En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateur harmonique Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti
Soit un disque de masse suspendu à un ressort idéal vertical de raideur et de longueur à vide [1].
À l'équilibre on pose sur le disque un « tore » [2] de même masse.
Déterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.
Solution
Vous devez faire autant de schémas de situation que nécessaire : ici ressort à vide, ressort avec disque à l'équilibre, ressort avec « disque et tore[2] dans les conditions initiales C.I.», ressort avec « disque et tore[2] à l'équilibre » et enfin ressort avec « disque et tore[2] à un instant quelconque ».
Mise en équation :
Les schémas ci-contre avec forces appliquées au disque ou à l'ensemble « disque - tore[2] » constituant un solide en translation sont nécessaires à l'exposé ; le référentiel d’étude considéré est supposé galiléen ; cherchant l'allongement maximal [3] du ressort, il convient de déterminer le mouvement du pendule élastique vertical nouvellement constitué à partir du disque et du tore[2] et pour cela de trouver l'équation différentielle du mouvement de ce nouveau pendule en utilisant par exemple la r.f.d.n[4]. appliquée à l'ensemble « disque tore[2] ».
Deux forces agissent sur l'ensemble « disque - tore[2] » : le poids de l'ensemble et la tension du ressort ; choisissant la position initiale de dépôt du tore[2] comme origine de l'axe vertical descendant on en déduit «» où « est l'abscisse de l'ensemble à l'instant relativement à la position de dépôt du tore » cette dernière étant encore la position d'équilibre du disque sans le tore[2] et l'allongement à l'équilibre du pendule sans le tore[2] ;
l'application de la r.f.d.n[4]. à l'ensemble « disque - tore[2] » projetée sur donne : «»[5] ;
pour déterminer on écrit la condition d'équilibre du disque sans le tore[2] soit «» que l'on projette sur d'où : «» ou «» que l'on reporte dans l'équation précédente, ce qui donne l'équation simplifiée «» ou
«».
Résolution de l'équation différentielle :
Il reste à résoudre cette équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre « hétérogène », l'excitation étant une constante, pour cela on utilisera le résultat exposé dans le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sans terme du 1er ordre à excitation constante » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
la solution générale de l'équation homogène écrite sous forme normalisée «» puis sous forme canonique en posant «» où «» est la pulsation propre du nouveau pendule constitué de l'ensemble « disque - tore[2] » conduit à
«»,
la solution forcée de l'équation hétérogène c'est-à-dire la solution particulière cherchée sous la même forme que l'excitation[6] conduit à d'où
«»,
la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc soit encore
«», et étant des constantes à déterminer par C.I[7]..
L'abscisse de l'ensemble étant repéré par rapport à la position de dépôt du tore[2] et l'instant de dépôt du tore[2] étant choisi comme origine des temps, « la 1ère C.I[7]. est »[8], l'ensemble étant lâché sans vitesse initiale, « la 2ème C.I[7]. est » :
de on déduit soit «»,
de avec «» on déduit soit «»,
finalement «».
Allongement maximal du ressort et période d'oscillations :
La période propre des oscillations est «» ;
la valeur maximale de est obtenue pour d'où «» et par suite l'allongement maximal vaut
«».
Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série
Les deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur.
Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;
vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur en fonction de et .
Solution
Les deux ressorts montés en parallèle agissent directement sur le solide de masse qui est donc soumis à trois forces verticales [9] ; en prenant un axe vertical descendant avec position d'équilibre de , et en projetant la r.f.d.n[4]. sur cet axe, on obtient l'équation différentielle du mouvement : «» qui se simplifie à l'aide de la condition d’équilibre «»[10] soit finalement l'équation différentielle du mouvement du solide
«» qui caractérise effectivement un oscillateur harmonique à un degré de liberté ;
on constate que l'association parallèle des deux ressorts de raideur et est équivalente à un ressort unique de raideur «» ; la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant «» on définit
la pulsation propre de l'oscillateur «» et on en déduit
la période propre des oscillations «».
L'extrémité supérieure du ressort supérieur est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur , l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide dont on n'envisage que les mouvements de translation verticalemath>\big)</math>.
Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;
vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur en fonction de et .
Solution
Les deux ressorts d'axe commun vertical étant montés en série, seul le ressort inférieur agit directement sur le solide mais l'allongement de ce ressort dépend aussi de la position de son extrémité supérieure laquelle est directement liée à l'allongement du ressort supérieur ; soit le ressort supérieur et le ressort inférieur, on note le point d'attache entre eux deux point sans masse voir schéma ci-contre.
Équation différentielle finale du mouvement du solide :
Reportant cette dernière expression dans l'équation différentielle en déterminée précédemment, on trouve : «» soit, après simplification :
«» qui caractérise effectivement un oscillateur harmonique à un degré de liberté ;
on constate que l'association série des deux ressorts de raideur et est équivalente à un ressort unique de raideur «» ; la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant selon «» on définit
la pulsation propre de l'oscillateur «» et on en déduit
la période propre des oscillations «».
Considérons deux mobiles et , de même masse , supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction . Considérons Le mobile est accroché à un point fixe , par l'intermédiaire d'un ressort de raideur et de longueur à vide . Considérons Le mobile est accroché au mobile par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent. Considérons Tous les frottements sont négligés voir schéma ci-contre.
Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts
Établir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions et des mobiles et par rapport à on notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en contient des termes en et vice versa.
Solution
Les seules forces pouvant créer ou modifier un mouvement sont « horizontales » [17], ce sont les tensions des ressorts :
s'exerçant sur , les tensions des ressorts «» et «» ;
s'exerçant sur , la tension du ressort «» ;
on applique la r.f.d.n[4]. à pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur «» et en ordonnant «» ;
on applique la r.f.d.n[4]. à pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur «» et en ordonnant «» ;
on obtient le système d'équations différentielles linéaires à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre couplées :
On étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation en l'absence de frottements les modes d'oscillation à la même pulsation étant appelés « modes propres ».
En choisissant «», montrer qu'on obtient dans ce cas le système «» où est une grandeur qu'on explicitera en fonction de et .
Solution
On cherche des solutions harmoniques de même pulsation c'est-à-dire des solutions de la forme «» de dérivées temporelles 2ndes «» que l'on reporte dans le système d'équations différentielles simplifiées de la solution de la question « réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique » plus haut dans cet exercice «» soit encore «» ou, en divisant par pour avoir des cœfficients homogènes au carré d'une pulsation «» et, en posant , on obtient le système de deux équations linéaires en et homogène suivant «».
Détermination des pulsations propres d'oscillation
En déduire les solutions et pulsations propres des oscillateurs couplés correspondant aux valeurs de recherchées.
Solution
On cherche un « couple de solutions non triviales » [20] au système des deux équations linéaires algébriques homogène «» ce qui nécessite que les cœfficients de et de soient tels que selon la condition exposée dans le paragraphe « condition d'existence de solutions non triviales (d'un système d'équations linéaires à deux inconnues » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et par suite la pulsation commune doit être nécessairement solution de l'équation en obtenue en développant et ordonnant
le discriminant valant «», il existe deux solutions réelles distinctes en toutes deux positives car le produit des solutions réelles en vaut et la somme [22], chacune des solutions réelles en donnant une solution réelle positive en ; les deux solutions distinctes en valant respectivement «» et «», nous en déduisons :
« il existe deux pulsations propres et distinctes de valeurs et ».
Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation
Préciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre et , en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.
Solution
Pour chaque valeur de et , et sont liées par « l'une ou l'autre des équations du système » [23], ainsi :
pour la « pulsation », la « 2ème équation » [24] se réécrit, compte-tenu de «», «» après simplification par , soit encore
«» c'est-à-dire que et vibrent en opposition de phase avec des amplitudes [25] ;
pour la « pulsation », la « 2ème équation » [24] se réécrit, compte-tenu de «», «» après simplification par , soit encore
«» c'est-à-dire que et vibrent en phase avec des amplitudes .
Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences
Reprenant le système d'équations différentielles couplées en et , nous nous proposons de « le découpler »[26] de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.
Découplage par combinaison linéaire (C.L.) des deux équations différentielles couplées
Le système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme [27], étant des cœfficients précédemment trouvés, « former la C.L[28]. » dans le but de poser « comme nouvelle variable », et « mettre cette C.L[28]. sous la forme », dépendant de ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles [29] ;
le système d'équations différentielles sera découplé si « est à » et « à » avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si «» ou si «», le système d'équations différentielles sera découplé en déduire l'équation du 2ème degré en pour qu'il en soit ainsi et la résoudre[30] ;
le système d'équations différentielles sera découplé proposer alors deux nouvelles variables «» et «»[31] et le système d'équations différentielles sera découplé réécrire le système d'équations différentielles découplées en et .
Solution
Partant du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts précédemment trouvé «» d'où les cœfficients de l'énoncé , , on effectue la « C.L[28]. » et on obtient «» soit encore
«» d'où les cœfficients de l'énoncé , ;
la condition de découplage «» s'écrit donc «» ou, en développant «» soit encore «» puis la condition de découplage «» s'écrit donc en divisant par pour obtenir l'équation du 2ème degré recherchée
«» ;
la condition de découplage «» le discriminant de cette équation du 2ème degré valant «» elle a deux racines réelles distinctes
«» et «» ;
la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes « pour l'une des nouvelles variables » ainsi que la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes « pour l'autre des nouvelles variables » la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «» et la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «» ;
la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple correspond «» et la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple correspond «» d'où la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre et ou entre et s'évalue selon «[32] soit » dont on déduit la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L[28]. » c'est-à-dire «» soit, avec la condition de découplage «», «» ou finalement «» ;
la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple correspond «» et la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple correspond «» d'où la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre et ou entre et s'évalue selon «[33] soit » dont on déduit la condition de découplage «» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L[28]. » c'est-à-dire «» soit, avec la condition de découplage «», «» ou finalement «» ;
la condition de découplage «» le système d'équations différentielles découplées s'écrit donc «».
Résolution du système d'équations différentielles découplées
Résoudre le système d'équations différentielles découplées en et et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;
comparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts.
Solution
Le système d'équations différentielles étant découplé on peut résoudre chaque équation indépendamment l'une de l'autre ainsi :
: «» donne, en divisant par et en définissant , la forme canonique «» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «» et de solution «», étant à déterminer à l'aide des C.I[7]. ;
: «» donne, en divisant par et en définissant , la forme canonique «» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «» et de solution «», étant à déterminer à l'aide des C.I[7]. ;
on constate que les pulsations propres des deux oscillateurs harmoniques obtenus par découplage sont exactement les pulsations propres de l'oscillateur harmonique à deux ressorts précédemment trouvées ce qui n'est pas une surprise compte-tenu de la définition des modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.
Déduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables et puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.
Solution
De «» et «» on en déduit :
en faisant la « différence » ou «» donnant, après report des expressions de ,
«» et
en formant la « C.L[28]. » ou «» donnant, après report des expressions de ,
«» ;
pour avoir un mode propre d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts, les variables doivent osciller à la même fréquence ce qui impose :
soit «» correspondant à «» ou encore «» soit enfin «» c'est-à-dire « et vibrant en opposition de phase avec des amplitudes »[34] avec la pulsation «» ce qui est effectivement le 1er mode propre trouvé précédemment,
soit «» correspondant à «» ou encore «» soit enfin «» c'est-à-dire « et vibrant en phase avec des amplitudes »[35] avec la pulsation «» ce qui est effectivement le 2nd mode propre trouvé précédemment.
On considère un ressort idéal, d'axe vertical, de raideur et de longueur à vide , dont l'extrémité supérieure est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet de masse , se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical .
On note le champ de pesanteur uniforme étant un vecteur unitaire vertical descendant.
Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote [36] de l'objet de masse ;
en déduire sa position d'équilibre .
Posant , réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par .
Commenter le résultat obtenu.
L'objet étant lâché à depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale , déterminer l'expression de pour tout .
Solution
Bilan des forces appliquées à : son poids et la tension du ressort ;
application de la r.f.d.n[4]. à projetée sur : «» soit encore
«».
Condition nécessaire C.N. d'équilibre de : «» soit, en projetant sur , «», soit
«».
On en déduit «» ainsi que «» d'où, en reportant dans l'équation différentielle en : «» ou, en remplaçant par son expression précédemment trouvée «» soit, finalement
«».
Ayant choisi de repérer relativement à sa position d'équilibre, on doit avoir, à l'équilibre, «» avec «» et par suite il est tout à fait naturel que le 2nd membre de l'équation différentielle en soit nul.
La forme canonique de l'équation différentielle s'écrit, après avoir divisé les deux membres par , «» avec « pulsation propre de l'oscillateur harmonique » ; la solution générale de l'équation est alors «» et, on détermine et par C.I[7]. soit :
Le mouvement de l'objet étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique »[37], mais aussi Le mouvement de l'objet étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'énergie potentielle de pesanteur «»[38].
Montrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme «» ;
choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet , que vaut, dans ce cas, ?
En utilisant l'expression de trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique de l'objet en fonction de , et ;
commenter le résultat obtenu.
On démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée[39] ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale 1ère du mouvement de l'objet en fonction de , , , et ;
en déduire l'équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par [40].
Solution
L'énergie potentielle élastique de étant égale à «» et son énergie potentielle de pesanteur à «»[38], nous en déduisons l'expression de l'énergie potentielle totale de selon «» ou, en introduisant «» «», «» soit en développant, «» et, en regroupant les termes ne dépendant pas de dans un terme , «» ce qui donne finalement
«» ;
choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet [41], on déduit de « avec »,
«» et par suite «».
L'énergie mécanique de étant définie selon «»[42] d'où, avec «», «», soit, « en éliminant par », on en déduit, grâce à ,
«» ;
en absence de frottements, l'énergie mécanique reste constante donc indépendante du temps sa valeur étant celle acquise à l'instant c'est-à-dire [43].
par absence de frottements, l'énergie mécanique est conservée[39] c'est-à-dire «» soit «» ;
pour en déduire l'équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par , on dérive l'intégrale 1ère du mouvement de relativement à soit : «» où [44], soit
«» ;
on vérifie effectivement que l'on trouve la même équation différentielle que celle trouvée dans la solution de la question « équation du mouvement et équilibre » plus haut dans cet exercice.
↑ Un oscillateur formé d'un ressort à une extrémité duquel est lié un objet est appelé « pendule élastique ».
↑ 2,002,012,022,032,042,052,062,072,082,092,102,112,122,132,14 et 2,15 Un tore est un solide de révolution d'axe dont la méridienne c'est-à-dire la surface qu'il faut faire tourner autour de pour obtenir le solide de révolution est un disque coplanaire à l'axe et telle que ce dernier ne coupe pas le disque ; c'est donc « un anneau à section circulaire ».
↑ On rappelle qu'un allongement est défini par rapport à la longueur à vide.
↑ Cette position est encore la position d'équilibre du disque sans le tore.
↑ Pour que le solide se déplace verticalement alors que les tensions des deux ressorts à chaque instant sont a priori différentes, il est nécessaire qu'il soit guidé verticalement ; il y a donc présence de composantes de réaction de ce guide sur le solide mais nous supposerons que ces composantes sont sans action sur son mouvement, ce qui nécessite qu'elles soient horizontales à tout instant donc sans frottement ; toutefois si les tensions des ressorts à chaque instant ne sont pas égales, il semble vraisemblable qu'il y ait un léger basculement induisant nécessairement un frottement sur le guide et donc il semble difficile de supposer l'absence de frottement … Même si le résultat obtenu dans le cas de deux ressorts différents est théoriquement correct en absence de frottement, il est pratiquement applicable uniquement dans le cas de deux ressorts identiques.
↑ Obtenue en écrivant que la somme des forces est nulle ou encore, l'origine de l'axe ayant été choisie en la position d'équilibre, en écrivant que l'on doit avoir simultanément pour tout , et .
↑ Par rapport à l'allongement à l'équilibre du ressort quand descend de , l'allongement augmente et quand descend de , l'allongement diminue.
↑ Obtenue écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant , et dans l'équation différentielle du mouvement de .
↑ L'équation différentielle en dépendant de , elle nécessite, avant de chercher à la résoudre, de savoir comment varie , c'est-à-dire de déterminer l'équation différentielle en .
↑ Le point ayant une masse nulle, son accélération n'intervient pas dans la r.f.d.n..
↑ Obtenue en écrivant que la somme des forces à l'équilibre est nulle ou en imposant et dans l'équation du mouvement de .
↑ Si le point avait une masse non nulle, son accélération interviendrait dans l'application de la r.f.d.n. et le lien entre et que l'on déduirait serait une équation différentielle en dépendant de ; on obtiendrait alors deux équations différentielles l'une en dépendant de et l'autre en dépendant de , l'ensemble des deux équations différentielles constituerait alors un système d'équations différentielles couplées, le qualificatif « couplé » signifiant que les équations différentielles ne peuvent être résolus que simultanément.
↑ Les forces verticales poids et réactions du plan se compensent et, bien qu'existantes, elles ne sont pas indiquées sur le schéma, mais bien entendu elles ne doivent pas être oubliées.
↑ Correspondant aux ressorts et ayant leur longueur à vide.
↑ La solution triviale correspondant à l'absence de mouvement de et est évidemment à rejeter.
↑ Équation bicarrée en c'est-à-dire équation du 2ème degré en .
↑ On rappelle que le produit des zéros du polynôme vaut et que la somme vaut .
↑ La condition nécessaire C.N. pour l'existence d'une solution non triviale est que les équations soient liées chacune d'elles étant multiple de l'autre.
↑ 24,0 et 24,1 Mais on pourrait prendre aussi bien la 1ère.
↑ C.-à-d. faire un changement de variables pour obtenir deux équations différentielles en ces nouvelles variables que l'on peut résoudre indépendamment l'une de l'autre.
↑ Cœfficients uniquement numériques car l'oscillateur à deux ressorts étant constitué de deux ressorts identiques et deux solides de même masse, il a été possible de mettre en facteur.
↑ Les solutions seront appelées et , la 1ère étant la plus petite.
↑ Ces variables étant définies à une constante multiplicative arbitraire près, on choisira cette constante de façon à ne pas avoir de cœfficients fractionnaires.
↑ De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir car .
↑ De façon à rendre le dénominateur de la fraction rationnel on multiplie haut et bas la fraction par le conjugué du dénominateur irrationnel à savoir car