Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

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Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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Chapitre no 19
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Chap. suiv. :Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste)[modifier | modifier le wikicode]

Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique[modifier | modifier le wikicode]

     À la grandeur « énergie potentielle » de la particule « quantique », on associe l'opérateur linéaire « énergie potentielle »

«»,

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde qui modélise l'état de la particule « quantique » donnant la valeur à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde [1].

Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique[modifier | modifier le wikicode]

     À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique est la masse de la particule et sa quantité de mouvement non relativiste [2], on associe l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » défini selon [3] soit

«» [4],

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » non relativiste [5] donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule [6].

Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique[modifier | modifier le wikicode]

     La notion d'« hamiltonien » d'une particule classique a été introduite par William Rowan Hamilton [7] en lors de la création de la mécanique hamiltonienne, qui est une reformulation de la mécanique lagrangienne créée par Joseph-Louis Lagrange [8] à partir de , elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne …

Mécanique lagrangienne[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre de la mécanique classique, le lagrangien d'une particule squelette de la mécanique lagrangienne est une fonction de sa position , de et du temps , toutes variables supposées indépendantes [9], défini par

«» [10] ;

     à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur l'intervalle définie par «» [11] est stationnaire sur la trajectoire [12], plus exactement on obtient les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] «» [14] dont on déduit les équations du mouvement en explicitant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] «» «» soit [15] avec le vecteur accélération de la particule ou, utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive [16], on obtient l'équation différentielle du 2ème ordre régissant le mouvement de la particule «».

Mécanique hamiltonienne[modifier | modifier le wikicode]

     En mécanique hamiltonienne la variable [17] est remplacée par la variable appelée « moment conjugué » ou « impulsion » correspondant aux composantes «» s'identifiant à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [18] soit «» ;

     l'hamiltonien est la transformée de Legendre [19] du lagrangien soit

«» [20], [21]

     et enfin, dans le cas où la variable correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer par ou encore [22] et finalement

«» [23] ;

     à partir de l'expression de la différentielle de l'hamiltonien avec l'utilisation des équations d'Euler-Lagrange [13], [8] on obtient les équations canoniques de Hamilton [7] dont on peut déduire, en les explicitant, les équations du mouvement de la particule, en effet étant une fonction des variables indépendantes , et «» [24] et, de sa définition «», on tire « » soit encore, avec la définition du moment conjugué « » [25] d'où finalement

«»

     soit, par identification, les équations canoniques de Hamilton [7] :

  • identification des cœfficients de les 1ères équations canoniques de Hamilton [7] «»,
  • identification des cœfficients de «» et, en utilisant les équations d'Euler-Lagrange [13], [8] par définition de , les 2èmes équations canoniques de Hamilton [7] «»,
  • identification des cœfficients de «» et, en utilisant «» en effet les équations d'Euler-Lagrange se réécrivent avec la définition du moment conjugué permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'hamiltonien selon d'où la 3ème équation canonique de Hamilton [7] « » ;

     finalement les équations canoniques de Hamilton [7] s'écrivent selon

«» ;

     des équations canoniques de Hamilton [7] ci-dessus on tire, dans la mesure où la variable correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie [26] :

  • la définition de la quantité de mouvement de la particule car « » d'où la réécriture des 1ères équations «» «» ;
  • la relation fondamentale de la dynamique car « » en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «» [15], [16] ou «, » d'où finalement les 2èmes équations se réécrivent «» ;
  • la conservation de l'énergie mécanique de la particule si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps [27] ce dont on tire « » et par suite la 3ème équation se réécrit, compte-tenu de , «».

Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant démontré que l'hamiltonien d'une particule non relativiste prenait la forme « » [28] nous en déduisons l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir de ceux l'« énergie cinétique non relativiste » et de l'« énergie potentielle », soit

«» [4],

     l'action de cet opérateur linéaire sur la fonction d'onde qui décrit l'état de la particule « quantique » non relativiste donnant toutes les valeurs possibles de l'énergie mécanique « si la particule est dans un état stationnaire » [29], [30].

Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation de Schrödinger [31] permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon

«» ou «»
se réécrivant, en explicitant les opérateurs linéaires, selon
«» [32].

Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

     Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule quantique ne dépend pas explicitement du temps, la particule peut être dans un état stationnaire voir note « 29 » plus haut dans ce chapitre et, dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule se met sous la forme d'un produit avec fonction réelle » [33].

     Exposé : Nous nous proposons de réécrire l'équation de Schrödinger [31] dans le cas où la particule est dans un état stationnaire en cherchant la fonction d'onde de la particule sous la forme « avec fonction réelle » d'où, en reportant cette forme dans l'équation de Schrödinger [31] nous obtenons :

     Exposé : dans laquelle
          Exposé : [34] et
          Exposé : [35] d'où, par report
     Exposé : puis après simplification par ,
     Exposé : soit, en supposant non identiquement nulle et en divisant chaque membre par ,
     Exposé : dans laquelle le 1er membre de l'équation étant une fonction de et le 2nd une fonction de , la seule possibilité est que cette fonction commune soit une fonction constante ; notant cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes «» ;
     Exposé : la 1ère équation «» s'intègre en « avec une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule dans un état stationnaire « avec une constante complexe d'intégration » ;
     Exposé : la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , «» appelée « équation de Schrödinger [31] indépendante du temps » ou, à l'aide de l'opérateur linéaire « hamiltonien » « » [36],
     Exposé : la 2ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par , «» équation de recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien ».

     Conclusion : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule quantique ne dépend pas explicitement du temps, la particule peut être dans un état stationnaire de fonction d'onde de la forme « » dans laquelle est une valeur propre de l'opérateur linéaire « hamiltonien » de la particule c.-à-d. telle que «», la partie spatiale «» de la fonction d'onde étant une fonction propre associée à la valeur propre ces valeurs propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière [37] ;

     Conclusion : pour un niveau d'énergie connu de la particule dans un état stationnaire, la partie spatiale «» de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« équation de Schrödinger [31] indépendante du temps » équation aux dérivées partielles linéaire du 2ndordre «».

     Principaux résultats : Les valeurs de l'énergie de la particule quantique dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et
     Principaux résultats : à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « dégénéré » :

Principaux résultats :dans le cas où le spectre d'énergie propre est discret et « pour un niveau d'énergie propre non dégénéré quantification des niveaux d'énergie, usuellement pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde propre s'écrit » solution de l'équation de Schrödinger [31] indépendante du temps « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit « » ;
Principaux résultats :dans le cas où le spectre d'énergie propre est discret et pour un niveau d'énergie propre dégénéré le caractère « dégénéré » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde propres s'écrivent la dégénérescence d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2ème paramètre discret usuellement permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles» solutions indépendantes les unes des autres de l'équation de Schrödinger [31] indépendante du temps « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans cet état propre du niveau d'énergie dégénéré s'écrivant « », la fonction d'onde propre complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie dégénéré est alors une C.L. [38] de chaque fonction d'onde propre complète correspondant à l'état propre du niveau d'énergie dégénéré [39] soit
«» où
le scalaire « est l'amplitude de l'état stationnaire sur l'état propre » [40]
dont « représente la probabilité de l'état propre dans l'état » [41].

Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien »[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le cas où le spectre d'énergie propre de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps est discret chaque niveau d'énergie étant considéré comme pouvant être dégénéré [42] avec, pour fonctions d'onde propres complètes de la particule dans les états propres correspondants « », la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante

«» où
« est l'amplitude de l'état décrit par dans l'état propre »,
« étant la probabilité de trouver l'énergie lors d'une mesure de l'énergie de la particule » [43].

Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une « particule quantique non relativiste de masse restant localisée au voisinage d'un point sur un axe et possédant une énergie potentielle de forme parabolique » pour laquelle l'« amplitude d'oscillations au sens classique n'est pas grande devant un ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie » [44] ;

     on réalise une réduction canonique en posant «» correspondant à sa pulsation propre à signification classique d'où une réécriture de l'énergie potentielle «» et par suite de l'hamiltonien [45] «» dans lequel l'énergie cinétique non relativiste s'écrit « étant la grandeur conjugué de [46]» :

«».

Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques[modifier | modifier le wikicode]

La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :
  • vibrations des atomes dans un solide : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un oscillateur harmonique unidimensionnel sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins une façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique [47] ;
  • vibrations des atomes dans une molécule diatomique comme la molécule de chlorure d'hydrogène  : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver celle-ci, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes et  ;

     Commentaires : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort alors que la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap. intitulé oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ;

     Commentaires : on peut effectivement s'y ramener car l'étude d'un système de deux points matériels se ramène à l'étude du mouvement de son « centre d'inertie » [48] et à celle d'un autre point fictif « le mobile réduit » [49] dans le « référentiel barycentrique » [50], point de masse dite réduite «» dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet par rapport à l'objet s'il est soumis à la force que l'objet exerce sur l'objet [51] c.-à-d., dans le cas présent, à l'action du ressort On se ramène donc bien à la définition d'un oscillateur harmonique donnée au chap. oscillateur harmonique de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'expression de l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel classique [52] «» établie dans le paragraphe « présentation d'un oscillateur harmonique unidimnsionnel quantique » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons celle de l'opérateur linéaire « hamiltonien » [53] de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique

« » d'où,

     en notant « la partie spatiale de la ou de l'une des fonction(s) d'onde de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique d'énergie », l'expression de l'équation de Schrödinger [31] indépendante du temps à laquelle satisfait cet oscillateur

«» qui se réécrit encore selon
«»
soit une équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre [54].

Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Un oscillateur harmonique unidimensionnel ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine de l'axe » [55] ;

     nous allons déduire de l'inégalité de Heisenberg [56] spatiale [57] l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre c.-à-d. soit dans un état quantique d'immobilité, en effet

     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse parfaitement déterminée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit et
     l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'autre part sa quantité de mouvement exactement fixée c.-à-d. à incertitude quantique nulle soit ,
     or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg [56] spatiale c.-à-d. en contradiction avec «» 
          or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale d'où l'impossibilité théorique que l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique soit à l'équilibre ;

     les valeurs d'énergies propres de l'oscillateur harmonique quantique étant a priori positives ou nulles comme c'est le cas pour un oscillateur harmonique classique, l'énergie étant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle toutes deux positives ou nulles, l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre de l'oscillateur harmonique interdit la valeur nulle pour son énergie en effet,
     pour que l'oscillateur ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément et , ceci correspondant aussi à un état où simultanément et c.-à-d. un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par inégalité de Heisenberg [56] spatiale [57].

Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg [56] spatiale [57] on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidiemnsionnelle quantique c.-à-d. l'énergie de son état fondamental ; pour cela on détermine les propriétés ci-dessous pour les 1ères dans le cadre de la mécanique classique en admettant leur validité dans le cadre de la mécanique ondulatoire :

  • l'oscillateur étant invariant par symétrie centrale de centre énergie potentielle paire, on en déduit que la valeur moyenne de sa position est «» correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur et  ;
    compte-tenu du lien entre et [58], la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi «» [59] correspondant à la même probabilité d'avoir la valeur et  ;
  • l'écart quadratique moyen sur les valeurs de est donc «» [60] ainsi que celui sur les valeurs de défini par « » [60], ces valeurs étant respectivement l'incertitude quantique sur la position et la quantité de mouvement ;
  • l'énergie de l'oscillateur à valeur fixée s'identifie à sa valeur moyenne soit « » [60] ou encore, avec les résultats ci-dessus , la valeur d'énerge se réécrit selon «» ;
  • l'inégalité de Heisenberg [56] spatiale [57] liant les deux incertitudes quantiques selon «», on en déduit, pour une incertitude quantique sur la position fixée égale à , une valeur minimale de l'incertitude quantique sur sa quantité de mouvement «» soit, en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus «», l'expression « optimale » [61] de l'énergie exprimée uniquement en fonction de l'incertitude quantique sur la position « » ;
  • on cherche alors la valeur d'incertitude quantique sur la position c.-à-d. rendant minimale l'expression optimale de l'énergie , ce qui nécessite « » [62] avec « », l'annulation de cette dérivée donnant «» [63] et
  • la valeur minimale de l'expression optimale de l'énergie vaut donc «» soit finalement « ».

     Conclusion : par utilisation de l'inégalité de Heisenberg [56] spatiale [57] on a déterminé un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique,
     Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, la meilleure méthode est celle de Dirac [64] signalée dans la note « 54 » plus haut dans ce chapitre, en particulier on y établi celle de son énergie minimale, appelée « énergie du point zéro » c.-à-d. l'énergie de l'état fondamental qui vaut effectivement «» ;

     Conclusion : ce résultat n'est pas uniquement théorique, il explique entre autres, le fait que l'isotope de l'hélium «» reste liquide aux températures proches de au voisinage de une approche classique conduirait à une énergie nulle avec absence de mouvements relatifs entre molécules et par suite une impossibilité de phase liquide à [65], ce qui n'est pas ce qu'on observe, d'où la nécessité de faire une approche quantique conduisant à une « énergie non nulle quand l'hélium s'approche de » d'où une explication de la phase liquide de ce dernier.

Quantification (admise) de l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

Spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons déjà dit que la méthode de Dirac [64] signalée dans la note « 54 » plus haut dans ce chapitre permet d'établir [66] toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur ;

on obtient un spectre discret de niveaux d'énergie «» [67]
ou encore, à l'aide de la « fréquence propre de l'oscillateur »,
on obtient le spectre discret de niveaux d'énergie «» [68].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état fondamental » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme de la fonction d'onde de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique quantique en fonction du paramètre de position
c.-à-d. la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de l'état fondamental ».

     À l'« énergie de l'état fondamental » correspond une “ seule ” [69] composante spatiale de fonction d'onde choisie réelle [70] égale à «» [71] dont le diagramme en fonction de est représenté ci-contre  étant une unité de longueur arbitraire et une valeur particulière, homogène à , pouvant être quelconque et choisie égale à pour le tracé :

     on peut vérifier que cette composante est normalisée en évaluant la probabilité de l'état fondamental sur tout l'espace « » [72] donnant lors son évaluation, en utilisant l'intégrale de Gauss [73] « », le résultat attendu dans le cas d'une normalisation «» [74].

En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

c.-à-d. la « fonction propre de l'hamiltonien associée à la valeur propre d'énergie de l'état de niveau ».

     À l'« énergie de l'état du niveau à savoir » correspond une “ seule ” [75] composante spatiale de fonction d'onde choisie réelle [70] égale à « » [76], [77] dont les diagrammes de , de et de en fonction de sont représentés ci-dessous étant une unité de longueur arbitraire et une valeur particulière, homogène à , pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé :

En complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'« état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique[modifier | modifier le wikicode]

     La densité « linéique » [78] de probabilité de présence est liée à la composante spatiale de la fonction d'onde par «» ;
     puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état fondamental et
  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 1er niveau excité ,

     puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de :

  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 2ème niveau excité ,
  • la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 3ème niveau excité

     Remarques : on constate que « la densité linéique de probabilité de présence est grossièrement maximale pour », ceci étant d'autant mieux vérifié que est grand [79], « cette valeur remplaçant l'amplitude des oscillations de l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique » [80] ;

     Remarques : on pourrait vérifier que n'est pas fonction propre de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » car [81].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. On peut donc affirmer que n'importe quelle valeur est valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie potentielle » pour n'importe quelle fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », étant alors la fonction propre associée à la valeur propre .
  2. L'énergie cinétique d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en intensité contrairement à la quantité de mouvement qui donne des informations sur la direction et le sens la notion d'énergie cinétique sera introduite dans le chap. « énergie et puissance cinétiques » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       l'expression couramment utilisée pour une particule non relativiste étant avec son vecteur vitesse, l'introduction de sa quantité de mouvement non relativiste nous conduit à l'expression de son énergie cinétique non relativiste utilisée ici tout aussi importante mais moins utilisée.
  3. On rappelle l'expression de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » «», l'indice signifiant que l'on dérive à constant voir le paragraphe « inuction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  4. 4,0 et 4,1 L'opérateur linéaire «» définissant l'opérateur linéaire du 2ème ordre « laplacien » noté voir le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       en repérage cartésien le laplacien s'écrit «».
  5. Action qui revient à prendre le laplacien de la fonction d'onde à un facteur multiplicatif près.
  6. Les valeurs d'énergie cinétique non relativiste sont donc les valeurs propres de l'opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste », les fonctions d'onde décrivant l'état de la particule étant les fonctions propres associées.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 et 7,7 William Rowan Hamilton (1805 - 1865) mathématicien, physicien et astronome irlandais connu pour sa découverte des quaternions mais a contribué aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre ; il est aussi connu comme l'inventeur de la mécanique hamiltonienne fondée sur un principe variationnel.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 et 8,4 Joseph-Louis Lagrange (1736 -1803) mathématicien, mécanicien et astronome français d'origine italienne, ayant jeté les bases du calcul variationnel à l'âge de ans qui lui permirent d'achever ans plus tard la construction de la mécanique analytique connue actuellement sous le nom de mécanique lagrangienne ; on lui doit beaucoup d'autres travaux dans le domaine des mathématiques, celui de la mécanique mécanique des fluides et celui de l'astronomie problème des trois corps.
  9. La variable n'étant, pour l'instant, pas considérée comme la dérivée temporelle de la position il ne s'agit donc, pour l'instant, qu'une simple notation et non, a priori, la vitesse ; toutefois les deux variables et sont supposées être des fonctions indépendantes du temps , la 2ème variable devenant la dérivée temporelle de la 1ère c.-à-.d la vitesse pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.
  10. Dans laquelle est l'énergie potentielle de la particule, le 1er terme devenant son énergie cinétique dès lors que la variable est interprétée comme sa vitesse.
  11. Qu'on notera simplement, en absence d'ambiguïté, .
  12. C.-à-d. que l'« action » sur l'intervalle ne varie pas à l'ordre un lors d'une perturbation infinitésimale des variables et relativement à leur valeur correspondant à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie soit, pour la 1ère variable et pour la 2ème dérivée temporelle de la perturbation infinitésimale de la 1ère variable de façon à ce que la 2ème variable devienne la vitesse si , étant l'infiniment petit d'ordre un et une fonction vectorielle différentiable telle que assurant que la trajectoire réellement suivie passe par les points extrêmes définis par et , la vitesse en ces points étant alors définie par et .
  13. 13,0 13,1 13,2 et 13,3 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ;
       en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  14. En effet, envisageant une perturbation infinitésimale définie selon avec un infiniment petit d'ordre un et une fonction vectorielle différentiable telle que et écrivant que l'action perturbée l'action non perturbée à l'ordre zéro en c.-à-d. en annulant le terme d'ordre un en de l'approximation linéaire de l'action perturbée voir le paragraphe « rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », ceci traduisant le caractère stationnaire de l'action soit  ;
       or ou, en explicitant les dérivées relativement à ,
       or et, par report dans l'intégrale on en déduit
        et, en permutant l'intégration et l'addition discrète,
        , les dernières intégrales donnant chacune par i.p.p. intégration par parties voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »