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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En mettant ax2 + bx + c sous forme canonique et à l’aide d’un changement de variable élémentaire, on se ramène au calcul d’une intégrale d’une fonction sous l’une des formes suivantes :
- .
Le changement de variable est choisi de façon à tirer parti de l'une des identités trigonométriques suivantes (circulaires ou hyperboliques, au choix), respectivement, dans chacun des trois cas :
- ;
- ;
- .
Si l'intégrale est de la forme
- ,
on peut poser :
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme
- .
Début de l'exemple
Exemple
Calculer .
Solution
En posant , on obtient :
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser :
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme
- .
Début de l'exemple
Exemple
Calculer .
Solution
En posant , on obtient :
Fin de l'exemple
Si l'intégrale est de la forme
- ,
on peut poser :
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
- .
Début de l'exemple
Exemple
Calculer .
Solution
On pose alors :
- .
De plus, quand varie de à , varie de à donc on peut faire varier de à .
On a donc :
Aucune des règles de Bioche ne s’applique ici. Par conséquent, on pose :
- ,
ce qui entraîne :
- .
On a donc :
qui se décompose en éléments simples sous la forme :
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme :
- .
Si l'intégrale est de la forme
- ,
on peut poser :
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
- .
Début de l'exemple
Exemple
Calculer .
Solution
En posant
- ,
on vérifie que pour que varie de à , on peut faire varier de à .
On obtient :
Fin de l'exemple
Un autre changement de variable possible est de poser :
.
|
On a alors :
- ;
- .
On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme
- .
Début de l'exemple
Exemple
Calculer une primitive sur de .
Fin de l'exemple