Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

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Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
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Chapitre no 3
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Équations différentielles
Chap. suiv. :Différentielle d'une fonction d'une variable
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     On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre sont des constantes réelles non nulles, et étant les variables réelles à déterminer :

Solution triviale[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons une 1ère solution qualifiée de « triviale » ; est-elle unique ?

     Nous avons une 1ère solution qualifiée de « triviale » ; Si non, à quelle condition sur existe-t-il des solutions non triviales ?

Condition d'existence de solutions non triviales[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple avec , on a nécessairement comme solution de la 2ème équation, et par suite :
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple avec , si , comme solution de la 1ère équation et
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple avec , si , toutes valeurs de est solution de la 1ère équation ;
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul par exemple
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est sur l'exemple .

     Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple avec , cela supprime cette équation, il ne reste plus qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues,
     Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple avec , on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.

     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d.
     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition ou encore
     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition .

Obtention des solutions non triviales[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposons donc  : si et , il reste à résoudre dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] d'où
     Nous supposons donc  : si et , il reste à résoudre si les solutions non triviales sont ,
     Nous supposons donc  : si et , il reste à résoudre [4] dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] impliquant la solution triviale d'où
        Nous supposons donc  : si et , il reste à résoudre les solutions non triviales du système ,
     Nous supposons donc  : si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre l'une d'entre elles, par exemple
     Nous supposons donc  : si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre de solutions non triviales .

Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles et  : , étant des cœfficients réels,
     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles et  : étant les seconds membres réels dont l'un au moins est non nul [1] ;
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : méthode par substitution [5],
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : méthode par combinaison linéaire [6] et
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : méthode par comparaison graphique[7].

Résolution par substitution[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations , puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :

  • si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation «», laquelle peut être réécrite selon «» ou
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation «» ;
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si et [8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si et [9], il y a une infinité de solutions ;
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si , il y a une solution unique avec ou encore
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si , expression de que l'on peut simplifier selon
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si , soit finalement
    si , on tire de la 1ère équation «» que l'on reporte dans la 2ème équation si , la solution unique «» ;
  • si , la 1ère équation se réécrivant «» et la 2ème restant «», on est conduit à la discussion suivante :
    si , si et [10], il n'y a aucune solution réelle finie ;
    si , si et [11], il y a une infinité de solutions ;
    si , si [12], il y a une solution unique avec et [13] que l'on peut simplifier selon soit finalement
         si , si , il y a une solution unique«».

Résolution par combinaison (linéaire)[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients , , ou est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution,
       Remarque préliminaire : Si au moins un le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient dans l'exposé de la méthode du paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre ;
     Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients , , et n'est nul.

     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant ou devant dans chaque équation,
     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant on obtient ainsi un système équivalent, puis
     Cette méthode consiste à conserver une des équations de et
     Cette méthode consiste à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de dans le but d'éliminer ou et
     Cette méthode consiste à avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue ou , que l'on sait résoudre ;
     Cette méthode consiste par report de la valeur de ou de dans l'équation non modifiée de , on trouve la valeur de l'autre inconnue ou  ;
     Cette méthode consiste appliquée au système on obtient :

  • en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par de façon à avoir le même cœfficient de que la 1ère on obtient ou,
      en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par de façon à avoir le même cœfficient de que la 1ère on obtient dans le but d'éliminer les fractions,
    en remplaçant la 1ère équation par elle-même multipliée par et la 2ème par elle-même multipliée par toujours de façon à avoir le même cœfficient de dans les deux équations on obtient
      en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par de façon à avoir le même cœfficient de que la 1ère on obtient ,
  • puis en conservant la 1ère équation de ou en la remplaçant par la 1ère équation de [14] et
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient  ;
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si et [8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si et [9], il y a une infinité de solutions ;
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si , il y a une solution unique avec [15] et
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si , il y a une solution unique avec ou
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si , il y a une solution unique avec
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si , il y a une solution unique avec [16] soit finalement
    puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient si , il y a une solution unique«».

Résolution par comparaison (graphique)[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple
     Cette méthode elle se fait en exprimant « en fonction de [17] » ou « en fonction de [18] », puis
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique les deux représentations de « en fonction de » ou de « en fonction de » ;
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont parallèles, il n'y a aucune solution,
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

     Pour la suite nous supposerons et ce qui permettra d'extraire des deux équations « en fonction de ».

     Pour extraire « en fonction de » des deux équations on multiplie les deux membres de la 1ère équation par et
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations on multiplie les deux membres de la 2ème équation par soit «» [19], puis
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations on trace, dans un même repère , la droite d'équation et
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations on trace, dans un même repère , la droite d'équation  :
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si et si , les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution,
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si et si , les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si et si , les deux droites sont confondues et «» [20] et
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à soit
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes ou d'où
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes dont on déduit
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes l'ordonnée du point d'intersection ou
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes soit
     Pour extraire « en fonction de » des deux équations si , les deux droites sont sécantes la solution unique «».

Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles «» dans lequel
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] «» dans laquelle
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit «» [22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension ou taille appelée
                                                                              Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit « matrice des cœfficients du système » [23],
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit «» [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée
                                                                          Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit « matrice colonne des inconnues »,
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit «» [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée
                                                                         Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit « matrice colonne des 2nds membres » et enfin
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] c.-à-d.
     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur de «» [26], [27].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul[modifier | modifier le wikicode]

     Pour «», la « matrice des cœfficients du système » [23] est inversible il existe une matrice carrée notée de même dimension ou taille telle que
                               Pour «», la « matrice des cœfficients du système » est inversible son produit matriciel à droite ou à gauche avec la matrice donnée [25]
                               Pour «», la « matrice des cœfficients du système » est inversible est la matrice identité de même dimension ou taille [22] soit
                               Pour «», la « matrice des cœfficients du système » est inversible «» [28].

     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système : soit à déterminer telle que [29]
     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système : [30], [31] d'où «» [32].

     Résolution de l'équation matricielle : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par et on obtient la « solution matricielle »,
    Résolution de l'équation matricielle  : en effet [33] soit finalement
     Résolution de l'équation matricielle  : «» compte-tenu de .

     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite de la solution de l'équation matricielle associée «» soit «[32] » [34] soit finalement
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : la solution unique «[35] » et
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : la solution unique «[36] »,
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : ces résultats exprimés sous forme de quotient de déterminants définissant
                                            Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : ces résultats la « règle de Cramer » [37], [38], [39].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si «», la « matrice des cœfficients du système » [23] n'est pas inversible de même dimension ou taille que telle que
                         Si «», la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible de même dimension ou taille que telle que ou ,
                                   Si «», la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même
                                   Si «», la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'existence de cette dernière ;

     en réécrivant, en termes de déterminant, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :

  • si et si [40], il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues et
  • si et si [41], il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
         si et si , il y a une infinité de solutions s'écrivant, si , selon «» [42].

Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »[modifier | modifier le wikicode]

     La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de équations algébriques linéaires à inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que est grand.

Résolution par substitution[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations, puis à remplacer son expression dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de équations algébriques linéaires à inconnues puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de équations algébriques linéaires à inconnues

Résolution par combinaison linéaire[modifier | modifier le wikicode]

     Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues par exemple est effective cette équation conservée étant, par exemple, et de remplacer chaque équation par une combinaison linéaire de et dans laquelle est éliminée, on obtient ainsi équations dans lesquelles n'apparaît pas et une dernière équation où figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de équations algébriques linéaires à équations puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de équations algébriques linéaires à inconnues

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

     Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard

Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , «» dans lequel
     Le système des équations algébriques linéaires aux inconnues peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] «» dans laquelle

  • [22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension ou taille appelée « matrice des cœfficients du système » [23],
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des inconnues »,
  • [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille appelée « matrice colonne des 2nds membres » et
  • l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23], [27]
     la résolution de l'équation matricielle nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant «» [26].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si « est », la « matrice des cœfficients du système » [23] est inversible il existe une matrice carrée notée de même dimension ou
                                                                       Si « est », la « matrice des cœfficients du système » est inversible taille telle que son produit matriciel à droite ou à gauche avec
                                                                       Si « est », la « matrice des cœfficients du système » est inversible la matrice donnée [25] est la matrice identité de même dimension
                                                                      Si « est », la « matrice des cœfficients du système » est inversible ou taille [22] soit «» [43].

     Résolution de l'équation matricielle : supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23] déterminée c.-à-d. connue,
     Résolution de l'équation matricielle : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par et on obtient la solution matricielle «»,
     Résolution de l'équation matricielle : en effet [33] soit finalement
    Résolution de l'équation matricielle  : «» compte-tenu de .

Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : cette méthode est exposée dans le paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la « matrice carrée de dimension ou taille », nous définissons
     Soit la « comatrice de , notée , comme la matrice de ses cofacteurs [44] »,
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire [44] » dans laquelle
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire est la matrice carrée de dimension ou taille déduite de en remplaçant la jème colonne
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire par une colonne constituée uniquement de à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire soit et
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire est la sous-matrice carrée de dimension ou taille déduite de en supprimant la ième ligne et
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire la jème colonne soit ,
     Soit le « cofacteur d'indice de la matrice étant le scalaire étant le déterminant de la sous-matrice et définissant un « mineur de ».

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

     Appelant « matrice complémentaire de » la matrice transposée [45] de la comatrice [46] c.-à-d. ,
     la formule de Laplace [47] de détermination de l'inverse de la matrice carrée formule admise s'écrit selon «».

Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer[modifier | modifier le wikicode]

     Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues : pour cela on développe
     explicitation de la solution du système le produit matriciel du membre de droite soit, en explicitant la « matrice complémentaire de » [48],
     explicitation de la solution du système
                    explicitation de la solution du système soit
     explicitation de la solution du système de numérateur
     explicitation de la solution du système de numérateur somme dont il est aisé de
     explicitation de la solution du système de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant c.-à-d.
       explicitation de la solution du système de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice dans laquelle la ième colonne est
       explicitation de la solution du système de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon remplacée par la colonne des 2nds membres,
       explicitation de la solution du système de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice que nous noterons soit finalement
     explicitation de la solution du système la solution unique «», ce résultat suivant la « règle de Cramer » [37], [38].

Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul (système dit de Cramer)[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles «, »,
     Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
                                       Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» est la « matrice carrée de dimension ou taille ,
     Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
                          Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille ,
     Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des 2nds membres »,                           Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille et
     Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «» dans laquelle «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer [37] c.-à-d. tel que est , en effet le calcul de donne
           on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer c.-à-d. tel que est , en effet le calcul de [49], [50] ;

          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la matrice étant donc inversible, la solution de l'équation matricielle est unique et peut s'obtenir par «» [51]
          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer est la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23] par utilisation de la formule de Laplace [47],
          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer «» [52] ou encore «» [53] d'où
          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la solution en développant le produit matriciel mais
          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse à cause du calcul de la matrice inverse
          on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse il semble préférable d'utiliser la règle de Cramer [37]

       on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer [37], la solution de l'équation matricielle est unique et peut être obtenue par règle de Cramer [37], [54] soit
            on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution «[49], [50] » [55],
            on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution «[49], [50] » [56] et
            on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution «[49], [50] » [57].

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]

     Si « est », la « matrice des cœfficients du système » [23] n'est pas inversible matrice carrée de même dimension ou taille que
                                                                      Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible telle que son produit matriciel à droite ou à gauche avec
                                                                        Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible la matrice [25] est la matrice identité de même dimension
                                                                        Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible ou taille [22] c.-à-d. «» ou
                                                                             Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible ou taille c.-à-d. «», ceci mettant
                                                                         Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même
                                                                         Si « est », la « matrice des cœfficients du système » n'est pas inversible en défaut l'existence de cette dernière.

Généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul[modifier | modifier le wikicode]
  • Si « le déterminant d'une des matricesest non nul » matrice dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
      Si « le déterminant d'une des matricesest non nul » il n'y a pas de solution au système des équations algébriques linéaires aux inconnues ;
  • si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » matrice dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » il existe le plus souvent une infinité de solutions mais
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » dans certains cas il n'en existe aucune suivant le théorème de Rouché-Fontené [58], [59] :
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » la « matrice des cœfficients du système » [23] étant de rang [60], [61],
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » si la matrice augmentée [62] est de rang [60] égal à celui de la matrice [63],
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » il y a une infinité de solutions formant un sous-espace affine de de dimension et
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » la « matrice des cœfficients du système » [23] étant de rang [60], [61],
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » si la matrice augmentée [62] est de rang [60] supérieur à celui de la matrice [63],
      si « les déterminants de toutes les matricessont nuls » il n'y a aucune solution [64].
Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul[modifier | modifier le wikicode]

     1er exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles «, »,
     1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
                                          1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» est la « matrice carrée de dimension ou taille ,
     1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
                          1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille ,
     1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des 2nds membres »,
                          1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille et
     1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     1er exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] , en effet le calcul de donne
            1er exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » , en effet le calcul de [49], [50], [65] ;

     1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul matrice où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
       1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50], [66],
       1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50], [67] et
       1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50], [68] ;

     1er exemple : la matrice n'étant pas inversible, on détermine son rang [60] soit les colonnes et étant indépendantes l'une de l'autre de façon évidente et
          1er exemple : la matrice n'étant pas inversible, on détermine son rang soit la colonne étant une C.L. [69] des colonnes et selon  ;

     1er exemple : la matrice augmentée [62] s'écrivant , on détermine son rang [60] en recherchant si la colonne est une C.L. [69] ou non des colonnes et [70],
                                                 1er exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang or la colonne est donc C.L. [69] des colonnes et
                                                 1er exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang le rang [60] de la matrice augmentée [62] vaut
                                                       1er exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang le rang de la matrice augmentée au rang de la matrice d'où

     1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené [58], [59], il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine de de dimension
                1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant le sous-espace affine contient le point [71] et a pour
                1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant direction [72] le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur de matrice coordonnées
                1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant correspondant à la colonne de la matrice , soit
                1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant et .

     2ème exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles «, »,
     2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [22], [73] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
                                                 2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» est la « matrice carrée de dimension ou taille ,
     2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
                          2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille ,
     2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24], [74] la « matrice colonne des 2nds membres »,
                                 2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille et
     2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     2ème exemple : le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] est donc [73] ;

     2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices matrice où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
       2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices car [49], [50], [75],
       2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices car [49], [50], [76] et
       2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices car [49], [50], [77] ;

     2ème exemple : il n'y a donc pas de solution du système [78]  ;

     2ème exemple : remarque : le rang [60] de la matrice étant [73], on vérifie que celui de la matrice augmentée [62] vaut [79],
               2ème exemple : remarque : le rang de la matrice étant , en effet la colonne n'est pas une C.L. [69] des colonnes et [70], pour le vérifier on impose une relation de liaison
               2ème exemple : remarque : le rang de la matrice étant , en effet entre les trois colonnes [80], [81].

     3ème exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles «, »,
     3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
                                                 3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» est la « matrice carrée de dimension ou taille ,
     3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
                          3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille ,
     3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des 2nds membres »,
                          3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille et
     3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     3ème exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] , en effet le calcul de donne
           3ème exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » , en effet le calcul de [49], [50] ;

     3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul matrice où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
       3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50],
       3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50] et
       3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice est nul en effet [49], [50] ;

     3ème exemple : la matrice n'étant pas inversible, on détermine son rang [60] soit de façon évidente les colonnes et sont des multiples de la colonne selon
        3ème exemple : la matrice n'étant pas inversible, on détermine son rang soit de façon évidente «» et «» ;

     3ème exemple : la matrice augmentée [62] s'écrivant , on détermine son rang [60] en recherchant si la colonne est multiple ou non de la colonne [82],
                                                           3ème exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang or la colonne étant à la colonne
                                                           3ème exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang le rang [60] de la matrice augmentée [62] vaut
                                                                 3ème exemple : la matrice augmentée s'écrivant , on détermine son rang le rang de la matrice augmentée au rang de la matrice d'où

     3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené [58], [59], il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine de de dimension
                3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant le sous-espace affine contient le point [83] et a pour
                3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant direction [72] le sous-espace vectoriel d'« équation » [84]
                3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant [85], [86], soit
                3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant et .

     4ème exemple : soit le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles «, »,
     4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [22], [87] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
                                                        4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» est la « matrice carrée de dimension ou taille ,
     4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
                          4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille ,
     4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» [24], [88] la « matrice colonne des 2nds membres »,
                                 4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» la « matrice de dimension ou taille et
     4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «» dans laquelle «» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;

     4ème exemple : le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] est donc [87] ;

     4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice matrice où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres,
       4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice car [49], [50],
       4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice car [49], [50]
         4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice et [49], [50] ;

     4ème exemple : le rang [60] de la matrice étant [87], on vérifie que celui de la matrice augmentée [62] vaut ,
               4ème exemple : le rang de la matrice étant , en effet la colonne n'est pas à la colonne [82], pour le vérifier on impose une relation de liaison
               4ème exemple : le rang de la matrice étant , en effet entre les deux colonnes [89], [81] ;

     4ème exemple : il n'y a donc pas de solution du système [90] .

Résolution par élimination de Gauss-Jordan (ou par méthode du « pivot de Gauss »)[modifier | modifier le wikicode]

     L'élimination de Gauss-Jordan [91], [92] peut être utilisée pour résoudre un système de équations algébriques linéaires à inconnues mais ne sera présentée que dans le cas où ,
                  L'élimination de Gauss-Jordan peut être utilisée plus exactement et pour être plus concret, dans le cas en choisissant le système suivant «».

     Préliminaire : l'exposé se faisant à l'aide de l'interprétation matricielle nécessite d'introduire, avant de commencer, la notion de
     Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur d'une ligne avec son indice
     Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros » ;
     Préliminaire : exemple de matrice échelonnée (en lignes) : matrice triangulaire supérieure [21] mais toutes les matrices échelonnées (en lignes) ne sont pas triangulaires supérieures [21].

     Exposé de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan [91], [92]ou méthode du pivot de Gauss [91]sur l'exemple de résolution du système :
     Exposé de la méthode écrire l'équation matricielle associée au système d'équations algébriques linéaires « avec , et »,
     Exposé de la méthode former la matrice augmentée [62] dans le but de la réduire sous forme échelonnée (en lignes),
     Exposé de la méthode chercher dans la 1ère colonne de la matrice augmentée [93] la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients : elle vaut et se trouve dans la 2ème ligne
     Exposé de la méthode l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale étant , la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est ,
     Exposé de la méthode le cœfficient en position définit le « pivot »,
     Exposé de la méthode si le pivot est ce qui est le cas on divise la ligne où il se trouve c.-à-d. la 2ème ligne par sa valeur c.-à-d. d'où une 1ère forme réduite
     Exposé de la méthode à ,
     Exposé de la méthode placer cette 2ème ligne modifiée en 1ère ligne soit ,
     Exposé de la méthode remplacer la 2ème ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 1ère ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 2ème ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode remplacer la 3ème ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 1ère ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 3ème ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode réitérer l'algorithme sur  :
     Exposé de la méthode chercher dans la 2ème colonne de la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients des lignes et , elle vaut et se trouve dans la 2ème ligne,
     Exposé de la méthode l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale est , la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est ,
     Exposé de la méthode le cœfficient en position définissant le nouveau « pivot »,
     Exposé de la méthode si le nouveau pivot est ce qui est le cas on divise la ligne où il se trouve c.-à-d. la 2ème ligne par sa valeur c.-à-d. d'où une 5ème forme réduite
     Exposé de la méthode ,
     Exposé de la méthode si cette ligne modifiée de n'est pas la 2ème ce qui n'est pas le cas la mettre en 2ème ligne,
     Exposé de la méthode remplacer la 3ème ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 2ème ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 3ème ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode remplacer la 1ère ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 2ème ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 1ère ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode réitérer l'algorithme sur  :
     Exposé de la méthode dans la 3ème colonne de la valeur absolue du cœfficient de la ligne vaut valeur évidemment maximale,
     Exposé de la méthode l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale est , la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est ,
     Exposé de la méthode le cœfficient en position définissant le nouveau « pivot »,
     Exposé de la méthode si le nouveau pivot est ce qui est le cas on divise la ligne où il se trouve c.-à-d. la 3ème ligne par sa valeur c.-à-d. d'où une 8ème forme réduite
     Exposé de la méthode ,
     Exposé de la méthode remplacer la 1ère ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 3ème ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 1ère ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode remplacer la 2ème ligne de par une C.L. [69] de cette ligne et de 3ème ligne de de façon à ce que le nouveau cœfficient en position soit nul, c.-à-d.
     Exposé de la méthode remplacer la 2ème ligne de par «» ,
     Exposé de la méthode le retour au système d'équations algébriques linéaires nous donne la solution unique «».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Encore appelés « excitations » en physique.
  2. On remarque que tous les cas envisagés sont contenus dans cette relation, en effet si , on doit avoir ou .
  3. 3,0 et 3,1 La nullité de tous les cœfficients étant exclue car cela rendrait inutile le système d'équations.
  4. C.-à-d. un système ne contenant plus la variable laquelle peut donc prendre n'importe quelle valeur réelle.
  5. C'est la 1ère qui vient à l'esprit mais qui n'est pas nécessairement la plus rapide.
  6. Un peu plus élaborée et donc un peu plus rapide.
  7. C'est celle qui est la plus concrète mais aussi la plus longue.
  8. 8,0 et 8,1 Nous remarquons que soit, en multipliant la 1ère équation par et en maintenant la 2ème équation inchangée, les mêmes premiers membres mais des deuxièmes membres différents d'où l'absence de solutions.
  9. 9,0 et 9,1 Nous remarquons que établissant que la 2ème équation est identique à la 1ère à un facteur multiplicatif près d'où une infinité de solutions.
  10. C'est aussi la condition et avec et  ;
       toutefois cette condition ne peut être considérée dans la pratique la 1ère équation s'écrivant avec que si les cœfficients ou et sont paramétrés avec un ou deux paramètres, la valeur nulle de l'un et de l'autre étant obtenue pour une valeur particulière de ce ou de ces paramètres.
  11. C'est aussi la condition et avec et  ;
       toutefois cette condition ne peut être considérée dans la pratique la 1ère équation s'écrivant avec que si les cœfficients ou et ou et le 2ème membre de la 1ère équation sont paramétrés avec un, deux ou trois paramètres, leurs valeurs nulles étant obtenues pour une valeur particulière de ce ou de ces paramètres.
  12. C'est aussi la condition avec et .
  13. Nous supposons car si et étaient tous deux nuls le système ne serait plus à deux inconnues mais à une seule .
  14. Qui est la 1ère équation de divisée par , la multiplication par de la 1ère équation initiale simultanément à la multiplication par de la 2ème équation initiale n'ayant été faites que pour obtenir les mêmes cœfficients de dans les deux équations de dans le but d'éliminer en les soustrayant.
  15. Évidemment la même solution que trouvée dans le paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre.
  16. Évidemment la même solution que trouvée dans le paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre.
  17. Ce qui suppose que et sont tous deux .
  18. Ce qui suppose que et sont tous deux .
  19. De plus on a transposé de membre dans les deux équations le terme dépendant de .
  20. Qui pourrait encore être écrite selon .
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  22. 22,00 22,01 22,02 22,03 22,04 22,05 22,06 22,07 22,08 et 22,09 Voir le paragraphe « structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  23. 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 23,10 23,11 23,12 23,13 23,14 23,15 23,16 23,17 23,18 23,19 et 23,20 Ou plus simplement « matrice du système ».
  24. 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 24,10 24,11 24,12 et 24,13 Voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  25. 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 et 25,09 Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  26. 26,0 et 26,1 Voir le paragraphe « notion de déterminant d'une matrice carrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  27. 27,0 et 27,1 Plus exactement de son caractère nul ou non nul.
  28. Ou mais attention la commutativité de la multiplication matricielle entre deux matrices carrées quelconques de même dimension ou taille est a priori fausse.
  29. Nous obtenons un système de quatre équations linéaires aux quatre inconnues indépendantes .
  30. Nous résolvons le système de quatre équations linéaires aux quatre inconnues indépendantes par combinaisons linéaires, voir le paragraphe « résolution par combinaison linéaire » plus bas dans ce chapitre.
  31. Nous pourrions nous étonner d'avoir à utiliser la résolution par combinaisons linéaires d'un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues indépendantes dans le but de déterminer la matrice inverse alors que la recherche de celle-ci est faite pour proposer une méthode plus compacte de résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues indépendantes par exemple par combinaison linéaire ;
       en fait nous verrons dans le paragraphe « inversion d'une matrice carrée sous condition d'existence » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » des méthodes de détermination de matrice inverse indépendantes de la résolution de systèmes d'équations linéaires, voir ultérieurement car nécessitant des connaissances que vous n'avez sans doute pas encore les exemples du paragraphe « cas d'une matrice carrée de dimension (ou taille) 2 » de ce même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  32. 32,0 et 32,1 En effet avec «», ce résultat peut être considéré comme la définition du déterminant d'une matrice carrée de dimension ou taille .
  33. 33,0 et 33,1 Voir l'associativité de la multiplication matricielle dans le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  34. En effet «» et «», chacun de ces résultats peut être considéré comme la définition du déterminant d'une matrice carrée de dimension ou taille .
  35. S'écrivant encore .
  36. S'écrivant encore .
  37. 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 et 37,5 Gabriel Cramer (1704 - 1752) mathématicien suisse ayant apporté des contributions dans le domaine de l'algèbre et de la géométrie en particulier par son traité sur les courbes algébriques mais de nos jours il reste essentiellement connu pour la règle portant son nom utilisable dans la résolution d'un système algébrique de Cramer c.-à-d. un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice des cœfficients est non nul.
  38. 38,0 et 38,1 La règle de Cramer est énoncée par Gabriel Cramer sans utiliser la notion de déterminant de matrice qui n'était pas encore connue.
  39. La solution de la 1ère inconnue est le quotient de deux déterminants, le déterminant du dénominateur étant celui de la matrice des cœfficients et celui du numérateur étant le déterminant de la matrice des cœfficients dans laquelle la 1ère colonne est remplacée par la colonne de la matrice colonne des 2nds membres et
       la solution de la 2ème inconnue est le quotient de deux déterminants, le déterminant du dénominateur étant celui de la matrice des cœfficients et celui du numérateur étant le déterminant de la matrice des cœfficients dans laquelle la 2ème colonne est remplacée par la colonne de la matrice colonne des 2nds membres .
  40. Comme , on peut en déduire que si et par suite s'écrivant si , on en déduit c.-à-d. .
  41. Comme , on peut en déduire que si et par suite s'écrivant si , on en déduit c.-à-d. .
  42. Qui pourrait encore être écrite, si , selon «».
  43. Ou mais attention la commutativité de la multiplication matricielle entre deux matrices carrées quelconques de même dimension ou taille est a priori fausse.
  44. 44,0 et 44,1 Voir le paragraphe « notion de comatrice d'une matrice carrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  45. Voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  46. Voir le paragraphe « rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » plus haut dans ce chapitre.
  47. 47,0 et 47,1 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
  48. Voir le paragraphe « explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée (matrice complémentaire) » plus haut dans ce chapitre.
  49. 49,00 49,01 49,02 49,03 49,04 49,05 49,06 49,07 49,08 49,09 49,10 49,11 49,12 49,13 49,14 49,15 49,16 et 49,17 Voir le paragraphe « formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  50. 50,00 50,01 50,02 50,03 50,04 50,05 50,06 50,07 50,08 50,09 50,10 50,11 50,12 50,13 50,14 50,15 50,16 et 50,17 Évaluation faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 1ère colonne.
  51. Apparente simplicité mais il reste à calculer
  52. La comatrice de étant , les cofacteurs de la 1ère, 2ème et 3ème colonne de la comatrice s'obtenant par
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant ,
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant et
    • le cofacteur d'indice de la matrice étant  ;
       on en déduit la matrice complémentaire de c.-à-d. la matrice transposée de la comatrice de soit .
  53. Voir également le 1er exemple du paragraphe « application de la formule de Laplace pour déterminer l'inverse d'une matrice dans le cas d'une matrice de dimension (ou taille) 3 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  54. Voir le paragraphe « explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer » plus haut dans ce chapitre.
  55. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                        L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 3ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 1ère ligne : et
                        L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  56. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 3ème colonne ou encore suivant la 1ère ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 3ème colonne : et
                           L'évaluation de suivant la 1ère ligne : .
  57. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème colonne ou encore suivant la 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 2ème colonne : et
                           L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  58. 58,0 58,1 et 58,2 Eugène Rouché (1832 - 1910) mathématicien français ayant laissé son empreinte en analyse complexe, raison pour laquelle son nom fut donné à un théorème, mais connu également pour l'établissement du théorème de Rouché-Fontené en de façon indépendante et simultanée à Georges Fontené portant sur les conditions de résolubilité d'un système de équations algébriques linéaires à inconnues.
  59. 59,0 59,1 et 59,2 Georges Fontené (1848 - 1922) mathématicien français dont les travaux portèrent sur la géométrie pure et analytique, son nom restant essentiellement attaché au théorème de Rouché-Fontené établi en de façon indépendante et simultanée à Eugène Rouché portant sur les conditions de résolubilité d'un système de équations algébriques linéaires à inconnues.
  60. 60,00 60,01 60,02 60,03 60,04 60,05 60,06 60,07 60,08 60,09 60,10 et 60,11 Par exemple le nombre maximal de vecteurs colonnes ou lignes linéairement indépendants ou la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes ou lignes
  61. 61,0 et 61,1 Le déterminant de la matrice des cœfficients du système étant nul, ses vecteurs colonnes sont nécessairement liés et le rang de la matrice est à .
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 62,4 62,5 62,6 62,7 et 62,8 On ajoute, en dernière colonne, la colonne des 2nds membres à la matrice des cœfficients du système, on obtient ainsi une matrice de dimension ou taille .
  63. 63,0 et 63,1 Si on ajoute une colonne à une matrice de rang , soit la colonne correspond à un vecteur combinaison linéaire des vecteurs libres du reste des colonnes et dans ce cas le rang de la matrice augmentée est égal à c.-à-d. le rang de la matrice d'origine,
                           Si on ajoute une colonne à une matrice de rang r soit la colonne correspond à un vecteur linéairement non lié aux vecteurs libres du reste des colonnes et dans ce cas le rang de la matrice augmentée est égal à c.-à-d. au rang de la matrice d'origine augmenté de un.
  64. En effet il n'y a que inconnues indépendantes mais équations linéaires indépendantes d'où nécessairement une dernière équation conduisant à une incohérence
  65. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème colonne ou suivant la 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                           L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  66. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                        L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 3ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 1ère ligne : ,
                        L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  67. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème colonne ou suivant la 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                           L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  68. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème colonne ou suivant la 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                           L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  69. 69,00 69,01 69,02 69,03 69,04 69,05 69,06 69,07 69,08 et 69,09 Combinaison Linéaire.
  70. 70,0 et 70,1 La colonne n'étant pas à prendre en compte puisqu'elle est une combinaison linéaire des et
  71. Ces coordonnées devant vérifier le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , , on élimine en lui imposant la valeur nulle, la valeur de se déterminant par l'équation et celle de par l'équation .
  72. 72,0 et 72,1 On appelle « direction d'un espace affine » l'espace vectoriel qui lui est associé.
  73. 73,0 73,1 et 73,2 Inchangée par rapport au 1er exemple de ce paragraphe.
  74. Seule modification par rapport au 1er exemple de ce paragraphe.
  75. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                        L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 3ème colonne : ,
                        L'évaluation de suivant la 1ère ligne : ,
                        L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  76. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 3ème colonne ou suivant la 1ère ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 3ème colonne : ,
                           L'évaluation de suivant la 1ère ligne : .
  77. L'évaluation de faite par formule de Laplace voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre avec développement suivant la 2ème colonne ou suivant la 2ème ligne aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
                           L'évaluation de suivant la 2ème colonne : ,
                           L'évaluation de suivant la 2ème ligne : .
  78. Voir le paragraphe « généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul » plus haut dans ce chapitre.
  79. Ainsi dans le cas où il y a au moins un déterminant des matrices , le rang de la matrice augmentée est aussi à celui de la matrice comme dans le cas où tous les déterminants des matrices sont nuls, ceci correspondant à l'absence de solution du système.
  80. Ceci résultant de la non nullité du déterminant de induisant l'existence d'une solution unique qui ne peut être rien d'autre que la solution triviale.
  81. 81,0 et 81,1 Ce qui caractérise une famille libre de vecteurs
  82. 82,0 et 82,1 Les colonnes et n'étant pas à prendre en compte puisqu'elles sont chacune un multiple de la colonne
  83. Ces coordonnées devant vérifier le système des équations algébriques linéaires aux inconnues réelles , , on élimine et en leur imposant la valeur nulle, la valeur de se déterminant par l'équation .
  84. Il s'agit donc du plan vectoriel défini comme « ensemble des vecteurs représentés par la matrice colonne “ au vecteur normal de ce plan représenté par la matrice ligne correspondant à la 1ère ligne de la matrice des cœfficients du système », l'équation du plan vectoriel traduisant l'égalité matricielle .
  85. Le vecteur normal au plan vectoriel correspond à la transposée au sens matriciel de la 1ère ligne de la matrice des cœfficients du système soit «».
  86. On peut choisir deux vecteurs engendrant le plan vectoriel en écrivant que ces vecteurs doivent être au vecteur normal du plan soit et .
  87. 87,0 87,1 et 87,2 Inchangée par rapport au 3ème exemple de ce paragraphe.
  88. Seule modification par rapport au 3ème exemple de ce paragraphe.
  89. Pour cela on résout le système des équations linéaires aux inconnues qui n'admet pour solution que la solution triviale .
  90. Voir le paragraphe « généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul » plus haut dans ce chapitre.
  91. 91,0 91,1 et 91,2 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps il fut surnommé « le prince des mathématiciens », on lui doit d'importantes contributions dans principalement trois domaines dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes :
    • en , à l'âge de dix-neuf ans, il caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone polygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que ,
    • dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter et
    • dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ;
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  92. 92,0 et 92,1 Wilhelm Jordan (1842 - 1899) géodésien allemand ayant étudié les reliefs de l'Allemagne et de l'Afrique, il publia en , d'après les travaux de Gauss, la méthode d'élimination de Gauss-Jordan.
  93. C'est aussi la 1ère colonne de la matrice des cœfficients du système.