}} d t$
converge si et seulement si $α > 1$ .
L'intégrale (impropre en $0$ si $α > 0$ )
$\int_{0}^{1} \frac{1}{s^{α}} d s$
converge si et seulement si $α < 1$ .

'Démonstration'

Il suffit d'étudier la première intégrale, car la seconde s'en déduit par le changement de variable $t = \frac{1}{s}$ et le remplacement de $α$ par $2 - α$ .

Si $α \neq 1$ , une primitive de $t^{- α}$ est $\frac{t^{1 - α}}{1 - α}$ , qui a une limite finie en $+ \infty$ si et seulement si $1 - α < 0$ .

Quant à la primitive $\ln t$ de $t^{- 1}$ , sa limite en $+ \infty$ est infinie.

Autres exemples

Montrer que $\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t \ln^{β} t} d t$ converge si et seulement si $β > 1$ .

Solution

On effectue le changement de variable $s = \ln t$ donc $d s = \frac{1}{t} d t$ :

\int_{a}^{b} \frac{1}{t \ln^{β} t} d t = \int_{\ln a}^{\ln b} \frac{1}{s^{β}} d s

et nous sommes ramenés à l'exemple de Riemann (voir supra) donc

\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t \ln^{β} t} d t = {\begin{matrix} + \infty & si β \leq 1 \\ \frac{1}{β - 1} & si β > 1. \end{matrix}

Montrer que $\forall k \in ℕ \int_{0}^{1} \ln^{k} x d x = (- 1)^{k} k!$ .

Solution

Faites ces exercices : Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2#Exercice 18-5.

Convergence absolue et théorème de comparaison

Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Lemme

Soit $f \geq 0$ continue par morceaux sur $[a, b [$ .

$\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge si (et seulement si) la fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est majorée sur $[a, b [$ .

'Démonstration'

$F$ est croissante et, si $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge, $F$ est majorée. Le théorème de la limite monotone permet alors de conclure.

Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :

Théorème de comparaison (intégrales généralisées)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $[a, b [$ telles que $0 \leq f \leq g$ .

Si $\int_{a}^{b} g (t) d t$ converge, alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge aussi.
Si $\int_{a}^{b} f (t) d t$ diverge, alors $\int_{a}^{b} g (t) d t$ diverge aussi.

'Démonstration'

Le deuxième résultat est la contraposée du premier.

Soient $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ et $G : x \mapsto \int_{a}^{x} g (t) d t$ .

Par comparaison d'intégrales, $f \leq g \Rightarrow F \leq G (⋆)$ . Or si $\int_{a}^{b} g (t) d t$ converge, alors $G$ est majorée, ce qui implique d’après $(⋆)$ que $F$ aussi et donc (grâce au lemme) que $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge.

Exemple

Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ converge.

Solution

Pour tout $t \geq 1$ , on a $t^{2} \geq t$ donc $0 \leq e^{- t^{2}} \leq e^{- t}$ .

Or $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t$ converge. Donc $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ converge aussi.

On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut $b$ (c'est donc en $b$ que l’on effectue la comparaison de $f$ et $g$ ) :

Corollaire : intégration des relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux et positives sur $[a, b [$ .

On suppose que f=bO(g) (ce qui est vrai en particulier si f=bo(g)).
- Si $\int_{a}^{b} g (t) d t$ converge, alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge aussi.
- Si $\int_{a}^{b} f (t) d t$ diverge, alors $\int_{a}^{b} g (t) d t$ diverge aussi.
Si $f \sim b g$ , alors les intégrales $\int_{a}^{b} f (t) d t$ et $\int_{a}^{b} g (t) d t$ sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).

Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.

'Démonstration'

1/ Il suffit d’utiliser la positivité de $f$ et $g$ et la définition de $f = b O (g)$ : $\exists c \in [a, b [M \in ℝ \forall x \in [c, b [0 \leq f (x) \leq M g (x)$ . Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.

2/ Si $f \sim b g$ alors $f = b O (g) et g = b O (f)$ , ce qui permet d'appliquer le point précédent.

Exemples

Montrer que $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t^{4} - 1}}$ converge.

Solution

Puisque $t^{4} - 1 \underset{+ \infty}{\sim} t^{4}$ , on a $\frac{1}{\sqrt{t^{4} - 1}} \underset{+ \infty}{\sim} \frac{1}{t^{2}} > 0$ . L'exemple de Riemann (voir supra) permet alors de conclure.

Intégrales de Bertrand. Démontrer que :
- $\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t^{α} \ln^{β} t} d t$ converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
- $\int_{0}^{1 / e} \frac{1}{s^{γ} | \ln s |^{β}} d s$ converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).

Solution

Comme dans l'exemple de Riemann (voir supra), il suffit d'étudier la première intégrale.

Pour α = 1, on a vu ci-dessus que
$\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t \ln^{β} t} d t$ converge si et seulement si β > 1.
Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1^[1] (les fonctions considérées sont bien positives) :
- si α > 1, alors $\frac{1}{t^{α} \ln^{β} t} = o (\frac{1}{t \ln^{2} t})$ donc l'intégrale converge ;
- si α < 1, alors $\frac{1}{t} = o (\frac{1}{t^{α} \ln^{β} t})$ donc l'intégrale diverge.

Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :

Convergence absolue

Définition : convergence absolue

Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a, b [$ .

L'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est dite absolument convergente si l'intégrale $\int_{a}^{b} | f (t) | d t$ converge.

Théorème

Toute intégrale absolument convergente est convergente.

'Démonstration'

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b [$ et soit $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ .

On sait que

a \leq x \leq y < b \Rightarrow | F (y) - F (x) | \leq \int_{x}^{y} | f (t) | d t

.

Le critère de Cauchy pour une fonction permet de conclure.

Exemple

Montrer que l'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} \sin x d x$ est absolument convergente.

$\forall x \in ℝ | e^{- x} \sin x | \leq e^{- x}$ et $\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x$ converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.

Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x$ .

Règle d'Abel

Théorème

Soient $g$ localement Riemann-intégrable sur $[a, b [$ et $f$ décroissante et de limite nulle en $b$ . Si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} g$ est bornée, alors l'intégrale $\int_{a}^{b} f g$ converge.

'Démonstration'

Notons $G$ la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} g$ , $M$ un majorant de $| G |$ et, pour tout $ε > 0$ , $[c_{ε}, b [$ un sous-intervalle de $[a, b [$ , sur lequel $f \leq \frac{ε}{2 M}$ .

D'après la seconde formule de la moyenne,

$\forall [x, y] \subset [a, b [\exists z \in [x, y] \int_{x}^{y} f g = (G (z) - G (x)) f (x)$ .

donc

$\forall [x, y] \subset [c_{ε}, b [| \int_{x}^{y} f g | \leq 2 M f (x) \leq ε$

et le critère de Cauchy est satisfait.

Remarque: Si $f$ est absolument continue (en particulier si elle est de classe C¹), on peut aussi raisonner par intégration par parties puis convergence absolue : $\int_{a}^{x} f g = [f G]_{a}^{x} - \int_{a}^{x} f^{'} G = f (x) G (x) - f (a) G (a) - \int_{a}^{x} f^{'} G$ , $lim_{b -} f G = 0$ et $\int_{a}^{b} | f^{'} G | \leq M \int_{a}^{b} | f^{'} | = M \int_{a}^{b} - f^{'} = M [- f]_{a}^{b} = M f (a) < \infty .$

Exemples

Pour tout réel $λ > 0$ , l'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\exp (i t)}{t^{λ}} d t$ converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties : $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\exp (i t)}{t^{λ}} d t = {[\frac{\exp (i t)}{i t^{λ}}]}_{1}^{+ \infty} + λ \int_{1}^{+ \infty} \frac{\exp (i t)}{i t^{λ + 1}} d t = i \exp (i) - λ i \int_{1}^{+ \infty} \frac{\exp (i t)}{t^{λ + 1}} d t$ ,cette dernière intégrale étant absolument convergente.
Pour toute fonction continue $g$ d'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} g (t) d t$ convergente, l'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} \frac{g (t)}{t} d t$ converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties, après avoir remarqué que toute primitive $G$ de $g$ est bornée (car continue et admettant une limite finie en $+ \infty$ ) : $\int_{1}^{+ \infty} \frac{g (t)}{t} d t = {[\frac{G (t)}{t}]}_{1}^{+ \infty} + \int_{1}^{+ \infty} \frac{G (t)}{t^{2}} d t = - G (1) + \int_{1}^{+ \infty} \frac{G (t)}{t^{2}} d t$ ,cette dernière intégrale étant absolument convergente.

Note

↑ Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .

Intégration de Riemann

Centre d'inertie

Calcul numérique d'une intégrale

[1] Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .

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