Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

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En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)

Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique

     À la grandeur « énergie potentielle » $\;U(M,\,t)\;$ de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle » «$\;{\widehat {U}}\left[\;\right]=U(M,\,t)\times \left[\;\right]\;$»,

     l'action de cet opérateur linéaire $\;{\widehat {U}}\left[\;\right]\;$ sur la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ qui modélise l'état de la particule « quantique »
     l'action de cet opérateur linéaire $\;\color {transparent}{{\widehat {U}}\left[\;\right]}\;$ donnant la valeur $\;U(M,\,t)\;$ à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$, soit

«$\;{\widehat {U}}\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=U(M,\,t)\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;$».

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique

     À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique $\;K(M,\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}\;$ où $\;m\;$ est la masse de la particule et $\;{\vec {p}}\;$ sa quantité de mouvement non relativiste , on associe
     À l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon «$\;{\widehat {K}}\left[\;\right]={\dfrac {1}{2\;m}}\;{\widehat {\vec {p}}}^{2}\left[\;\right]\;={\dfrac {1}{2\;m}}\;\left\lbrace -i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)_{t}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$» soit $\;{\widehat {K}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\nabla }}^{2}\right)_{t}\left[\;\right]\;$ ou «$\;{\widehat {K}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\Delta }}\right)_{t}\left[\;\right]\;$» ,

     l'action de cet opérateur linéaire $\;{\widehat {K}}\left[\;\right]\;$ sur la fonction d'onde décrivant un état de la particule « quantique » non relativiste pour lequel l'énergie cinétique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire $\;\color {transparent}{{\widehat {K}}\left[\;\right]}\;$ donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde particulière $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$, soit

«$\;{\widehat {K}}\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=K(M,\,t)\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;$» ou l'équation aux dérivées partielles «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\Delta }}\right)_{t}\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=K(M,\,t)\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;$» .

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique

     La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton en $\;1833\;$ lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange à partir de $\;1788$, elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne $\;\ldots$

Mécanique lagrangienne

     Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ d'une particule $\;{\big (}$squelette de la mécanique lagrangienne${\big )}\;$ est une fonction de sa position $\;{\vec {r}}$, de $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ et du temps $\;t$, toutes variables supposées indépendantes , défini par «$\;{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\vec {r}}}^{2}-U({\vec {r}},\;t)\;$»  ;

     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur $\;\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]\;$ définie par «$\;S_{\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt\;$»
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur $\;\color {transparent}{\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]}\;$ est stationnaire sur la trajectoire , plus exactement
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient d'abord les équations d'Euler-Lagrange «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big \{}$voir l'établissement dans l'encart ci-dessous${\big \}}$,

établissement des équations d'Euler-Lagrange  : Envisageant une perturbation infinitésimale définie selon $\;{\vec {r}}_{\varepsilon }(t)={\vec {r}}(t)+\varepsilon \;{\vec {\eta }}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {{\vec {r}}_{\varepsilon }}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)+\varepsilon \;{\dot {\vec {\eta }}}(t)\;$ avec $\;\varepsilon \;$ un infiniment petit d'ordre un et $\;{\vec {\eta }}(t)\;$ une fonction vectorielle différentiable telle que $\;{\vec {\eta }}(t_{0})={\vec {\eta }}(t_{1})=0\;$ et                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : écrivant que l'action perturbée $\;S_{\varepsilon }=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}_{\varepsilon }(t),\,{\dot {{\vec {r}}_{\epsilon }}}(t),\,t\right]dt\simeq S=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt\;$ ${\big (}$l'action non perturbée${\big )}\;$ à l'ordre zéro en $\;\varepsilon$ $\;{\big \{}$c.-à-d. en annulant le terme d'ordre un en $\;\varepsilon \;$ de l'approximation linéaire de l'action perturbée $\;S_{\varepsilon }\;$ dans le but de traduire le caractère stationnaire de l'action${\big \}}\;$ soit $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)\;$ ou, en explicitant la dérivée de l'action perturbée par rapport à $\;\varepsilon$, «$\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt=0\;$» ;                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : or $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\left({\dfrac {\partial x_{\varepsilon ,\,i}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,t}+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\left({\dfrac {\partial {\dot {x}}_{\varepsilon ,\,i}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\dot {\vec {r}}},\,t}\;$ ou, en explicitant les dérivées relativement à $\;\varepsilon$,                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : or $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;\eta _{i}(t)+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;$ et, par report dans l'intégrale $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)$ on en déduit                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\lbrace \sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;\eta _{i}(t)+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt=0\;$ puis, en permutant l'intégration et l'addition discrète $\;{\big (}$l'intégrale d'une somme de fonctions étant la somme des intégrales de chaque fonction${\big )}$,                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt+\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;dt=0$,                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : les $\;3\;$ dernières intégrales donnant chacune par i.p.p. $\;{\big (}$intégration par parties${\big )}\;$ $\;\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;dt=$ ${\cancel {\left[\eta _{i}(t)\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\left\lbrace {\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right\rbrace \right]_{t_{0}}^{t_{1}}}}-\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt\;$ ${\big [}$nullité du 1er terme car $\;{\vec {\eta }}(t_{0})={\vec {\eta }}(t_{1})={\vec {0}}{\big ]}\;$ d'où, en regroupant les termes dans $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)$,                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=$ $\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt=0\;$ dont on déduit,                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : «$\;\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt=0,\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$» puis                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : par « lemme fondamental du calcul des variations (cas d'une intégrale simple et d'une fonction réelle) » appliqué à chaque intégrale                  établissement des équations d'Euler-Lagrange : «$\;\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,t}\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]=0,\;\;\forall \;i\;$» c.-à-d. les équations d'Euler-Lagrange .

     à partir du lagrangien de la particule, puis on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)_{\!{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,{\vec {r}},\,t}$ $=m\;{\dot {x}}_{i}\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)_{\!{\dot {x}}_{j\,\neq \,i},\,{\vec {r}},\,t}=m\;{\ddot {x}}_{i}\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$» ainsi que «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x_{i}}}\right)_{\!x_{j\,\neq \,i},\,t}\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m\;{\ddot {x}}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\\m\;{\ddot {y}}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\\m\;{\ddot {z}}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation vectorielle du mouvement de la particule «$\;m\;{\vec {a}}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {a}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {v}}}{dt}}(M,\,t)={\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)\;$ est le vecteur accélération de la particule ou, en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «$\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$» ,
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation différentielle du 2^ème ordre régissant le mouvement de la particule «$\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)\;$».

Mécanique hamiltonienne

     En mécanique hamiltonienne la variable $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ est remplacée par la variable $\;{\vec {p}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,t}\right\rbrace \;$ ${\big (}$appelée « moment conjugué »${\big )}\;$ correspondant aux composantes «$\;p_{i}=$ $\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,{\dot {z}},\,t},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$» ${\big (}$appelées « moments conjugués » ou encore, quand les coordonnées $\;r_{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\;,\;3\right]\right]\;$ correspondent à des coordonnées cartésiennes, « impulsions » ${\big )}\;$ s'identifiant, en repérage cartésien, à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie c.-à-d. «$\;p_{i}=m\;{\dot {r_{i}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {p}}=m\;{\dot {\vec {r}}}=m\;{\vec {v}}\;$ en cartésien » ;

     l'hamiltonien $\;{\mathcal {H}}\;$ est la transformée de Legendre du lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ soit

«$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)\;$» et,

     dans le cas où la variable $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;{\dfrac {\vec {p}}{m}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-{\mathcal {L}}\!\left({\vec {r}},\,{\dfrac {\vec {p}}{m}},\,t\right)\;$» ou encore
     dans le cas où la variable $\;\color {transparent}{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer $\;\color {transparent}{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;\color {transparent}{\dfrac {\vec {p}}{m}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-\left[{\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}-U({\vec {r}},\,t)\right]\;$» soit
     dans le cas où la variable $\;\color {transparent}{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer $\;\color {transparent}{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;\color {transparent}{\dfrac {\vec {p}}{m}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$»  ;

     de la différentielle de l'hamiltonien avec utilisation des équations d'Euler-Lagrange on tire les équations canoniques de Hamilton «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\dot {r_{i}}}&=&\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}\\&{\dot {p_{i}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\\{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}&=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big \{}$voir l'établissement dans l'encart ci-dessous${\big \}}$,

établissement des équations canoniques de Hamilton  : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien «$\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt\;$» et           établissement des équations canoniques de Hamilton : explicitant indépendamment cette dernière à partir de sa définition «$\;{\mathcal {H}}={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)=\sum \limits _{i=1..3}p_{i}\;{\dot {r}}_{i}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)\;$» $\Rightarrow$           établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle «$\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[p_{i}\;d{\dot {r_{i}}}+{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;d{\dot {r_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$»           établissement des équations canoniques de Hamilton : soit, après simplification utilisant la définition du moment conjugué «$\;p_{i}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$», la réécriture de la différentielle de l'hamiltonien,           établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien «$\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$»,           établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient, en identifiant les deux expressions de la différentielle de l'hamiltonien, «$\;d{\mathcal {H}}=$           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$»           établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient les équations canoniques de Hamilton par identification des cœfficients des éléments différentiels des variables indépendantes           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\succ \;$identification des cœfficients de $\;dp_{i}\;$ $\Rightarrow$ les 1ères équations canoniques de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}={\dot {r_{i}}},\;\;\forall \;i=1..3\;$»,           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\succ \;$identification des cœfficients de $\;dr_{i}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t},\;\;\forall \;i=1..3\;$» et,           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\color {transparent}{\succ }\;$identification en utilisant les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=$ ${\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}={\dot {p}}_{i}\;$ par définition de $\;p_{i}$,           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\color {transparent}{\succ }\;$identification des cœfficients de $\;\color {transparent}{dr_{i}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les 2èmes équations canoniques de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-{\dot {p_{i}}},\;\;\forall \;i=1..3\;$»,           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\succ \;$identification des cœfficients de $\;dt\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$» et,           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\color {transparent}{\succ }\;$identification en utilisant «$\;d{\mathcal {H}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$» $\;{\Bigg \{}$en effet les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=$ ${\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$ se réécrivent avec la définition du moment conjugué $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;dr_{i}={\dot {r_{i}}}\;dp_{i}\;$ permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien déduite de sa définition selon $\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\cancel {{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}}}-{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt{\Bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$ d'où           établissement des équations canoniques de Hamilton : $\color {transparent}{\succ }\;$identification des cœfficients de $\;\color {transparent}{dt}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la 3ème équation canonique de Hamilton «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$» ;           établissement des équations canoniques de Hamilton : finalement les équations canoniques de Hamilton s'écrivent selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\dot {r_{i}}}&=&\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}\\&{\dot {p_{i}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\\{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}&=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire des équations canoniques de Hamilton , dans la mesure où $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie  :
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\succ \;$la définition de la quantité de mouvement de la particule $\;{\vec {p}}\;$ car «$\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}={\dfrac {p_{i}}{m}},\;\;\forall \,i=1..3\;$» d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\color {transparent}{\succ }\;$la définition de la quantité de mouvement la réécriture des 1^ères équations canoniques de Hamilton «$\;{\dot {r_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{m}},\;\;\forall \,i=1..3\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {p}}=m\;{\dot {\vec {r}}}\;$»,
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\succ \;$la relation fondamentale de la dynamique car «$\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,t}=F_{i},\;\;\forall \,i=1..3\;$» d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\color {transparent}{\succ }\;$la relation fondamentale de la dynamique la réécriture des 2^èmes équations canoniques de Hamilton «$\;{\dot {p_{i}}}=F_{i},\;\;\forall \,i=1..3\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {F}}={\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}\;$» et
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\succ \;$la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps $\Rightarrow$
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\color {transparent}{\succ }\;$la conservation de l'énergie mécanique de la particule si «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}}}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}=\left({\dfrac {\partial U}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}}}=0\;$» d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire $\color {transparent}{\succ }\;$la conservation de l'énergie mécanique la réécriture de la 3^ème équation canonique de Hamilton «$\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}=0\;$».

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste

     En utilisant la forme de l'hamiltonien d'une particule non relativiste «$\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)=K({\vec {p}})+U({\vec {r}},\,t)=$ ${\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U(M,\,t)\;$» nous en déduisons
     En utilisant l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir des opérateurs linéaires « énergie cinétique non relativiste » et « énergie potentielle » , soit

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]={\widehat {K}}\left[\;\right]+{\widehat {U}}\left[\;\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \left[\;\right]\;$» ,

     l'action de cet opérateur linéaire $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]\;$ sur la fonction d'onde qui décrit un état stationnaire de la particule « quantique » non relativiste pour lequel l'énergie mécanique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire $\;\color {transparent}{{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]}\;$ donnant toutes les valeurs possibles d'énergie mécanique de « la particule en état stationnaire de composante spatiale de fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» , soit

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]=E_{m}\times {\underline {\Psi }}(M)\;$» ou l'équation aux dérivées partielles «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\Delta }}\right)\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M)\times {\underline {\Psi }}(M)=E_{m}\times {\underline {\Psi }}(M)\;$» .

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste

Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste

     L'équation de Schrödinger permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

«$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$» ou «$\;{\widehat {K}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+{\widehat {U}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$»
se réécrivant, en explicitant les opérateurs linéaires, selon
«$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!M}(M,\,t)\;$» .

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps

     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps,
     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule peut être dans un état stationnaire $\;{\big (}$voir la note « ³⁵ » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et,
     Introduction : dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ se met sous la forme d'un produit $\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$ avec $\;\varphi (t)\;$ fonction réelle » .

     Exposé : L'équation de Schrödinger d'une particule « quantique » dans un état stationnaire de fonction d'onde associée «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$ avec $\;\varphi (t)\;$ fonction réelle »
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace +U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace }{\partial t}}\right)_{\!M}\;$» dans laquelle

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit $\succ \;$«$\;\Delta _{t}\!\left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace =\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\;$» et

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit $\succ \;$«$\;\left({\dfrac {\partial \left\lbrace {\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace }{\partial t}}\right)_{\!M}={\underline {\Psi }}(M)\,\left\lbrace -i\;{\dot {\varphi }}(t)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$» d'où, par report

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=i\;\hbar \;{\underline {\Psi }}(M)\,\left\lbrace -i\;{\dot {\varphi }}(t)\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$» puis
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit après simplification par $\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]$, «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)=\hbar \;{\underline {\Psi }}(M)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» soit,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit en supposant $\;{\underline {\Psi }}(M)\;$ non identiquement nulle et en divisant chaque membre par $\;{\underline {\Psi }}(M)$,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)\;$» dans laquelle le 1^er membre de l'équation étant une fonction de $\;M\;$ et
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;\color {transparent}{-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)}\;$» dans laquelle le 2^nd membre de l'équation étant une fonction de $\;t$,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;\color {transparent}{-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)}\;$» dans laquelle la seule possibilité est que la fonction commune à chaque membre soit une fonction constante ;
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;\color {transparent}{-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)=\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)}\;$» dans laquelle notant $\;E\;$ cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\hbar \;{\dot {\varphi }}(t)&=&E\\-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]}{{\underline {\Psi }}(M)}}+U(M)&=&E\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger $\blacktriangleright \;$la 1^ère équation «$\;{\dot {\varphi }}(t)={\dfrac {E}{\hbar }}\;$» s'intègre en «$\;\varphi (t)=\varphi _{0}+{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\;$ avec $\;\varphi _{0}\;$ une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » dans un état stationnaire «$\;\exp \!\left[-i\;\varphi (t)\right]=\exp \!\left[-i\;\varphi _{0}-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right]={\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(-i\;\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ avec $\;{\underline {\alpha }}\;$ une constante complexe d'intégration » ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger $\blacktriangleright \;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;{\underline {\Psi }}(M)$, «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}(M)=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» appelée
          Exposé : L'équation de Schrödinger $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(M)}$, « équation de Schrödinger indépendante du temps » ou,
          Exposé : L'équation de Schrödinger $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 2^ème équation se réécrit, à l'aide de l'« opérateur linéaire hamiltonien » «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[\;\right]+U(M)\times \left[\;\right]\;$» ,
          Exposé : L'équation de Schrödinger $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(M)}$, «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» représentant
          Exposé : L'équation de Schrödinger $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(M)}$, l'équation de recherche des états propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien ».

     Conclusion : Dans le cas où l'énergie potentielle $\;U\;$ de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps, cette dernière peut être dans un état stationnaire avec une fonction d'onde sous la forme forme «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left[-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right]\;$» dans laquelle $\;E\;$ est une valeur propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule c.-à-d. telle que «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$», la partie spatiale «$\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» de la fonction d'onde étant une fonction propre associée à la valeur propre $\;E$ $\;{\big [}$ces valeurs propres $\;E\;$ de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière ${\big ]}$ ;

     Conclusion : pour un niveau d'énergie $\;E\;$ connu de la particule « quantique » dans un état stationnaire, la partie spatiale «$\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;$» de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« équation de Schrödinger indépendante du temps » $\;{\big (}$équation aux dérivées partielles linéaire du 2^ndordre${\big )}\;$ «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)=E\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;$».

     Principaux résultats : Les valeurs de l'énergie de la particule « quantique » dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et
     Principaux résultats : à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde $\;{\big (}$on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « dégénéré »${\big )}$ :

Principaux résultats :$\blacktriangleright \;$dans le cas où le spectre d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ est discret et « pour un niveau d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}$ $\;E_{n}\;$ non dégénéré $\;{\big (}$quantification des niveaux d'énergie, usuellement $\;n\,\in \,\mathbb {N} {\big )}\;$ pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ s'écrit $\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)\;$» $\;{\bigg \{}$solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{n}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)$ $=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)\;$»${\bigg \}}$, la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit «$\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» ;

Principaux résultats :$\blacktriangleright \;$dans le cas où le spectre d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ est discret et pour un niveau d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}$ $\;E_{n}\;$ dégénéré $\;{\big (}$le caractère « dégénéré » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification $\;n\,\in \,\mathbb {N} {\big )}\;$ pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ s'écrivent $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;$ ${\big [}$la dégénérescence d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2^ème paramètre discret $\;j\;$ usuellement $\;\in \,\mathbb {Q} \;$ permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles${\big ]}\;$» $\;{\bigg \{}$solutions indépendantes les unes des autres de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)=$ $E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;$»${\bigg \}}$, la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans cet état propre $\;j\;$ du niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ s'écrivant «$\;{\underline {\psi }}_{n,\,j}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$», la fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ est alors une C.L. de chaque fonction d'onde $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ complète correspondant à l'état propre $\;j\;$ du niveau d'énergie dégénéré $\;n\;$ soit

«$\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)=\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» où
le scalaire «$\;{\underline {c}}_{n,\,j}\;$ est l'amplitude de l'état stationnaire $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$ sur l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$»
dont «$\;\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;$ représente la probabilité de l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ dans l'état $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$» .

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »

     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ de l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps
     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie $\;{\big \{}$chaque niveau d'énergie $\;E_{n}\;$ étant considéré comme pouvant être dégénéré ${\big \}}\;$
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie avec, pour fonctions d'onde $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ complètes de la particule dans les états $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ correspondants «$\;{\underline {\psi }}_{n,\,j}(M,\,t)=$ ${\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$»,
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

«$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=\sum \limits _{n}\left[\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\right]\;$» où
«$\;{\underline {c}}_{n,\,j}\;$ est l'amplitude de l'état décrit par $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ dans l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» ,
«$\;\sum \limits _{j}\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;$ étant la probabilité de trouver l'énergie $\;E_{n}\;$ lors d'une mesure de l'énergie de la particule » .

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique

Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse $\;m\;$ restant localisée au voisinage d'un point $\;O\;$ sur un axe $\;x'x\;$ et
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse $\;\color {transparent}{m}\;$ possédant une énergie potentielle de forme parabolique $\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;x^{2}\;$
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » telle que l'« amplitude d'oscillations $\;{\cancel {\gg }}\;$ devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie »  ;

     on réalise une réduction canonique en posant «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'énergie potentielle «$\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$» et par suite
           on réalise une réduction canonique en posant «$\;\color {transparent}{\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}}\;$» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien «$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=K(p)+U(x)\;$» dans lequel l'énergie cinétique $\;{\big (}$non relativiste${\big )}$ $\;K(p)\;$ s'écrit «$\;K(p)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}\;$ ${\big (}p\;$ étant la grandeur conjuguée de $\;x\;$${\big )}\;$» soit, après report dans l'expression de l'hamiltonien
                 on réalise une réduction canonique en posant «$\;\color {transparent}{\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}}\;$» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien «$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$».

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques

La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :

• vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins $\;{\big (}$une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive${\big )}$ ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique  ;
• vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène $\;H-Cl$ : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver cette dernière, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes $\;H\;$ et $\;Cl$ ;
• $\;\ldots$

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel donnée au chap.$1$ intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel on peut effectivement s'y ramener car
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à l'étude du mouvement de son « C.D.I.  » et
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point $\;{\big (}$fictif${\big )}\;$ « le mobile réduit » dans le « référentiel barycentrique » ,
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point de masse dite réduite «$\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet $\;(2)\;$ par rapport à l'objet $\;(1)\;$ s'il est soumis à la force que l'objet $\;(2)\;$ exerce sur l'objet $\;(1)\;$ $\;{\big (}$c.-à-d., dans le cas présent, à l'action du ressort${\big )}\;$ $\Rightarrow$
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on est ramené à la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel donnée au chap.$1$ oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps

     À partir de l'expression de l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique «$\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=K(p)+U(x)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;$»
     À partir de l'expression de l'hamiltonien établie dans le paragraphe « présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons
                À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \!\left[\;\right]\;$» ou
                     À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}\left[\;\right]+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\times \left[\;\right]\;$» d'où,

     À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur harmonique unidimensionnel quantique
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$» avec
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ la partie spatiale de la $\;{\big (}$ou de l'une des${\big )}\;$ fonction(s) d'onde de cet oscillateur d'énergie $\;E_{n}\;$», ou encore,
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+\left(E_{n}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\right){\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$» soit
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}\;$ sans terme du 1^er ordre .

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel classique ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine $\;O\;$ de l'axe »  ;

     nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg spatiale l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c.-à-d. soit dans un état quantique d'immobilité, en effet

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse $\;x=0\;$ parfaitement déterminée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta x=0\;$ et

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'autre part sa quantité de mouvement $\;p=0\;$ exactement fixée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta p=0$,

     or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale c.-à-d. en contradiction avec «$\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» 

          or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale d'où l'impossibilité théorique que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique soit à l'équilibre ;

     les valeurs d'énergies $\;{\big (}$propres${\big )}\;$ de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique étant a priori $\;\geqslant 0\;$, l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre$\;\Rightarrow \;$l'interdiction d'une valeur nulle $\;{\big \{}$en effet, pour que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément $\;U=0\;$ et $\;K=0$, ceci correspondant aussi à un état où simultanément $\;x=0\;$ et $\;p=0\;$ c.-à-d. un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg spatiale ${\big \}}$.

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

     Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique c.-à-d.
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie de son état fondamental ;
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de pour cela on détermine les propriétés ci-dessous  :

• oscillateur invariant par symétrie centrale de centre $\;O\;$ ${\big (}$énergie potentielle paire${\big )}\;$ $\Rightarrow$ valeur moyenne de sa position «$\;{\overline {x}}=0\;$» soit une même probabilité d'avoir la valeur $\;x\;$ et $\;-x$ ;
  compte-tenu du lien entre $\;p\;$ et $\;{\dot {x}}\;$, la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi «$\;{\overline {p}}=0\;$» correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur $\;p\;$ et $\;-p$ ;
• l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;x\;$ est donc «$\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\overline {x}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(x\right)^{2}\right\rangle }}\;$» ainsi que
     l'écart quadratique celui sur les valeurs de $\;p\;$ défini par «$\;\Delta p={\sqrt {\left\langle \left(p-{\overline {p}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(p\right)^{2}\right\rangle }}\;$» ,
  l'écart quadratique moyen surces valeurs «$\;\Delta x\;$ et $\;\Delta p\;$» étant respectivement l'incertitude « quantique » sur la position et la quantité de mouvement ;
• l'énergie de l'oscillateur à valeur $\;E\;$ fixée s'identifie à sa valeur moyenne $\;{\overline {E}}\;$ soit «$\;E={\overline {E}}={\overline {K}}+{\overline {U}}={\dfrac {\left\langle p^{2}\right\rangle }{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left\langle x^{2}\right\rangle \;$» ou encore, avec $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left\langle x^{2}\right\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\\\left\langle p^{2}\right\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}\end{array}}\right\rbrace$,
       l'énergie de l'oscillateur à valeur $\;\color {transparent}{E}\;$ fixée s'identifie à la valeur d'énergie $\;E\;$ suivante «$\;E={\dfrac {\left(\Delta p\right)^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$»  ;
• l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «$\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» $\Rightarrow$ pour une incertitude « quantique » sur la position fixée égale à $\;\Delta x$,
                    l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «$\;\color {transparent}{\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une valeur minimale de l'incertitude « quantique » sur sa quantité de mouvement
                    l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «$\;\color {transparent}{\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une valeur minimale «$\;\left(\Delta p\right)_{\text{min}}={\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$» soit,
                    l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «$\;\color {transparent}{\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}}\;$» en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus «$\;E=$ ${\dfrac {\left(\Delta p\right)^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$»,
              l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » de l'énergie $\;E\;$ exprimée uniquement en fonction de l'incertitude « quantique » sur la position «$\;\Delta x\;$»
                    l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » de l'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ «$\;E_{\text{optimale}}={\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;\left(\Delta x\right)^{2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$» ;
• on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie $\;E_{\text{optimale}}$, valeur notée «$\;(\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,{\text{min}}\right\rbrace }\;$»,
        on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie $\;\color {transparent}{E_{\text{optimale}}}$, ce qui nécessite «$\;{\dfrac {dE_{\text{optimale}}}{d\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]}}\!\left[\left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,{\text{min}}\right\rbrace }\right\rbrace ^{2}\right]$ $=0\;$