Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

**Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 19
Chap. préc. :	Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Chap. suiv. :	Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

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Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)[modifier | modifier le wikicode]

Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique[modifier | modifier le wikicode]

......À la grandeur « énergie potentielle » $\;U(M,\,t)\;$ de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle »

\;{\widehat {U}}\left[\;\right]=U(M,\,t)\times \left[\;\right]

,

......l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ décrivant l'état de la particule « quantique » donnant la valeur $\;U(M,\,t)\;$ à l'énergie potentielle de la particule de fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ ^[1].

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique[modifier | modifier le wikicode]

......À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique $\;K(M,\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}\;$ où $\;m\;$ est la masse de la particule et $\;{\vec {p}}\;$ sa quantité de mouvement non relativiste ^[2], on associe l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon $\;{\widehat {K}}\left[\;\right]={\dfrac {1}{2\;m}}\;{\widehat {\vec {p}}}^{2}\left[\;\right]=$ ${\dfrac {1}{2\;m}}\;\left\lbrace -i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)_{t}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\nabla }}^{2}\right)_{t}\left[\;\right]\;$ ^[3] soit

\;{\widehat {K}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left({\vec {\Delta }}\right)_{t}\left[\;\right]\;

^[4],

......l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » non relativiste ^[5] donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule ^[6].

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique[modifier | modifier le wikicode]

......La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton ^[7] en $\;1833\;$ lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange ^[8] à partir de $\;1788$ , elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne …

Mécanique lagrangienne[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ d'une particule (squelette de la mécanique lagrangienne) est une fonction de sa position $\;{\vec {r}}$ , de $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ et du temps $\;t$ , toutes variables supposées indépendantes ^[9], défini par

\;{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\vec {r}}}^{2}-U({\vec {r}},\;t)\;

^[10] ;

......à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur l'intervalle $\;\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]\;$ définie par $\;S_{\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt\;$ ^[11] est stationnaire sur la trajectoire ^[12], plus exactement on obtient les équations d'Euler-Lagrange ^[13] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[14] dont on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\vec {r}},\,t}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {x}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {y}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\\{\dfrac {d}{dt}}\left(m\;{\dot {z}}\right)=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;m\;{\vec {a}}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$ avec $\;{\vec {a}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {v}}}{dt}}(M,\,t)={\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)\;$ le vecteur accélération de la particule ou, utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive $\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$ ^[15], on obtient l'équation différentielle du 2^e ordre régissant le mouvement de la particule $\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(M,\,t)$ .

Mécanique hamiltonienne[modifier | modifier le wikicode]

......En mécanique hamiltonienne la variable $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ ^[16] est remplacée par la variable $\;{\vec {p}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {y}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {z}},\,t}\;,\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {z}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {x}},\,{\dot {y}},\,t}\right\rbrace \;$ (appelée « moment conjugué » ou « impulsion ») correspondant aux composantes suivantes $\;p_{i}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,{\dot {z}},\,t}\;\forall \;i=1..3\;$ s'identifiant à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie ^[17] soit $\;p_{i}=m\;{\dot {r_{i}}}$ ;

......l'hamiltonien $\;{\mathcal {H}}\;$ est la transformée de Legendre ^[18] du lagrangien $\;{\mathcal {L}}\;$ soit

\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)\;

^[19]^, ^[20]

......et enfin, dans le cas où la variable $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;{\dfrac {\vec {p}}{m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-{\mathcal {L}}\!\left({\vec {r}},\,{\dfrac {\vec {p}}{m}},\,t\right)\;$ ou encore $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-\left[{\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}-U({\vec {r}},\,t)\right]\;$ ^[21] et finalement

\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;

^[22] ;

......à partir de l'expression de la différentielle de l'hamiltonien avec l'utilisation des équations d'Euler-Lagrange on obtient les équations canoniques de Hamilton dont on peut déduire, en les explicitant, les équations du mouvement de la particule, en effet $\;{\mathcal {H}}\;$ étant une fonction des variables indépendantes $\;{\vec {r}}$ , $\;{\vec {p}}\;$ et $\;t\;$ on en déduit $\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt\;$ et, de sa définition $\;{\mathcal {H}}={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)$ , on tire $\;d{\mathcal {H}}=$ $\sum \limits _{i=1..3}\left[p_{i}\;d{\dot {r_{i}}}+{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;d{\dot {r_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$ soit encore, avec la définition du moment conjugué $\;p_{i}=$ $\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$ ^[23] d'où finalement

\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\;dr_{i}+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{p_{j}}_{(j\neq i)},\,t}\;dp_{i}\right]+\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}\;dt=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;

......dont on tire par identification les équations canoniques de Hamilton en utilisant, pour la 2^e équation, les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=$ ${\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;$ et, pour démontrer $\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;$ dans la 3^e équation, le fait que $\;d{\mathcal {H}}=$ $-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt\;$ ^[24] soit finalement

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\dot {r_{i}}}&=&\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}\\&{\dot {p_{i}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}\\{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}&=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}&=&-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\end{array}}\right\rbrace

;

......des équations canoniques de Hamilton ci-dessus on tire, dans la mesure où la variable $\;{\vec {p}}\;$ correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie ^[25] :

la définition de la quantité de mouvement de la particule $\;{\vec {p}}\;$ car $\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,p_{(j\neq i)},\,t}={\dfrac {p_{i}}{m}}\;\forall i=1..3\;$ et par suite la 1^ère équation se réécrit $\;{\dot {r_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{m}}\;\forall i=1..3\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {p}}=m\;{\dot {\vec {r}}}$ ;
la relation fondamentale de la dynamique car $\;{\mathcal {H}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U({\vec {r}},\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,{\vec {p}},\,t}=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial r_{i}}}\right)_{\!r_{(j\neq i)},\,t}=F_{i}\;\forall i=1..3\;$ en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive $\;{\vec {F}}_{U}(M,\,t)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[U\right](M,\,t)\;$ ^[15] ou $\;{\dfrac {dp_{i}}{dt}}=F_{i}\;$ $\forall i=1..3\;$ d'où finalement la 2^e équation se réécrit $\;{\vec {F}}={\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}$ ;
la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps ^[26] ce dont on tire $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\vec {p}}}=$ $-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}=\left({\dfrac {\partial U}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}}}=0\;$ et par suite la 3^e équation se réécrit $\;{\dfrac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=0$ .

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant démontré que l'hamiltonien d'une particule non relativiste prenait la forme $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)=K({\vec {p}})+U({\vec {r}},\,t)=$ ${\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}+U(M,\,t)\;$ ^[27] nous en déduisons l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir de ceux l'« énergie cinétique non relativiste » et de l'« énergie potentielle », soit

\;{\widehat {\mathcal {H}}}\left[\;\right]={\widehat {K}}\left[\;\right]+{\widehat {U}}\left[\;\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \left[\;\right]

,

......l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » non relativiste donnant toutes les valeurs possibles de l'énergie mécanique « si la particule est dans un état stationnaire » ^[28]^, ^[29].

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation de Schrödinger ^[30] permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;

ou

\;{\widehat {K}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+{\widehat {U}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;

soit

\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!M}(M,\,t)\;

^[31].

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation de Schrödinger étant linéaire, la recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » dans le cas où l'énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps ^[32] a un grand intérêt, ceci revient à rechercher les couples $\;\left\lbrace E,\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right\rbrace \;$ ^[33] tels que

\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right]=E\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;

ou

\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta \!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)=E\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;

encore
appelée « équation de Schrödinger indépendante du temps » ;

......les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes ou continues et à une valeur d'énergie il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde (on dit alors que le niveau d'énergie est dégénéré) :

dans le cas où le spectre d'énergie (propre) est discret et pour un niveau d'énergie (propre) $\;E_{n}\;$ non dégénéré pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde (propre) s'écrit $\;{\underline {\Psi }}_{n}(M)$ , on détermine sa partie temporelle $\;{\underline {f}}_{n}(t)\;$ en cherchant les états propres de l'opérateur linéaire « énergie » de valeur propre $\;E_{n}\;$ c'est-à-dire telle que $\;i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f}}_{n}}{dt}}(t)=E_{n}\;{\underline {f}}_{n}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {f}}_{n}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ d'où l'écriture de la fonction d'onde (propre) complète $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)$ $={\underline {\Psi }}_{n}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)$ ;

dans le cas où le spectre d'énergie (propre) est discret et pour un niveau d'énergie (propre) $\;E_{n}\;$ dégénéré pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde (propres) s'écrivent à l'aide d'un paramètre discret $\;_{j}\;$ selon $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)$ , la partie temporelle cherchée comme états propres de l'opérateur linéaire « énergie » de valeur propre $\;E_{n}\;$ ne dépend pas du paramètre discret $\;_{j}\;$ et s'écrit comme précédemment $\;{\underline {f}}_{n}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ d'où l'écriture de chaque fonction d'onde (propre) complète $\;{\underline {\psi }}_{n,\,j}(M,\,t)={\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)$ , une combinaison linéaire de ces états propres représentant alors l'état propre quelconque de niveau d'énergie (dégénéré) $\;E_{n}\;$ soit
$\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)=\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ où
le scalaire $\,{\underline {c}}_{n,\,j}\;$ est l'amplitude de l'état décrit par $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$ sur l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ ^[34]
dont $\;\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;$ représente la probabilité de l'état propre $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ dans l'état $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)\;$ ^[35] ;

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant le cas où le spectre d'énergie (propre) de l'opérateur linéaire « hamiltonien » est discret, chaque niveau d'énergie $\;E_{n}\;$ étant considéré comme pouvant être dégénéré ^[36] et les états propres correspondants s'écrivant $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)$ , la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=\sum \limits _{n}\left[\sum \limits _{j}{\underline {c}}_{n,\,j}\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\right]\;

où

\,{\underline {c}}_{n,\,j}\;

est l'amplitude de l'état décrit par

\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;

sur l'état propre

\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)

,

\;\sum \limits _{j}\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}\;

étant la probabilité de trouver l'énergie

\;E_{n}\;

lors d'une mesure de l'énergie de la particule.

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

......C'est une particule « quantique » non relativiste de masse $\;m\;$ restant localisée au voisinage d'un point $\;O\;$ sur un axe $\;x'x\;$ et possédant une énergie potentielle de forme parabolique $\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;x^{2}\;$ pour laquelle l'« amplitude d'oscillations (au sens classique) n'est pas grande devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie » ^[37] ;

......on réalise une réduction canonique en posant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ correspondant à sa pulsation propre (à signification classique) d'où une réécriture de l'énergie potentielle $\;U(x)={\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}$ , l'énergie cinétique s'écrivant $\;K(p)={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}\;$ ${\big (}p\;$ étant la grandeur conjugué de $\;x\;$ ^[38]) et l'hamiltonien ^[39] $\;{\mathcal {H}}(x,\,p)=$ $K(p)+U(x)=$ ${\dfrac {p^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}$ .

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques[modifier | modifier le wikicode]

La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :

vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins (une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliés par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive) ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique ^[40] ;

vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène $\;H-Cl$ : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver celle-ci, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes $\;H\;$ et $\;Cl\;$ …

......Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort alors que la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap. $1$ intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

......Commentaires : on peut effectivement s'y ramener car l'étude d'un système de deux points matériels se ramène à l'étude du mouvement de son « centre d'inertie » ^[41] et à celle d'un autre point (fictif) « le mobile réduit » ^[42] dans le « référentiel barycentrique » ^[43], point de masse dite réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet $\;(2)\;$ par rapport à l'objet $\;(1)\;$ s'il est soumis à la force que l'objet $\;(2)\;$ exerce sur l'objet $\;(1)\;$ (c'est-à-dire, dans le cas présent, à l'action du ressort ${\big )}\;\ldots \;$ On se ramène donc bien à la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap. $1$ oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur linéaire « hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique s'écrit $\;{\widehat {\mathcal {H}}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[\;\right]+U(M,\,t)\times \!\left[\;\right]=$ $-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}\left[\;\right]+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\times \left[\;\right]\;$ d'où, en notant $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ la partie spatiale de la fonction d'onde de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique d'énergie $\;E_{n}\;$ fixée, l'équation de Schrödinger indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur

\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;

qui se réécrit encore selon

\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+\left(E_{n}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\right){\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;

soit une équation différentielle linéaire homogène du 2^e ordre en

\;{\underline {\Psi }}_{n}\;

sans terme du 1^er ordre ^[44].

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

......Un oscillateur harmonique unidimensionnel ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine $\;O\;$ de l'axe » ^[45] ;

......nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg spatiale l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c'est-à-dire soit dans un état quantique d'immobilité, en effet l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse $\;x=0\;$ parfaitement déterminée c'est-à-dire à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta x=0\;$ et d'autre part sa quantité de mouvement $\;p=0\;$ exactement fixée c'est-à-dire à incertitude quantique nulle soit $\;\Delta p=0$ , la simultanéité des deux étant interdite par l'inégalité de Heisenberg spatiale $\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}$ ;

......les valeurs d'énergies de l'oscillateur harmonique quantique étant a priori positives ou nulles (comme c'est le cas pour un oscillateur harmonique classique, l'énergie étant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle toutes deux positives ou nulles), l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre de l'oscillateur harmonique interdit la valeur nulle pour son énergie en effet, pour que l'oscillateur ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément $\;U=0\;$ et $\;K=0$ , ceci correspondant aussi à un état où simultanément $\;x=0\;$ et $\;p=0\;$ c'est-à-dire un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg spatiale.

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

......Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique c'est-à-dire l'énergie de son état fondamental ; pour cela on détermine les propriétés suivantes :

l'oscillateur étant invariant par symétrie centrale de centre $\;O\;$ (énergie potentielle paire) on en déduit que la valeur moyenne de sa position est $\;{\overline {x}}=0\;$ correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur $\;x\;$ et $\;-x$ ;
...compte-tenu du lien entre $\;p\;$ et $\;x\;$ (ou plus exactement $\;{\dot {x}}{\big )}\;$ ^[46], la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi $\;{\overline {p}}=0\;$ ^[47] correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur $\;p\;$ et $\;-p$ ;

l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;x\;$ est donc $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\overline {x}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(x\right)^{2}\right\rangle }}\;$ ^[48] ainsi que celui sur les valeurs de $\;p\;$ défini par $\;\Delta p=$ ${\sqrt {\left\langle \left(p-{\overline {p}}\right)^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle \left(p\right)^{2}\right\rangle }}\;$ ^[48], ces valeurs étant respectivement l'incertitude quantique sur la position et la quantité de mouvement ;

l'énergie de l'oscillateur à valeur $\;E\;$ fixée s'identifie à sa valeur moyenne $\;{\overline {E}}\;$ soit $\;E={\overline {E}}={\overline {K}}+{\overline {U}}=$ ${\dfrac {\left\langle p^{2}\right\rangle }{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left\langle x^{2}\right\rangle \;$ ^[48] ou, en utilisant les résultats du paragraphe précédent $\left\lbrace {\begin{array}{c}\left\langle x^{2}\right\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\\\left\langle p^{2}\right\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}\end{array}}\right\rbrace$ , on obtient $\;E={\dfrac {\left(\Delta p\right)^{2}}{2\;m}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}$ ;

l'inégalité de Heisenberg liant les deux incertitudes quantiques selon $\;\Delta x\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}$ , on en déduit, pour une incertitude quantique sur la position fixée égale à $\;\Delta x$ , une valeur minimale de l'incertitude quantique sur sa quantité de mouvement $\;\left(\Delta p\right)_{\text{min}}={\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$ soit, en reportant dans l'expression de l'énergie du paragraphe précédent, l'expression « optimale » ^[49] de l'énergie $\;E\;$ exprimée uniquement en fonction de l'incertitude quantique sur la position $\;E_{\text{optimale}}=$ ${\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;\left(\Delta x\right)^{2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;\left(\Delta x\right)^{2}$ ;

on cherche alors la valeur d'incertitude quantique sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie ce qui nécessite $\;{\dfrac {dE_{\text{optimale}}}{d\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]}}\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]$ $=0\;$ ^[50] avec $\;{\dfrac {dE_{\text{optimale}}}{d\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]}}\!\left[\left(\Delta x\right)^{2}\right]=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;\left(\Delta x\right)^{4}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;$ donnant $\;\left(\Delta x\right)^{2}={\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}\;$ ^[51] et

la valeur minimale de l'expression optimale de l'énergie vaut donc $\;E_{\text{optimale, min}}={\dfrac {\hbar ^{2}}{8\;m\;{\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {\hbar }{2\;m\;\omega _{0}}}\;$ soit finalement $\;E_{\text{optimale, min}}$ $={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}$ .

......Conclusion : par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale on a déterminé un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique, la méthode de Paul Adrien Maurice Dirac signalée dans la dernière note du paragraphe « en complément : équation de Schrödinger d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » de ce chapitre permet d'établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur et en particulier son énergie minimale, appelée

« énergie de point 0 » (c'est-à-dire l'énergie de l'état fondamental) qui vaut effectivement

\;E_{0}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}

;

......Conclusion : ce résultat n'est pas uniquement théorique, il explique entre autres, le fait que l'isotope $4$ de l'hélium $\;^{4}He\;$ reste liquide aux températures proches de $\;0\,K\;$ (au voisinage de $\;0\,K\;$ une approche classique conduirait à une énergie nulle avec absence de mouvements relatifs entre molécules et par suite une impossibilité de phase liquide à $\;0\,K$ , ce qui n'est pas, d'où la nécessité de faire une approche quantique conduisant à une énergie non nulle quand l'hélium $\;^{4}He\;$ s'approche de $\;0\,K\;$ d'où une explication de la phase liquide de ce dernier).

Quantification (admise) de l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

Spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons déjà dit que la méthode de Paul Adrien Maurice Dirac signalée dans la dernière note du paragraphe « en complément : équation de Schrödinger d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » de ce chapitre permet d'établir ^[52] toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur ;

on obtient un spectre discret de niveaux d'énergie

\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \;\omega _{0},\;\;n\in \mathbb {N} \;

^[53] ou encore,
à l'aide de la fréquence propre de l'oscillateur

\;\nu _{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\;\pi }}

, le spectre discret d'énergie suivant

\;E_{n}=\left({\dfrac {1}{2}}+n\right)h\;\nu _{0},\;\;n\in \mathbb {N} \;

^[54].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état fondamental » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

c'est-à-dire la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de l'état fondamental ».

Diagramme de la fonction d'onde de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position

......À l'énergie de l'état fondamental $\;E_{0}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}\;$ correspond une « seule » ^[55] composante spatiale de fonction d'onde (en fait réelle) égale à $\;\Psi _{0}(x)={\sqrt[{4}]{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;{\dfrac {x^{2}}{2}}\right)\;$ dont le diagramme en fonction de $\;x\;$ est représenté ci-contre $\;{\bigg \{}\left[a\right]\;$ étant une unité de longueur arbitraire et $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;$ une valeur particulière, homogène à $\;\left[a\right]^{-2}$ , pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé ${\bigg \}}$ :

......on peut vérifier que cette composante est normalisée en évaluant la probabilité de l'état fondamental sur tout l'espace $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}^{2}(x)\;dx=$ $\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;x^{2}\right)\;dx\;$ ^[56] donnant lors son évaluation, en utilisant l'intégrale de Gauss $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\alpha \;x^{2}\right)\;dx={\sqrt {\dfrac {\pi }{\alpha }}}$ , le résultat attendu dans le cas d'une normalisation $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}^{2}(x)\;dx=1\;$ ^[57].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

c'est-à-dire la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de niveau

\;n

».

......À l'énergie de l'état du niveau $\;n\geqslant 1$ , $\;E_{n}={\dfrac {\hbar \;\omega _{0}}{2}}+n\;\hbar \;\omega _{0}\;$ correspond une « seule » ^[58] composante spatiale de fonction d'onde (en fait réelle) égale à $\;\Psi _{n}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {2^{n}\;n!}}}\left[{\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}}\;x-{\sqrt {\dfrac {\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;{\dfrac {d}{dx}}\right]^{n}\!\!\left[\Psi _{0}\right](x)\;$ ^[59] dont les diagrammes de $\;\Psi _{1}(x)$ , de $\;\Psi _{2}(x)$ et de $\;\Psi _{3}(x)$ en fonction de $\;x\;$ sont représentés ci-dessous $\;{\bigg \{}\left[a\right]\;$ étant une unité de longueur arbitraire et $\;{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;$ une valeur particulière, homogène à $\;\left[a\right]^{-2}$ , pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé ${\bigg \}}$ :

Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie n = 1 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie n = 2 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie n = 3 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position

En complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'« état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

......La densité « linéique » ^[60] de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)\;$ est liée à la composante spatiale de la fonction d'onde par $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)=\vert \Psi (x)\vert ^{2}$ ; ci-dessous successivement de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

la densité linéique de probabilité de présence dans l'état fondamental $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,0}(x)=\vert \Psi _{0}(x)\vert ^{2}$ ,
la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 1^er niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,1}(x)=\vert \Psi _{1}(x)\vert ^{2}$ ,
la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 2^e niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,2}(x)=\vert \Psi _{2}(x)\vert ^{2}$ ,
la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 3^e niveau excité $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,3}(x)=\vert \Psi _{3}(x)\vert ^{2}$ …

Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie n = 1 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie n = 2 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie n = 3 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position

......Remarques : on constate que la densité linéique de probabilité de présence est grossièrement maximale pour $\;\vert x\vert ={\sqrt {n}}\;\left[a\right]$ , ceci étant d'autant mieux vérifié que $\;n\;$ est grand ^[61], « cette valeur remplaçant l'amplitude des oscillations de l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique » ^[62] ;

......Remarques : on pourrait vérifier que $\;\Psi _{n}(x)\;$ n'est pas fonction propre de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » $\;{\widehat {p}}\!\left[\;\right]=$ $-i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dx}}\!\left[\;\right]\;$ car $\;{\widehat {p}}\!\left[\Psi _{n}\right](x)=-i\;\hbar \;{\dfrac {d\Psi _{n}}{dx}}(x){\cancel {\propto }}\Psi _{n}(x)\;$ ^[63].

Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie n = 13 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position
Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie n = 13 d'un oscillateur harmonique 1D quantique en fonction du paramètre de position

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ On peut donc affirmer que n'importe quelle valeur $\;U(M,\,t)\;$ est valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie potentielle » pour n'importe quelle fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ décrivant l'état de la particule « quantique », $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ étant alors la fonction propre associée à la valeur propre $\;U(M,\,t)$ .
↑ L'énergie cinétique d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en intensité contrairement à la quantité de mouvement qui donne des informations sur la direction et le sens [la notion d'énergie cinétique sera introduite dans le chap. $15$ « énergie et puissance cinétiques » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ») ;
...l'expression couramment utilisée pour une particule non relativiste étant $\;K(M,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {v}}^{2}\;$ avec $\;{\vec {v}}(M,\,t)\;$ son vecteur vitesse, l'introduction de sa quantité de mouvement non relativiste $\;{\vec {p}}(M,\,t)=m\;{\vec {v}}(M,\,t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {v}}M,\,t)={\dfrac {{\vec {p}}(M,\,t)}{m}}\;$ nous conduit à l'expression de son énergie cinétique non relativiste utilisée ici $\;K(M,\,t)={\dfrac {m}{2}}\;{\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{m^{2}}}={\dfrac {{\vec {p}}^{2}}{2\;m}}\;$ tout aussi importante mais moins utilisée.
↑ On rappelle l'expression de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)_{t}\left[\;\right]$ , l'indice $\;_{t}\;$ signifiant que l'on dérive à $\;t\;$ constant.
↑ L'opérateur linéaire $\;\left({\vec {\nabla }}^{2}\right)_{t}\left[\;\right]={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)\left[\;\right]\;$ définissant l'opérateur linéaire du 2^e ordre « laplacien » noté $\;\left(\Delta \right)_{t}\;$ voir le paragraphe « champ scalaire laplacien » du chapitre $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
...en repérage cartésien le laplacien s'écrit $\;\left(\Delta \right)_{t}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\left[\;\right]+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\left[\;\right]+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\left[\;\right]$ .
↑ Action qui revient à prendre le laplacien de la fonction d'onde à un facteur multiplicatif près.
↑ Les valeurs d'énergie cinétique non relativiste sont donc les valeurs propres de l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste », les fonctions d'onde décrivant l'état de la particule étant les fonctions propres associées.
↑ William Rowan Hamilton (1805 - 1865) mathématicien, physicien et astronome irlandais connu pour sa découverte des quaternions mais a contribué aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre ; il est aussi connu comme l'inventeur de la mécanique hamiltonienne fondée sur un principe variationnel.
↑ Joseph-Louis Lagrange (1736 -1803) mathématicien, mécanicien et astronome français d'origine italienne, ayant jeté les bases du calcul variationnel à l'âge de $\;19\;$ ans qui lui permirent d'achever $\;33\;$ ans plus tard la construction de la mécanique analytique connue actuellement sous le nom de mécanique lagrangienne ; on lui doit beaucoup d'autres travaux dans le domaine des mathématiques, celui de la mécanique (mécanique des fluides) et celui de l'astronomie (problème des trois corps).
↑ La variable $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ n'étant, pour l'instant, pas considérée comme la dérivée temporelle de la position (il ne s'agit donc, pour l'instant, qu'une simple notation et non, a priori, la vitesse) ; toutefois les deux variables $\;{\vec {r}}\;$ et $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ sont supposées être des fonctions indépendantes du temps $\;t$ , la 2^e variable devenant la dérivée temporelle de la 1^ère (c.-à-.d la vitesse) pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.
↑ Dans laquelle $\;U({\vec {r}},\;t)\;$ est l'énergie potentielle de la particule, le 1^er terme devenant son énergie cinétique $\;K(M,\,t)\;$ dès lors que la variable $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ est interprétée comme sa vitesse.
↑ Qu'on notera simplement, en absence d'ambiguïté, $\;S$ .
↑ C'est-à-dire que l'« action » sur l'intervalle $\;\left[t_{0}\,;\,t_{1}\right]\;$ ne varie pas à l'ordre un lors d'une perturbation infinitésimale des variables $\;{\vec {r}}(t)\;$ et $\;{\dot {\vec {r}}}(t)\;$ relativement à leur valeur correspondant à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie soit, pour la 1^ère variable $\;{\vec {r}}_{\varepsilon }(t)={\vec {r}}(t)+\varepsilon \;{\vec {\eta }}(t)\;$ et pour la 2^e $\;{\dot {{\vec {r}}_{\varepsilon }}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)+\varepsilon \;{\dot {\vec {\eta }}}(t)\;$ (dérivée temporelle de la perturbation infinitésimale de la 1^ère variable de façon à ce que la 2^e variable devienne la vitesse si $\;\varepsilon =0{\big )}$ , $\;\varepsilon \;$ étant l'infiniment petit d'ordre un et $\;{\vec {\eta }}(t)\;$ une fonction vectorielle différentiable telle que $\;{\vec {\eta }}(t_{0})={\vec {\eta }}(t_{1})={\vec {0}}\;$ [assurant que la trajectoire réellement suivie passe par les points extrêmes définis par $\;{\vec {r}}(t_{0})\;$ et $\;{\vec {r}}(t_{1})$ , la vitesse en ces points étant alors définie par $\;{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\;$ et $\;{\dot {\vec {r}}}(t_{1}){\big ]}$ .
↑ Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
...Joseph-Louis Lagrange (1736 -1803) mathématicien, mécanicien et astronome français d'origine italienne, ayant jeté les bases du calcul variationnel à l'âge de $\;19\;$ ans qui lui permirent d'achever $\;33\;$ ans plus tard la construction de la mécanique analytique connue actuellement sous le nom de mécanique lagrangienne ; on lui doit beaucoup d'autres travaux dans le domaine des mathématiques, celui de la mécanique (mécanique des fluides) et celui de l'astronomie (problème des trois corps).
↑ En effet, envisageant une perturbation infinitésimale définie selon $\;{\vec {r}}_{\varepsilon }(t)={\vec {r}}(t)+\varepsilon \;{\vec {\eta }}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {{\vec {r}}_{\varepsilon }}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)+\varepsilon \;{\dot {\vec {\eta }}}(t)\;$ avec $\;\varepsilon \;$ un infiniment petit d'ordre un et $\;{\vec {\eta }}(t)\;$ une fonction vectorielle différentiable telle que $\;{\vec {\eta }}(t_{0})={\vec {\eta }}(t_{1})=0\;$ et écrivant que l'action perturbée $\;S_{\varepsilon }=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}_{\varepsilon }(t),\,{\dot {{\vec {r}}_{\epsilon }}}(t),\,t\right]dt\simeq S=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt\;$ (l'action non perturbée) à l'ordre un en $\;\varepsilon$ (ceci traduisant le caractère stationnaire de l'action) soit $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt=0$ ;
...or $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\left({\dfrac {\partial x_{\varepsilon ,\,i}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,t}+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{\varepsilon ,\,i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\left({\dfrac {\partial {\dot {x_{\varepsilon ,\,i}}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\dot {\vec {r}}},\,t}\;$ ou, en explicitant les dérivées relativement à $\;\varepsilon$ , $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varepsilon }}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}=\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{\varepsilon ,\,i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;\eta _{i}(t)+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{\varepsilon ,\,i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;$ et, par report dans l'intégrale $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=$ $\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\lbrace \sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;\eta _{i}(t)+\sum \limits _{i=1}^{3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]dt=0\;$ et, en permutant l'intégration et l'addition discrète, $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=$ $\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt+\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;dt=0$ , les trois dernières intégrales donnant chacune par intégration par parties (i.p.p.) [revoir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul » du chapitre $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] $\;\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;{\dot {\eta _{i}}}(t)\;dt=$ ${\cancel {\left[\eta _{i}(t)\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}}}-\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt\;$ [on rappelle que $\;{\vec {\eta }}(t_{0})={\vec {\eta }}(t_{1})={\vec {0}}{\big ]}\;$ d'où, en regroupant les termes $\;{\dfrac {dS_{\varepsilon }}{d\varepsilon }}(\varepsilon =0)=$ $\sum \limits _{i=1}^{3}\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]\;\eta _{i}(t)\;dt=0\;$ dont on déduit, par lemme fondamental du calcul des variations $\;\left\lbrace \left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}-{\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\right\rbrace \!\left[{\vec {r}}(t),\,{\dot {\vec {r}}}(t),\,t\right]=0\;\forall \;i$ .
↑ ^15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « énergie potentielle du point dans le champ de force conservative » du chapitre $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Laquelle s'identifie à la dérivée temporelle de la position c'est-à-dire à la vitesse pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.
↑ En effet $\;{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\vec {r}}}^{2}-U({\vec {r}},\;t)\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{i}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,{\dot {z}},\,t}=m\;{\dot {r_{i}}}\;\forall \;i=1..3$ .
↑ Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) mathématicien français fit d’importantes contributions à la statistique, à la théorie des nombres, aux algèbres abstraites et à l'analyse (en particulier sur les polynômes dits de Legendre) mais une grande partie de ses travaux fut finalisée par d'autres.
↑ Il s'agit en fait de l'opposé de la transformée de Legendre défini dans l'article transformation de Legendre de wikipedia, la raison étant qu'il n'y a pas de convention de signe dans le choix de la définition, la convention choisie dans l'article précitée aurait donné $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)={\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)-{\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}\;$ et aurait été tout aussi licite.
↑ Avec cette convention de signe l'hamiltonien s'écrit encore $\;{\mathcal {H}}({\vec {r}},\,{\vec {p}},\,t)=\sum \limits _{i=1..3}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,{\dot {z}},\,t}\;{\dot {r_{i}}}-{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)$ .
↑ On rappelle la définition du lagrangien $\;{\mathcal {L}}({\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\vec {r}}}^{2}-U({\vec {r}},\;t)\;$ dans laquelle on remplace $\;{\dot {\vec {r}}}\;$ par $\;{\dfrac {\vec {p}}{m}}$ .
↑ L'hamiltonien s'identifie donc à l'énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (si toutefois il représente un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie).
↑ Dont on tire que le 1^er et 4^e termes de l'expression entre crochets s'éliminent.
↑ En effet les équations d'Euler-Lagrange $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}={\dfrac {d}{dt}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r_{i}}}}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {r_{j}}}_{(j\neq i)},\,t}\;$ se réécrivent avec la définition du moment conjugué $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}={\dfrac {dp_{i}}{dt}}\;dr_{i}={\dot {r_{i}}}\;dp_{i}\;$ permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien selon $\;d{\mathcal {H}}=\sum \limits _{i=1..3}\left[{\cancel {{\dot {r_{i}}}\;dp_{i}}}-{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{i}}}\right)_{\!{r_{j}}_{(j\neq i)},\,{\dot {\vec {r}}},\,t}\;dr_{i}}}\right]-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt=-\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\right)_{\!{\vec {r}},\,{\dot {\vec {r}}}}\;dt$ .
↑ Ce qui est le cas car, pour les établir, on a utilisé les équations d'Euler-Lagrange qui ont été déduites de l'application du principe variationnel.
↑ C'est le cas le plus usuel, lequel nécessite que la force ne dépendant pas explicitement du temps soit conservative voir le paragraphe « première définition d'une force conservative » du chapitre $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Cette forme suppose que la particule a un mouvement réel sur la trajectoire réellement suivie c'est-à-dire que son mouvement obéit au principe variationnel ce qui a pour conséquence les trois équations canoniques de Hamilton dont la 1^ère rend le moment conjugué identique à la quantité de mouvement de la particule.
↑ En effet pour que l'hamiltonien d'une particule non quantique ne peut être constante que si l'énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps (3^e équation canonique de Hamilton), il s'en suit alors la conservation de l'énergie ;
...du point de vue quantique, la justification de la nécessité que la particule soit dans un état stationnaire pour cette propriété résulte de l'équation de Schrödinger vue au paragraphe suivant.
↑ Dans la mesure où la particule est dans un état stationnaire, ses valeurs d'énergie mécanique non relativiste sont donc les valeurs propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien », les fonctions d'onde décrivant l'état stationnaire de la particule étant les fonctions propres associées.
↑ Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique (connu sous le nom de mécanique ondulatoire) ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger ;
...Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions [Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields (équivalent du prix Nobel en mathématiques) en $\;1950\;$ pour ses travaux sur la théorie des distributions (sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\ldots {\big )}$ ].
↑ On rappelle que l'opérateur linéaire $\;\Delta _{t}\left[\;\right]\;$ est l'opérateur linéaire du 2^e ordre « laplacien », l'indice $\;_{t}\;$ signifiant que les dérivations se font à $\;t\;$ constant voir le paragraphe « champ scalaire laplacien » du chapitre $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; en repérage cartésien le laplacien s'écrit $\;\left(\Delta \right)_{t}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\left[\;\right]+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\left[\;\right]+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\left[\;\right]$ .
↑ La recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » conduit à trouver des valeurs réelles de $\;E\;$ telles que $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=E\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ mais ceci n'est possible que si l'énergie potentielle ne dépend pas du temps car l'opérateur linéaire « énergie cinétique » n'en dépendant pas explicitement, si on cherche des solutions à variables spatio-temporelles séparées $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;{\underline {f}}(t)\;$ on obtient $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\underline {f}}(t)\;\Delta \!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\Psi }}(M)\;{\underline {f}}(t)=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;{\underline {f}}(t)\;$ soit, en divisant par $\;{\underline {f}}(t)$ , l'équation simplifiée $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta \!\left[{\underline {\Psi }}(M)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\Psi }}(M)=E\;{\underline {\Psi }}(M)\;$ qui n'admet aucune solution du fait que l'énergie potentielle est la seule grandeur dépendant du temps ;
...cela veut dire qu'il n'existe pas d'états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » dans le cas où l'énergie potentielle dépend du temps d'une part et d'autre part, quand l'énergie potentielle ne dépend pas du temps, les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » étant définies à une fonction du temps près, on ne recherche que leur partie spatiale $\;{\underline {\Psi }}(M)$ .
↑ Comme nous l'avons vu dans la note précédente, quand l'énergie potentielle ne dépend pas du temps, les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » ne sont définies qu'à une fonction du temps près, il suffit donc de rechercher leur partie spatiale $\;{\underline {\Psi }}(M)$ .
↑ L'analogue de la composante d'un vecteur de l'espace à $\;p\;$ dimensions sur $\;p\;$ vecteurs de base de cet espace.
↑ Il s'agit d'une façon raccourcie de dire probabilité de l'état propre décrit par la fonction $\;{\underline {\Psi }}_{n,\,j}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$ dans l'état de la particule décrit par la fonction $\;{\underline {\psi }}_{n}(M,\,t)$ ;
...pour des probabilités normalisées on a donc $\;\sum \limits _{j}\vert {\underline {c}}_{n,\,j}\vert ^{2}=1\;$ puisque la particule est supposée avoir, avec certitude, une énergie $\;E_{n}$ .
↑ S'il est dégénéré, chaque état propre est indexé par un paramètre $\;_{j}\;$ et s'il ne l'est pas $\;_{j}\;$ ne prend que la valeur $\;_{1}$ .
↑ Si $\;A\;$ est l'amplitude d'oscillations (au sens classique) on a $\;A\;{\cancel {\gg }}\;100\;\lambda _{d.B.,\,{\text{ordre de grandeur}}}\;$ avec $\;\lambda _{d.B.,\,{\text{ordre de grandeur}}}={\dfrac {h}{A(p)}}\;$ où $\;A(p)\;$ est l'amplitude de la quantité de mouvement $\;p$ ;
...la longueur d'onde de de Broglie d'une onde de matière associée à une particule ne peut être définie sans ambiguïté relativement à la quantité de mouvement (classique) $\;p\;$ de la particule que si cette dernière est constante or, dans le cas d'un oscillateur harmonique unidimensionnel celle-ci serait, comme l'abscisse $\;x$ , sinusoïdale selon $\;p=m\;{\dot {x}}\;$ d'où l'impossibilité de définir la longueur d'onde de de Broglie mais, si l'amplitude des oscillations classiques de $\;x\;$ est $\;A\;$ de pulsation $\;\omega _{0}\;$ nous en déduisons l'amplitude des oscillations classiques de $\;p\;$ selon $\;A(p)=m\;\omega _{0}\;A\;$ d'où la condition pour que l'oscillateur harmonique unidimensionnel soit quantique $\;A\;{\cancel {\gg }}\;100\;{\dfrac {h}{m\;\omega _{0}\;A}}\;$ ou $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {h}{m\;\omega _{0}}}}\;$ ou encore, avec $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {k}{m}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;m\;\omega _{0}={\dfrac {k}{\omega _{0}}}\;$ la réécriture de la condition pour que l'oscillateur soit quantique $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {h\;\omega _{0}}{k}}}\;$ ou enfin une 3^e forme $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {h}{\sqrt {k\;m}}}}$ .
↑ À signification de quantité de mouvement pour une particule classique.
↑ Qui s'identifie à l'énergie mécanique dans le cadre classique d'une particule.
↑ En effet nous avons précisé dans une note du paragraphe précédent que la condition pour que l'oscillateur soit quantique est que l'amplitude de vibrations satisfasse $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {h}{m\;\omega _{0}}}}\;$ ou, avec $\;\omega _{0}=2\;\pi \;\nu _{0}\;$ dans laquelle $\;\nu _{0}\;$ est la fréquence de vibration, $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {\hbar }{m\;\nu _{0}}}}\;$ soit, avec $\;m\simeq 10^{-25}\;kg\;$ et $\;\nu _{0}\simeq 10^{16}\;Hz$ , $\;A\;{\cancel {\gg }}\;10\;{\sqrt {\dfrac {10^{-34}}{10^{-25}\times 10^{16}}}}\simeq 3\;10^{-12}\;m=3\;pm$ , les atomes étant séparés de quelques $\;1\;{\text{Å}}=100\;pm\;$ les uns des autres, l'amplitude de vibration devrait être inférieure à une fraction de cette distance tout à fait envisageable.
↑ Notion introduite au chap. $5$ intitulé description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » définissant le centre d'inertie comme le « barycentre des positions des points affectés de leur masse comme cœfficient ».
↑ N'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais c'est pourtant fondamental dans l'étude des systèmes de deux points, lesquels sont au programme $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion de mobile réduit » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » ${\big ]}$ .
↑ Référentiel en translation par rapport au référentiel d'étude et tel que le C.D.I. (centre d'inertie) y soit immobile.
↑ Cette équation n'étant pas à cœfficients constants, sa résolution ne relève pas de la recherche de solutions de forme exponentielle et par conséquent de la résolution de l'équation caractéristique correspondante ;
...de toute façon l'équation de Schrödinger étant un complément, nous ne chercherons pas à la résoudre, la résolution mathématique du type d'équation différentielle suivie par l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique serait d'ailleurs, hors de portée au niveau de la présentation, car nécessitant de connaître les développements de fonctions en séries entières, elle ne présente toutefois pas de difficultés majeures mais conduit à des calculs un peu laborieux ;
...d'autre part la méthode de résolution par développement en séries entières étant peu explicite physiquement, une autre approche, impulsée par Paul Adrien Maurice Dirac, lui est préférable, elle fournit les valeurs propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » $\;{\widehat {\mathcal {H}}}=$ $-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[\;\right]+{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;x^{2}\times \left[\;\right]$ , c'est-à-dire les valeurs d'énergie $\;E_{n}\;$ sans résoudre explicitement l'équation différentielle.
↑ Une 2^e définition d'un oscillateur harmonique classique « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » est vue au chap. $17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et la propriété de « confinement spatial » résulte de l'« existence de deux murs d'énergie potentielle » vue également au chap. $17$ de la même leçon.
↑ On rappelle que $\;p=m\;{\dot {x}}$ .
↑ L'invariance du mouvement par symétrie centrale entraînant $\;{\overline {\dot {x}}}=0$ .
↑ ^48,0 ^48,1 et ^48,2 La notation $\;\left\langle g\right\rangle \;$ représentation la valeur moyenne pour une série de valeurs de la grandeur $\;g$ , notation équivalente à $\;{\overline {g}}$ .
↑ Au sens où l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est la plus faible théorique relativement à l'incertitude quantique sur la position.
↑ L'expression optimale de l'énergie étant une fonction de $\;\left(\Delta x\right)^{2}\;$ il suffit d'assurer la nullité de la dérivée par rapport à cette variable.
↑ On vérifie que l'expression optimale de l'énergie est effectivement minimale pour cette valeur car la dérivée calculée est négative pour les valeurs de $\;\Delta x\;$ inférieure (elle tend vers $\;-\infty \;$ quand $\;\Delta x\rightarrow 0{\big )}\;$ donc $\;E_{\text{optimale}}\;$ y est $\;\searrow \;$ et positive pour les valeurs de $\;\Delta x\;$ supérieure $\;{\bigg (}$ elle tend vers $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;\omega _{0}^{2}\;$ quand $\;\Delta x\rightarrow +\infty {\bigg )}\;$ donc $\;E_{\text{optimale}}\;$ y est $\;\nearrow$ .
↑ Néanmoins nous ne le ferons pas bien que la construction du spectre des valeurs propres de l'énergie soit certes un peu délicate mais sans difficultés majeures car, d'une part leur établissement n'est pas du programme de PCSI [seul le résultat (admis) l'est] et d'autre part c'est un peu long à détailler ;
...pour ceux qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode voir le paragraphe l'« oscillateur harmonique quantique à une dimension » de l'article de wikipédia « Oscillateur harmonique quantique » et plus précisément les sous-paragraphes « opérateurs d'échelle » et « calcul des valeurs propres ».
↑ Il y a donc quantification de l'énergie, celle-ci dépendant du nombre quantique $\;n\;$ entier naturel, le quantum étant $\;\hbar \;\omega _{0}$ .
↑ Le quantum d'énergie se réécrit donc $\;\hbar \;\omega _{0}=h\;\nu _{0}$ .
↑ L'état fondamental n'est donc pas dégénéré.
↑ Il s'agit d'une intégrale généralisée (voir le paragraphe « intégrale généralisée sur un ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chapitre $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ») pour laquelle théoriquement on calcule l'intégrale sur $\;\left[\,-{\mathit {l}}\;;+{\mathit {l}}\,\right]\;$ et on vérifie qu'elle admet une limite finie quand $\;{\mathit {l}}\rightarrow \infty$ , mais la fonction à intégrer ici n'admettant pas de primitives parmi les fonctions usuelles, cette façon de vérifier la convergence ne pourra être faite $\;\ldots \;$ toutefois elle converge ;
...on utilise alors le résultat de l'intégrale suivante $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\alpha \;x^{2}\right)\;dx={\sqrt {\dfrac {\pi }{\alpha }}}$ , connue sous le nom d'« intégrale de Gauss », très utilisée en statistique et probabilité.
↑ En effet $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}^{2}(x)\;dx=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}\;x^{2}\right)\;dx={\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\pi \;\hbar }}}\;{\sqrt {\dfrac {\pi }{\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}}}=1\;$ .
↑ L'état de niveau $\;n\;$ n'est donc pas dégénéré.
↑ $\;\Psi _{n}(x)\;$ est obtenue, à un facteur multiplicatif près (déterminé par normalisation de la fonction d'onde), en appliquant $\;n\;$ fois successivement l'opérateur $\;\left({\sqrt {\dfrac {m\;\omega _{0}}{\hbar }}}\;x-{\sqrt {\dfrac {\hbar }{m\;\omega _{0}}}}\;{\dfrac {d}{dx}}\right)\left[\;\right]\;$ à la composante spatiale de la fonction d'onde de l'état fondamental $\;\Psi _{0}(x)$ .
↑ Remplace la densité volumique pour un objet à une dimension.
↑ Voir les tracés ci-après de $\;\Psi _{13}(x)\;$ et de $\;{\mathcal {P}}_{{\mathit {l}},\,13}(x)\;$ (le cas $\;n=13\;$ a été choisi comme suffisamment grand pour vérifier la propriété énoncée sans toutefois l'être trop sachant que « plus $\;n\;$ est grand plus la durée nécessaire au tracé l'est »).
↑ En effet à cet endroit, l'oscillateur classique ayant une vitesse minimale (en fait nulle pour un oscillateur purement classique) c'est l'endroit où la probabilité de le trouver à un instant choisi au hasard est la plus grande ; c'est aussi l'endroit où sa quantité de mouvement est minimale (en fait nulle si l'oscillateur est purement classique) et sa longueur de de Broglie maximale (en fait infinie si l'oscillateur est purement classique), donc l'endroit où les phénomènes quantiques seront les plus apparents, la condition d'inobservation sur l'amplitude de $\;x\;$ des phénomènes quantiques étant $\;A(x)\gg 100\;\lambda _{d.B.}\;$ ayant un risque quasi nul d'être réalisée.
↑ La non proportionnalité de $\;{\widehat {p}}\!\left[\Psi _{n}\right](x)\;$ à $\;\Psi _{n}(x)\;$ assurant que $\;\Psi _{n}(x)\;$ n'est pas fonction propre de $\;{\widehat {p}}\!\left[\;\right]$ , (s'il y avait eu proportionnalité, le cœfficient de proportionnalité aurait été la valeur propre correspondant à la fonction propre), on retrouve ainsi que la quantité de mouvement n'a pas de valeur fixée dans cet état.