Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

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Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1^ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique

Grandeurs conjuguées en mécanique quantique

     Il existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « conjuguées », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous des exemples :

• le vecteur quantité de mouvement d'une particule $\overrightarrow{p}$ et son vecteur position d'observation $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OM}$,
• l'énergie d'une particule $E$ et sa date d'observation $t$,

     la raison du caractère « conjugué » des grandeurs couplées étant qu'il existe un opérateur linéaire agissant sur la fonction d'onde associée à la particule $\underset{\_}{\psi }(M,t)$ permettant d'obtenir une valeur de la grandeur cinétique, voir détails ci-après $\dots$

En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées

     Si on considère une particule « quantique » d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$ fixées, nous avons vu, dans le paragraphe « notion de fonction d'onde » du chap.$17$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'on peut lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit $\underset{\_}{\psi }(M,t)=\underset{\_}{\Psi }(M)\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$ dans laquelle la partie spatiale de la fonction d'onde s'écrit $\underset{\_}{\Psi }(M)=\underset{\_}{A}\exp \left(i\frac{p}{\hslash }r\right)=\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})$ soit «$\underset{\_}{\psi }(M,t)=\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$» ;

     en se servant de cette forme on peut induire un opérateur linéaire pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique $($voir ci-après$)$.

Induction de l'opérateur linéaire « énergie »

     L'opérateur linéaire « énergie » noté $\hat{E}\left[\right]$ devant être tel que, si on l'applique à $\underset{\_}{\psi }(M,t)=\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie $E$ fixée, on obtienne $\hat{E}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=E\times \underset{\_}{\psi }(M,t)$, on induit la forme de cet opérateur selon

«$\hat{E}\left[\right]=i\hslash {\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)}_M\left[\right]$» ;

     en effet $\hat{E}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=i\hslash {\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)}_M[\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)]=\left(i\hslash \right)\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})(-i\frac{E}{\hslash })\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)=E\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$ soit le résultat escompté

«$\hat{E}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=E\times \underset{\_}{\psi }(M,t)$».

Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »

     L'opérateur linéaire « quantité de mouvement » noté $\hat{\overrightarrow{p}}\left[\right]$ devant être tel que, si on l'applique à $\underset{\_}{\psi }(M,t)=\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$ fixée, on obtienne $\hat{\overrightarrow{p}}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=\overrightarrow{p}\times \underset{\_}{\psi }(M,t)$, on induit la forme de cet opérateur selon

«$\hat{\overrightarrow{p}}\left[\right]=-i\hslash {\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right)}_t\left[\right]$» ;

     en effet $\hat{\overrightarrow{p}}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=-i\hslash \{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z,t}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z,t}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y,t}\}[\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)]$
     en effet $\hat{\overrightarrow{p}}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]$ $=(-i\hslash )\underset{\_}{A}\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)\{{\overrightarrow{u}}_x{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}_{y,z}+{\overrightarrow{u}}_y{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}_{x,z}+{\overrightarrow{u}}_z{\left(\frac{\partial }{\partial z}\right)}_{x,y}\}\exp \left(i\frac{p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z}{\hslash }\right)$
     en effet $\hat{\overrightarrow{p}}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]$ $=(-i\hslash )\underset{\_}{A}\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)\{{\overrightarrow{u}}_x\left(i\frac{p_x}{\hslash }\right)+{\overrightarrow{u}}_y\left(i\frac{p_y}{\hslash }\right)+{\overrightarrow{u}}_z\left(i\frac{p_z}{\hslash }\right)\}\exp \left(i\frac{p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z}{\hslash }\right)=\overrightarrow{p}\underset{\_}{A}\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$ soit le résultat escompté

$\hat{\overrightarrow{p}}[\underset{\_}{\psi }(M,t)]=\overrightarrow{p}\times \underset{\_}{\psi }(M,t)$.

En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires

Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique

     La définition de ces deux opérateurs linéaires a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées ;
     dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état.

Opérateur linéaire « énergie »

     L'opérateur linéaire « énergie » est défini selon «$\hat{E}\left[\right]=i\hslash {\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)}_M\left[\right]$ »,
     l'opérateur linéaire « énergie » étant $\propto$ à l'opérateur linéaire « dérivation partielle relativement au temps » $\Rightarrow$ les deux grandeurs « énergie » et « temps » sont dites « conjuguées ».

Opérateur linéaire « quantité de mouvement »

     L'opérateur linéaire $($vectoriel$)$ « quantité de mouvement » est défini selon «$\hat{\overrightarrow{p}}\left[\right]=-i\hslash {\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right)}_t\left[\right]$ »,
     l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » étant $\propto$ à l'opérateur linéaire vectoriel « nabla » $\Rightarrow$ les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont dites « conjuguées ».

Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire

     Une fonction propre d'un opérateur linéaire scalaire $𝒪ℒ\left[\right]$ est une fonction $\underset{\_}{f}(M,t)$ non identiquement nulle satisfaisant la relation

«$𝒪ℒ\left[\underset{\_}{f}\right](M,t)=\mu \underset{\_}{f}(M,t)$» dans laquelle $\mu$ est un scalaire associé à $\underset{\_}{f}(M,t)$,
$\mu$ étant qualifié de « valeur propre » associée à $\underset{\_}{f}(M,t)$ appelée « fonction propre ».

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie »

     On cherche donc les fonctions du temps à valeurs complexes $\underset{\_}{f}(t)$ telles que «$\hat{E}\left[\underset{\_}{f}\right](t)=E\underset{\_}{f}(t)$» ou encore «$i\hslash \frac{d\underset{\_}{f}}{dt}=E\underset{\_}{f}(t)$» c'est-à-dire une équation différentielle linéaire du 1^er ordre à cœfficients constants homogène d'« équation caractéristique $i\hslash \underset{\_}{s}=E$ donnant pour solution $\underset{\_}{s}=\frac{E}{i\hslash }=-i\frac{E}{\hslash }$»,
     On cherche donc la « fonction propre associée à la valeur propre $E$ étant alors ${\underset{\_}{f}}_E(t)=\underset{\_}{A}\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$ où $\underset{\_}{A}$ est une constante d'intégration ».

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement »

Recherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique »

     On cherche donc les fonctions de la position à valeurs complexes $\underset{\_}{f}(M)$ telles que «$\hat{\overrightarrow{p}}\left[\underset{\_}{f}\right](M)=\overrightarrow{p}\underset{\_}{f}(M)$» ou «$-i\hslash \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\right)\left[\underset{\_}{f}\right](M)=\overrightarrow{p}\underset{\_}{f}(M)$ $\iff$ $-i\hslash {\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}_t\left[\underset{\_}{f}\right](M)=\overrightarrow{p}\underset{\_}{f}(M)$» soit encore, en adoptant le repérage cartésien «$\left\{\begin{array}{c}-i\hslash {\left(\frac{\partial \underset{\_}{f}}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)=p_x\underset{\_}{f}(M)\\ -i\hslash {\left(\frac{\partial \underset{\_}{f}}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)=p_y\underset{\_}{f}(M)\\ -i\hslash {\left(\frac{\partial \underset{\_}{f}}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)=p_z\underset{\_}{f}(M)\end{array}\right\}$» ou,

     en cherchant «$\underset{\_}{f}(x,y,z)$ sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c'est-à-dire $\underset{\_}{f}(x,y,z)=\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_2}(y)\underset{\_}{f_3}(z)$», «$\left\{\begin{array}{c}-i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_1}}{dx}(x)\underset{\_}{f_2}(y)\underset{\_}{f_3}(z)=p_x\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_2}(y)\underset{\_}{f_3}(z)\\ -i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_2}}{dy}(y)\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_3}(z)=p_y\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_2}(y)\underset{\_}{f_3}(z)\\ -i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_3}}{dz}(z)\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_2}(y)=p_z\underset{\_}{f_1}(x)\underset{\_}{f_2}(y)\underset{\_}{f_3}(z)\end{array}\right\}$» soit, après simplification évidente «$\left\{\begin{array}{c}-i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_1}}{dx}(x)=p_x\underset{\_}{f_1}(x)\\ -i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_2}}{dy}(y)=p_y\underset{\_}{f_2}(y)\\ -i\hslash \frac{d\underset{\_}{f_3}}{dz}(z)=p_z\underset{\_}{f_3}(z)\end{array}\right\}$» c'est-à-dire trois équations différentielles linéaires du 1^er ordre à cœfficients constants homogènes d'« équations caractéristiques $\left\{\begin{array}{c}-i\hslash \underset{\_}{s_1}=p_x\\ -i\hslash \underset{\_}{s_2}=p_y\\ -i\hslash \underset{\_}{s_3}=p_z\end{array}\right\}$ ayant pour solutions respectives $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{s_1}=-\frac{p_x}{i\hslash }=i\frac{p_x}{\hslash }\\ \underset{\_}{s_2}=-\frac{p_y}{i\hslash }=i\frac{p_y}{\hslash }\\ \underset{\_}{s_3}=-\frac{p_z}{i\hslash }=i\frac{p_z}{\hslash }\end{array}\right\}$»,

     On cherche donc la fonction propre associée à la valeur propre $p_x$ $[$respectivement $p_y$ et $p_z]$ étant alors «${\underset{\_}{f_1}}_{p_x}(x)=\underset{\_}{A_1}\exp \left(i\frac{p_x}{\hslash }x\right)$» $[$respectivement ${\underset{\_}{f_2}}_{p_y}(y)=\underset{\_}{A_2}\exp \left(i\frac{p_y}{\hslash }y\right)$ et ${\underset{\_}{f_3}}_{p_z}(z)$ $=\underset{\_}{A_3}\exp \left(i\frac{p_z}{\hslash }z\right)]$ où $\underset{\_}{A_1}$ $[$respectivement $\underset{\_}{A_2}$ et $\underset{\_}{A_3}]$ sont des constantes d'intégration.

     Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » de « valeur propre $\overrightarrow{p}=p_x{\overrightarrow{u}}_x+p_y{\overrightarrow{u}}_y+p_z{\overrightarrow{u}}_z$» peuvent se réécrire
     Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » selon «${\underset{\_}{f}}_{\overrightarrow{p}}(M)=\underset{\_}{A}\exp \left(i\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}}{\hslash }\right)$».

Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences

     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$ fixée 
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée » «${\underset{\_}{\psi }}_{\overrightarrow{p}}(M,t)=\underset{\_}{A}(t)\exp (i\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }\cdot \overrightarrow{r})$» s'écrivant
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » «${𝒫}_V(M,t)=|{\underset{\_}{\psi }}_{\overrightarrow{p}}(M,t){|}^2=|\underset{\_}{A}(t){|}^2$» est uniforme sur tout l'espace $\Rightarrow$
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique ».

     Conséquences : on découvre une propriété des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position »  :
     Conséquences : on découvre une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée $($c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur la quantité de mouvement nulle soit $\Delta \overrightarrow{p}=\overrightarrow{0})$,
     Conséquences : on découvre une propriété si la position de la particule « quantique » est inconnue $($c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur la position infinie soit $\Vert \Delta \overrightarrow{r}\Vert =\mathrm{\infty }$$)$ ;

     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur ${\overrightarrow{u}}_x$ de valeur $p_x$ fixée 
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée »
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par «${\underset{\_}{\psi }}_{p_x}(M,t)=\underset{\_}{A_1}(t)\underset{\_}{f_2}(y,t)\underset{\_}{f_3}(z,t)\exp \left(i\frac{p_x}{\hslash }x\right)$» étant
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » «${𝒫}_V(M,t)=|{\underset{\_}{\psi }}_{p_x}(M,t){|}^2=|\underset{\_}{A_1}(t)\underset{\_}{f_2}(y,t)\underset{\_}{f_3}(z,t){|}^2$» est indépendante de$x$ $\Rightarrow$
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » sur ${\overrightarrow{u}}_x$ ;

     Conséquences : nous découvrons une propriété plus précise des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » :
     Conséquences : nous découvrons une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction $[$c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement sur ${\overrightarrow{u}}_x$ $($respectivement sur ${\overrightarrow{u}}_y$ ou sur ${\overrightarrow{u}}_z)$, nulle soit $\Delta p_x=0$ $($respectivement $\Delta p_y=0$ ou $\Delta p_z=0\left)\right]$,
     Conséquences : nous découvrons une propriété si la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue $[$c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur la composante de la position sur ${\overrightarrow{u}}_x$ $($respectivement sur ${\overrightarrow{u}}_y$ ou sur ${\overrightarrow{u}}_z)$, infinie soit $\Delta x=\mathrm{\infty }$ $($respectivement $\Delta y=\mathrm{\infty }$ ou $\Delta z=\mathrm{\infty }\left)\right]$.

Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction »

     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c'est-à-dire, ${𝒪ℒ}_1\left[\right]$ et ${𝒪ℒ}_2\left[\right]$ étant deux opérateurs linéaires et
     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c'est-à-dire, $\underset{\_}{\psi }(M,t)$ une fonction d'onde quelconque,
     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si «${𝒪ℒ}_1\left\{{𝒪ℒ}_2\left[\underset{\_}{\psi }\right]\right\}(M,t)={𝒪ℒ}_2\left\{{𝒪ℒ}_1\left[\underset{\_}{\psi }\right]\right\}(M,t)$»,

     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » dans le cas contraire, les deux opérateurs sont dits « non commutables ».

     Or nous vérifions aisément que «$\hat{x}\left\{\widehat{p_x}\left[\underset{\_}{\psi }\right]\right\}(M,t)\ne \widehat{p_x}\left\{\hat{x}\left[\underset{\_}{\psi }\right]\right\}(M,t)$» en effet, pour cela, calculons «$\{\hat{x}\widehat{p_x}-\widehat{p_x}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)$» et vérifions que le résultat n'est pas nul soit
     Or nous vérifions aisément que «$\{\hat{x}\widehat{p_x}-\widehat{p_x}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)=x\{-i\hslash {\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(M,t)\}-\{-i\hslash {\left(\frac{\partial \left[x\underset{\_}{\psi }\right]}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(M,t)\}$
     Or nous vérifions aisément que «$\{\hat{x}\widehat{p_x}-\widehat{p_x}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)$$=-i\hslash x{\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(M,t)+i\hslash [\underset{\_}{\psi }(M,t)+x{\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial x}\right)}_{y,z,t}(M,t)]$
     Or nous vérifions aisément que «$\{\hat{x}\widehat{p_x}-\widehat{p_x}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)$$=i\hslash \underset{\_}{\psi }(M,t)\ne 0$» d'où le caractère « non commutable » des deux opérateurs linéaires $\hat{x}$ et $\widehat{p_x}$ ;

     Or nous pourrions vérifier aussi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\{\hat{y}\left[\right],\widehat{p_y}\left[\right]\}$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables »
     Or nous pourrions vérifier ainsi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\{\hat{z}\left[\right],\widehat{p_z}\left[\right]\}$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables ».

     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués comme $\{\hat{x}\left[\right],\widehat{p_y}\left[\right]\}$ sont « commutables » en effet, pour cela, il suffit de calculer «$\{\hat{x}\widehat{p_y}-\widehat{p_y}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)$» et de vérifier un résultat nul :
     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit «$\{\hat{x}\widehat{p_y}-\widehat{p_y}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)=x\{-i\hslash {\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(M,t)\}-\{-i\hslash {\left(\frac{\partial \left[x\underset{\_}{\psi }\right]}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(M,t)\}$
     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit «$\{\hat{x}\widehat{p_y}-\widehat{p_y}\hat{x}\}\left[\underset{\_}{\psi }\right](M,t)$$=-i\hslash x{\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(M,t)+i\hslash [0\times \underset{\_}{\psi }(M,t)+x{\left(\frac{\partial \underset{\_}{\psi }}{\partial y}\right)}_{x,z,t}(M,t)]=0$» ;

     de même les opérateurs linéaires non conjugués comme $\{\hat{x}\left[\right],\widehat{p_z}\left[\right]\}$, $\{\hat{y}\left[\right],\widehat{p_x}\left[\right]\}$, $\{\hat{y}\left[\right],\widehat{p_z}\left[\right]\}$, $\{\hat{z}\left[\right],\widehat{p_x}\left[\right]\}$ et $\{\hat{z}\left[\right],\widehat{p_y}\left[\right]\}$ sont « commutables ».

     Si « la quantité de mouvement sur une direction$\overrightarrow{u}$est fixée » il y a impossibilité théorique « de connaître la position sur$\overrightarrow{u}$» $\{$conséquence du caractère « non commutable » des opérateurs associés$\}$ et

     si « la quantité de mouvement sur une direction$\overrightarrow{u}$est fixée » il y a possibilité théorique « de connaître la position sur une direction$\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u}$» $\{\Leftarrow$par le caractère « commutable » des opérateurs associés$\}$.

Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée

     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à l'instant d'observation,
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique n'est donc pas de même nature que les précédentes $\{$justification $($exposée ci-dessous$)$ résultant de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée$\}$ :

     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie $E$ fixée
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée »
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » ${\underset{\_}{\psi }}_E(M,t)=\underset{\_}{\Psi }(M)\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence s'écrivant ${𝒫}_V(M,t)=|{\underset{\_}{\psi }}_E(M,t){|}^2=|\underset{\_}{\Psi }(M){|}^2$ est indépendante de$t$ $\Rightarrow$
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence il est impossible de déterminer l'instant d'observation de la particule « quantique ».

     Conséquence : nous découvrons une propriété du couple de grandeurs conjuguées « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » :
     Conséquence : nous découvrons une propriété si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée $($c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur l'énergie nulle soit $\Delta E=0)$,
     Conséquence : nous découvrons une propriété si l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu $($c'est-à-dire d'incertitude « quantique » sur l'instant d'observation infinie soit $\Delta t=\mathrm{\infty })$.

Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

Schéma de diffraction d'un faisceau lumineux $\parallel$, détermination, à partir du lien entre largeur de la fente, longueur d'onde dans le vide et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, de l'ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg

     Si on considère un photon d'un faisceau $\parallel$, photon de quantité de mouvement $\overrightarrow{p}=p{\overrightarrow{u}}_z$
     Si on considère un photon d'un faisceau $\parallel$, photon arrivant orthogonalement sur une fente de largeur $a$ suivant ${\overrightarrow{u}}_x$,
     Si on considère un photon d'un faisceau $\parallel$, photon arrivant orthogonalement sur une fente de grande longueur suivant ${\overrightarrow{u}}_y$,
     Si on considère un photon d'un faisceau $\parallel$, on observe un phénomène de diffraction du faisceau $\parallel$ $($à condition que la largeur de la fente $a$ ne soit pas grande devant la longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$ du photon c'est-à-dire $a\cancel{\gg }{\lambda }_0$$)$ avec un demi-angle d'ouverture ${\theta }_1$ du faisceau principal de diffraction vérifiant la relation «$\sin ({\theta }_1)=\frac{{\lambda }_0}{a}$» ;

la « répartition angulaire de l'éclairement du faisceau de diffraction » pouvant être identifiée à
la « densité angulaire de probabilité de présence du photon considéré après la traversée de la fente »,
utiliser le lien entre rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, largeur de la fente et longueur d'onde dans le vide du photon
dans le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon ...
... lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » plus bas dans ce chapitre
$\Downarrow$
un ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg relatif aux
grandeurs conjuguées « composantes sur l'axe des abscisses
de la quantité de mouvement et de la position du photon au niveau de la fente ».

Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon

     La position transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, du photon diffracté, est au centre $O$ de la fente c'est-à-dire d'abscisse $x_{\text{la plus probable}}=\bar{x}=0$,
     les autres positions transversales possibles étant d'abscisse $x\ne 0$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence ${𝒫}_{𝑙}(x)$ ;

          La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $x$ par «$\Delta x=\sqrt{⟨{(x-\bar{x})}^2⟩}$»,
     La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $x$ estimée par la demi-largeur de la fente soit
          La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $x$ par «$\Delta x\sim \frac{a}{2}$» ;

     la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle $($faisceau principal de diffraction symétrique par rapport à $Oz)$
            la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle c'est-à-dire de composante $p_{x,\text{la plus probable}}=\overline{p_x}=0$,
     les autres composantes transversales possibles étant de valeur $p_x\ne 0$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence d'autant plus petite que la valeur s'écarte de $0$,

          La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $p_x$ par «$\Delta p_x=\sqrt{⟨{(p_x-\overline{p_x})}^2⟩}$»,
     La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $p_x$ estimée à partir du rayon angulaire
                La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $p_x$ du faisceau principal de diffraction
          La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $p_x$ soit «$\Delta p_x\sim p\sin ({\theta }_1)=\frac{h}{{\lambda }_0}\frac{{\lambda }_0}{a}$ ou $\Delta p_x\sim \frac{h}{a}$».

     Conclusion : dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques » sur les deux grandeurs conjuguées « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur ${\overrightarrow{u}}_x$ au niveau de la fente sont liées par la relation « approchée » «$\Delta x\Delta p_x\sim \frac{a}{2}\frac{h}{a}=\frac{h}{2}$» ;

     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision $($c'est-à-dire en $\searrow$ l'« incertitude quantique » sur $x$ réalisé par la $\searrow$ de la largeur de la fente$)$,
     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\nearrow$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $($on $\nearrow$ donc l'« incertitude quantique » sur $p_x$ $\Rightarrow$
     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\nearrow$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $($on la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté $\nearrow )$.

Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon

     La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur ${\overrightarrow{u}}_x$,
           La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ;

     Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » «$\Delta x\Delta p_x⩾\frac{\hslash }{2}$», avec $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ « constante réduite de Planck  »
                                 Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » «$\Delta x\Delta p_x⩾\frac{\hslash }{2}$», valant «$\hslash \simeq 1,05610^{-34}J\cdot s$»,

     La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par «$\Delta x\Delta p_x\gtrsim 0,510^{-34}J\cdot s$»
     La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon$($ou une inégalité identique sur ${\overrightarrow{u}}_y$ ou sur ${\overrightarrow{u}}_z)$ ;

     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision »,
     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est »
     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : et inversement.

Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale

     On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur n'importe quelle direction par exemple,
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_x$, l'inégalité «$\Delta x\Delta p_x⩾\frac{\hslash }{2}$» avec $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ la « constante réduite de Planck » où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_x$, l'inégalité «$\Delta x$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon ${\overrightarrow{u}}_x$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_x$, l'inégalité «$\Delta x$$\Delta p_x$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur ${\overrightarrow{u}}_x$ de sa quantité de mouvement,

          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_y$, l'inégalité «$\Delta y\Delta p_y⩾\frac{\hslash }{2}$» avec $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ la « constante réduite de Planck » où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_y$, l'inégalité «$\Delta y$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon ${\overrightarrow{u}}_y$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_y$, l'inégalité «$\Delta y$$\Delta p_y$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur ${\overrightarrow{u}}_y$ de sa quantité de mouvement et

          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_z$, l'inégalité «$\Delta z\Delta p_z⩾\frac{\hslash }{2}$» avec $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ la « constante réduite de Planck » où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_z$, l'inégalité «$\Delta z$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon ${\overrightarrow{u}}_z$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction ${\overrightarrow{u}}_z$, l'inégalité «$\Delta z$$\Delta p_z$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur ${\overrightarrow{u}}_z$ de sa quantité de mouvement.

     Remarques : L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique
     Remarques : L'impossibilité théorique rend obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement :

     Remarques : 1^er exemple : électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit
          Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur $\Delta r\sim r_0=0,53\text{Ǻ}=5,310^{-11}m$,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère composante radiale de sa quantité de mouvement est donc au minimum $\Delta p_r\sim \frac{\hslash }{2\Delta r}=\frac{1,05610^{-34}}{2\times 5,310^{-11}}\simeq 10^{-24}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
          Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur ou, compte-tenu de la masse de l'électron $m_e\simeq 0,9110^{-30}kg$,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron  est estimée au minimum à $\Delta v_r=\frac{\Delta p_r}{m_e}\simeq \frac{10^{-24}}{0,9110^{-30}}\simeq 1,110^{6}m\cdot s^{-1}=1100km\cdot s^{-1}$, a priori
                 Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron «$\ll ̸$ par rapport à la vitesse orthoradiale d'un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à
                 Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron «$\ll ̸$ par rapport à la vitesse une distance de $0,53\text{Ǻ}$ sous l'action de la force électrique attractive »,
     Remarques : 1^er exemple : on peut donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire $\dots$
     Remarques : 1^er exemple : La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique.

     Remarques : En revanche la limitation imposée par l'inégalité de Heisenberg n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique et encore moins à l'échelle macroscopique :

     Remarques : 2^ème exemple : grain de sable de diamètre$2mm$, de masse$20mg$, emporté par le vent suivant une direction$Ox$,
     Remarques : 2^ème exemple : supposons une incertitude « quantique » sur son positionnement transversal $\Delta y=1mm$,
     Remarques : 2^ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum $\Delta p_y\sim \frac{\hslash }{2\Delta y}=\frac{1,05610^{-34}}{2\times 1,010^{-3}}\simeq 5,310^{-32}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
     Remarques : 2^ème exemple : et l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse est estimée au minimum à $\Delta v_y=\frac{\Delta p_y}{m}\simeq \frac{5,310^{-32}}{2010^{-6}}\simeq 2,610^{-27}m\cdot s^{-1}$ c'est-à-dire
                 Remarques : 2^ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse excessivement petite devant la vitesse du grain de sable dans le vent ;
     Remarques : 2^ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique
          Remarques : 2^ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite $($on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n. à un objet mésoscopique$)$.

En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle

     Il existe également une inégalité de Heisenberg entre les deux grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais
   Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'opérateur linéaire associée à la date d'observation de la particule et,
  Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes même si on peut définir un opérateur linéaire associé à l'énergie de la particule,
  Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes il n'y a évidemment pas d'opérateurs linéaires non commutables associés à cette inégalité.

     L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon «$\Delta E\Delta t⩾\frac{\hslash }{2}$» avec $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ la « constante réduite de Planck » où
           L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « $\Delta E$ est l'incertitude « quantique » sur l'énergie de la particule « quantique » et
           L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon «$\Delta E$$\Delta t$ l'incertitude « quantique » sur la date d'observation de la particule ;

     commentaire : cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec exactitude », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement.

     Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\tau$, on peut estimer l'incertitude « quantique » sur la date de désexcitation $\Delta t\sim \tau$ et
     Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\tau$, on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie de cet état excité
          Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\tau$, on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie «$(\Delta E{)}_{\text{min}}\sim \frac{\hslash }{2\tau }$» $\dots$