Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

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Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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Chapitre no 19
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Chap. suiv. :Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)[modifier | modifier le wikicode]

Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique[modifier | modifier le wikicode]

     À la grandeur « énergie potentielle » de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle » «»,

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde qui modélise l'état de la particule « quantique »
     l'action de cet opérateur linéaire donnant la valeur à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde [1], soit

«».

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique[modifier | modifier le wikicode]

     À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique est la masse de la particule et sa quantité de mouvement non relativiste [2], on associe
     À l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon «» [3] soit ou «» [4],

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde décrivant un état de la particule « quantique » non relativiste [5] pour lequel l'énergie cinétique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde particulière [6], soit

«» ou l'équation aux dérivées partielles «» [4].

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique[modifier | modifier le wikicode]

     La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton [7] en lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange [8] à partir de , elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne

Mécanique lagrangienne[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien d'une particule squelette de la mécanique lagrangienne est une fonction de sa position , de et du temps , toutes variables supposées indépendantes [9], défini par «» [10] ;

     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur définie par «» [11]
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur est stationnaire sur la trajectoire [12], plus exactement
     à partir du lagrangien de la particule, on obtient d'abord les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] «» voir l'établissement dans l'encart ci-dessous,

     établissement des équations d'Euler-Lagrange [13], [8] : Envisageant une perturbation infinitésimale définie selon avec un infiniment petit d'ordre un et une fonction vectorielle différentiable telle que et
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : écrivant que l'action perturbée l'action non perturbée à l'ordre zéro en c.-à-d. en annulant le terme d'ordre un en de l'approximation linéaire de l'action perturbée [14] dans le but de traduire le caractère stationnaire de l'action soit ou, en explicitant la dérivée de l'action perturbée par rapport à , «» ;
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : or ou, en explicitant les dérivées relativement à ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : or et, par report dans l'intégrale on en déduit
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : puis, en permutant l'intégration et l'addition discrète l'intégrale d'une somme de fonctions étant la somme des intégrales de chaque fonction,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : les dernières intégrales donnant chacune par i.p.p. intégration par parties[15] nullité du 1er terme car d'où, en regroupant les termes dans ,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : dont on déduit,
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : «» [16] puis
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : par « lemme fondamental du calcul des variations (cas d'une intégrale simple et d'une fonction réelle) » [17] appliqué à chaque intégrale
                 établissement des équations d'Euler-Lagrange : «» c.-à-d. les équations d'Euler-Lagrange [13], [8].

     à partir du lagrangien de la particule, puis on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] «» dans lesquelles « » ainsi que «» d'où «» soit
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation vectorielle du mouvement de la particule «» [18] dans laquelle est le vecteur accélération de la particule ou, en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «» [19],
     à partir du lagrangien de la particule, finalement l'équation différentielle du 2ème ordre régissant le mouvement de la particule «».

Mécanique hamiltonienne[modifier | modifier le wikicode]

     En mécanique hamiltonienne la variable [20] est remplacée par la variable appelée « moment conjugué » correspondant aux composantes « » appelées « moments conjugués » ou encore, quand les coordonnées correspondent à des coordonnées cartésiennes, « impulsions » [21] s'identifiant, en repérage cartésien, à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [22] c.-à-d. « en cartésien » ;

     l'hamiltonien est la transformée de Legendre [23] du lagrangien soit

«» [24], [25] et,

     dans le cas où la variable correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer par «» ou encore
     dans le cas où la variable correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer par «» [26] soit
     dans le cas où la variable correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer par «» [27] ;

     de la différentielle de l'hamiltonien avec utilisation des équations d'Euler-Lagrange [13], [8] on tire les équations canoniques de Hamilton [7] «» voir l'établissement dans l'encart ci-dessous,

     établissement des équations canoniques de Hamilton [7] : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien «» [28] et
          établissement des équations canoniques de Hamilton : explicitant indépendamment cette dernière à partir de sa définition «»
          établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle «»
          établissement des équations canoniques de Hamilton : soit, après simplification utilisant la définition du moment conjugué «», la réécriture de la différentielle de l'hamiltonien,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien «»,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient, en identifiant les deux expressions de la différentielle de l'hamiltonien, «
          établissement des équations canoniques de Hamilton : »
          établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient les équations canoniques de Hamilton [7] par identification des cœfficients des éléments différentiels des variables indépendantes
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification des cœfficients de les 1ères équations canoniques de Hamilton [7] «»,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification des cœfficients de «» et,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification en utilisant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] par définition de ,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification des cœfficients de les 2èmes équations canoniques de Hamilton [7] «»,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification des cœfficients de «» et,
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification en utilisant «» en effet les équations d'Euler-Lagrange se réécrivent avec la définition du moment conjugué permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien déduite de sa définition selon d'où
          établissement des équations canoniques de Hamilton : identification des cœfficients de la 3ème équation canonique de Hamilton [7] «» ;
          établissement des équations canoniques de Hamilton : finalement les équations canoniques de Hamilton [7] s'écrivent selon «».

     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire des équations canoniques de Hamilton [7], dans la mesure où correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [29] :
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la définition de la quantité de mouvement de la particule car « » d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la définition de la quantité de mouvement la réécriture des 1ères équations canoniques de Hamilton [7] «» «»,
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la relation fondamentale de la dynamique car « » [30] d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la relation fondamentale de la dynamique la réécriture des 2èmes équations canoniques de Hamilton [7] «» «» et
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps [31]
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la conservation de l'énergie mécanique de la particule si «» «» d'où
     de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire la conservation de l'énergie mécanique la réécriture de la 3ème équation canonique de Hamilton [7] «».

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     En utilisant la forme de l'hamiltonien d'une particule non relativiste « » [32] nous en déduisons
     En utilisant l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir des opérateurs linéaires « énergie cinétique non relativiste » [33] et « énergie potentielle » [34], soit

«» [33], [34] «» [4],

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde qui décrit un état stationnaire de la particule « quantique » non relativiste pour lequel l'énergie mécanique est fixée
     l'action de cet opérateur linéaire donnant toutes les valeurs possibles d'énergie mécanique de « la particule en état stationnaire de composante spatiale de fonction d'onde » [35], [36], soit

«» ou l'équation aux dérivées partielles «» [4].

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation de Schrödinger [37] permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

«» ou «»
se réécrivant, en explicitant les opérateurs linéaires, selon
«» [4].

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps,
     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule peut être dans un état stationnaire voir la note « 35 » plus haut dans ce chapitre et,
     Introduction : dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule se met sous la forme d'un produit avec fonction réelle » [38].

     Exposé : L'équation de Schrödinger [37] d'une particule « quantique » dans un état stationnaire de fonction d'onde associée « avec fonction réelle » [38]
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» dans laquelle

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» [39] et

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» [40] d'où, par report

          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» puis
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit après simplification par , «» soit,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit en supposant non identiquement nulle et en divisant chaque membre par ,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» dans laquelle le 1er membre de l'équation étant une fonction de et
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» dans laquelle le 2nd membre de l'équation étant une fonction de ,
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» dans laquelle la seule possibilité est que la fonction commune à chaque membre soit une fonction constante ;
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» dans laquelle notant cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes
          Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «» ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger la 1ère équation «» s'intègre en « avec une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » dans un état stationnaire « avec une constante complexe d'intégration » ;

          Exposé : L'équation de Schrödinger la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , «» appelée
          Exposé : L'équation de Schrödinger la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , « équation de Schrödinger [37] indépendante du temps » ou,
          Exposé : L'équation de Schrödinger la 2ème équation se réécrit, à l'aide de l'« opérateur linéaire hamiltonien » «» [41],
          Exposé : L'équation de Schrödinger la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , «» représentant
          Exposé : L'équation de Schrödinger la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , l'équation de recherche des états propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien ».

     Conclusion : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps, cette dernière peut être dans un état stationnaire avec une fonction d'onde sous la forme forme «» dans laquelle est une valeur propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule c.-à-d. telle que «», la partie spatiale «» de la fonction d'onde étant une fonction propre associée à la valeur propre ces valeurs propres de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière [42] ;

     Conclusion : pour un niveau d'énergie connu de la particule « quantique » dans un état stationnaire, la partie spatiale «» de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« équation de Schrödinger [37] indépendante du temps » équation aux dérivées partielles linéaire du 2ndordre «».

     Principaux résultats : Les valeurs de l'énergie de la particule « quantique » dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et
     Principaux résultats : à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « dégénéré » :

Principaux résultats :dans le cas où le spectre d'énergie propre est discret et « pour un niveau d'énergie propre non dégénéré quantification des niveaux d'énergie, usuellement pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde propre s'écrit » solution de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit « » ;
Principaux résultats :dans le cas où le spectre d'énergie propre est discret et pour un niveau d'énergie propre dégénéré le caractère « dégénéré » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde propres s'écrivent la dégénérescence d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2ème paramètre discret usuellement permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles» solutions indépendantes les unes des autres de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans cet état propre du niveau d'énergie dégénéré s'écrivant « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie dégénéré est alors une C.L. [43] de chaque fonction d'onde propre complète correspondant à l'état propre du niveau d'énergie dégénéré [44] soit
«» où
le scalaire « est l'amplitude de l'état stationnaire sur l'état propre » [45]
dont « représente la probabilité de l'état propre dans l'état » [46].

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie propre de l'« opérateur linéaire hamiltonien » d'une particule « quantique » non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps
     Dans le cas d'un spectre discret d'énergie chaque niveau d'énergie étant considéré comme pouvant être dégénéré [47]
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie avec, pour fonctions d'onde propres complètes de la particule dans les états propres correspondants « »,
      Dans le cas d'un spectre discret d'énergie la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

«» où
« est l'amplitude de l'état décrit par dans l'état propre » [48],
« étant la probabilité de trouver l'énergie lors d'une mesure de l'énergie de la particule » [49].

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse restant localisée au voisinage d'un point sur un axe et
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse possédant une énergie potentielle de forme parabolique
     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » telle que l'« amplitude d'oscillations [50] devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie » [51] ;

     on réalise une réduction canonique en posant «» correspondant à sa pulsation propre [50] d'où une réécriture de l'énergie potentielle «» et par suite
           on réalise une réduction canonique en posant «» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien [52] «» dans lequel l'énergie cinétique non relativiste s'écrit « étant la grandeur conjuguée de [53]» soit, après report dans l'expression de l'hamiltonien [52]
                 on réalise une réduction canonique en posant «» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien «».

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques[modifier | modifier le wikicode]

La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :
  • vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique [54] ;
  • vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène  : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver cette dernière, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes et  ;

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel donnée au chap. intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel on peut effectivement s'y ramener car
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à l'étude du mouvement de son « C.D.I. [55] » [56] et
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point fictif « le mobile réduit » [57] dans le « référentiel barycentrique » [58],
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre point de masse dite réduite «» dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet par rapport à l'objet s'il est soumis à la force que l'objet exerce sur l'objet [59] c.-à-d., dans le cas présent, à l'action du ressort
     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on est ramené à la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel donnée au chap. oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'expression de l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique [60] «»
     À partir de l'expression de l'hamiltonien établie dans le paragraphe « présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons
                À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » [61] de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique «» [4] ou
                     À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique «» d'où,

     À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger [37] indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur harmonique unidimensionnel quantique
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «» avec
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps « la partie spatiale de la ou de l'une des fonction(s) d'onde de cet oscillateur d'énergie », ou encore,
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps «» soit
           À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps une équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre [62].

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel classique ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine de l'axe » [63] ;

     nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c.-à-d. soit dans un état quantique d'immobilité, en effet

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse parfaitement déterminée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit et
     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'autre part sa quantité de mouvement exactement fixée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit ,
     or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale c.-à-d. en contradiction avec «» 
          or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale d'où l'impossibilité théorique que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique soit à l'équilibre ;

     les valeurs d'énergies propres de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique étant a priori [66], l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibrel'interdiction d'une valeur nulle en effet, pour que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément et , ceci correspondant aussi à un état où simultanément et c.-à-d. un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65].

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique c.-à-d.
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie de son état fondamental ;
                 Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de pour cela on détermine les propriétés ci-dessous [67] :

  • oscillateur invariant par symétrie centrale de centre énergie potentielle paire valeur moyenne de sa position [50] «» soit une même probabilité [68] d'avoir la valeur et  ;
    compte-tenu du lien [50] entre et [69], la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi «» [70] correspondant à une même probabilité [68] d'avoir la valeur et  ;
  • l'écart quadratique moyen sur les valeurs [50] de est donc «» [71], [72] ainsi que
       l'écart quadratique celui sur les valeurs [50] de défini par «» [71], [72],
    l'écart quadratique moyen surces valeurs [68] « et » étant respectivement l'incertitude « quantique » [73] sur la position et la quantité de mouvement ;
  • l'énergie de l'oscillateur à valeur fixée [50] s'identifie à sa valeur moyenne [68] soit «» [71] ou encore, avec ,
         l'énergie de l'oscillateur à valeur fixée s'identifie à la valeur d'énergie suivante «» [71] ;
  • l'inégalité de Heisenberg [64] spatiale [65] liant les deux incertitudes « quantiques » [73] selon «» pour une incertitude « quantique » [73] sur la position fixée égale à ,
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «» une valeur minimale de l'incertitude « quantique » [73] sur sa quantité de mouvement
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «» une valeur minimale «» soit,
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «» en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus « »,
                l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » [74] de l'énergie exprimée uniquement en fonction de l'incertitude « quantique » [73] sur la position «»
                      l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » de l'énergie «» ;
  • on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » [73] sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie , valeur notée «»,
          on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie , ce qui nécessite «