Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon

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Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Chapitre no 26
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
Chap. suiv. :Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Exemples de circuits linéaires du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition d'un circuit linéaire du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

     Un circuit est linéaire du 1er ordre si le lien entre la tension instantanée entre les bornes d'un dipôle passif et l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier est une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre », le dipôle passif étant fermé sur une source parfaite de tension ou de courant au sens de l'A.R.Q.S. [1].

« R C série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le dipôle série est traversé par un même courant d'intensité instantanée , la tension [2] entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit « » où « est la tension aux bornes du condensateur liée à l'intensité du courant le traversant par » ;

     pour prouver que le dipôle série est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que et sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer en dérivant par rapport au temps soit

«».

« R C parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

     Le dipôle parallèle est soumis à une même tension instantanée , l'intensité instantanée [2] du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit

«»
prouvant que le dipôle parallèle est linéaire du 1er ordre.

« R L série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le dipôle série est traversé par un même courant d'intensité instantanée , la tension [2] entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit

«»
prouvant que le dipôle série est linéaire du 1er ordre.

« R L parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

     Le dipôle parallèle est soumis à une même tension instantanée , l'intensité instantanée [2] du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit «» où « est l'intensité du courant traversant la bobine parfaite liée à la tension entre ses bornes par » ;

     pour prouver que le dipôle parallèle est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que et sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer en dérivant par rapport au temps soit

«».

Relevés expérimentaux[modifier | modifier le wikicode]

Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension

     Pour enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre à gauche en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ;

     il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran soit, avec et [3], une sensibilité de [4] ;

     enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. [5] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S. [5] est reliée à la Terre [6] et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses ;

     on observe alors le diagramme de en fonction de ci-contre à droite :

  • la charge du condensateur est estimée « terminée » [7] au bout de [8] avec « constante de temps du série » [9], la valeur de la tension est alors égale à l'amplitude de l'échelon ;
  • il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur à instant de fermeture de l'interrupteur.

     Remarque : il est possible d'automatiser « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau » [11] d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

     Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. [10] vaut et

     Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

     Remarque : pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c.-à-d. qu'il faut choisir la durée d'une alternance supérieure à [8] soit, en appelant la période du créneau, la condition ou «» [12].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un série soumis à un échelon de tension

     Dans le but d'enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » [13] il est nécessaire de permuter le condensateur et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S. [5] ou si on automatise « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau symétrique » [6] ;

     dans le cas où on utilise une A.S. [5] on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de  ; avec les valeurs et [3], on choisit une même sensibilité de [4] ;

     l'échelon de tension étant créé par une A.S. [5] à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à , et on observe alors le diagramme de en fonction de ci-contre à droite :

  • l'intensité de courant de charge du condensateur est estimée « annulée » [7] au bout de [14] avec «  constante de temps du série » [15] ;
  • il y a variation très rapide de l'intensité de courant de charge du condensateur à instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant [16] soit finalement une « discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant de charge du condensateur à , instant de fermeture de l'interrupteur » [16], la valeur d'intensité à l'instant étant .

     Remarque : on peut réitérer la remarque du paragraphe précédent à savoir la possibilité d'automatiser « la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

     Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. [10] vaut et

     Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

     Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si la charge et la décharge du condensateur sont terminées c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à [14] soit, en appelant la période du créneau, la condition [12].

Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant une bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un série soumis à un échelon de tension

     Dans le but d'enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » [17] il est nécessaire de placer la bobine et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S. [5] ou si on automatise « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau symétrique » [6] ;

     dans le cas où on utilise une A.S. [5] on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de [18] ; avec [19] et [20], [21], on choisit une sensibilité de [22] ;

     l'échelon de tension étant créé par une A.S. [5] à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à , et on observe alors le diagramme de en fonction de ci-contre à droite :

  • l'intensité du courant traversant la bobine est estimée « établie » [7] au bout de [23] où « est la constante de temps du série » [24], la valeur de la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors égale à l'amplitude de l'échelon [25] dont on tire une intensité de courant en régime établi égale à [26] ;
  • il y a continuité de l'intensité du courant traversant la bobine à instant de fermeture de l'interrupteur.

     Remarque : comme on l'a déjà vu, il est possible et même souhaitable d'automatiser « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

     Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. [10] vaut et

     Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

     Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'établissement et l'annulation du régime permanent du courant dans la bobine sont terminés c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à [23] soit, en appelant la période du créneau, la condition [27].

Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension

     Enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » est quasiment impossible car aucune bobine n'est parfaite, elle contient toujours un terme résistif [28] ;

     pour obtenir une « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » il faut que « le terme résistif soit négligeable relativement au terme auto-inductif » [29] ;

     on peut alors créer l'échelon de tension d'amplitude [30] à l'aide d'une A.S. [5] ou à l'aide d'une tension créneau symétrique créée par un G.B.F. [10], permettant de simuler « la création et la suppression de l'échelon de tension d'amplitude » ; dans le cas où on utilise une A.S. [5] on enregistre en faisant apparaître l'instant , ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de [18] ; avec [31] et [20], [32], on choisit une sensibilité de [33] ;

     dans ces conditions on observe alors le diagramme de en fonction de ci-contre à droite :

  • la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite [34] est estimée « annulée » [7] au bout de [35] avec « constante de temps du série » [36] ;
  • il y a variation très rapide de la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite à instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant [16] soit finalement « discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite à , instant de fermeture de l'interrupteur » [16], la valeur de la tension aux bornes de la bobine à l'instant étant .

     Remarque : comme on l'a déjà écrit, il est possible et même souhaitable d'automatiser « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. [10] délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente ainsi,

     >Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. [10] vaut et

     Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut  ;

     Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'annulation de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement ou de l'annulation du régime permanent du courant est terminée c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à [35] soit, en appelant la période du créneau, la condition [37].

Étude théorique du « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

série soumis à un échelon de tension d'amplitude et établissement de son équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité  :

     pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

«» [38] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en [16].

Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit « réel ou résistif» [39], il en est de même de la tension instantanéeaux bornes du condensateur parfait ainsi que de sa charge instantanée [40] mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant de charge ou de décharge du condensateur.

Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en uC(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi l'équation différentielle en suivante «» [38] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en [16].

     Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [41] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » [16], et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [42] à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en » ;

     en conclusion on induit que « est continue en » et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” » [43].

Régime libre et constante de temps τ du « R C série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le régime libre [44] étant solution de , on pose

«» définissant la « constante de temps du série » [45]

     d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

«»

     dont on déduit la solution libre

«»
avec constante réelle d'intégration a priori quelconque [46].
Équation différentielle en uC(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène s'écrit

«»

     dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée [47] est cherchée sous forme constante [48] ce qui donne «» [49].

Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour , admet pour réponse transitoire [50]

«» [51] ou «»
dans laquelle la constante se détermine par C.I. [52] c.-à-d. par l'utilisation de la valeur  ;

     or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où «»,
     or on sait, d'autre part que le condensateur est initialement [53] déchargé d'où «»,
     or on en déduit donc «» ;

     utilisant cette condition on tire ou soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

«».
Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Quand , d'une part le régime libre «» et
     Quand , d'autre part, la réponse transitoire «» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » [54] ;

     au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [55] le condensateur parfait est chargé et la tension entre ses bornes est l'amplitude de l'échelon de tension [56].

Déduction de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

     On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur est «» [2], il suffit donc de dériver l'expression de ce qui donne ou, en utilisant ,

«» ;

     la valeur s'obtenant par limite de l'expression précédente quand soit «» et « étant », on en déduit

« la discontinuité de 1ère espèce deen» [16],
le saut étant fini et valant «».

Recherche de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue ;

     pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2], ce qui nécessite de dériver la relation par rapport au temps d'où [57] soit, en y reportant et en normalisant

«» [58] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en [59].

Discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant [16] et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, la discontinuité de 1ère espèce de la source [16] doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes des conducteurs ohmiques [16], c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant [16] circulant dans le circuit à l'instant [60].

Établissement direct de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi l'équation différentielle en suivante «» [58] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en [61].

     Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [41] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en » [61], et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [42] à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » [16] ;

     en conclusion nous induisons que « est discontinue de 1ère espèce en » [16] et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons en traçant le circuit à dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” [43] ».

Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en s'écrivant «» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R C série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le régime libre [44] étant solution de , on pose

«» définissant la « constante de temps du série » [45]

     d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

«»

     dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire

«»
avec constante réelle d'intégration a priori quelconque [46].
Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0+ et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]
Circuit à d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec un condensateur initialement déchargé

     Ci-contre on a tracé le circuit à en utilisant « la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait » c.-à-d. «» avec la condition d'absence de charge « pré-initiale » [62] du condensateur «» d'où la condition initiale C.I. «» ;

     de nous déduisons que « le condensateur parfait est équivalent, à l'instant , à un court-circuit » d'où le circuit à ci-contre à partir duquel on établit aisément «».

     Utilisant cette condition dans on tire soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

«».
Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

     Quand , d'une part le régime libre «» et
     Quand , d'autre part, la réponse transitoire «» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;

     au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [55] le condensateur parfait est chargé et l'intensité du courant le traversant est nulle.

Étude théorique du « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

série soumis à un échelon de tension d'amplitude et établissement de son équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine

Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine du circuit ci-contre [63] s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue :

     pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante

«» [64] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en [16].

Continuité de l'intensité de courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant toujours continue dans un circuit « réel ou résistif» [39], il en est de même de l'intensité instantanée du couranttraversant la bobine parfaite [65] mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine.

Établissement de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi l'équation différentielle en suivante «» [64] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en [16].

     Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [41] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » [16], et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [42] à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en » ;

     en conclusion on induit que « est continue en » et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” » [66].

Régime libre et constante de temps τ du « R L série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le régime libre [44] étant solution de , on pose

«» définissant la « constante de temps du série » [67]

     d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

«»

     dont on déduit la solution libre

«»
avec constante réelle d'intégration a priori quelconque [46].
Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène s'écrit

«»

     dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée [68] est cherchée sous forme constante [48] ce qui donne «» [69].

Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en hétérogène, écrite pour , admet pour réponse transitoire [50]

«» [51] ou «»
dans laquelle la constante se détermine par C.I. [52] c.-à-d. par l'utilisation de la valeur  ;

     or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où «»,
     or on sait, d'autre part que la bobine est initialement [53] traversée par aucun courant d'où «»,
     or on en déduit donc «» ;

     utilisant cette condition on tire ou soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

«».
Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Quand , d'une part le régime libre «» et
     Quand , d'autre part, la réponse transitoire «» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » [54] ;

     au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [55] le courant traversant la bobine parfaite est établi et l'intensité de ce courant est l'amplitude de l'échelon de tension divisée par la résistance [70].

Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

     On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est «» [2], il suffit donc de dériver l'expression de ce qui donne ou, en utilisant ,

«» ;

     la valeur s'obtenant par limite de l'expression précédente quand soit «» et « étant », on en déduit

« la discontinuité de 1ère espèce deen» [16],
le saut étant fini et valant «».

Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue ;

     pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [2], ce qui nécessite de dériver la relation par rapport au temps d'où [57] soit, en y reportant et en normalisant

«» [71] ;
on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en [59].

Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant [16] et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la tension aux bornes des conducteurs ohmiques l'est aussi [60], la discontinuité de 1ère espèce de la source [16] doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de tension [16], c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine parfaite à l'instant [16].

Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle en uL(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0 [modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi l'équation différentielle en suivante «» [71] dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en [61].

     Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [41] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en » [61], et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité [42] à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » [16] ;

     en conclusion nous induisons que « est discontinue de 1ère espèce en » [16] et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons en traçant le circuit à dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” [66] ».

Équation différentielle en uL(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en s'écrivant «» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R L série »[modifier | modifier le wikicode]

     Le régime libre [44] étant solution de , on pose

«» définissant la « constante de temps du série » [67]

     d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre

«»

     dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire

«»
avec constante réelle d'intégration a priori quelconque [46].
Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0+ et réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]
Circuit à d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec une bobine traversée initialement par aucun courant

     Ci-contre on a tracé le circuit à en utilisant « la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite » c.-à-d. «» avec la condition d'absence de courant « pré-initial » [72] dans la bobine «» d'où la condition initiale C.I. «» ;

     de nous déduisons que « la bobine parfaite est équivalent, à l'instant , à un interrupteur ouvert » d'où le circuit à ci-contre à partir duquel on établit aisément «».

     Utilisant cette condition dans on tire soit et par suite la réponse transitoire s'écrit

«».
Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire[modifier | modifier le wikicode]

     Quand , d'une part le régime libre «» et
     Quand , d'autre part, la réponse transitoire «» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;

     au bout d'une durée théorique infinie et pratique de [55] la bobine n'est le siège d'aucune f.e.m. auto-induite et la tension à ses bornes est nulle.

Portraits de phase[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la notion de portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de portrait de phase a été intriduite dans le paragraphe « définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous dans son application au domaine électrique :

     Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté [73] est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système [74], des trajectoires des points caractérisant l'état du système pour chaque ensemble de C.I. [52] ;

     cette représentation géométrique est

  • soit une courbe liant la variable descriptive d'état comme la charge ou la tension pour un condensateur et l'intensité pour une bobine à la variable de modification d'état usuellement la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état [75] pour des C.I. [52] impliquant une évolution du système,
  • soit un point correspondant nécessairement à la variable de modification d'état nulle, la variable descriptive d'état étant alors constante pour des C.I. [52] caractérisant un état de repos du système.

Portait de phase de la charge d'un condensateur dans un « R C série » soumis à un échelon de tension [modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     On le définit comme étant le diagramme de l'intensité du courant de charge du condensateur dans un série soumis à l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de la charge instantanée du condensateur  ou de la tension aux bornes du condensateur voir ci-dessous à gauche le 1er portrait de phase avec choix de la charge comme variable descriptive d'état et ci-dessous à droite le 2ème portrait de phase avec choix de la tension et pour cela on dispose de l'équation différentielle «» que l'on peut réécrire en terme de charge instantanée grâce à ou «» soit enfin, avec , l'équation du portrait de phase de la charge du condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude

«» ;
Portrait de phase de la charge d'un condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension avec choix de comme variable descriptive d'état
Portrait de phase de la charge d'un condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension avec choix de comme variable descriptive d'état

     le portrait de phase représenté ci-contre à gauche étant d'équation, pour , «», est porté par une droite

  • de « pente » et
  • d'« ordonnée à l'origine » [76],
  • son abscisse à l'origine [77] étant «» [78].

     Avec le choix de la tension aux bornes du condensateur comme variable descriptive d'état liée à la charge par , l'équation du portrait de phase de la tension aux bornes du condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude se réécrit selon

«».

     le portrait de phase représenté ci-dessus à droite étant d'équation, pour , «», est porté par une droite

  • de « pente » [79] et
  • d'« ordonnée à l'origine » [80],
  • son abscisse à l'origine [77] étant « » [81].

     Il faut savoir « lire » un portrait de phase c.-à-d. décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » [82] :

  • à l'intensité est entraînant une de la charge à partir de sa valeur nulle, cette s'accompagne d'une de l'intensité et
  • tant que l'intensité reste , la charge continue de et l'intensité de  
  • Quand l'intensité devient nulle, la charge cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre » [83].

     Commentaire : le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase en particulier nous ne savons pas qu'il faut en théorie une durée infinie pour passer du point initial au point final du portrait de phase.

Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état du condensateur, à savoir « la charge » ou « la tension » n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état du condensateur, à savoir « l'intensité du courant », permettant de repérer la façon dont le condensateur se charge, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de l'intensité du courant » traduisant la variabilité de la façon dont le condensateur se charge ;
     Préliminaire : le diagramme représentant en fonction de , soit «», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques » [84].

Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de comme variable descriptive d'état

     Le portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de l'intensité du courant de charge du condensateur en fonction de l'intensité du courant de charge du condensateur et pour cela on dispose de l'équation différentielle donnant l'équation du portrait de phase cherché «» [85] ;

     le portrait de phase représenté ci-contre de l'intensité du courant de charge d'un condensateur initialement déchargé dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude étant d'équation, pour , «», est porté par une droite

  • de « pente » [86]
  • aboutissant à l'« origine »,
  • le « point de départ étant » [80], [87].

Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine dans un « R L série » soumis à un échelon de tension [modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

Portrait de phase de l'intensité du courant s'établissant dans une bobine initialement traversée par aucun courant d'un série soumis à un échelon de tension avec choix de comme variable de modification d'état

     On le définit comme étant le diagramme de la tension aux bornes de la bobine parfaite dans un série soumis à l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de l'intensité traversant la bobine  voir ci-contre le portrait de phase avec choix de la tension aux bornes de la bobine parfaite comme variable de modification d'état, la variable descriptive d'état étant l'intensité du courant traversant la bobine [88] et pour cela on dispose de l'équation différentielle «» que l'on peut réécrire en éliminant au profit de d'où « » et finalement l'équation du portrait de phase de l'intensité du courant traversant la bobine initialement traversée par aucun courant d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude la variable de modification d'état étant la tension aux bornes de la bobine parfaite s'écrit

«» ;

     le portrait de phase représenté ci-contre étant d'équation, pour , «», est porté par une droite

  • de « pente  » [89] et
  • d'« ordonnée à l'origine » [90],
  • son abscisse à l'origine [77] étant «» [91].

     Il faut savoir « lire » un portrait de phase c.-à-d. décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » [92] :

  • à la tension aux bornes de la bobine parfaite est le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine l'est aussi entraînant une de l'intensité à partir de sa valeur nulle, cette s'accompagne d'une de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et
  • tant que la tension aux bornes de la bobine parfaite reste , l'intensité du courant continue de et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine de  
  • Quand la tension aux bornes de la bobine parfaite devient nulle, l'intensité du courant cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre » [93].

     Commentaire : on rappelle que le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase.

Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état de la bobine parfaite, à savoir « l'intensité du courant » n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état de la bobine parfaite, à savoir « la tension à ses bornes », permettant de repérer la façon dont le courant traversant la bobine est créé, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de la partie inductive de la tension » traduisant la variabilité de la façon dont le courant traversant la bobine est créé ;
     Préliminaire : le diagramme représentant en fonction de , soit «», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques » [94].

Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite initialement traversée par aucun courant dans un série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de comme variable descriptive d'état

     Le portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite initialement traversée par aucun courant dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de la tension aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et pour cela on dispose de l'équation différentielle donnant l'équation du portrait de phase cherché « » [85] ;

     le portrait de phase représenté ci-contre de la tension aux bornes d'une bobine parfaite initialement traversée par aucun courant dans un série soumis à un échelon de tension d'amplitude étant d'équation, pour , «», est porté par une droite

  • de « pente » [86]
  • aboutissant à l'« origine »,
  • le « point de départ étant » [90], [95].

Initiation à la dualité « série - parallèle » en électricité[modifier | modifier le wikicode]

Introduction à la dualité « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

     On remarque, d'une part, pour deux dipôles en série, que « l'intensité du courant traversant ces deux dipôles est la même » et que « la tension aux bornes de l'association de ces deux dipôles est la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle » [96],

     On remarque, d'autre part, pour deux dipôles en parallèle, que « la tension aux bornes de ces deux dipôles est la même » et que « l'intensité du courant traversant l'association parallèle de ces deux dipôles est la somme des intensités des courants traversant de chaque dipôle » [97] ;

     cette analogie électrique est connue sous le nom de « dualité série - parallèle », un exposé partiel des « grandeurs duales série - parallèle » est donné dans le paragraphe suivant.

Grandeurs duales « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

association série association parallèle
intensité commune traversant les dipôles tension commune aux bornes des dipôles
tension aux bornes du dipôle et tension aux bornes de l'association
loi des mailles[98]
intensité du courant traversant le dipôle et intensité traversant l'association
loi des nœuds[98]
association court-circuitée ou en avec un interrupteur fermé association en sortie ouverte ou en série avec un interrupteur ouvert
association en sortie ouverte ou en série avec un interrupteur ouvert association court-circuitée ou en avec un interrupteur fermé
association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m.
association soumise à un échelon de tension d'amplitude [99] association alimentée par un échelon de courant d'amplitude [100]
conducteur ohmique de résistance conducteur ohmique de conductance
condensateur parfait de capacité telle que bobine parfaite d'inductance propre telle que
bobine parfaite d'inductance propre telle que condensateur parfait de capacité telle que

Principales relations du dualité « série - parallèle »[modifier | modifier le wikicode]

     Compte-tenu des grandeurs duales énoncées au paragraphe précédent, nous pouvons induire un certain nombre de relations restant valables par transformation duale, les principales étant les suivantes :

association série association parallèle
dans un circuit réel [101] « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » dans un circuit réel [102] « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite »
dans un circuit réel [101] « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » dans un circuit réel [102] « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait »
résistance équivalente à une association série conductance équivalente à une association parallèle
modèle générateur de tension ou de Thévenin[103] :
association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. [104] et
            d'un conducteur ohmique de résistance
 
en convention générateur
modèle générateur de courant ou de Norton[105] :
association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. [106] et
                     d'un conducteur ohmique de conductance
 
en convention générateur
modèle générateur de Norton [105] équivalent au modèle générateur de tension  :
et
modèle générateur de Thévenin [103] équivalent au modèle générateur de courant  :
et soit encore
P.D.T. [107] alimenté en entrée par une tension et
                                                           de tension de sortie [108] :
équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Thévenin [103]
de f.e.m. [109] et
de résistance [109]
P.D.C. [110] alimenté en entrée par un courant d'intensité et
                                                             d'intensité de courant de sortie [111] :
équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Norton [105]
de c.e.m. [112], [113] et
de conductance [112], [113]
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance
traversé par un courant d'intensité  :
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance
soumis à une tension  :
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité
soumis à une tension  :
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre
traversée par un courant d'intensité  :
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre
traversée par un courant d'intensité  :
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité
soumis à une tension  :
puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m.
délivrant un courant d'intensité  :