Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique

**Complexes, formes algébrique et trigonométrique**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 10
Chap. préc. :	Fonctions trigonométriques inverses
Chap. suiv. :	Coniques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Complexes, formes algébrique et trigonométrique
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Rappel, forme algébrique et forme trigonométrique d'un complexe

     L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\mathbb {C}$ , peut être considéré comme une extension de l'ensemble des nombres réels $\;\mathbb {R}$ , auquel
     L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ , « on a ajouté un élément $\;i$ , appelé unité imaginaire, dont le carré est $\;i^{2}=-1\;$ »^[1] et
     L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ , « en prolongeant les lois d'addition et de multiplication définies sur l'ensemble des réels »^[2] ;

toutefois l'ensemble des complexes $\;\mathbb {C} \;$ ne conserve pas toutes les propriétés de l'ensemble des réels $\;\mathbb {R}$ ,
toutefois l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ ne conserve pas toutes les propriétés en particulier $\;\mathbb {R} \;$ est ordonné alors que $\;\mathbb {C} \;$ ne l'est pas^[3] ;

     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\mathbb {C}$ : $\bullet \;$ « l'ensemble des réels $\;\mathbb {R} \;$ » et
     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ : $\bullet \;$ « l'ensemble des imaginaires purs $\;i\,\mathbb {R} \;$ »
     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « obtenu par multiplication de tout réel par l'unité imaginaire $\;i$ .

Forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire

     Tout complexe $\;{\underline {z}}\;$ ^[4] peut être écrit comme la somme d'un réel $\;a\;$ et d'un imaginaire pur $\;i\,b$ , la forme obtenue « $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ » étant la forme algébrique du complexe $\;{\underline {z}}\;$ dans laquelle
        Tout complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ peut être écrit comme la somme d'un réel $\;\color {transparent}{a}\;$ et d'un imaginaire pur $\;\color {transparent}{i\,b}$ , la forme obtenue « $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ » $\bullet$ $\;a=\Re ({\underline {z}})\;$ est appelé « partie réelle du complexe » et
        Tout complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ peut être écrit comme la somme d'un réel $\;\color {transparent}{a}\;$ et d'un imaginaire pur $\;\color {transparent}{i\,b}$ , la forme obtenue « $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ » $\bullet$ $\;b=\Im ({\underline {z}})\;$ est appelé « partie imaginaire du complexe »^[5].

     On peut représenter le complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ dans un plan dit « complexe »^[6] c'est-à-dire, un plan contenant deux axes se coupant en un point $\;O\;$ ^[7],
        On peut représenter le complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ dans un plan dit « complexe » c.-à-d. un plan contenant $\bullet \;$ l'un des axes servant à repérer la partie réelle du complexe $\;a=\Re ({\underline {z}})\;$ ^[8] et
        On peut représenter le complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ dans un plan dit « complexe » c.-à-d. un plan contenant $\bullet \;$ l'autre sa partie imaginaire $\;b=\Im ({\underline {z}})\;$ ^[9] ;

« le point $\;M\;$ ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire est appelé image du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ » ${\big (}$ « le complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ quant à lui définissant l’affixe du point $\;M\;$ »^[10] ${\big )}$ .

Notion de complexe conjugué

Le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ de forme algébrique « $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ » dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a=\Re ({\underline {z}})\\b=\Im ({\underline {z}})\end{array}}\right\rbrace \;$ est le complexe, noté en physique $\;{\underline {z}}^{*}$ , ayant même partie réelle que $\;{\underline {z}}\;$ mais une partie imaginaire opposée à celle de $\;{\underline {z}}\;$ soit le complexe $\;{\underline {z}}^{*}\;$ de forme algébrique « $\;{\underline {z}}^{*}=a-i\,b\;$ ».

Remarque : « $\;{\underline {z}}^{*}={\underline {z}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {z}}\,\in \,\mathbb {R} \;$ ».

Forme trigonométrique d'un complexe, module et argument

     Reprenant la représentation du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ dans le plan « complexe »^[6] par son image $\;M$ ,
     Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;M\;$ par $\bullet \;$ la distance le séparant de l'origine $\;\rho =OM\;$ définissant le « module du complexe noté $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho \;$ » et
     Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;\color {transparent}{M}\;$ par $\bullet \;$ l'angle que fait la direction $\;(OM)\;$ avec l'axe des réels $\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {x'x}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}})}}\;$
     Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;\color {transparent}{M}\;$ par $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'angle que fait la direction $\;\color {transparent}{(OM)}\;$ avec l'axe des réels définissant l'« argument du complexe noté $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \;$ »^[11] ;

Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ le complexe $\;{\underline {z}}\;$ se réécrit alors sous sa « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$ »^[12].

     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ de forme trigonométrique « $\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$ » où $\;\vert {\underline {z}}\vert \;$ et $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ sont le module et l'argument de $\;{\underline {z}}$ ,
     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ est le complexe, noté en physique $\;{\underline {z}}^{*}$ , ayant même module que $\;{\underline {z}}\;$ mais un argument opposé à celui de $\;{\underline {z}}\;$ soit
     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ est le complexe $\;{\underline {z}}^{*}\;$ de forme trigonométrique « $\;{\underline {z}}^{*}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[-i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$ ».

Retour sur la notion de complexe conjugué : Remarque : Les deux définitions à partir des formes algébrique ou trigonométrique sont évidemment équivalentes, voir les paragraphes « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » et « détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique » plus loin dans ce chapitre.

Détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique

Le complexe de « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$ »^[13] se réécrit en utilisant la « définition de l'exponentielle complexe $\;\exp(i\,\theta )=$ $\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )\;$ », selon « $\;{\underline {z}}=\rho \left[\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )\right]=$ $\rho \,\cos(\theta )+i\,\rho \,\sin(\theta )\;$ » ; la comparaison de cette dernière forme avec la forme algébrique $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ nous donne, par identification des parties réelles et des parties imaginaires

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a=\rho \,\cos(\theta )\;\;{\text{ou}}\;\;\Re ({\underline {z}})=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\\b=\rho \,\sin(\theta )\;\;\;{\text{ou}}\;\;\;\Im ({\underline {z}})=\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\end{array}}\right.\;

»^[14].

     Remarque : À partir de la forme trigonométrique du complexe conjugué $\;{\underline {z}}^{*}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[-i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$ relativement à celle du complexe $\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]$ , nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme algébrique car
     Remarque : $\succ \;$ « $\;\Re ({\underline {z}}^{*})=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\Re ({\underline {z}})\;$ » c.-à-d. mêmes parties réelles alors que
     Remarque : $\succ \;$ « $\;\Im ({\underline {z}}^{*})=\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=-\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=-\Im ({\underline {z}})\;$ » c.-à-d. des parties imaginaires opposées.

Détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique

Le complexe étant connu par sa « forme algébrique $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ », on souhaite déterminer sa « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$ » où « $\;\rho =\vert {\underline {z}}\vert \;$ est son module » et « $\;\theta =\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ son argument » $\;{\big (}$ quand celui-ci existe c.-à-d. quand $\;{\underline {z}}\neq 0{\big )}$ .

Détermination du module

En s'aidant de la représentation du complexe dans le plan complexe et
en notant « $\;M\;$ l'image du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ » nous déterminons « la distance le séparant du point origine $\;OM={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$ qui doit être identifiée au module $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho \;$ » du complexe d'où

«

\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;

»^[15].

Détermination de l'argument

Souhaitant déterminer l'argument « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \;$ du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\neq 0\;$ »^[16] « nous discuterons relativement à la valeur de sa partie réelle $\;\Re ({\underline {z}})=a\;$ » :

« pour $\;\Re ({\underline {z}})=a=0\;$ », le complexe est imaginaire pur et « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\Im ({\underline {z}})=b>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\Im ({\underline {z}})=b<0\end{array}}\right.\;$ »,
« pour $\;\Re ({\underline {z}})=a>0\;$ », l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » peut être mis sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ ^[17] et on en déduit
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a>0}\;$ », l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ »,
« pour $\;\Re ({\underline {z}})=a<0\;$ », l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta {\cancel {\in }}\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » ne peut pas être mis sous la forme d'un $\;\arctan()$ ;
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », « son expression dépend alors de la valeur de la partie imaginaire $\;\Im ({\underline {z}})=b\;$ » :
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b=0\;$ » le complexe est réel négatif et son argument vaut « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\pi \;$ »,
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b>0\;$ » l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$ » alors que « $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,0\right[\;$ » d'où
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », $\color {transparent}{\succ }$ « pour $\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;$ » l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]+\pi =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \;$ »,
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b<0\;$ » l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]-\pi \,{\text{,}}\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » alors que « $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\in \left]0\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » d'où
« pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$ », $\color {transparent}{\succ }$ « pour $\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b<0}\;$ » l'argument du complexe « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]-\pi =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)-\pi \;$ ».

Autre traitement possible quand la partie réelle est négative

« Pour

\;\Re ({\underline {z}})=a<0\;

», on peut écrire

\;a=-\vert a\vert \;

et «

\;{\underline {z}}=-\vert a\vert +i\,b=-\left[\vert a\vert -i\,b\right]\;

» puis
« Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme
« Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», on peut utiliser la propriété suivante « des arguments de chaque complexe » dont on tire ici «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi +\mathrm {arg} (\vert a\vert -i\,b)\;

» ou, « Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», la partie réelle du complexe

\;\vert a\vert -i\,b\;

étant par construction positive, «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi +\arctan \!\left({\dfrac {-b}{|a|}}\right)\;

» soit enfin, « Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», la fonction

\;\arctan()\;

étant impaire, «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{|a|}}\right)\;

»,
le choix de «

\;+\;

ou

\;-\;

» étant fait pour que « l'argument

\;\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;

»^[18].

Autre traitement possible quand la partie imaginaire est positive

« Pour

\;\Im ({\underline {z}})=b>0\;

», on peut réécrire le complexe en factorisant par

\;i

, «

\;{\underline {z}}=a+i\,b=i\left[b-i\,a\right]\;

» puis
« Pour

\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;

», on peut utiliser la propriété suivante « l'argument d'un produit de complexes est la somme
« Pour

\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;

», on peut utiliser la propriété suivante « des arguments de chaque complexe » dont on tire ici «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}+\mathrm {arg} (b-i\,a)\;

» ou, « Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», la partie réelle du complexe

\;b-i\,a\;

étant par construction positive, «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left({\dfrac {-a}{b}}\right)\;

» soit enfin, « Pour

\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;

», la fonction

\;\arctan()\;

étant impaire «

\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)\;

»^[19].

Remarque concernant la notion de complexe conjugué

À partir de la forme algébrique du complexe conjugué $\;{\underline {z}}^{*}=a-i\,b\;$ relativement à celle du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b$ , nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme algébrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique car

$\succ \;$ « $\;\vert {\underline {z}}^{*})\vert ={\sqrt {a^{2}+(-b)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=\vert {\underline {z}}\vert \;$ » c.-à-d. mêmes modules alors que
$\succ \;$ « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}}^{*})=\left\lbrace {\begin{array}{l l}\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)\!\!&{\text{pour }}a>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b>0\\+{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b<0\\\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)-\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b>0\\\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)+\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b<0\end{array}}\right\rbrace =-\left\lbrace {\begin{array}{l l}\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\!\!&{\text{pour }}a>0\\+{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b<0\\\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b>0\\\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)-\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b<0\end{array}}\right\rbrace =-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ » c.-à-d. des arguments opposés.

Notes et références

↑ Et donc $\;{\cancel {\in }}\;\mathbb {R}$ .
↑ La loi d'addition restant commutative, associative, avec le même élément neutre $\;0\;$ et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique $\;{\big (}$ appelé opposé dans le cas de l'addition ${\big )}\;$ et
   la loi de multiplication restant commutative, associative, avec le même élément neutre $\;1\;$ et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique $\;{\big (}$ appelé inverse dans le cas de la multiplication ${\big )}\;$ en ajoutant que
   la multiplication est distributive relativement à l'addition « $\;a\times \left(b+c\right)$ $=\left(b+c\right)\times a=a\times b+a\times c\;$ » d'une part et que
   l'élément $\;0\;$ est absorbant relativement à la multiplication « $\;0\times a=a\times 0=0\;$ » d'autre part.
↑ Dire qu'un complexe non réel est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe n'a aucun sens !
↑ En physique on souligne les variables pour préciser qu'elles sont complexes.
↑ La partie imaginaire du complexe ne contient pas le facteur $\;i$ , c'est donc, par définition, un réel $\;{\big (}$ il faut donc distinguer un imaginaire pur $\;i\,b\;$ qui $\;{\cancel {\in }}\,\mathbb {R} \;$ de sa partie imaginaire $\;b\;$ qui $\;\in \mathbb {R} {\big )}$ .
↑ ^6,0 et ^6,1 Encore appelé plan « d'Argand » ;
   Jean-Robert Argand (1768 - 1822) est un mathématicien suisse amateur $\;{\big (}$ son occupation principale étant de tenir une librairie ${\big )}$ , on lui doit essentiellement une « géométrisation » des complexes publiée en $\;1806\;$ mais celle-ci est restée dans l'ombre $\;{\big (}$ elle fut d'ailleurs trouvée ultérieurement et indépendamment par plusieurs autres mathématiciens ${\big )}\;$ et ce n'est que vers $\;1845\;$ qu'elle réapparaît grâce à Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) mathématicien français et aussi à Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) mathématicien, astronome et physicien allemand, raison pour laquelle le plan complexe est encore appelé plan « d'Argand-Cauchy » ou plan « d'Argand-Gauss » ;
   Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques ;
   Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps $\;{\big [}$ il fut surnommé « le prince des mathématiciens » ${\big ]}$ , on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines $\;\{$ en $\;1796$ , à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone $\;{\big (}$ polygone régulier de $\;17\;$ côtés ${\big )}\;$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $\;1801\;$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $\;1772$ $\;{\big [}$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $\;11\equiv 3^{2}\!\!{\pmod {2}}\;$ ou $\;19\equiv 4^{2}\!\!{\pmod {3}}\;$ ou encore $\;41\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {5}}\;$ de même que $\;43\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {7}}\;\ldots {\big ]}$ ; dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $\;1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $\;{\big (}$ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ${\big )}$ ; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme $\}\;$ dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes ;
   Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
   James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ Usuellement ces deux axes sont orthonormés.
↑ Cet axe étant appelé « axe des réels » sera noté $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ pour la suite.
↑ Cet axe étant appelé « axe des imaginaires purs » sera noté $\;{\overrightarrow {y'y}}\;$ pour la suite ; c'est parce que l'ensemble des parties imaginaires des éléments de $\;i\,\mathbb {R} \;$ est $\;\mathbb {R} \;$ donc ordonné qu'il est possible de représenter un imaginaire pur sur un axe.
↑ « Affixe » est féminin.
↑ En fait l'angle que fait la direction $\;(OM)\;$ avec l'axe des réels n'est défini que si $\;M\neq O\;$ $\Rightarrow$ le complexe $\;0\;$ n'a pas d'argument ;
de plus l'angle que fait la direction $\;(OM)$ , quand elle existe, avec l'axe des réels étant défini à $\;2\,\pi \;$ près, il en est de même de l'argument du complexe également défini à $\;2\,\pi \;$ près, ayant donc une infinité de déterminations possibles ; dans la pratique il est d'usage de privilégier une détermination particulière de cet argument celle dont la valeur absolue appartient à $\;\left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]$ , c'est ce que nous ferons par la suite sans autre précision.
↑ Voir justification au paragraphe « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » plus exactement dans la note « ¹⁴ » plus loin dans le chapitre.
↑ Dans le cas où $\;{\underline {z}}=0$ , son module $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho =0\;$ et le 2^ème facteur de la forme trigonométrique ne jouant aucun rôle, $\;0\;$ étant l'élément absorbant de la multiplication, il n'est pas gênant que l'argument de $\;{\underline {z}}=0\;$ ne soit pas défini.
↑ Ces relations justifient l'expression de la forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$ dans la mesure où le module $\;\vert {\underline {z}}\vert \;$ s'identifie à la distance $\;OM\;$ et où l'argument $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ s'identifie à l'angle $\;{\widehat {({\overrightarrow {x'x}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}})}}\;$ de la représentation du complexe dans le plan complexe.
↑ Le complexe nul $\;{\big (}$ c.-à-d. à partie réelle et partie imaginaire simultanément nulles ${\big )}\;$ a un module nul.
↑ On rappelle qu'on ne peut pas définir d'argument pour le complexe nul.
↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Si $\;b>0$ , $\;\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)\in \left]0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)=\pi +\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)$ ,
si $\;b<0$ , $\;\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,0\right[\;$ d'où $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =-\pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)=-\pi +\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)$ ,
les deux résultats étant en accord avec les résultats précédemment trouvés.
↑ Si $\;a>0$ , on vérifierait que « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ »,
   si $\;a<0$ , on vérifierait que « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \;$ »,
   les deux résultats correspondant à l'une ou l'autre des relations « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan(x)+\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}\;x>0\\{\text{et}}\\\arctan(x)+\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)=-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}\;x<0\end{array}}\right.\;$ » ;
   la démonstration de ces relations résulte de « $\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathrm {cotan} (\alpha )={\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\;$ » soit,
   avec $\;\alpha >0\;$ et inversion « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\right]\;$ », l'égalité pouvant être écrite comme cela car « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \in \left]0\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ peut être mis sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ », on obtient, en posant « $\;\alpha =\arctan(x)\;$ », « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan(x)\right]}}\right\rbrace \;$ » ou encore, avec « $\;\tan \!\left[\arctan(x)\right]=x\;$ », « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\;$ » ;

   avec $\;\alpha <0\;$ et inversion « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\right]+\pi \;$ », l'égalité doit être écrite comme cela car « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$ ne peut pas être mis sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ » mais doit l'être sous la forme d'un « $\;\arctan()+\pi \;$ », on obtient, après simplification et avec « $\;\alpha =$ $\arctan(x)\;$ », « $\;-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan(x)\right]}}\right\rbrace \;$ » ou, en utilisant « $\;\tan \!\left[\arctan(x)\right]$ $=x\;$ », « $\;-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\;$ ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Fonctions trigonométriques inverses

Coniques

[1] Et donc $\;{\cancel {\in }}\;\mathbb {R}$ .

[2] La loi d'addition restant commutative, associative, avec le même élément neutre $\;0\;$ et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique $\;{\big (}$ appelé opposé dans le cas de l'addition ${\big )}\;$ et
la loi de multiplication restant commutative, associative, avec le même élément neutre $\;1\;$ et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique $\;{\big (}$ appelé inverse dans le cas de la multiplication ${\big )}\;$ en ajoutant que
la multiplication est distributive relativement à l'addition « $\;a\times \left(b+c\right)$ $=\left(b+c\right)\times a=a\times b+a\times c\;$ » d'une part et que
l'élément $\;0\;$ est absorbant relativement à la multiplication « $\;0\times a=a\times 0=0\;$ » d'autre part.

[3] Dire qu'un complexe non réel est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe n'a aucun sens !

[4] En physique on souligne les variables pour préciser qu'elles sont complexes.

[5] La partie imaginaire du complexe ne contient pas le facteur $\;i$ , c'est donc, par définition, un réel $\;{\big (}$ il faut donc distinguer un imaginaire pur $\;i\,b\;$ qui $\;{\cancel {\in }}\,\mathbb {R} \;$ de sa partie imaginaire $\;b\;$ qui $\;\in \mathbb {R} {\big )}$ .

[plan_complexe-6] 6,0 et ^6,1 Encore appelé plan « d'Argand » ;
Jean-Robert Argand (1768 - 1822) est un mathématicien suisse amateur $\;{\big (}$ son occupation principale étant de tenir une librairie ${\big )}$ , on lui doit essentiellement une « géométrisation » des complexes publiée en $\;1806\;$ mais celle-ci est restée dans l'ombre $\;{\big (}$ elle fut d'ailleurs trouvée ultérieurement et indépendamment par plusieurs autres mathématiciens ${\big )}\;$ et ce n'est que vers $\;1845\;$ qu'elle réapparaît grâce à Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) mathématicien français et aussi à Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) mathématicien, astronome et physicien allemand, raison pour laquelle le plan complexe est encore appelé plan « d'Argand-Cauchy » ou plan « d'Argand-Gauss » ;
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques ;
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps $\;{\big [}$ il fut surnommé « le prince des mathématiciens » ${\big ]}$ , on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines $\;\{$ en $\;1796$ , à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone $\;{\big (}$ polygone régulier de $\;17\;$ côtés ${\big )}\;$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $\;1801\;$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $\;1772$ $\;{\big [}$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $\;11\equiv 3^{2}\!\!{\pmod {2}}\;$ ou $\;19\equiv 4^{2}\!\!{\pmod {3}}\;$ ou encore $\;41\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {5}}\;$ de même que $\;43\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {7}}\;\ldots {\big ]}$ ; dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $\;1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $\;{\big (}$ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ${\big )}$ ; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme $\}\;$ dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes ;
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.

[7] Usuellement ces deux axes sont orthonormés.

[8] Cet axe étant appelé « axe des réels » sera noté $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ pour la suite.

[9] Cet axe étant appelé « axe des imaginaires purs » sera noté $\;{\overrightarrow {y'y}}\;$ pour la suite ; c'est parce que l'ensemble des parties imaginaires des éléments de $\;i\,\mathbb {R} \;$ est $\;\mathbb {R} \;$ donc ordonné qu'il est possible de représenter un imaginaire pur sur un axe.

[10] « Affixe » est féminin.

[11] En fait l'angle que fait la direction $\;(OM)\;$ avec l'axe des réels n'est défini que si $\;M\neq O\;$ $\Rightarrow$ le complexe $\;0\;$ n'a pas d'argument ;
de plus l'angle que fait la direction $\;(OM)$ , quand elle existe, avec l'axe des réels étant défini à $\;2\,\pi \;$ près, il en est de même de l'argument du complexe également défini à $\;2\,\pi \;$ près, ayant donc une infinité de déterminations possibles ; dans la pratique il est d'usage de privilégier une détermination particulière de cet argument celle dont la valeur absolue appartient à $\;\left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]$ , c'est ce que nous ferons par la suite sans autre précision.

[12] Voir justification au paragraphe « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » plus exactement dans la note « ¹⁴ » plus loin dans le chapitre.

[13] Dans le cas où $\;{\underline {z}}=0$ , son module $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho =0\;$ et le 2^ème facteur de la forme trigonométrique ne jouant aucun rôle, $\;0\;$ étant l'élément absorbant de la multiplication, il n'est pas gênant que l'argument de $\;{\underline {z}}=0\;$ ne soit pas défini.

[14] Ces relations justifient l'expression de la forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$ dans la mesure où le module $\;\vert {\underline {z}}\vert \;$ s'identifie à la distance $\;OM\;$ et où l'argument $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ s'identifie à l'angle $\;{\widehat {({\overrightarrow {x'x}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}})}}\;$ de la représentation du complexe dans le plan complexe.

[15] Le complexe nul $\;{\big (}$ c.-à-d. à partie réelle et partie imaginaire simultanément nulles ${\big )}\;$ a un module nul.

[16] On rappelle qu'on ne peut pas définir d'argument pour le complexe nul.

[17] Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[18] Si $\;b>0$ , $\;\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)\in \left]0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)=\pi +\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)$ ,
si $\;b<0$ , $\;\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,0\right[\;$ d'où $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =-\pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{\vert a\vert }}\right)=-\pi +\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)$ ,
les deux résultats étant en accord avec les résultats précédemment trouvés.

[19] Si $\;a>0$ , on vérifierait que « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ »,
si $\;a<0$ , on vérifierait que « $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \;$ »,
les deux résultats correspondant à l'une ou l'autre des relations « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan(x)+\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}\;x>0\\{\text{et}}\\\arctan(x)+\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)=-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si }}\;x<0\end{array}}\right.\;$ » ;
la démonstration de ces relations résulte de « $\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathrm {cotan} (\alpha )={\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\;$ » soit,
avec $\;\alpha >0\;$ et inversion « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\right]\;$ », l'égalité pouvant être écrite comme cela car « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \in \left]0\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ peut être mis sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ », on obtient, en posant « $\;\alpha =\arctan(x)\;$ », « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan(x)\right]}}\right\rbrace \;$ » ou encore, avec « $\;\tan \!\left[\arctan(x)\right]=x\;$ », « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\;$ » ;

avec $\;\alpha <0\;$ et inversion « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}\right]+\pi \;$ », l'égalité doit être écrite comme cela car « $\;{\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$ ne peut pas être mis sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ » mais doit l'être sous la forme d'un « $\;\arctan()+\pi \;$ », on obtient, après simplification et avec « $\;\alpha =$ $\arctan(x)\;$ », « $\;-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan(x)\right]}}\right\rbrace \;$ » ou, en utilisant « $\;\tan \!\left[\arctan(x)\right]$ $=x\;$ », « $\;-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\;$ ».

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