Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

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Définition d'une équation différentielle ordinaire

     On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;x$.

Définition

     Une équation différentielle du 1^er ou du 2^ème ordre est une relation liant une fonction $\;f(x)\;$ et ses dérivées $\;f'(x)$, $\;f''(x)\;$.

Équation différentielle non linéaire

     La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

• élevées à une certaine puissance c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]^{p_{0}}$, $\;\left[f'(x)\right]^{p_{1}}$, $\;\left[f''(x)\right]^{p_{2}}\;$ avec $\;p_{0},\;p_{1},\;p_{2}\in \mathbb {Q} \;$ ou
• multipliées entre elles c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]\left[f'(x)\right]$, $\;\left[f(x)\right]\left[f''(x)\right]$, $\;\left[f'(x)\right]\left[f''(x)\right]\;$ $\ldots$

     Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire

     Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :

$\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)+a_{0}(x)\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d,\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ sont des fonctions de $\;x$, l'équation différentielle étant d'ordre deux si $\;a_{2}\neq 0\;$ ${\big [}$dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}(x)\;$ de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit $\;1$, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »${\big ]}$. 

     $\;d(x)\;$ est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

• hétérogène dans la mesure où $\;d(x)\neq 0\;$ et
• homogène si $\;d(x)=0$.

     Remarques : Si $\;a_{2}=0$, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si $\;a_{1}\neq 0$ ;

     Remarques : si $\;a_{2}\neq 0\;$ avec $\;a_{0}=0$, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en $\;f\;$ mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en $\;f'\;$ dans la mesure où $\;a_{1}\neq 0\;$ puisque s'écrivant $\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)=d(x)\;$.

Équation différentielle linéaire à coefficients constants

     Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de $\;f(x),\;f'(x),\;f''(x)\;$ sont des constantes et non des fonctions de $\;x$ ; elle se présente sous la forme :

$\;a_{2}\,f''(x)+a_{1}\,f'(x)+a_{0}\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d(x)\;$ est encore une fonction de $\;x$, $\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

• d'ordre deux en $\;f\;$ dans la mesure où $\;a_{2}\neq 0$,
• homogène si $\;d(x)=0\;$ » et
• sinon, hétérogène.

     Normalisation de l'équation différentielle :
          La forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}\neq 0{\big ]}\;$ s'écrit :

$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;b={\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}$, $\;c={\dfrac {a_{0}}{a_{2}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{2}}}\;$ et

          la forme normalisée de l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue en supposant $\;a_{2}=0\;$ et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{1}\neq 0{\big ]}$ s'écrit :

$\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;k={\dfrac {a_{0}}{a_{1}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{1}}}$.

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

     Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble »  ;

     tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base  pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants  de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » .

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

     L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
     celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions »  ;

          il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

• une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ ou,
• deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières indépendantes${\big ]}$.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

     On cherche une solution du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées première $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et seconde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1^er ou 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 1^er ou 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$ ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

     Soit $\;f'(x)+k\,f(x)=0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant $\;s+k=0\;$ et
     Soit $\;\color {transparent}{f'(x)+k\,f(x)=0}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante se résolvant en $\;s=-k$, on en déduit

la solution particulière $\;{\big (}$c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions${\big )}$ $\;\exp(-k\,x)\;$
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » $\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ où $\;A\;$ est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

     Soit $\;f''(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;c\in \mathbb {R}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre ;
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ qui admet
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons deux racines réelles distincts si $\;c\;$ est $\;<0$ ;
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de $\;c$ :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

     Avec $\;c<0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}+c=0\;$» admettant comme racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}$, on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle $\;{\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}$ «$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm {\sqrt {-c}}\,x\right)\;$»
et la solution générale de l'équation différentielle «$\;f(x)=A_{+}\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,x\right)\;$»
avec $\;A_{+}\,{\text{et}}\,A_{-}\;$ deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

     Avec $\;c=0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}=0\;$» admettant comme racine réelle double $\;s_{d}=0$, on en déduit :

une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle «$\;\exp(s_{d}\,x)=\exp \!\left(0\,x\right)=1\;$» ,
ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ;
il faudrait donc trouver une 2^ème solution particulière indépendante de la 1^ère c.-à-d. non constante mais $\;\ldots$

     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant $\;f''(x)=0$, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f'(x)=A\;$ avec $\;A\;$ constante réelle arbitraire puis
     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f(x)=A\,x+B\;$ avec $\;B\;$ 2^ème constante réelle arbitraire ;

     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, la solution générale de l'équation différentielle est donc «$\;f(x)=A\,x+B\;$» avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes «$\;1\;{\text{et}}\;x\;$» $\;{\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}$.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

     Avec $\;c>0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.

     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\mathbb {C} \;$ au lieu de résoudre sur $\;\mathbb {R} \;$, l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur $\;\mathbb {C} \;$,
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\Rightarrow$ l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$
      Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation caractéristique où $\;s\in \mathbb {C} \;$ et
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ l'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées $\;s_{\pm }=\pm i\,{\sqrt {c}}$, on en déduit
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$» et
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «$\;f(x)=\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$»
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit avec $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$ deux constantes complexes arbitraires ;
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de façon à ce que $\;\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ soit réelle .

     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ de l'équation différentielle,
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, «$\;\cos({\sqrt {c}}\,x)\;$ et $\;\sin({\sqrt {c}}\,x)\;$»
         Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, ${\big (}$base de l'ensemble des solutions ${\big )}\;$
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;{\big (}$réelle${\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit «$\;f(x)=A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)\;$»
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;\color {transparent}{\big (}$réelle$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires.

     Remarques : On établit que «$\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;\;\forall \,x\;$» avec $\;C\;{\text{et}}\;\varphi \;$ dépendant de $\;A\;{\text{et}}\;B$ ;
     Remarques : en effet, posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos(\varphi )\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)-C\,\sin(\varphi )\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;$ ;
     Remarques : en effet, du système d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\\tan(\varphi )=-{\dfrac {B}{A}}\end{array}}\right\rbrace \;$» permettant de choisir la détermination de $\;\varphi \;$ suivant les signes de $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ :

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;>0$, $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}},0\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$» ,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;<0$, $\;\varphi \in \left]{\dfrac {\pi }{2}},\pi \right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)+\pi \;$» ,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A>0\;{\text{et}}\;B<0$, $\;\varphi \in \left]0,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$» ,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A<0\;{\text{et}}\;B>0$, $\;\varphi \in \left]-\pi ,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)-\pi \;$» .

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

     Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

     Justification  : soient respectivement $\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)\;$ et $\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
          Justification : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f''}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {1}})\\{f''}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «$\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;$» que
          Justification : la fonction $\;f(x)=f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)-f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ est solution de la même équation différentielle mais homogène soit
          Justification : $\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;:\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ ;

     ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, on peut écrire

«$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$»
où «$\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

     La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=cste\;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=p\,x+m,\;\;p\;{\text{et}}\;m\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,x+\beta \;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\exp(p\,x),\;\;A\;{\text{et}}\;p\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\exp(p\,x)\;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\cos(k\,x+\varphi ),\;\;A,\;k\;{\text{et}}\;\varphi \in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\cos(k\,x+\psi )\;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\psi \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;

     dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante

     Soit «$\;f'(x)+k\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;k\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où $\;\color {transparent}{k\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée étant identiquement nulle on obtient $\;k\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}={\dfrac {D}{k}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ avec $\;A\;$ constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)+{\dfrac {D}{k}}\;$».

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

     Soit «$\;f''(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;c\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée 2^nde étant identiquement nulle on obtient $\;c\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}$ $={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\\{\text{ou }}\quad C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\end{array}}\right.\;$ avec $\;A,\;B,\;C,\;\varphi \;$ constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$\;f(x)=\left\lbrace {\begin{array}{r c r}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\\\!\!&{\text{ou}}&\!\!\\C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\end{array}}\right.\;$».

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

     La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre avec terme du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ correspondant au cœfficient de la dérivée 2^nde égal à $\;1\;$ s'écrit

«$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$» où
«$\;b\;$ et $\;c\;$ sont des réels non nuls » et
«$\;e(x)\;$ une fonction réelle » appelée « excitation ».

     Si $\;e(x)=0\;\;\forall x\;$ l'équation est dite homogène et

     si $\;\exists \;x_{0}\;$ tel que $\;e(x_{0})\neq 0\;$ l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

     la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

     dans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

«$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$»
où «$\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     On cherche donc à résoudre $\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;b\;$ et $\;c\;$ des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir

     chercher des solutions du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées 1^ère $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et 2^nde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant $\;\propto$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$, l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2^ème degré en la variable algébrique réelle $\;s\;$ suivante

«$\;s^{2}+b\;s+c=0\;$».

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$» et
     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$» , l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «$\;s_{\pm }={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$» et

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles s'écrit

«$\;f_{l}(x)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;x\right)\;$» ,
$\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$» , l'équation caractéristique admet une solution réelle double «$\;s_{d}={\dfrac {-b}{2}}\;$» et
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)$, il faut donc chercher une 2^ème solution particulière d'une autre forme,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \!\left(s_{d}\;x\right)}$, on vérifie ci-dessous que $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ convient ;

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$, la dérivée 1^ère vaut $\;{f'}_{\text{part}}(x)=\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ et
                « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left(-b\;x\right)}$, la dérivée 2^nde vaut $\;{f''}_{\text{part}}(x)=-2\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : formant alors la C.L. du 1^er membre de l'équation différentielle, on trouve $\;0\;$
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : ce qui prouve que $\;x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières «$\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ et $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$» s'écrit

«$\;f_{l}(x)=\left(A+B\;x\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$» ,
$\;A\;$ et $\;B\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$» , l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais $\;\ldots \;$
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ;
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels $\;\ldots$

     Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène :
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «$\;{\underline {s_{\pm }}}={\dfrac {-b\pm i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$» ,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;{\underline {f_{l}}}(x)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{+}}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{-}}}\;x\right)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b+i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b-i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)\;$»,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;\color {transparent}{{\underline {f_{l}}}(x)=}$$\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ étant deux constantes complexes arbitraires .

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe :
     Détermination de la solution générale libre réelle il faut écrire que la partie imaginaire de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ est identiquement nulle et pour cela
     Détermination de la solution générale libre réelle nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique $\;{\underline {A_{+}}}=A_{+}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{+}\right)\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}=A_{-}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{-}\right)\;$ $\Rightarrow$
     Détermination de la solution générale libre réelle réécriture de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ selon «$\;{\underline {f_{l}}}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left\lbrace A_{+}\;\exp \!\left[i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\right]+A_{-}\;\exp \!\left[-i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\right\rbrace \;$»
     Détermination de la solution générale libre réelle de partie imaginaire $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)-A_{-}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]$ ;
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout $\;x\;$ si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus
     Détermination de la solution générale libre réelle à l'aide des formules de trigonométrie $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)+\sin \!\left(\varphi _{+}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\\\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\exp \!\left({\dfrac {b}{2}}\;x\right)=$
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\left[A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)-A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+\left[A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)+A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ dont
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité $\;\forall \;x\;$ $\Rightarrow$ la nullité simultanée des cœfficients de $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ et de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» soit
     Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$en faisant la somme membre à membre des carrés $\;A_{+}^{2}=A_{-}^{2}\;$ ou, les modules étant nécessairement positifs, «$\;A_{+}=A_{-}\;$»,
     Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$«$\;A_{+}=A_{-}\;$» $\Rightarrow$ les arguments $\;\varphi _{+}\;$ et $\;\varphi _{-}\;$ suivent $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ réalisés pour «$\;\varphi _{-}=-\varphi _{+}\;$»  ;

     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs $\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ sont conjugués l'un de l'autre «$\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$» , d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre réelle $\;f_{l}(x)=\;$ à la partie réelle de la solution générale libre complexe $\;\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\;$ soit
     Détermination de la solution générale libre réelle «$\;f_{l}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)+A_{-}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\;$» ou encore,
     Détermination de la solution générale libre réelle avec $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}=A_{-}\\\varphi _{+}=-\varphi _{-}\end{array}}\right\rbrace$, «$\;f_{l}(x)=2\;A_{+}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\;$» .

     Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi \right)\;$» avec «$\;A\;$ et $\;\varphi \;$ constantes réelles arbitraires » .

     Autre forme$\;{\big (}$moins utilisée${\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A'\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+B'\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\right]\;$»
     Autre forme$\;\color {transparent}{\big (}$moins utilisée$\color {transparent}{\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si $\;\color {transparent}{\Delta }\;$est$\;\color {transparent}{<0}$ : «$\;\color {transparent}{f_{l}(x)=}$ avec «$\;A'\;$ et $\;B'\;$ constantes réelles arbitraires ».

     Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en f(x) sans terme du 1^er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. $\;b\rightarrow 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta \rightarrow -4\;c\;$ d'où $\;{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}\rightarrow {\sqrt {c}}$.

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     Soit «$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
           dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car les dérivées 2^nde et 1^ère étant identiquement nulles on obtient $\;c\,f_{f}=D\;$ soit «$\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$».

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     Dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à $\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «$\;f(x)=f_{l}(x)+f_{f}=f_{l}(x)+{\dfrac {D}{c}}\;$» dans laquelle $\;f_{l}(x)\;$ est
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, suivant le signe du discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ de l'équation caractéristique $\;s^{2}+b\,s+c=0\;$,
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique ,
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique critique ou
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$pseudo-périodique
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ $\;\ldots$

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1^er ou du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation sinusoïdale c.-à-d.
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;f(x)\;$ suivante $\bullet \;$$\qquad \quad \quad \;\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)$, $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ou
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ suivante $\bullet \;$$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)$, $\;b\in \mathbb {R} \;$ et $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$,
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ $e(x)\;$ étant l'excitation sinusoïdale de fréquence $\;\sigma \;$ et d'amplitude $\;E_{m}$, toutes deux fixées, et
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence $\;\sigma$.

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Supposons que l'excitation s'écrive $\;e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ sous la forme $\;f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons dans laquelle $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle,
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons de la fréquence commune $\;\sigma$, de l'amplitude $\;E_{m}\;$ et de la phase à l'origine $\;\varphi _{e}\;$ de l'excitation,
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 1^er problème étant noté $\;({\mathfrak {1}})$ ;

     supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\;$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ selon $\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons avec les mêmes valeurs $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ que dans le 1^er problème précédent ,
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 2^ème problème étant noté $\;({\mathfrak {2}})$ ;

     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 2^ème ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}f_{f,\,1}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{f,\,2}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace$.

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Formant l'« équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. $\;{\underline {e}}(x)=e_{1}(x)+i\;e_{2}(x)=E_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\right]\;$» ainsi que
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» et introduisant la « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. $\;{\underline {f_{f}}}(x)=f_{f,\,1}(x)+i\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\right]\;$»,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe $\;{\underline {f}}(x)\;$ et
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)\;$
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ et dont
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie réelle est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{1}(x)=\Re \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,1}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]\;$ et
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie imaginaire est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{2}(x)=\Im \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,2}(x)=\Im \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]$.

     Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ ${\big (}$quand celle-ci existe${\big )}\;$ à partir de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)$, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et la partie imaginaire pour le problème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\ldots \;$ mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

     La « grandeur instantanée complexe » $\;{\underline {s}}(x)\;$ associée à la fonction $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ est la fonction à valeurs complexes de la variable $\;x\;$ dont
     La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie réelle $\;s(x)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ou
     La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie imaginaire $\;s(x)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ; ainsi
     La « grandeur instantanée complexe » «$\;{\underline {s}}(x)=A\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\right]\;$ est telle que $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

     On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur $\;{\underline {A}}\;$ telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive $\;{\underline {s}}(x)={\underline {A}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$ ;
     On définit l'« amplitude complexe » est donc égale à «$\;{\underline {A}}=A\,\exp \!\left(i\,\varphi \right)\;$»,
     On définit son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\vert {\underline {A}}\vert =A\;$» et
     On définit son argument étant égal à la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A}}\right)=\varphi \;$» ;

     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;x\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;\color {transparent}{x}\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

     La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes
     La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 1^ère par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\;$» et
     La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 2^ème par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\right]^{2}=-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\;$» $\;\ldots$

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1^er ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;i\,k_{\text{puls}}\,{\underline {f_{f}}}(x)+k\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}\;$» $\;{\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant dans la mesure où $\;i\,k_{\text{puls}}+k\;$ ne peut pas s'annuler
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» et
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, $\Rightarrow$
         L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution «$-<!--\; -\; -->k^2$