Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

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En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)

Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique

     À la grandeur « énergie potentielle » $\;U(M,\,t)\;$ de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle »

«$\;{\widehat {U}}\left[\;\right]=U(M,\,t)\times \left[\;\right]\;$»,

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ qui modélise l'état de la particule « quantique » donnant la valeur $\;U(M,\,t)\;$ à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$.

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique

     À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique $\;K(M,\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}\;$ où $\;m\;$ est la masse de la particule et $\;{\vec {p}}\;$ sa quantité de mouvement non relativiste , on associe l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon $\;{\widehat {K}}\left[\;\right]={\dfrac {1}{2\;m}}\;{\widehat {\vec {p}}}^{2}\left[\;\right]=$ ${\dfrac {1}{2\;m}}\;\left\lbrace -i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)_{t}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\nabla }}^{2}\right)_{t}\left[\;\right]\;$ soit

«$\;{\widehat {K}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\Delta }}\right)_{t}\left[\;\right]\;$» ,

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » non relativiste donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule .

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique

     La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton en $\;1833\;$ lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange à partir de $\;1788$, elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne …

Mécanique lagrangienne

     Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ d'une particule $\;{\big (}$squelette de la mécanique lagrangienne${\big )}\;$ est une fonction de sa position $\;{\vec {r}}$, de $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ et du temps $\;t$, toutes variables supposées indépendantes , défini par

«$\;{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\vec {r}}}^{2}-U({\vec {r}},\;t)\;$»  ;

     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur l'intervalle $\;\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]\;$ définie par «$\;S_{\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt\;$» est stationnaire sur la trajectoire , plus exactement on obtient les équations d'Euler-Lagrange «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=0\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {x}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {y}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {z}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit $\;m\;{\vec {a}}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$ avec $\;{\vec {a}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {v}}}{dt}}(M,\,t)={\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)\;$ le vecteur accélération de la particule ou, utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive $\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$, on obtient l'équation différentielle du 2^ème ordre régissant le mouvement de la particule «$\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)\;$».

Mécanique hamiltonienne

     En mécanique hamiltonienne la variable $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ est remplacée par la variable $\;{\vec {p}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,t}\right\rbrace \;$ ${\big (}$appelée « moment conjugué » ou « impulsion »${\big )}\;$ correspondant aux composantes «$\;p_{i}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,{\dot {z}},\,t},\;\;\forall \;i=1..3\;$» s'identifiant à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie soit «$\;p_{i}=m\;{\dot {r_{i}}}\;$» ;

     l'hamiltonien $\;{\mathcal {H}}\;$ est la transformée de Legendre du lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ soit

«$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)\;$»

     et enfin, dans le cas où la variable $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;{\dfrac {\vec {p}}{m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-{\mathcal {L}}\!\left({\vec {r}},\,{\dfrac {\vec {p}}{m}},\,t\right)\;$ ou encore $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-\left[{\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}-U({\vec {r}},\,t)\right]\;$ et finalement

«$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$»  ;

     à partir de l'expression de la différentielle de l'hamiltonien avec l'utilisation des équations d'Euler-Lagrange on obtient les équations canoniques de Hamilton dont on peut déduire, en les explicitant, les équations du mouvement de la particule, en effet $\;{\mathcal {H}}\;$ étant une fonction des variables indépendantes $\;{\vec {r}}$, $\;{\vec {p}}\;$ et $\;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt\;$» et, de sa définition «$\;{\mathcal {H}}={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)\;$», on tire «$\;d{\mathcal {H}}=$ $\sum \limits _{i=1..3}\left[p_{i}\;d{\dot {r_{i}}}+{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;d{\dot {r_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$» soit encore, avec la définition du moment conjugué «$\;p_{i}=$ $\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$» d'où finalement

«$\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$»

     soit, par identification, les équations canoniques de Hamilton  :

• identification des cœfficients de $\;dp_{i}\;$ $\Rightarrow$ les 1^ères équations canoniques de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}={\dot {r_{i}}},\;\;\forall \;i=1..3\;$»,
• identification des cœfficients de $\;dr_{i}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t},\;\;\forall \;i=1..3\;$» et, en utilisant les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=$ ${\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}={\dot {p}}_{i}\;$ par définition de $\;p_{i}$, les 2^èmes équations canoniques de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-{\dot {p_{i}}},\;\;\forall \;i=1..3\;$»,
• identification des cœfficients de $\;dt\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$» et, en utilisant «$\;d{\mathcal {H}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$» $\;{\Bigg \{}$en effet les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}={\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$ se réécrivent avec la définition du moment conjugué $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;dr_{i}={\dot {r_{i}}}\;dp_{i}\;$ permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien selon $\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\cancel {{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}}}-{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt{\Bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$ d'où la 3^ème équation canonique de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}$ $=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$» ;

     finalement les équations canoniques de Hamilton s'écrivent selon

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\dot {r_{i}}}&=&\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}\\&{\dot {p_{i}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\\{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}&=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     des équations canoniques de Hamilton ci-dessus on tire, dans la mesure où la variable $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie  :

• la définition de la quantité de mouvement de la particule $\;{\vec {p}}\;$ car «$\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}={\dfrac {p_{i}}{m}},\;\;\forall \,i=1..3\;$» d'où la réécriture des 1^ères équations «$\;{\dot {r_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{m}},\;\;\forall \,i=1..3\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {p}}=m\;{\dot {\vec {r}}}\;$» ;
• la relation fondamentale de la dynamique car «$\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,t}=F_{i},\;\;\forall \,i=1..3\;$» en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «$\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$» ou «$\;{\dfrac {dp_{i}}{dt}}=F_{i}$, $\;\forall \,i=1..3\;$» d'où finalement les 2^èmes équations se réécrivent «$\;{\vec {F}}={\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}\;$» ;
• la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps ce dont on tire «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=$ $-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}=\left({\dfrac {\partial U}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}}}=0\;$» et par suite la 3^ème équation se réécrit, compte-tenu de $\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}$, «$\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=0\;$».

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

     Ayant démontré que l'hamiltonien d'une particule non relativiste prenait la forme «$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)=K({\vec {p}})+U({\vec {r}},\,t)=$ ${\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U(M,\,t)\;$» nous en déduisons l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir de ceux l'« énergie cinétique non relativiste » et de l'« énergie potentielle », soit

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]={\widehat {K}}\left[\;\right]+{\widehat {U}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \left[\;\right]\;$» ,

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde qui décrit l'état de la particule « quantique » non relativiste donnant toutes les valeurs possibles de l'énergie mécanique « si la particule est dans un état stationnaire » .

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste

Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste

     L'équation de Schrödinger permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$» ou «$\;{\widehat {K}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+{\widehat {U}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$»
se réécrivant, en explicitant les opérateurs linéaires, selon
«$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!M}(M,\,t)\;$» .

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps

     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule quantique ne dépend pas explicitement du temps, la particule peut être dans un état stationnaire $\;{\big (}$voir note « ²⁹ » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et, dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ se met sous la forme d'un produit $\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$ avec $\;\varphi (t)\;$ fonction réelle » .

     Exposé : Nous nous proposons de réécrire l'équation de Schrödinger dans le cas où la particule est dans un état stationnaire en cherchant la fonction d'onde de la particule sous la forme «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=$ ${\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$ avec $\;\varphi (t)\;$ fonction réelle » d'où, en reportant cette forme dans l'équation de Schrödinger nous obtenons :

     Exposé : $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace +U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace }{\partial t}}\right)_{\!M}\;$ dans laquelle
          Exposé : $\succ \;$$\;\Delta _{t}\!\left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace =\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$ et
          Exposé : $\succ \;$$\;\left({\dfrac {\partial \left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace }{\partial t}}\right)_{\!M}={\underline {\Psi }}(M)\,\left\lbrace -i\;{\dot {\varphi }}(t)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$ d'où, par report
     Exposé : $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=i\;\hbar \;{\underline {\Psi }}(M)\,\left\lbrace -i\;{\dot {\varphi }}(t)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$ puis après simplification par $\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]$,
     Exposé : $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)=\hbar \;{\underline {\Psi }}(M)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ soit, en supposant $\;{\underline {\Psi }}(M)\;$ non identiquement nulle et en divisant chaque membre par $\;{\underline {\Psi }}(M)$,
     Exposé : $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)\;$ dans laquelle le 1^er membre de l'équation étant une fonction de $\;M\;$ et le 2^nd une fonction de $\;t$, la seule possibilité est que cette fonction commune soit une fonction constante ; notant $\;E\;$ cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)=E\\-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=E\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     Exposé : $\blacktriangleright \;$la 1^ère équation «$\;{\dot {\varphi }}(t)={\dfrac {E}{\hbar }}\;$» s'intègre en «$\;\varphi (t)=\varphi _{0}\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\;$ avec $\;\varphi _{0}\;$ une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule dans un état stationnaire «$\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=\exp \!\left[-i\;\varphi _{0}\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right]={\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(-i\;\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ avec $\;{\underline {\alpha }}\;$ une constante complexe d'intégration » ;
     Exposé : $\blacktriangleright \;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;{\underline {\Psi }}(M)$, «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\Psi }}(M)=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» appelée « équation de Schrödinger indépendante du temps » ou, à l'aide de l'opérateur linéaire « hamiltonien » «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=$ $-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[\;\right]+U(M)\times \left[\;\right]\;$» ,
     Exposé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(M)}$, «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» équation de recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien ».

     Conclusion : Dans le cas où l'énergie potentielle $\;U\;$ de la particule quantique ne dépend pas explicitement du temps, la particule peut être dans un état stationnaire de fonction d'onde de la forme «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right]\;$» dans laquelle $\;E\;$ est une valeur propre de l'opérateur linéaire « hamiltonien » de la particule c.-à-d. telle que «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$», la partie spatiale «$\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» de la fonction d'onde étant une fonction propre associée à la valeur propre $\;E$ $\;{\big [}$ces valeurs propres $\;E\;$ de l'opérateur linéaire « hamiltonien » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière ${\big ]}$ ;

     Conclusion : pour un niveau d'énergie $\;E\;$ connu de la particule dans un état stationnaire, la partie spatiale «$\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;$» de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« équation de Schrödinger indépendante du temps » $\;{\big (}$équation aux dérivées partielles linéaire du 2^ndordre${\big )}\;$ «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)=E\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;$».

     Principaux résultats : Les valeurs de l'énergie de la particule quantique dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et
     Principaux résultats : à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde $\;{\big (}$on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « dégénéré »${\big )}$ :

Principaux résultats :$\blacktriangleright \;$dans le cas où le spectre d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ est discret et « pour un niveau d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}$ $\;E_{n}\;$ non dégénéré $\;{\big (}$quantification des niveaux d'énergie, usuellement $\;n\,\in \,\mathbb {N} {\big )}\;$ pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ s'écrit $\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)\;$» $\;{\bigg \{}$solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{n}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)=$ $E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)\;$»${\bigg \}}$, la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit «$\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» ;

Principaux résultats :$\blacktriangleright \;$dans le cas où le spectre d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ est discret et pour un niveau d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}$ $\;E_{n}\;$ dégénéré $\;{\big (}$le caractère « dégénéré » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification $\;n\,\in \,\mathbb {N} {\big )}\;$ pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ s'écrivent $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;$ ${\big [}$la dégénérescence d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2^ème paramètre discret $\;j\;$ usuellement $\;\in \,\mathbb {Q} \;$ permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles${\big ]}\;$» $\;{\bigg \{}$solutions indépendantes les unes des autres de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)=$ $E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;$»${\bigg \}}$, la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans cet état propre $\;j\;$ du niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ s'écrivant «$\;{\underline {\psi }}_{n,\,j}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$», la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ est alors une C.L. de chaque fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète correspondant à l'état propre $\;j\;$ du niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ soit

«$\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)=\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» où
le scalaire «$\;{\underline {c}}_{n,\,j}\;$ est l'amplitude de l'état stationnaire $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$ sur l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$»
dont «$\;\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;$ représente la probabilité de l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ dans l'état $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$» .

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »

     Considérant le cas où le spectre d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps est discret $\;{\big \{}$chaque niveau d'énergie $\;E_{n}\;$ étant considéré comme pouvant être dégénéré ${\big \}}\;$ avec, pour fonctions d'onde $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ complètes de la particule dans les états $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ correspondants «$\;{\underline {\psi }}_{n,\,j}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$», la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

«$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=\sum \limits _{n}\left[\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\right]\;$» où
«$\;{\underline {c}}_{n,\,j}\;$ est l'amplitude de l'état décrit par $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ dans l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$»,
«$\;\sum \limits _{j}\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;$ étant la probabilité de trouver l'énergie $\;E_{n}\;$ lors d'une mesure de l'énergie de la particule » .

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique

Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une « particule quantique non relativiste de masse $\;m\;$ restant localisée au voisinage d'un point $\;O\;$ sur un axe $\;x'x\;$ et possédant une énergie potentielle de forme parabolique $\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;x^{2}\;$» pour laquelle l'« amplitude d'oscillations $\;{\big (}$au sens classique${\big )}\;$ n'est pas grande devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie »  ;

     on réalise une réduction canonique en posant «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» correspondant à sa pulsation propre $\;{\big (}$à signification classique${\big )}\;$ d'où une réécriture de l'énergie potentielle «$\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$» et par suite de l'hamiltonien «$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=K(p)+U(x)\;$» dans lequel l'énergie cinétique $\;{\big (}$non relativiste${\big )}$ $\;K(p)\;$ s'écrit «$\;K(p)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}\;$ ${\big (}p\;$ étant la grandeur conjugué de $\;x\;$${\big )}\;$» :

«$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=K(p)+U(x)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$».

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques

La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :

• vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins $\;{\big (}$une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive${\big )}$ ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique  ;
• vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène $\;H-Cl$ : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver celle-ci, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes $\;H\;$ et $\;Cl$ ;
• $\;\ldots$

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort alors que la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap.$1$ intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

     Commentaires : on peut effectivement s'y ramener car l'étude d'un système de deux points matériels se ramène à l'étude du mouvement de son « centre d'inertie » et à celle d'un autre point $\;{\big (}$fictif${\big )}\;$ « le mobile réduit » dans le « référentiel barycentrique » , point de masse dite réduite «$\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet $\;(2)\;$ par rapport à l'objet $\;(1)\;$ s'il est soumis à la force que l'objet $\;(2)\;$ exerce sur l'objet $\;(1)\;$ $\;{\big (}$c.-à-d., dans le cas présent, à l'action du ressort${\big )}\;\ldots \;$ On se ramène donc bien à la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap.$1$ oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps

     À partir de l'expression de l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique «$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=K(p)+U(x)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$» établie dans le paragraphe « présentation d'un oscillateur harmonique unidimnsionnel quantique » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons celle de l'opérateur linéaire « hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \!\left[\;\right]=$ $-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}\left[\;\right]+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\times \left[\;\right]\;$» d'où,

     en notant «$\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ la partie spatiale de la $\;{\big (}$ou de l'une des${\big )}\;$ fonction(s) d'onde de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique d'énergie $\;E_{n}\;$», l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur

«$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$» qui se réécrit encore selon
«$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+\left(E_{n}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\right){\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$»
soit une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}\;$ sans terme du 1^er ordre .

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine $\;O\;$ de l'axe »  ;

     nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg spatiale l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c.-à-d. soit dans un état quantique d'immobilité, en effet

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse $\;x=0\;$ parfaitement déterminée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta x=0\;$ et

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'autre part sa quantité de mouvement $\;p=0\;$ exactement fixée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta p=0$,

     or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale c.-à-d. en contradiction avec «$\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» 

          or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale d'où l'impossibilité théorique que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique soit à l'équilibre ;

     les valeurs d'énergies $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ de l'oscillateur harmonique quantique étant a priori positives ou nulles $\;{\big (}$comme c'est le cas pour un oscillateur harmonique classique, l'énergie étant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle toutes deux positives ou nulles${\big )}$, l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre de l'oscillateur harmonique interdit la valeur nulle pour son énergie en effet,
     pour que l'oscillateur ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément $\;U=0\;$ et $\;K=0$, ceci correspondant aussi à un état où simultanément $\;x=0\;$ et $\;p=0\;$ c.-à-d. un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg spatiale .

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidiemnsionnelle quantique c.-à-d. l'énergie de son état fondamental ; pour cela on détermine les propriétés ci-dessous $\;{\big (}$pour les 1^ères dans le cadre de la mécanique classique en admettant leur validité dans le cadre de la mécanique ondulatoire${\big )}$ :

• l'oscillateur étant invariant par symétrie centrale de centre $\;O\;$ ${\big (}$énergie potentielle paire${\big )}$, on en déduit que la valeur moyenne de sa position est «$\;{\overline {x}}=0\;$» correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur $\;x\;$ et $\;-x$ ;
  compte-tenu du lien entre $\;p\;$ et $\;{\dot {x}}\;$, la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi «$\;{\overline {p}}=0\;$» correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur $\;p\;$ et $\;-p$ ;
• l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;x\;$ est donc «$\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\overline {x}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(x\right)^{2}\right\rangle }}\;$» ainsi que celui sur les valeurs de $\;p\;$ défini par «$\;\Delta p=$ ${\sqrt {\left\langle \left(p-{\overline {p}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(p\right)^{2}\right\rangle }}\;$» , ces valeurs étant respectivement l'incertitude quantique sur la position et la quantité de mouvement ;
• l'énergie de l'oscillateur à valeur $\;E\;$ fixée s'identifie à sa valeur moyenne $\;{\overline {E}}\;$ soit «$\;E={\overline {E}}={\overline {K}}+{\overline {U}}=$ ${\dfrac {\left\langle p^{2}\right\rangle }{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left\langle x^{2}\right\rangle \;$» ou encore, avec les résultats ci-dessus $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left\langle x^{2}\right\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\\\left\langle p^{2}\right\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}\end{array}}\right\rbrace$, la valeur d'énerge $\;E\;$ se réécrit selon «$\;E={\dfrac {\left(\Delta p\right)^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$» ;
• l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes quantiques selon «$\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$», on en déduit, pour une incertitude quantique sur la position fixée égale à $\;\Delta x$, une valeur minimale de l'incertitude quantique sur sa quantité de mouvement «$\;\left(\Delta p\right)_{\text{min}}={\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$» soit, en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus «$\;E={\dfrac {\left(\Delta p\right)^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$», l'expression « optimale » de l'énergie $\;E\;$ exprimée uniquement en fonction de l'incertitude quantique sur la position «$\;E_{\text{optimale}}=$ ${\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;\left(\Delta x\right)^{2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$» ;
• on cherche alors la valeur d'incertitude quantique sur la position c.-à-d. $\;\Delta x\;$ rendant minimale l'expression optimale de l'énergie $\;E_{\text{optimale}}$, ce qui nécessite «$\;{\dfrac {dE_{\text{optimale}}}{d\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]}}\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]$ $=0\;$» avec «$\;{\dfrac {dE_{\text{optimale}}}{d\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]}}\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]$ $=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;\left(\Delta x\right)^{4}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;$», l'annulation de cette dérivée donnant «$\;\left(\Delta x\right)^{2}={\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}\;$» et
• la valeur minimale de l'expression optimale de l'énergie vaut donc «$\;E_{\text{optimale, min}}={\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;{\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}\;$» soit finalement «$\;E_{\text{optimale, min}}$ $={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}\;$».

     Conclusion : par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale on a déterminé un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique,
     Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, la meilleure méthode est celle de Dirac signalée dans la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre, en particulier on y établi celle de son énergie minimale, appelée « énergie du point zéro » $\;{\big (}$c.-à-d. l'énergie de l'état fondamental${\big )}\;$ qui vaut effectivement «$\;E_{0}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}\;$» ;

     Conclusion : ce résultat n'est pas uniquement théorique, il explique entre autres, le fait que l'isotope $\;4\;$ de l'hélium «$\;^{4}He\;$» reste liquide aux températures proches de $\;0\,K\;$ ${\big \{}$au voisinage de $\;0\,K\;$ une approche classique conduirait à une énergie nulle avec absence de mouvements relatifs entre molécules et par suite une impossibilité de phase liquide à $\;0\,K\;$, ce qui n'est pas ce qu'on observe, d'où la nécessité de faire une approche quantique conduisant à une « énergie non nulle quand l'hélium $\;^{4}He\;$ s'approche de $\;0\,K\;$» d'où une explication de la phase liquide de ce dernier${\big \}}$.

Quantification (admise) de l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

Spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Nous avons déjà dit que la méthode de Dirac signalée dans la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre permet d'établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur ;

on obtient un spectre discret de niveaux d'énergie «$\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0},\;\;n\in \mathbb {N} \;$»
ou encore, à l'aide de la « fréquence propre de l'oscillateur $\;\nu _{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\;\pi }}\;$»,
on obtient le spectre discret de niveaux d'énergie «$\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)h\;\nu _{0},\;\;n\in \mathbb {N} \;$» .

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état fondamental » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

Diagramme de la fonction d'onde de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

c.-à-d. la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de l'état fondamental ».

     À l'« énergie de l'état fondamental $\;E_{0}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}\;$» correspond une “ seule ” composante spatiale de fonction d'onde $\;{\big (}$choisie réelle ${\big )}\;$ égale à «$\;\Psi _{0}(x)={\sqrt[{4}]{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;{\dfrac {x^{2}}{2}}\right)\;$» dont le diagramme en fonction de $\;x\;$ est représenté ci-contre $\;{\bigg \{}\left[a\right]\;$ étant une unité de longueur arbitraire et $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;$ une valeur particulière, homogène à $\;\left[a\right]^{-2}$, pouvant être quelconque et choisie égale à $\;2\;$ pour le tracé${\bigg \}}$ :

     on peut vérifier que cette composante est normalisée en évaluant la probabilité de l'état fondamental sur tout l'espace «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}^{2}(x)\;dx=$ $\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;x^{2}\right)\;dx\;$» donnant lors son évaluation, en utilisant l'intégrale de Gauss «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\alpha \;x^{2}\right)\;dx=$ ${\sqrt {\dfrac {\pi }{\alpha }}}\;$», le résultat attendu dans le cas d'une normalisation «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}^{2}(x)\;dx=1\;$» .

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

c.-à-d. la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de l'état de niveau $\;n\;$».

     À l'« énergie de l'état du niveau $\;n\geqslant 1\;$ à savoir $\;E_{n}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}+n\;\hbar \;\omega _{0}\;$» correspond une “ seule ” composante spatiale de fonction d'onde $\;{\big (}$choisie réelle ${\big )}\;$ égale à «$\;\Psi _{n}(x)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {2^{n}\;n!}}}\left[{\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}}\;x-{\sqrt {\dfrac {\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;{\dfrac {d}{dx}}\right]^{n}\!\!\left[\Psi _{0}\right](x)\;$» dont les diagrammes de $\;\Psi _{1}(x)$, de $\;\Psi _{2}(x)$ et de $\;\Psi _{3}(x)$ en fonction de $\;x\;$ sont représentés ci-dessous $\;{\bigg \{}\left[a\right]\;$ étant une unité de longueur arbitraire et $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;$ une valeur particulière, homogène à $\;\left[a\right]^{-2}$, pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé${\bigg \}}$ :

• 

  Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie $\;n=1\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

• 

  Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie $\;n=2\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

• 

  Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie $\;n=3\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

En complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'« état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     La densité « linéique » de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)\;$ est liée à la composante spatiale de la fonction d'onde par «$\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)=\vert \Psi (x)\vert ^{2}\;$» ;
     puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

• la densité linéique de probabilité de présence dans l'état fondamental $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,0}(x)=\vert \Psi _{0}(x)\vert ^{2}\;$ et
• la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 1^er niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,1}(x)=\vert \Psi _{1}(x)\vert ^{2}$,

• 

  Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

• 

  Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie $\;n=1\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

     puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

• la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 2^ème niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,2}(x)=\vert \Psi _{2}(x)\vert ^{2}$,
• la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 3^ème niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,3}(x)=\vert \Psi _{3}(x)\vert ^{2}$ …

• 

  Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie $\;n=2\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

• 

  Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie $\;n=3\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

     Remarques : on constate que « la densité linéique de probabilité de présence est grossièrement maximale pour $\;\vert x\vert ={\sqrt {n}}\;\left[a\right]\;$», ceci étant d'autant mieux vérifié que $\;n\;$ est grand , « cette valeur remplaçant l'amplitude des oscillations de l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique »  ;

     Remarques : on pourrait vérifier que $\;\Psi _{n}(x)\;$ n'est pas fonction propre de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » $\;{\widehat {p}}\!\left[\;\right]=$ $-i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dx}}\!\left[\;\right]\;$ car $\;{\widehat {p}}\!\left[\Psi _{n}\right](x)=-i\;\hbar \;{\dfrac {d\Psi _{n}}{dx}}(x){\cancel {\propto }}\Psi _{n}(x)\;$.

• 

  Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie $\;n=13\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position

• 

  Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie $\;n=13\;$ d'un oscillateur harmonique $\;1D\;$ quantique en fonction du paramètre de position