Leçons de niveau 14

Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
Chap. préc. :Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique
Chap. suiv. :Calcul de primitives
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

En mettant ax2 + bx + c sous forme canonique et à l’aide d’un changement de variable élémentaire, on se ramène au calcul d’une intégrale d’une fonction sous l’une des formes suivantes :

.

Le changement de variable est choisi de façon à tirer parti de l'une des identités trigonométriques suivantes (circulaires ou hyperboliques, au choix), respectivement, dans chacun des trois cas :

  •  ;
  •  ;
  • .

Premier cas : [modifier | modifier le wikicode]

Si l'intégrale est de la forme

,

on peut poser :

.


On a alors :

  •  ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser :

.


On a alors :

  •  ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Deuxième cas : [modifier | modifier le wikicode]

Si l'intégrale est de la forme

,

on peut poser :

.


On a alors :

  •  ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser

.


On a alors :

 ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme :

.

Troisième cas : [modifier | modifier le wikicode]

Si l'intégrale est de la forme

,

on peut poser :

.


On a alors :

  •  ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser :

.


On a alors :

  •  ;
  • .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

.