Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Complexes, formes algébrique et trigonométrique
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Rappel, forme algébrique et forme trigonométrique d'un complexe[modifier | modifier le wikicode]
L'ensemble des nombres complexes, noté
, peut être considéré comme une extension de l'ensemble des nombres réels
, auquel
L'ensemble des nombres complexes, noté
, « on a ajouté un élément
, appelé unité imaginaire, dont le carré est
» [1] et
L'ensemble des nombres complexes, noté
, « en prolongeant les lois d'addition et de multiplication définies sur l'ensemble des réels » [2] ;
toutefois l'ensemble des complexes
ne conserve pas toutes les propriétés de l'ensemble des réels
,
toutefois l'ensemble des complexes
ne conserve pas toutes les propriétés en particulier
est ordonné alors que
ne l'est pas [3] ;
on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes
:
- « l'ensemble des réels
» et
- « l'ensemble des imaginaires purs noté
» obtenu par multiplication de tout réel par l'unité imaginaire
.
Forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire[modifier | modifier le wikicode]
Tout complexe
[4] peut être écrit comme la somme d'un réel
et d'un imaginaire pur
, la forme obtenue «
» étant la forme algébrique du complexe
dans laquelle :
est appelé « partie réelle du complexe » et
est appelé « partie imaginaire du complexe » [5].
On peut représenter le complexe
dans un plan dit « complexe » [6] c'est-à-dire, un plan contenant deux axes se coupant en un point
[7],
- l'un des axes servant à repérer la partie réelle du complexe
[8] et
- l'autre sa partie imaginaire
[9] ;
« le point
ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire est appelé image du complexe
»
« le complexe
quant à lui définissant l’affixe du point
» [10]
.
Le complexe conjugué du complexe
de forme algébrique «
» dans laquelle
est le complexe, noté en physique
, ayant même partie réelle que
mais une partie imaginaire opposée à celle de
soit le complexe
de forme algébrique «
».
Remarque : «
».
Forme trigonométrique d'un complexe, module et argument[modifier | modifier le wikicode]
Reprenant la représentation du complexe
dans le plan « complexe » [6] par son image
, il est possible de repérer
par
- la distance le séparant de l'origine
définissant le « module du complexe noté
» et
- l'angle que fait la direction
avec l'axe des réels
définissant l'« argument du complexe
» [11] ;
le complexe
se réécrit alors sous sa « forme trigonométrique
» [12].
Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe
de forme trigonométrique «
» dans laquelle
et
sont respectivement le module et l'argument de
, est le complexe, noté en physique
, ayant même module que
mais un argument opposé à celui de
soit le complexe
de forme trigonométrique «
».
Retour sur la notion de complexe conjugué : Remarque : Les deux définitions à partir des formes algébrique ou trigonométrique sont évidemment équivalentes, voir les paragraphes « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » et « détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique » plus loin dans ce chapitre.
Détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]
Le complexe de « forme trigonométrique
» [13] se réécrit en utilisant la « définition de l'exponentielle complexe
», selon «
» ; la comparaison de cette dernière forme avec la forme algébrique
nous donne, par identification des parties réelles et des parties imaginaires
«
» [14].
Remarque : À partir de la forme trigonométrique du complexe conjugué
relativement à celle du complexe
, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique
celle du complexe conjugué à partir de la forme algébrique car
Remarque :
«
» c.-à-d. mêmes parties réelles alors que
Remarque :
«
» c.-à-d. des parties imaginaires opposées.
Détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique[modifier | modifier le wikicode]
Le complexe étant connu par sa « forme algébrique
», on souhaite déterminer sa « forme trigonométrique
» où «
est son module » et «
son argument »
quand celui-ci existe c.-à-d. quand
.
En s'aidant de la représentation du complexe dans le plan complexe et en notant «
l'image du complexe
» nous déterminons « la distance le séparant du point origine
qui doit être identifiée au module
» du complexe d'où
«
» [15].
Souhaitant déterminer l'argument «
du complexe
» [16] « nous discuterons relativement à la valeur de sa partie réelle
» :
- « pour
», le complexe est imaginaire pur et «
»,
- « pour
», l'argument du complexe «
» peut être mis sous la forme d'un
[17] et on en déduit «
»,
- « pour
», l'argument du complexe «
» ne peut pas être mis sous la forme d'un
; « son expression dépend alors de la valeur de la partie imaginaire
» :
« pour
»,
« pour
» le complexe est réel négatif et son argument vaut «
»,
« pour
»,
« pour
» l'argument du complexe «
» alors que «
» d'où «
», « pour
»,
« pour
» l'argument du complexe «
» alors que «
» d'où «
».
Autre traitement possible quand la partie réelle est négative
« Pour

», on peut écrire

et «
![{\displaystyle \;{\underline {z}}=-\vert a\vert +i\,b=-\left[\vert a\vert -i\,b\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ce3efabef270fb603b2e081d79063846afcc86)
» puis
« Pour
», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme des arguments de chaque complexe » dont on tire ici
«
» ou, « Pour
», la partie réelle du complexe

étant par construction positive, «

» soit enfin,
« Pour
», la fonction

étant impaire,
«
»,
le choix de «
ou
» étant fait pour que « l'argument
» [18].
Autre traitement possible quand la partie imaginaire est positive
« Pour

», on peut réécrire le complexe en factorisant par

, «
![{\displaystyle \;{\underline {z}}=a+i\,b=i\left[b-i\,a\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1408b76d9608edd91ca3938d6c9eb5e49bae1cd4)
» puis
« Pour
», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme des arguments de chaque complexe » dont on tire ici
«
» ou, « Pour
», la partie réelle du complexe

étant par construction positive, «

» soit enfin,
« Pour
», la fonction

étant impaire
«
» [19].
À partir de la forme algébrique du complexe conjugué
relativement à celle du complexe
, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme algébrique
celle du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique car
«
» c.-à-d. mêmes modules alors que
«
» c.-à-d. des arguments opposés.
- ↑ Et donc
.
- ↑ La loi d'addition restant commutative, associative, avec le même élément neutre
et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique
appelé opposé dans le cas de l'addition
et
la loi de multiplication restant commutative, associative, avec le même élément neutre
et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique
appelé inverse dans le cas de la multiplication
en ajoutant que
la multiplication est distributive relativement à l'addition «
» d'une part et que
l'élément
est absorbant relativement à la multiplication «
» d'autre part.
- ↑ Dire qu'un complexe non réel est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe n'a aucun sens !
- ↑ En physique on souligne les variables pour préciser qu'elles sont complexes.
- ↑ La partie imaginaire du complexe ne contient pas le facteur
, c'est donc, par définition, un réel
il faut donc distinguer un imaginaire pur
qui
de sa partie imaginaire
qui
.
- ↑ 6,0 et 6,1 Encore appelé plan « d'Argand » ;
Jean-Robert Argand (1768 - 1822) est un mathématicien suisse amateur
son occupation principale étant de tenir une librairie
, on lui doit essentiellement une « géométrisation » des complexes publiée en
mais celle-ci est restée dans l'ombre
elle fut d'ailleurs trouvée ultérieurement et indépendamment par plusieurs autres mathématiciens
et ce n'est que vers
qu'elle réapparaît grâce à Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) mathématicien français et aussi à Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) mathématicien, astronome et physicien allemand, raison pour laquelle le plan complexe est encore appelé plan « d'Argand-Cauchy » ou plan « d'Argand-Gauss » ;
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques ;
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps
il fut surnommé « le prince des mathématiciens »
, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines
en
, à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone
polygone régulier de
côtés
soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en
la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en
un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple
ou
ou encore
de même que
; dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en
, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès
une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter
; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme
dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes ;
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
- ↑ Usuellement ces deux axes sont orthonormés.
- ↑ Cet axe étant appelé « axe des réels » sera noté
pour la suite.
- ↑ Cet axe étant appelé « axe des imaginaires purs » sera noté
pour la suite ; c'est parce que l'ensemble des parties imaginaires des éléments de
est
donc ordonné qu'il est possible de représenter un imaginaire pur sur un axe.
- ↑ « Affixe » est féminin.
- ↑ En fait l'angle que fait la direction
avec l'axe des réels n'est défini que si
le complexe
n'a pas d'argument ;
de plus l'angle que fait la direction
, quand elle existe, avec l'axe des réels étant défini à
près, il en est de même de l'argument du complexe également défini à
près, ayant donc une infinité de déterminations possibles ; dans la pratique il est d'usage de privilégier une détermination particulière de cet argument celle dont la valeur absolue appartient à
, c'est ce que nous ferons par la suite sans autre précision.
- ↑ Voir justification au paragraphe « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » plus exactement dans la note « 14 » plus loin dans le chapitre.
- ↑ Dans le cas où
, son module
et le 2ème facteur de la forme trigonométrique ne jouant aucun rôle,
étant l'élément absorbant de la multiplication, il n'est pas gênant que l'argument de
ne soit pas défini.
- ↑ Ces relations justifient l'expression de la forme trigonométrique
dans la mesure où le module
s'identifie à la distance
et où l'argument
s'identifie à l'angle
de la représentation du complexe dans le plan complexe.
- ↑ Le complexe nul
c.-à-d. à partie réelle et partie imaginaire simultanément nulles
a un module nul.
- ↑ On rappelle qu'on ne peut pas définir d'argument pour le complexe nul.
- ↑ Voir le paragraphe « fonction arctangente » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Si
,
d'où
,
si
,
d'où
,
les deux résultats étant en accord avec les résultats précédemment trouvés.
- ↑ Si
, on vérifierait que «
»,
si
, on vérifierait que «
»,
les deux résultats correspondant à l'une ou l'autre des relations «
» ;
- la démonstration de ces relations résulte de «
» soit,
- avec
et inversion «
», l'égalité pouvant être écrite comme cela car «
peut être mis sous la forme d'un
», on obtient, en posant «
», «
» ou encore, avec «
», «
» ;
- avec
et inversion «
», l'égalité doit être écrite comme cela car «
ne peut pas être mis sous la forme d'un
» mais doit l'être sous la forme d'un «
», on obtient, après simplification et avec «
», «
» ou, avec «
», «
».