Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux

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Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
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Chapitre no 28
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
Chap. suiv. :Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
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Sommaire

Relevés expérimentaux de l'évolution temporelle de grandeurs électriques dans l'exemple du R L C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur avec observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension

......Pour enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, ce choix dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ; enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S. [1] est reliée à la Terre [2] et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses.

......Si on automatise « la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » [3] d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , on obtient

  • sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et
  • sur l'alternance de valeur basse une tension valant  ;

......pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ;

......enfin si on utilise un générateur de fonctions il est nécessaire de comptabiliser la résistance de sortie de ce dernier, laquelle vaut usuellement , ainsi que la résistance interne de la bobine, laquelle vaut usuellement , dans la résistance du série [4].

Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude  ;
avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine [6]) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [8] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations [10] (on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine [13]) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [14] correspondant à un régime apériodique critique (régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations [15], [16]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
  • Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique [18]) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [19] correspondant à un régime apériodique (régime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique [20], [21]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).

......Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique (en rouge ci-contre) que le régime forcé s'établit le plus rapidement.

......Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de la tension aux bornes du condensateur du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source [23].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le R L C série avec observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un RLC série soumis à un échelon de tension

......On rappelle que pour observer l'évolution temporelle d'une intensité instantanée de courant à l'oscilloscope on visualise la tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique traversé par ce courant, ici nous regarderons la tension aux bornes du « conducteur ohmique de résistance R » [24].

......Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique additionnel du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite [25] ;

......enfin l'échelon de tension peut être créé

  • de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , (dans ce cas le zéro de l'A.S. [1] est reliée à la Terre [2] et il est nécessaire de positionner le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses) ou
  • automatisé par « création (et suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant  (pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite).
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude  ;
avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [26] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations [10] (on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [14] correspondant à un régime apériodique critique (régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations [27], [16]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
  • Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [19] correspondant à un régime apériodique (régime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique [20], [21]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).

......Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique (en rouge ci-contre) que le régime forcé nul s'établit le plus rapidement.

......Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de l'intensité du courant traversant le série [28] soumis à un échelon de tension en , l'instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source [23].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

......Nous cherchons à visualiser la tension aux bornes de la composante parfaite de la bobine réelle, mais ceci n'étant pas possible directement, deux possibilités s'offrent à nous :

  • la résistance de la bobine est petite relativement à la résistance additionnelle et nous pourrons assimiler la tension aux bornes de la bobine réelle à sa composante parfaite selon , ce sera le cas pour les régimes apériodiques critique ou non,
  • la résistance de la bobine n'est pas petite relativement à la résistance additionnelle (ce sera le cas pour le régime pseudo-périodique avec alors que donnant et , nous visualiserons c'est-à-dire ce que l'on cherche avec une erreur systématique de [29] qu'il conviendrait théoriquement de « soustraire à uB(t) » [30] pour obtenir ce que l'on souhaite.
Dans les exemples proposés nous supposons que d'où le schéma de circuit ci-dessous.
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un RLC série soumis à un échelon de tension

......Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension d'amplitude E » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite [25] ;

......enfin l'échelon de tension peut être créé

  • de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , (dans ce cas le zéro de l'A.S. [1] est reliée à la Terre [2] et il est nécessaire de positionner la bobine comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses) ou
  • automatisé par « création (et suppression) d'un échelon de tension d'amplitude E » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant 0 [31] (pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la dérivée temporelle de l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé en uL, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite).
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude  ;
avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un RLC série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [32] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations [10] (on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
  • Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [14] correspondant à un régime apériodique critique (régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations de l'intensité du courant [33], [16]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un RLC série soumis à un échelon de tension
  • Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique) on obtient un cœfficient d'amortissement [5], [19] correspondant à un régime apériodique (régime sans pseudo-oscillations de l'intensité du courant au-delà du régime apériodique critique de cette dernière [20], [34]), (on choisit comme sensibilité de base de temps [35], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite [12]).

......Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que, contrairement aux réponses en ou en pour lesquelles le régime forcé est établi le plus rapidement dans le cas apériodique critique, c'est dans le cas du régime apériodique (en bleu ci-contre) que le régime forcé nul de s'établit le plus rapidement [36].

......Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la discontinuité de 1ère espèce de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.

Étude théorique du R L C série soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes du condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un RLC série soumis à un échelon de tension d'amplitude E avec sens + d'utilisation de l'équation de maille

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité  :

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [37] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

[38] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .

Discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uC(t) aux bornes du condensateur en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle seconde de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en t = 0 », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [40] à chaque prise de primitive soit ici la dérivée temporelle première de la solution générale ainsi que la solution générale elle-même sont discontinues de 0e espèce c'est-à-dire continues en t = 0 ;

......en conclusion on induit que et sont continues en [41] et on justifie ces inductions par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite et celle de la tension aux bornes d'un condensateur parfait [42] dans un circuit « réel » [43].

Établissement de la réponse en tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique du R L C série (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en uC(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Quand est positif, vaut 1 et l'équation différentielle se réécrit

.

......L'excitation étant une constante, la réponse forcée est cherchée sous forme d'une constante et on trouve

.

.

Réductions canoniques[modifier | modifier le wikicode]

......Il y a trois réductions canoniques principales :

La plus courante en électricité[modifier | modifier le wikicode]

......On définit deux grandeurs canoniques :

  • « la pulsation propre » en [44] et
  • un « cœfficient d'amortissement » [45] sans dimension tel que [46] ;

......l'équation différentielle réduite s'écrit .

La 2ème en importance d'usage dans le domaine électrique[modifier | modifier le wikicode]

......On définit toujours deux grandeurs canoniques :

  • « la pulsation propre » en [44] et
  • un « facteur de qualité »  sans dimension tel que [47] [48] ;

......l'équation différentielle réduite s'écrit .

La moins courante en électricité[modifier | modifier le wikicode]

......On définit encore deux grandeurs canoniques [49] :

  • « la pulsation propre » en [44] et
  • une « constante de temps »  en tel que [50] ;

......l'équation différentielle réduite s'écrit .

Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en uC(t)[modifier | modifier le wikicode]

......La solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en [51] étant la solution générale de l'équation différentielle homogène [52] [53], sa détermination passe par la résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle homogène

[54].
Évaluation du discriminant réduit[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire résolution d'une équation algébrique du 2e degré avec le monôme de degré un faisant apparaître un facteur soit

 ;

......Préliminaire sans utiliser cette particularité le discriminant s'écrit , la factorisation par 4 permet d'introduire la notion de discriminant réduit , le discriminant étant alors quatre fois ce dernier et par l'étude « du signe du discriminant réduit » [55], on obtient :

  • pour , il y a deux racines réelles distinctes [56], [57] ;
  • pour , il y a une racine réelle double [56], [58] ;
  • pour , il n'y a aucune racine réelle mais, quand on résout dans , deux racines complexes conjuguées [56], [59].

......Utilisation du préliminaire : le discriminant réduit de l'équation caractéristique [60] vaut

.
Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]

......Discussion identique à celle exposée dans le paragraphe « résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

σ > 1 (fort amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à [61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit

[62],
et étant deux constantes réelles arbitraires.

......Remarques : La condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2e ou 3e réduction canonique

  • en termes de facteur de qualité selon [63] et
  • en termes de constante de temps selon [64].
σ = 1 (amortissement critique)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à [65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit

[66],
et étant deux constantes réelles arbitraires.

......Remarques : La valeur du cœfficient d'amortissement critique se transforme, en utilisant la 2e ou 3e réduction canonique

  • en valeur critique du facteur de qualité soit [63] et
  • en valeur critique de la constante de temps soit [64].
σ < 1 (faible amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées à [67] ou,

en introduisant la notion de pseudo-pulsation [68], [69], ,

......la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit

[70],
et étant deux constantes réelles arbitraires.

......Remarques : La condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2e ou 3e réduction canonique

  • en termes de facteur de qualité selon [63] et
  • en termes de constante de temps selon [64].
σ = 0 (absence d'amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre sans terme du 1er ordre hétérogène en s'écrivant

[71],

......on écrit directement [72] la solution générale libre périodique sous la forme

[73] ou ,
et (ou et étant des constantes réelles arbitraires.

......Remarques : La condition d'absence d'amortissement se transforme, en utilisant la 2e ou 3e réduction canonique

  • en limite du facteur de qualité soit [63] et
  • en limite de la constante de temps soit [64].

Forme de la réponse transitoire en uC(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons vu dans le paragraphe « Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que


est la solution générale de l'équation homogène [74] et
la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation [75].
σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique[modifier | modifier le wikicode]

......La solution transitoire apériodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en s'écrit

,
et étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I..

.

σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique[modifier | modifier le wikicode]

......La solution transitoire apériodique critique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en s'écrit

,
et étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I..

.

σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......La solution transitoire pseudo-périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en s'écrit

avec la pseudo-pulsation,
et étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I..

.

σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique[modifier | modifier le wikicode]

......La solution transitoire périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2e ordre en s'écrit

ou ,
et (ou et étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I..

.

Détermination des C.I. en uC(t)[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique ainsi que celle stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans le circuit résistif série soumis à un échelon de tension étant continues, on en déduit la continuité de la tension aux bornes du condensateur ainsi que celle de l'intensité du courant traversant la bobine soit, avec leur valeur respective à l'instant nulle, et d'où

les C.I. suivantes et .

Expression de la réponse transitoire en uC(t) utilisant les C.I. suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]

σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve  ;

......restant donc à résoudre le système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et , , on en déduit et  ;

......finalement la réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit

[76] avec
.
σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve  ;

......restant donc à résoudre le système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et , , on en déduit et  ;

......finalement la réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur s'écrit

.
σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve ou encore, avec , la C.I.  ;

......les deux équations aux deux variables et étant non linéaires mais le devenant en considérant les deux variables et selon , on en déduit d'une part et d'autre part ;

......on détermine alors par élimination de selon ou soit, en conservant la valeur positive de [77],

et

...... étant tel que ou encore, en choisissant la valeur de dans l'intervalle [78] telle que soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition [79] ou

avec  ;

......finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit

[80] avec
et .
σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif [81], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit [82], [83] ;

......Remarque préliminaire : toutefois on a induit, plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en uC(t) avec terme du 1er ordre entraînait la « continuité de uC(t) et de sa dérivée temporelle ůC(t) » que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de et de à l'instant , les C.I. suivantes encore valables dans un circuit L C série soumis à un échelon de tension : et .

......Faisant dans l'expression de [84], on trouve soit puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve soit  ;

......finalement la réponse périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit

[85].

Tracé du diagramme temporel de la variation de uC(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes

......La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une pseudo-période toujours à [86] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement  se rapproche de sa valeur critique  ;

......ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [87] supérieure et inférieure dont les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et  ;

......on en déduit les propriétés suivantes :

  • deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure (ou inférieure) sont de temps séparés d'une pseudo-période ;
  • deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés d'une demi pseudo-période ;
  • un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure (ou inférieure) et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés d'un quart de pseudo-période ;
  • variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une constante de temps égale à [88] (justifiant que l'on estime le régime forcé atteint à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date  ;

......toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.

......Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [89] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :

......Remarque : sont définis par avec la dérivée temporelle de valant d'où, après simplification évidente, l'équation que l'on peut résoudre en évaluant la tangente de l'angle selon , les racines étant définies à près selon et enfin, compte-tenu de la valeur de précédemment déterminée, soit finalement [90], établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de .

Étude théorique du R L C série soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un RLC série soumis à un échelon de tension d'amplitude E avec sens + d'utilisation de l'équation de maille

......Rechercher une réponse en intensité du courant traversant le série soumis à un échelon de tension peut se faire en cherchant la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance car la loi d'Ohm liant les deux grandeurs en convention récepteur est une relation de proportionnalité.

Équation différentielle en intensité du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle en , intensité du courant du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que  :

......pour tout , où il convient d'éliminer au profit de en utilisant [37] d'où, en dérivant temporellement [91] , [92] soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

[93] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2e espèce en .

Discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le R L C série en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle seconde de la solution générale est discontinue de 2e espèce en t = 0 », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [40] à chaque prise de primitive soit ici la dérivée temporelle première de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en t = 0 » et la solution générale est discontinue de 0e espèce c'est-à-dire continue en t = 0 ;

......en conclusion on induit que est continue et discontinue de 1ère espèce en , on justifie la 2ère induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite [94] dans un circuit « réel » [43] et la 2e en traçant le circuit à dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement [95] traversée par aucun courant et le condensateur est initialement [95] déchargé :

  • équivalent de la bobine à un interrupteur ouvert (on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite [94] dans un circuit « réel » [43]) et
  • équivalent du condensateur à un court-circuit (on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait [96] dans un circuit « réel » [43]).

Établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

......Quand est positif, vaut 0 et l'équation différentielle se réécrit

.

......L'équation différentielle linéaire en étant homogène pour , il n'y a pas de réponse forcée..

Réduction canonique la plus usitée[modifier | modifier le wikicode]

......Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en ou en d'un série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe précédent intitulé « réductions canoniques de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en uC(t) » ;

......on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction

  • de la « pulsation propre » [97] et
  • du « cœfficient d'amortissement » [45], [98] tel que [46] ;

......l'équation différentielle réduite s'écrit alors .

Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en i(t)[modifier | modifier le wikicode]

......Cette dernière passe par la résolution de l'équation caractéristique , laquelle étant la même qu'au paragraphe intitulé « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en uC(t) » conduit à la même résolution, à savoir :

Évaluation du discriminant réduit[modifier | modifier le wikicode]

......le discriminant réduit de l'équation caractéristique vaut

[99].
Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]
σ > 1 (fort amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à [61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit

[62],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
σ = 1 (amortissement critique)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à [65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit

[66],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
σ < 1 (faible amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

...... étant l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées à [67] ou,

en introduisant la notion de pseudo-pulsation [68], [69], ,

......la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit

[70],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
σ = 0 (absence d'amortissement)[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre sans terme du 1er ordre hétérogène en s'écrivant

[71],

......on écrit directement [72] la solution générale libre périodique sous la forme

[73] ou ,
et (ou et étant des constantes réelles arbitraires.

Forme de la réponse transitoire en i(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]

......En absence de réponse forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre en à l'échelon de tension d'amplitude , la réponse transitoire s'identifie à la réponse libre d'où :

σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique[modifier | modifier le wikicode]
[62],
et étant deux constantes réelles déterminables par C.I..
σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique[modifier | modifier le wikicode]
[66],
et étant deux constantes réelles déterminables par C.I..
σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique[modifier | modifier le wikicode]
[70],
et étant deux constantes réelles déterminables par C.I..
σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique[modifier | modifier le wikicode]
[73] ou ,
et (ou et étant des constantes réelles déterminables par C.I..

Détermination des C.I. en i(t)[modifier | modifier le wikicode]

Circuit à 0+ d'un RLC série soumis à un échelon de tension d'amplitude E avec bobine initialement traversée par aucun courant et condensateur initialement déchargé

......L'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans le circuit résistif série soumis à un échelon de tension étant continue, on en déduit la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine soit, avec sa valeur respective à l'instant nulle,  ;

......n'ayant aucune propriété de continuité de dans un circuit réel, nous obtiendrons sa valeur initiale en traçant le circuit à [100] dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert d'après la 1ère C.I. et le condensateur initialement [95] déchargé par un court-circuit [101] voir ci-contre ;

......la tension aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant d'où et par suite dont on tire la C.I. cherchée .

Finalement les deux C.I. sont et .

Expression de la réponse transitoire en i(t) utilisant les C.I. suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ[modifier | modifier le wikicode]

σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve  ;

......restant donc à résoudre le système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et , , on en déduit [102] et  ;

......finalement la réponse apériodique en intensité du courant traversant le R L C série s'écrit

avec
.
σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve soit [103] ;

......finalement la réponse apériodique critique en intensité du courant traversant le R L C série s'écrit

.
σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Faisant dans l'expression de on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve ou encore, avec , la C.I. se réécrit soit [102] ;

......on détermine alors par dans laquelle soit ou en se limitant à sa détermination de l'intervalle et on choisit pour satisfaire à [104] ;

......on en déduit alors par soit  ;

......finalement la réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant le R L C série s'écrit

[105] avec
.
σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif [81], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit [82], [83] ;

......Remarque préliminaire : toutefois on a induit, plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 2ème espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en i(t) avec terme du 1er ordre entraînait la « continuité de i(t) et la discontinuité de 1ère espèce de sa dérivée temporelle (di/dt)(t) » que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de à l'instant , une 1ère C.I. restant valable dans un circuit L C série soumis à un échelon de tension, la 2e C.I. nécessitant de tracer le circuit à en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur par son équivalent à savoir un court-circuit [106] dont on déduit et .

......Faisant dans l'expression de [107], on trouve puis
......formant pour en prendre la valeur initiale on trouve dont on déduit [108] ou, en substituant , une 3e expression  ;

......finalement la réponse périodique en intensité du courant traversant le L C série s'écrit

[85].

Tracé du diagramme temporel de la variation de i(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : Le tracé et les commentaires sont quasi identiques à ceux exposés dans le paragraphe intitulé « tracé du diagramme temporel de la variation de uC(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires » plus haut dans ce chapitre, ils sont néanmoins “rappelés” ci-dessous.

Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant un RLC série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes

......La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une pseudo-période toujours à [86] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement  se rapproche de sa valeur critique  ;

......ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [87] supérieure et inférieure dont les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et  ;

......on en déduit les propriétés suivantes :

  • deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure (ou inférieure) sont de temps séparés d'une pseudo-période ;
  • deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés d'une demi pseudo-période ;
  • un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure (ou inférieure) et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés d'un quart de pseudo-période ;
  • variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une constante de temps égale à [88] (justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date  ;

......toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.

......Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [89] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :

......Remarque : sont définis par avec la dérivée temporelle de valant d'où, après simplification évidente, l'équation de définition de