Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie

**Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 27
Chap. préc. :	Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Puissance électrique instantanée reçue par une association série ou parallèle de dipôles

Rappel : puissance électrique instantanée reçue par un dipôle

Considérant un dipôle en convention récepteur traversé par un courant d'intensité instantanée $\;i(t)\;$ et aux bornes duquel la tension instantanée vaut $\;u(t)$ ,

la « puissance électrique instantanée qu'il reçoit » ^[1] s'écrit

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)\;

^[2].

Puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles

« La puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant traversé par un courant de même intensité $\;i(t)\;$ et la tension $\;u(t)\;$ aux bornes de l'association série de dipôles étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle $\;u_{k}(t)\;$ c'est-à-dire $\;u(t)=$ $\sum \limits _{k}u_{k}(t)$ , la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)=\left[\sum \limits _{k}u_{k}(t)\right]i(t)=\left[\sum \limits _{k}u_{k}(t)\;i(t)\right]\;$ soit finalement

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=\left[\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,k}(t)\right]\;

» C.Q.F.D. ^[3].

Puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles

« La puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant soumis à la même tension $\;u(t)\;$ et l'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant l'association parallèle de dipôles étant la somme des intensités des courants traversant dipôle individuellement $\;i_{k}(t)\;$ c'est-à-dire $\;i(t)=\sum \limits _{k}i_{k}(t)$ , la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)=u(t)\left[\sum \limits _{k}i_{k}(t)\right]=\left[\sum \limits _{k}u(t)\;i_{k}(t)\right]\;$ soit finalement

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=\left[\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,k}(t)\right]\;

» C.Q.F.D. ^[3].

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

« L'échelon de tension » d'amplitude $\;E$ , de f.e.m. instantanée $\;e(t)=E\;Y(t)$ , étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)=E\;Y(t)\;i(t)\;

» ^[4]^, ^[5].

Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et conséquences

Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[q(t)\right]^{2}}{2\;C}}\;$ », $\;u_{C}(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et $\;q(t)\;$ sa charge instantanée et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$ », $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

Nous avons vu dans le chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant de charge du condensateur d'un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension était discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » ^[6]^, ^[7], cela entraîne une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] de

la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ ainsi que de
la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ ^[8] fournie par l'échelon de tension en $\;t=0$ ;

le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ » a « une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] ou une continuité en $\;t=0\;$ » ^[9] ;

on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ » est

« continu si le condensateur est initialement déchargé » ou
« discontinu de 1^ère espèce ^[6] s'il est initialement chargé »

en effet explicitant la « dérivée temporelle » ^[10], on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u_{C}(t)\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;C\;{\dot {u_{C}}}(t)\;$ soit encore « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)=$ $u_{C}(t)\;i(t)\;$ » en utilisant la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$ , d'une grandeur continue $\;u_{C}(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1^ère espèce ^[6] $\;i(t)$ , est discontinue de 1^ère espèce ^[6] dans la mesure où $\;u_{C}(0)\neq 0\;$ ${\big (}$ ce qui nécessite que le condensateur soit chargé initialement ${\big )}$ ;

dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1^ère espèce ^[6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ sous forme électrostatique.

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, puis en son intensité de courant de charge

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge u_C(t) du condensateur

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de sa tension de charge $\;u_{C}(t)\;$ soit « $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u_{C}(t)\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;C\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;i(t)\;$ » ^[11] ;

son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à « $\;e(t)\;i(t)=u_{C}(t)\;i(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ » ou, après simplification par $\;i(t)\;$ ^[12] et remplacement de l'expression de $\;i(t)\;$ restante par $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$ , on obtient $\;e(t)$ $=u_{C}(t)+R\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ soit en normalisant

«

\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {e(t)}{R\;C}}\;

» ou «

\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall t\;

» ^[5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité du courant de charge i(t) du condensateur

Ayant déterminé l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;C\;$ dans le but d'utiliser $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée

«

\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {{\dot {e}}(t)}{R}}\;

» ou «

\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall t\;

» ^[13].

Bilan d'énergie d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant $\;t\;$ » $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ par $\;dt$ , on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\left[t\;,\;t+dt\right]\;$ soit

«

\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=d{\mathcal {E}}_{C}+\delta Q_{{\text{cal}},\,R}\;

»

c'est-à-dire « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » ^[14] ou, en explicitant les différents termes

«

\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;C\left[u_{C}(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;

» ;

écrivons maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de la charge du condensateur c'est-à-dire sur l'intervalle théorique $\;\left[0\;;\;+\infty \right[\;$ on obtient

«

\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\Delta {\mathcal {E}}_{C}+Q_{{\text{cal}},\,R}\;

»

     où « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}\;$ est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de la charge » soit « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ » ^[15],
     où « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{C}={\mathcal {E}}_{C}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{C}(0^{+})\;$ ^[16] le gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » soit encore « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}-0=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$ » et
     où « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » soit encore « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ » ^[15] ;

explicitons le travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge en remarquant que $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;i(t)\;dt=dq\;$ on trouve « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt=$ $E\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }dq=E\;\left[q(+\infty )-q(0^{+})\right]\;$ » ^[16] soit, avec $\;q(+\infty )=C\;E$ , l'expression finale du travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge

«

\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=C\;E^{\,2}\;

» ;

du bilan d'énergie pendant la durée complète de la charge du condensateur, on en déduit la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique $\;Q_{{\text{cal}},\,R}=$ $W_{e,\,f,\,{\text{source}}}-\Delta {\mathcal {E}}_{C}=C\;E^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$ soit

«

\;Q_{{\text{cal}},\,R}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;

» ^[17].

Remarque : le but étant de charger le condensateur, nous pouvons définir le rendement de cette charge comme le rapport de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique sur l'énergie fournie par la source, nous trouvons alors « $\;\rho ={\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{C}}{W_{e,\,f,\,{\text{source}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;$ », l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique représentant donc $\;50\,\%$ .

Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et conséquences

Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ », $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$ », $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

Nous avons vu dans le chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant traversant la bobine d'un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension était continue en $\;t=0\;$ », cela entraîne, dans la mesure où la bobine n'est traversée par aucun courant initialement ^[18], une continuité, en $\;t=0\;$ , de

la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ ^[19] fournie par l'échelon de tension ;

le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ » est « continue en $\;t=0\;$ ».

     Remarque : si la bobine était initialement ^[18] traversée par un courant d'intensité non nulle, « l'intensité du courant traversant la bobine d'un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension étant continue en $\;t$ $=0\;$ », cela entraînerait,
     Remarque : $\centerdot \;$ une continuité de la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ mais
     Remarque : $\centerdot \;$ une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] en ce même instant de la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ ^[20] fournie par l'échelon de tension ;

Remarque : le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ » a « une discontinuité de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » ^[6]^, ^[21].

on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ » est

« continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » $\;{\big (}$ ce qui est le cas usuel ${\big )}\;$ ou
« discontinu de 1^ère espèce ^[6] si elle est initialement traversée par un courant »

en effet explicitant la « dérivée temporelle » ^[10], on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=i(t)\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ soit encore « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)=$ $i(t)\;u_{L}(t)\;$ » en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$ , d'une grandeur continue $\;i(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1^ère espèce ^[6] $\;u_{L}(t)$ , est discontinue de 1^ère espèce ^[6] dans la mesure où $\;i(0)\neq 0\;$ ${\big (}$ ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant ${\big )}$ ;

dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1^ère espèce ^[6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ sous forme électromagnétique.

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, puis en la tension entre ses bornes

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité de courant i(t) traversant la bobine

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité du courant $\;i(t)\;$ la traversant soit « $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=i(t)\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ » ;

son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à « $\;e(t)\;i(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;i(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ » ou, après simplification par $\;i(t)\;$ ^[22], on obtient $\;e(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)\;$ soit en normalisant

«

\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {e(t)}{L}}\;

» ou «

\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall t\;

» ^[5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension u_L(t) aux bornes de la bobine parfaite

Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;L\;$ dans le but d'utiliser $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée

«

\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)={\dot {e}}(t)\;

» ou «

\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)=E\;\delta (t)\;\;\forall t\;

» ^[13].

Bilan d'énergie d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant $\;t\;$ » $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ par $\;dt$ , on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\left[t\;,\;t+dt\right]\;$ soit

«

\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=d{\mathcal {E}}_{L}+\delta Q_{{\text{cal}},\,R}\;

»

c'est-à-dire « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » ^[14] ou, en explicitant les différents termes

«

\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;L\left[i(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;

» ;

si nous écrivions maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de l'établissement du courant dans la bobine c'est-à-dire sur l'intervalle théorique $\;\left[0\;;\;+\infty \right[\;$ nous obtiendrions

«

\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\Delta {\mathcal {E}}_{L}+Q_{{\text{cal}},\,R}\;

» avec

     « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}\;$ le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant » qui s'écrirait encore « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ ${\big (}$ sous réserve de convergence ^[23] ${\big )}\;$ » ^[15],
     « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}={\mathcal {E}}_{L}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{L}(0^{+})\;$ ^[16] le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » soit encore « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}-0$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}\;$ » et
     « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » qui s'écrirait encore « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}$ $=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ ${\big (}$ sous réserve de convergence ^[24] ${\big )}\;$ » ^[15], mais $\;\ldots \;$
     si nous écrivions les deux grandeurs « $\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ » et « $\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ » étant infinies ^[25], il y a donc divergence des intégrales généralisées ^[26] et il est nécessaire de restreindre la durée de l'établissement du courant dans la bobine pour travailler avec des grandeurs finies ^[27] aussi
     si nous écrivions considérons un instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel nous pouvons estimer que le courant est « quasiment » ^[28] établi et
     si nous écrivions décomposons la 1^ère intégrale selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}E\;Y(t)\;i(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}E\;i(t)\;dt\;\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}E\;{\dfrac {E}{R}}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$ » soit, en faisant tendre $\;\Delta t\;$ vers $\;+\infty$ , « une divergence » ^[26] à cause du « dernier terme $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$ », le « 1^er terme $\;\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt\;$ » étant, quant à lui, fini et
     si nous écrivions décomposons la 2^ème intégrale selon « $\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{\Delta t}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}\!R\,\left[{\dfrac {E}{R}}\right]^{2}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\,\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$ » soit, en faisant tendre $\;\Delta t\;$ vers $\;+\infty$ , « une divergence » ^[26] à cause du « dernier terme $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$ », le « 1^er terme $\;\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ » étant, quant à lui, fini.

Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]\;$ où $\;T_{x\,\%}\;$ est l'instant au-delà duquel la réponse forcée est établie à moins de $\;x\,\%\;$ près,
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ en choisissant $\;x=10\;$ par exemple $\;{\big (}$ sachant que $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\;\tau \;$ ^[29] ${\big )}\;$ d'où

«

\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \Delta {\mathcal {E}}_{L}+Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;

»

Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;$ est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant à $\;10\,\%\;$ près », soit « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}$ $=\displaystyle \int _{0}^{T_{10\,\%}}E\;Y(t)\;i(t)\;dt\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }E\;i(t)\;dt\;$ »,

Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq {\mathcal {E}}_{L}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{L}(0^{+})\;$ ^[16] le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique à moins de $\;1\,\%\;$ près », soit « $\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}-0$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}\;$ » et

Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où « $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$ » soit « $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}$ $=\displaystyle \int _{0}^{T_{10\,\%}}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\simeq \displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ » ;

Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ à partir de l'expression de l'intensité du courant traversant la bobine « $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ » ^[30] nous pouvons évaluer

le travail électrique fourni par la source pendant la durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$ selon « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[t+\tau \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]_{0}^{2,3\,\tau }=$ ${\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[2,3\;\tau +\tau \;\exp \!\left(-2,3\right)-\tau \right]\simeq {\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;1,4\;\tau \;$ » ^[31] ou encore, avec $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ et $\;i(+\infty )={\dfrac {E}{R}}\;$ ^[16], « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq 1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$ » ^[32] ; du bilan d'énergie « $\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}+\Delta {\mathcal {E}}_{L}\;$ » nous déduisons la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}=$ $W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}-\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq 1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}-0,5\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$ soit « $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq 0,9\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$ » ^[33] ;
la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$ par calcul direct soit $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \displaystyle \int _{0^{+}}^{2,3\,\tau }R\;\left\lbrace {\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\right\rbrace ^{2}\;dt=$ ${\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{2,3\,\tau }\left[1-2\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]\;dt\;$ que l'on intègre selon $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[t+2\;\tau \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)-{\dfrac {\tau }{2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]_{0^{+}}^{2,3\,\tau }={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\tau \;\left[2,3+2\;\exp \!\left(-2,3\right)-2-{\dfrac {1}{2}}\;\exp \!\left(-5,6\right)+{\dfrac {1}{2}}\right]$ $\simeq {\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\tau \;$ ^[34] ou encore, avec $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ et $\;i(+\infty )={\dfrac {E}{R}}\;$ ^[16], « $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$ » ^[35].

Remarque : le but étant d'établir un courant dans la bobine à un pourcentage près $\;{\big (}$ nous choisirons à $\;10\,\%\;$ près ^[29] ${\big )}$ , nous pouvons définir le rendement de cet établissement comme le rapport de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique pendant la durée $\;T_{10\,\%}\;$ sur l'énergie fournie par la source pendant la même durée $\Rightarrow$ « $\;\rho _{10\,\%}={\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{L,\,{\text{à }}1\,\%\,{\text{près}}}}{W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}}}\simeq {\dfrac {0,5}{1,4}}\simeq$ $36\,\%\simeq {\dfrac {1}{3}}\;$ », l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique pendant la durée $\;T_{10\,\%}\;$ représentant donc approximativement $\;64\,\%\simeq {\dfrac {2}{3}}$ .

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

« L'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$ , de c.e.m. instantané $\;\eta (t)=I_{0}\;Y(t)$ , étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)=I_{0}\;Y(t)\;u(t)\;

» ^[5]^, ^[36].

Bilan dual du bilan de puissance d'un « R C ou R L série » soumis à un échelon de tension

association série	association parallèle
circuit $\;R\;C\;$ série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude $\;E\;$ ^[37]	circuit $\;R'\;L\;$ parallèle ^[38] soumis à un « échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}\;$ ^[39]
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u_{C}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u_{C}^{2}$	énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i_{L}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i_{L}^{2}$
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ traversé par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}R}=R\;i^{2}$	puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance $\;G'\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}G'}=G'\;u^{2}$
puissance instantanée électrique fournie par un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}=E\;Y(t)\;i(t)$	puissance instantanée électrique fournie par une échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ imposant une tension $\;u(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de courant}}=I_{0}\;Y(t)\;u(t)$
circuit $\;R\;L\;$ série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude $\;E\;$ ^[37]	circuit $\;R'\;C\;$ parallèle ^[38] soumis à un « échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}\;$ ^[39]
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}$	énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}$

Dual du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' C parallèle » soumis à un échelon de courant

Bilan de puissance d'un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ », $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$ », $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Bilan de puissance d'un $\;R'\,C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant $\;{\big (}$ déterminé par dualité ${\big )}$ : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$ », $\;u(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)=G'\;\left[u(t)\right]^{2}\left\lbrace ={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\right\rbrace ={\dfrac {\left[i_{R'}(t)\right]^{2}}{G'}}\left\lbrace =R'\;\left[i_{R'}(t)\right]^{2}\right\rbrace \;$ », $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R'}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Dual du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' L parallèle » soumis à un échelon de courant

Bilan de puissance d'un $\;R\,C\;$ soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;$ », $\;u_{C}(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$ », $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Bilan de puissance d'un $\;R'\,L\;$ soumis à un échelon de courant $\;{\big (}$ déterminé par dualité ${\big )}$ : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$ », $\;i_{L}(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)=G'\;\left[u(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}=R'\;\left[i_{R'}(t)\right]^{2}\;$ », $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R'}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences

Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$ », $\;u(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}=R\;\left[i_{R}(t)\right]^{2}\;$ », $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

Nous avons vu dans le chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant était continue en $\;t=0\;$ », cela entraîne, dans la mesure où le condensateur est initialement ^[18] déchargé, une continuité, en $\;t=0\;$ , de

la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ ^[40] fournie par l'échelon de courant ;

le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ » est « continue en $\;t=0\;$ ».

     Remarque : si le condensateur était initialement ^[18] chargé par une tension non nulle, « la tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant étant continue en $\;t$ $=0\;$ », cela entraînerait,
     Remarque : $\centerdot \;$ une continuité de la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ mais
     Remarque : $\centerdot \;$ une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] en ce même instant de la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ ^[41] fournie par l'échelon de courant ;

Remarque : le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ » a « une discontinuité de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » ^[6]^, ^[21].

on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ » est

« continu si le condensateur est initialement déchargé » $\;{\big (}$ ce qui est le cas usuel ${\big )}\;$ ou
« discontinu de 1^ère espèce ^[6] s'il est initialement chargé »

en effet explicitant la « dérivée temporelle » ^[10], on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ soit encore « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)=$ $u(t)\;i_{C}(t)\;$ » en utilisant la définition de l'intensité du courant traversant le condensateur parfait ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$ , d'une grandeur continue $\;u(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1^ère espèce ^[6] $\;i_{C}(t)$ , est discontinue de 1^ère espèce ^[6] dans la mesure où $\;u(0)\neq 0\;$ ${\big (}$ ce qui nécessite que le condensateur soit initialement chargé ${\big )}$ ;

dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1^ère espèce ^[6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ sous forme électrostatique.

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur puis en son intensité de courant de charge d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de la tension $\;u(t)\;$ à ses bornes soit « $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ » ;

son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à « $\;\eta (t)\;u(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;u(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ » ou, après simplification par $\;u(t)\;$ ^[42], on obtient $\;\eta (t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\;u(t)\;$ soit en normalisant

«

\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u(t)={\dfrac {\eta (t)}{C}}\;

» ou «

\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;Y(t)\;\;\forall t\;

» ^[5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_C(t) du courant de charge du condensateur

Ayant déterminé l'équation différentielle en tension aux bornes du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;C\;$ dans le but d'utiliser $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée

«

\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i_{C}(t)={\dot {\eta }}(t)\;

» ou «

\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i_{C}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall t\;

» ^[13].

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences

Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$ , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit

«

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;

» dans lequel

« $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$ », $\;i_{L}(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine parfaite $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}\;$ liée à la tension instantanée $\;u(t)\;$ à ses bornes par $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ et
« $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}=R\;\left[i_{R}(t)\right]^{2}\;$ », $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big (}$ en convention récepteur ${\big )}$ .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

Nous avons vu dans le chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\;$ parallèle soumis à un échelon de courant était discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » ^[6]^, ^[43], cela entraîne une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] de

la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ ainsi que de
la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ ^[44] fournie par l'échelon de courant en $\;t=0$ ;

le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ » a « une discontinuité de 1^ère espèce ^[6] ou une continuité en $\;t=0\;$ » ^[9] ;

on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ » est

« continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » ou
« discontinu de 1^ère espèce ^[6] si elle est initialement traversée par un courant d'intensité non nulle »

en effet explicitant la « dérivée temporelle » ^[10], on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i_{L}(t)\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ soit encore « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)=$ $i_{L}(t)\;u(t)\;$ » en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$ , d'une grandeur continue $\;i_{L}(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1^ère espèce ^[6] $\;u(t)$ , est discontinue de 1^ère espèce ^[6] dans la mesure où $\;i_{L}(0)$ $\neq 0\;$ ${\big (}$ ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant ${\big )}$ ;

dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1^ère espèce ^[6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ sous forme électromagnétique.

Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine puis en la tension à ses bornes d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_L(t) du courant traversant la bobine

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité $\;i_{L}(t)\;$ du courant la traversant soit « $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i_{L}(t)\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;u(t)\;$ » ^[45] ;

son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à « $\;\eta (t)\;u(t)=i_{L}(t)\;u(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ » ou, après simplification par $\;u(t)\;$ ^[46], on obtient $\;\eta (t)=i_{L}(t)+{\dfrac {1}{R}}\;u(t)\;$ soit, en éliminant $\;u(t)\;$ au profit de $\;i_{L}(t)\;$ par définition de la tension aux bornes d'une bobine parfaite $\;u(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)$ on trouve $\;\eta (t)=i_{L}(t)+{\dfrac {L}{R}}\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ puis en normalisant

«

\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R}{L}}\;\eta (t)\;

» ou «

\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R\;I_{0}}{L}}\;Y(t)\;\;\forall t\;

» ^[5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes de la bobine

Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité du courant traversant la bobine parfaite, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;L\;$ dans le but d'utiliser $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée

«

\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u(t)=R\;{\dot {\eta }}(t)\;

» ou «

\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u(t)=R\;I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall t\;

» ^[13].

Notes et références

↑ Correspondant à la puissance développée par les forces électriques exercées sur les porteurs de charge mobiles présents dans le dipôle à l'instant $\;t$ .
↑ Voir l'« expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^3,0 et ^3,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ Quand l'échelon correspond à l'interrupteur ouvert, l'intensité du courant délivré est nulle et quand l'interrupteur est fermé elle est usuellement non nulle, avec une continuité $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ à $\;t=0$ .
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 et ^5,5 Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ ^6,00 ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 ^6,11 ^6,12 ^6,13 ^6,14 ^6,15 ^6,16 ^6,17 ^6,18 ^6,19 ^6,20 ^6,21 ^6,22 ^6,23 ^6,24 et ^6,25 Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Plus précisément voir « discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur d'un circuit résistif soumis à un échelon de tension » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Il ne suffit pas que $\;e(t)\;$ soit discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ pour que son produit avec $\;i(t)\;$ le soit, il faut en plus que $\;i(0^{+})\neq 0$ , ce qui est réalisé dès lors que l'intensité est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que $\;i(0^{-})=0$ .
↑ ^9,0 et ^9,1 Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0$ , le 2^nd l'est de même, ce qui est assuré par le 2^ème terme du 2^nd membre et par suite autorisant son 1^er terme d'être discontinu de 1^ère espèce ou continu $\;{\big [}$ mais en aucun cas discontinu de 2^ème espèce, voir le paragraphe « Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 Au sens de dérivée temporelle de distributions.
↑ Cette dernière expression résultant de la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$ ;
si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de maille, le résultat non normalisé va donc être exprimé en $\;V$ ; le bilan de puissance s'exprimant en $\;W=V\times A$ , il faudra donc simplifier par une intensité pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître l'intensité dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans le condensateur.
↑ Ceci nécessite $\;i(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais pour $\;t<0\;$ correspondant à $\;i(t)=0$ , la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ ^14,0 et ^14,1 Ou « chaleur élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique ».
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Voir la notion d'« intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 ^16,4 et ^16,5 Par abus on note $\;f(+\infty )\;$ la limite de la fonction $\;f(t)\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$ soit $\;f(+\infty )=\lim \limits _{t\rightarrow +\infty }\left[f(t)\right]$ .
↑ À partir de l'expression de l'intensité du courant de charge explicitée en fonction du temps « $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ avec $\;\tau =R\;C\;$ » on aurait pu calculer directement $\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ selon $\;Q_{{\text{cal}},\,R}=$ $\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[{\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]^{2}\;dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\;dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[-{\dfrac {\tau }{2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]_{0^{+}}^{+\infty }\;$ soit finalement « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;{\dfrac {R\;C}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$ ».
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 et ^18,3 C.-à-d. pour $\;t<0$ .
↑ En effet $\;e(t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;i(0^{+})=i(0^{-})=0$ $\;{\big [}$ car il n'y a aucun courant initial dans la bobine ${\big ]}$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.
↑ En effet $\;e(t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;i(0^{+})=i(0^{-})\neq 0$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.
↑ ^21,0 et ^21,1 Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0$ , le 2^nd doit nécessairement l'être aussi mais, comme le 2^ème terme de ce membre est continu, c'est le 1^er terme qui doit être discontinu de 1^ère espèce.
↑ Ceci nécessite $\;i(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où l'intensité du courant traversant initialement la bobine est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.
↑ C.-à-d. si la limite de $\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ quand $\;\Delta t\rightarrow +\infty \;$ est finie.
↑ C.-à-d. si la limite de $\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ quand $\;\Delta t\rightarrow +\infty \;$ est finie.
↑ Le caractère infini du travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant et de la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée est compatible avec le bilan d'énergie, leur différence correspondant au gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique étant finie $\;{\big (}$ la compatibilité nécessitant qu'il y ait au moins une grandeur infinie dans chaque membre du bilan ${\big )}$ .
↑ ^26,0 ^26,1 et ^26,2 C.-à-d. que la limite est infinie.
↑ Même si le bilan d'énergie sur la durée théorique de l'établissement du courant dans la bobine reste exact ${\big (}$ voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ , il ne peut nous être d'aucune utilité du fait de l'existence de deux grandeurs infinies sur les trois présentes.
↑ « Quasiment » car l'expression de $\;i(t)\;$ étant exponentielle, la durée pour établir le courant est infinie et l'instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel le courant est rigoureusement établi est infini ;
toutefois le raisonnement qui suit est valable si on considère l'instant $\;t_{1}$ à partir duquel l'intensité du courant est égale à, par exemple, $\;99\,\%\;$ de $\;{\dfrac {E}{R}}$ , cet instant étant alors fini.
↑ ^29,0 et ^29,1 Nous choisissons $\;10\,\%\;$ car, lorsque l'intensité est établie à $\;10\,\%\;$ près, l'énergie stockée dans la bobine $\;{\big (}$ qui est $\;\propto \;$ au carré de l'intensité ${\big )}\;$ l'est à $\;1\,\%\;$ près ${\big \{}$ en effet nous vérifions que $\;\exp(-2,3)\simeq 0,1{\big \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « condition initiale et régime transitoire (de la réponse en intensité de courant traversant un R L série à un échelon de tension d'amplitude E) » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Sachant que $\;\exp \!\left(-2,3\right)\simeq 0,1$ .
↑ Ce résultat n'est pas à retenir, il donne simplement un ordre de grandeur : si on établit le courant à $\;10\,\%\;$ près dans la bobine $\;{\big (}$ c.-à-d. si l'énergie stockée est établie à $\;1\,\%\;$ près ${\big )}\;$ il faut la moitié du temps qui serait nécessaire pour établir le courant à $\;1\,\%\;$ près $\;{\bigg (}$ car $\;2,3\,\tau \simeq {\dfrac {5\,\tau }{2}}{\bigg )}\;$ et le travail électrique fourni par la source représentant trois fois l'énergie stockée dans la bobine $\;{\bigg \{}$ car $\;1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\simeq 3\times {\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}{\bigg \}}$ .
↑ Ainsi l'énergie perdue sous forme calorifique est approximativement égale à deux fois l'énergie stockée dans la bobine $\;{\bigg \{}$ car $\;0,9\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\simeq$ $2\times {\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}{\bigg \}}$ .
↑ Sachant que $\;\exp \!\left(-2,3\right)\simeq 0,1\;$ et $\;\exp \!\left(-5,6\right)\simeq 0,01\simeq 0$ .
↑ On ne trouve pas exactement le même résultat qu'en utilisant le bilan d'énergie mais le même ordre de grandeur, la différence correspondant à une erreur d'arrondi, un calcul avec une approximation plus stricte conduirait évidemment au même résultat.
↑ On crée un échelon de courant par une association parallèle d'une source parfaite de courant et d'un interrupteur ; ainsi
   quand l'interrupteur est fermé la tension imposée par l'échelon est nulle et $\;\eta (t)=0$ ,
   quand l'interrupteur est ouvert, $\;\eta (t)=I_{0}\;$ et la tension est usuellement non nulle dépendant du dipôle alimenté par $\;I_{0}$ ,
   la tension étant alors continue $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ à $\;t=0\;$ instant d'ouverture de l'interrupteur c.-à-d. d'imposition du courant traversant le dipôle extérieur.
↑ ^37,0 et ^37,1 Un échelon de tension étant obtenu à l'aide d'une source de tension parfaite en série avec un interrupteur que l'on ferme en $\;t=0$ .
↑ ^38,0 et ^38,1 Le dual d'un condensateur parfait est une bobine parfaite, $\;L\;$ étant la grandeur duale de $\;C$ , le dual d'un conducteur ohmique étant un conducteur ohmique, $\;G'={\dfrac {1}{R'}}\;$ étant la grandeur duale de $\;R$ .
↑ ^39,0 et ^39,1 Un échelon de courant étant obtenu à l'aide d'une source de courant parfaite en parallèle avec un interrupteur que l'on ouvre en $\;t=0$ .
↑ En effet $\;\eta (t)\;$ étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;u(0^{+})=u(0^{-})=0$ $\;{\big [}$ car il n'y a aucune charge initiale dans le condensateur ${\big ]}$ , le produit d'une grandeur discontinue en $\;t=0\;$ avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.
↑ En effet $\;\eta (t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;u(0^{+})=u(0^{-})\neq 0$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.
↑ Ceci nécessite $\;u(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où la tension initiale aux bornes du condensateur est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.
↑ Plus précisément voir « discontinuité la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine d'un circuit résistif soumis à un échelon de courant » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Il ne suffit pas que $\;\eta (t)\;$ soit discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ pour que son produit avec $\;u(t)\;$ le soit, il faut en plus que $\;u(0^{+})\neq 0$ , ce qui est réalisé dès lors que la tension est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que $\;u(0^{-})=0$ .
↑ Cette dernière expression résultant de la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite $\;u(t)=L\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)$ ;
si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de nœud, le résultat non normalisé va donc être exprimé en $\;A$ ; le bilan de puissance s'exprimant en $\;W=V\times A$ , il faudra donc simplifier par une tension pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître la tension dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans la bobine parfaite.
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ Ceci nécessite $\;u(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas où l'intensité initiale du courant traversant la bobine parfaite est constante, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.

Signaux physiques (PCSI)

Circuits lin. du 1^er ordre : régime libre et réponse à un échelon

Sommaire

[1] Correspondant à la puissance développée par les forces électriques exercées sur les porteurs de charge mobiles présents dans le dipôle à l'instant $\;t$ .

[2] Voir l'« expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[C.Q.F.D.-3] 3,0 et ^3,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[4] Quand l'échelon correspond à l'interrupteur ouvert, l'intensité du courant délivré est nulle et quand l'interrupteur est fermé elle est usuellement non nulle, avec une continuité $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ à $\;t=0$ .

[Y(t)-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 et ^5,5 Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.

[discontinuité_de_1ère_espèce-6] 6,00 ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 ^6,11 ^6,12 ^6,13 ^6,14 ^6,15 ^6,16 ^6,17 ^6,18 ^6,19 ^6,20 ^6,21 ^6,22 ^6,23 ^6,24 et ^6,25 Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[7] Plus précisément voir « discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur d'un circuit résistif soumis à un échelon de tension » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[8] Il ne suffit pas que $\;e(t)\;$ soit discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ pour que son produit avec $\;i(t)\;$ le soit, il faut en plus que $\;i(0^{+})\neq 0$ , ce qui est réalisé dès lors que l'intensité est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que $\;i(0^{-})=0$ .

[discontinuité_d'une_différence-9] 9,0 et ^9,1 Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0$ , le 2^nd l'est de même, ce qui est assuré par le 2^ème terme du 2^nd membre et par suite autorisant son 1^er terme d'être discontinu de 1^ère espèce ou continu $\;{\big [}$ mais en aucun cas discontinu de 2^ème espèce, voir le paragraphe « Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[sens_des_distributions-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 Au sens de dérivée temporelle de distributions.

[11] Cette dernière expression résultant de la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$ ;
si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de maille, le résultat non normalisé va donc être exprimé en $\;V$ ; le bilan de puissance s'exprimant en $\;W=V\times A$ , il faudra donc simplifier par une intensité pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître l'intensité dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans le condensateur.

[12] Ceci nécessite $\;i(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais pour $\;t<0\;$ correspondant à $\;i(t)=0$ , la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.

[delta(t)-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[chaleur-14] 14,0 et ^14,1 Ou « chaleur élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique ».

[intégrale_généralisée-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Voir la notion d'« intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[abus_de_notation-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 ^16,4 et ^16,5 Par abus on note $\;f(+\infty )\;$ la limite de la fonction $\;f(t)\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$ soit $\;f(+\infty )=\lim \limits _{t\rightarrow +\infty }\left[f(t)\right]$ .

[17] À partir de l'expression de l'intensité du courant de charge explicitée en fonction du temps « $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ avec $\;\tau =R\;C\;$ » on aurait pu calculer directement $\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ selon $\;Q_{{\text{cal}},\,R}=$ $\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[{\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]^{2}\;dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\;dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[-{\dfrac {\tau }{2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]_{0^{+}}^{+\infty }\;$ soit finalement « $\;Q_{{\text{cal}},\,R}={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;{\dfrac {R\;C}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$ ».

[initialement-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 et ^18,3 C.-à-d. pour $\;t<0$ .

[19] En effet $\;e(t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;i(0^{+})=i(0^{-})=0$ $\;{\big [}$ car il n'y a aucun courant initial dans la bobine ${\big ]}$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.

[20] En effet $\;e(t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;i(0^{+})=i(0^{-})\neq 0$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.

[discontinuité_comparée_des_membres_d'une_égalité-21] 21,0 et ^21,1 Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0$ , le 2^nd doit nécessairement l'être aussi mais, comme le 2^ème terme de ce membre est continu, c'est le 1^er terme qui doit être discontinu de 1^ère espèce.

[22] Ceci nécessite $\;i(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où l'intensité du courant traversant initialement la bobine est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.

[23] C.-à-d. si la limite de $\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ quand $\;\Delta t\rightarrow +\infty \;$ est finie.

[24] C.-à-d. si la limite de $\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ quand $\;\Delta t\rightarrow +\infty \;$ est finie.

[25] Le caractère infini du travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant et de la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée est compatible avec le bilan d'énergie, leur différence correspondant au gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique étant finie $\;{\big (}$ la compatibilité nécessitant qu'il y ait au moins une grandeur infinie dans chaque membre du bilan ${\big )}$ .

[divergence-26] 26,0 ^26,1 et ^26,2 C.-à-d. que la limite est infinie.

[27] Même si le bilan d'énergie sur la durée théorique de l'établissement du courant dans la bobine reste exact ${\big (}$ voir la note « ²⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ , il ne peut nous être d'aucune utilité du fait de l'existence de deux grandeurs infinies sur les trois présentes.

[28] « Quasiment » car l'expression de $\;i(t)\;$ étant exponentielle, la durée pour établir le courant est infinie et l'instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel le courant est rigoureusement établi est infini ;
toutefois le raisonnement qui suit est valable si on considère l'instant $\;t_{1}$ à partir duquel l'intensité du courant est égale à, par exemple, $\;99\,\%\;$ de $\;{\dfrac {E}{R}}$ , cet instant étant alors fini.

[choix_de_10_\%-29] 29,0 et ^29,1 Nous choisissons $\;10\,\%\;$ car, lorsque l'intensité est établie à $\;10\,\%\;$ près, l'énergie stockée dans la bobine $\;{\big (}$ qui est $\;\propto \;$ au carré de l'intensité ${\big )}\;$ l'est à $\;1\,\%\;$ près ${\big \{}$ en effet nous vérifions que $\;\exp(-2,3)\simeq 0,1{\big \}}$ .

[30] Voir le paragraphe « condition initiale et régime transitoire (de la réponse en intensité de courant traversant un R L série à un échelon de tension d'amplitude E) » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[31] Sachant que $\;\exp \!\left(-2,3\right)\simeq 0,1$ .

[32] Ce résultat n'est pas à retenir, il donne simplement un ordre de grandeur : si on établit le courant à $\;10\,\%\;$ près dans la bobine $\;{\big (}$ c.-à-d. si l'énergie stockée est établie à $\;1\,\%\;$ près ${\big )}\;$ il faut la moitié du temps qui serait nécessaire pour établir le courant à $\;1\,\%\;$ près $\;{\bigg (}$ car $\;2,3\,\tau \simeq {\dfrac {5\,\tau }{2}}{\bigg )}\;$ et le travail électrique fourni par la source représentant trois fois l'énergie stockée dans la bobine $\;{\bigg \{}$ car $\;1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\simeq 3\times {\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}{\bigg \}}$ .

[33] Ainsi l'énergie perdue sous forme calorifique est approximativement égale à deux fois l'énergie stockée dans la bobine $\;{\bigg \{}$ car $\;0,9\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\simeq$ $2\times {\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}{\bigg \}}$ .

[34] Sachant que $\;\exp \!\left(-2,3\right)\simeq 0,1\;$ et $\;\exp \!\left(-5,6\right)\simeq 0,01\simeq 0$ .

[35] On ne trouve pas exactement le même résultat qu'en utilisant le bilan d'énergie mais le même ordre de grandeur, la différence correspondant à une erreur d'arrondi, un calcul avec une approximation plus stricte conduirait évidemment au même résultat.

[36] On crée un échelon de courant par une association parallèle d'une source parfaite de courant et d'un interrupteur ; ainsi
quand l'interrupteur est fermé la tension imposée par l'échelon est nulle et $\;\eta (t)=0$ ,
quand l'interrupteur est ouvert, $\;\eta (t)=I_{0}\;$ et la tension est usuellement non nulle dépendant du dipôle alimenté par $\;I_{0}$ ,
la tension étant alors continue $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ à $\;t=0\;$ instant d'ouverture de l'interrupteur c.-à-d. d'imposition du courant traversant le dipôle extérieur.

[échelon_de_tension-37] 37,0 et ^37,1 Un échelon de tension étant obtenu à l'aide d'une source de tension parfaite en série avec un interrupteur que l'on ferme en $\;t=0$ .

[grandeurs_duales-38] 38,0 et ^38,1 Le dual d'un condensateur parfait est une bobine parfaite, $\;L\;$ étant la grandeur duale de $\;C$ , le dual d'un conducteur ohmique étant un conducteur ohmique, $\;G'={\dfrac {1}{R'}}\;$ étant la grandeur duale de $\;R$ .

[échelon_de_courant-39] 39,0 et ^39,1 Un échelon de courant étant obtenu à l'aide d'une source de courant parfaite en parallèle avec un interrupteur que l'on ouvre en $\;t=0$ .

[40] En effet $\;\eta (t)\;$ étant discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;u(0^{+})=u(0^{-})=0$ $\;{\big [}$ car il n'y a aucune charge initiale dans le condensateur ${\big ]}$ , le produit d'une grandeur discontinue en $\;t=0\;$ avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.

[41] En effet $\;\eta (t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec $\;u(0^{+})=u(0^{-})\neq 0$ , le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.

[42] Ceci nécessite $\;u(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où la tension initiale aux bornes du condensateur est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.

[43] Plus précisément voir « discontinuité la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine d'un circuit résistif soumis à un échelon de courant » du chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[44] Il ne suffit pas que $\;\eta (t)\;$ soit discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ pour que son produit avec $\;u(t)\;$ le soit, il faut en plus que $\;u(0^{+})\neq 0$ , ce qui est réalisé dès lors que la tension est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que $\;u(0^{-})=0$ .

[45] Cette dernière expression résultant de la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite $\;u(t)=L\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)$ ;
si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de nœud, le résultat non normalisé va donc être exprimé en $\;A$ ; le bilan de puissance s'exprimant en $\;W=V\times A$ , il faudra donc simplifier par une tension pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître la tension dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans la bobine parfaite.
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.

[46] Ceci nécessite $\;u(t)\neq 0$ , c'est effectivement réalisé pour $\;t>0\;$ mais, pour $\;t<0$ , cela n'étant pas réalisé dans le cas où l'intensité initiale du courant traversant la bobine parfaite est constante, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour $\;t<0\;$ reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.

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Puissance électrique instantanée reçue par une association série ou parallèle de dipôles

Rappel : puissance électrique instantanée reçue par un dipôle

Puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles

Puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et conséquences

Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, puis en son intensité de courant de charge

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge uC(t) du condensateur

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité du courant de charge i(t) du condensateur

Bilan d'énergie d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et conséquences

Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, puis en la tension entre ses bornes

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité de courant i(t) traversant la bobine

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension uL(t) aux bornes de la bobine parfaite

Bilan d'énergie d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t)

Bilan dual du bilan de puissance d'un « R C ou R L série » soumis à un échelon de tension

Dual du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' C parallèle » soumis à un échelon de courant

Dual du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' L parallèle » soumis à un échelon de courant

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences

Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t)

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur puis en son intensité de courant de charge d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en intensité iC(t) du courant de charge du condensateur

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences

Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t)

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine puis en la tension à ses bornes d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en intensité iL(t) du courant traversant la bobine

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes de la bobine

Notes et références

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge u_C(t) du condensateur

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension u_L(t) aux bornes de la bobine parfaite

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_C(t) du courant de charge du condensateur

Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_L(t) du courant traversant la bobine

Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes de la bobine