Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

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Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
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Chapitre no 18
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
Chap. suiv. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
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Sommaire

Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique[modifier | modifier le wikicode]

Grandeurs conjuguées en mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]

......Il existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « conjuguées », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous deux exemples [1] :

  • l'énergie d'une particule et sa date d'observation ou
  • le vecteur quantité de mouvement d'une particule et son vecteur position d'observation [2],

......la raison en étant la définition des opérateurs linéaires agissant sur la fonction d'onde associée à la particule pour donner une valeur de la grandeur cinétique, voir ci-après

En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées[modifier | modifier le wikicode]

......Si on considère une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées, nous avons vu, au chapitre précédent, qu'on pourrait lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit [3], ou plus exactement la fonction d'onde [4] ;

......en se servant de cette forme on peut induire un opérateur linéaire pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique voir, ci-après.

Induction de l'opérateur linéaire « énergie »[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur linéaire « énergie » noté devant être tel que, si on l'applique à , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie fixée, on obtienne , on induit la forme de cet opérateur selon

[5] ;

......en effet donnant effectivement [6].

Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur linéaire « quantité de mouvement » noté devant être tel que, si on l'applique à , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement fixée, on obtienne , on induit la forme de cet opérateur selon

[7] ;

......en effet soit encore, en repérage cartésien donnant effectivement [8].

En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires[modifier | modifier le wikicode]

Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique[modifier | modifier le wikicode]

......La définition de ces deux opérateurs linéaires a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées ; dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état.

Opérateur linéaire « énergie »[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur linéaire « énergie » est défini selon [5], le fait que l'opérateur linéaire « énergie » soit proportionnel à l'opérateur linéaire « dérivation partielle relativement au temps » se traduit en disant que les deux grandeurs « énergie » et « temps » [9] sont « conjuguées ».

Opérateur linéaire « quantité de mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur linéaire (vectoriel) « quantité de mouvement » est défini selon [7], le fait que l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » soit proportionnel à l'opérateur linéaire vectoriel « nabla » [7] se traduit en disant que les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » [10] sont « conjuguées » [11].

Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction propre d'un opérateur linéaire scalaire [12] est une fonction non identiquement nulle satisfaisant la relation

[13]
pour un scalaire appelé « valeur propre » [14] associée à la « fonction propre » [15].

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie »[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche donc les fonctions du temps [16] à valeurs complexes  » telles que ou encore

[17]

......c.-à-d. une équation différentielle linéaire du 1er ordre à cœfficients constants homogène d'équation caractéristique donnant pour solution [18], la fonction propre associée à la valeur propre étant alors

[19] est une constante d'intégration [20].

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

Recherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique »[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche donc les fonctions de la position [21] à valeurs complexes telles que ou que l'on peut réécrire

[22]

......soit encore [12], en adoptant le repérage cartésien [23] ou, en cherchant sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c.-à-d. , soit, après simplification évidente

......c.-à-d. trois équations différentielles linéaires du 1er ordre à cœfficients constants homogènes dont les équations caractéristiques s'écrivant selon ont pour solutions respectives [24],

la fonction propre associée à la valeur propre resp. et étant alors
resp. et [25]
resp. et sont des constantes d'intégration [26].

......Finalement les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » peuvent se réécrire

[27] de valeur propre associée .

Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement fixée [28] dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée » [29] [30] s'écrivant est uniforme sur tout l'espace, ce qui signifie qu'il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » ;

......nous voyons une propriété des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position » [2] : si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur la quantité de mouvement nulle soit , la position de la particule « quantique » est inconnue c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur la position infinie soit [32] ;

......plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur de valeur fixée [33] d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » [34] [35] s'écrivant est indépendante de x, ce qui signifie qu'il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » sur  ;

......nous voyons une propriété plus précise des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » : si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur la composante de la quantité de mouvement sur resp. sur ou sur , nulle soit resp. ou , la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur la composante de la position sur resp. sur ou sur , infinie soit resp. ou .

Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction »[modifier | modifier le wikicode]

......Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., et étant deux opérateurs linéaires et une fonction d'onde quelconque,

si ,

......dans le cas contraire, les deux opérateurs sont dits « non commutables ».

......Or se justifie en calculant [36] et en vérifiant que le résultat n'est pas nul soit

[37]

......d'où le caractère « non commutable » des deux opérateurs linéaires et [38] ;

......il en est de même des couples d'opérateurs linéaires conjugués et  pour lesquels les opérateurs linéaires sont « non commutables » [38].

......Par contre les opérateurs linéaires non conjugués comme sont « commutables » en effet [39], [40] ;

......il en est de même de tous les autres couples d'opérateurs linéaires non conjugués , , , et pour lesquels les opérateurs linéaires sont « commutables » [40].

......La possibilité théorique « d'ignorer la position sur une direction » si « la quantité de mouvement sur cette direction est fixée » est une conséquence du caractère « non commutable » des opérateurs associés alors que

......celle « de connaître la position sur une direction » si « la quantité de mouvement sur une autre direction est fixée » est une conséquence du caractère « commutable » des opérateurs correspondants.

Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée[modifier | modifier le wikicode]

......Comme il a été vu précédemment, il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à l'instant d'observation [9], l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée n'est donc pas de même nature que les précédentes [41] ;

......sa justification résulte de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée [42] :

......La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie fixée [43] d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » [44] [45] s'écrivant est indépendante de t [46], ce qui signifie qu'il est impossible de déterminer l'instant d'observation de la particule « quantique » ;

......nous voyons une propriété du couple de grandeurs conjuguées « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » : si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur l'énergie, nulle soit , l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu c.-à-d. d'incertitude « quantique » [31] sur l'instant d'observation, infinie soit .

Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de diffraction d'un faisceau lumineux parallèle, détermination, à partir du lien entre largeur de la fente, longueur d'onde dans le vide et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, de l'ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg

......Si on considère un photon d'un faisceau parallèle, photon de quantité de mouvement arrivant orthogonalement sur une fente de largeur suivant , de grande longueur suivant [47], on observe un phénomène de diffraction du faisceau parallèle (si la largeur de la fente n'est pas grande devant la longueur d'onde dans le vide du photon [48]) avec un demi-angle d'ouverture du faisceau principal de diffraction tel que [49] ;

......la répartition angulaire de l'éclairement [50] du faisceau de diffraction pouvant être identifiée à la densité angulaire de probabilité de présence du photon considéré après la traversée de la fente, nous nous proposons, dans le paragraphe suivant, d'utiliser le lien entre rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, largeur de la fente et longueur d'onde dans le vide du photon pour en déduire l'ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg relatif au grandeurs conjuguées « composantes sur l'axe des abscisses de la quantité de mouvement et de la position du photon au niveau de la fente ».

Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon[modifier | modifier le wikicode]

......La position transversale [51] du photon diffracté la plus probable, juste à la sortie de la fente, est en son centre [52] d'abscisse [53], les autres positions transversales possibles [54] étant d'abscisse affectées d'une densité linéique de probabilité [55], on peut définir, comme sur toute série de valeurs,

l'écart quadratique moyen sur les valeurs de par ,
cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur [56],
cette dernière étant estimée à la demi-largeur de la fente soit [57] ;

......la composante transversale [51] de la quantité de mouvement du photon diffracté la plus probable, juste à la sortie de la fente, est nulle car le faisceau principal de diffraction est symétrique par rapport à c.-à-d. de composante [53], les autres composantes transversales possibles [54] étant de valeur affectées d'une probabilité d'autant plus petite que la valeur s'écarte de [58], on peut définir, comme sur toute série de valeurs,

l'écart quadratique moyen sur les valeurs de par ,
cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » [56],
cette dernière étant estimée à partir du rayon angulaire du faisceau principal de diffraction soit [59] ;

......on en déduit que, dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques » sur les deux grandeurs conjuguées « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur au niveau de la fente sont liées par

la relation « approchée » [60] ;

......ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision (c.-à-d. en diminuant la largeur de la fente), on augmente la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement (c.-à-d. que la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté augmente).

Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon[modifier | modifier le wikicode]

......La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur , induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ;

......Werner Heisenberg [61] a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » [62]

[63], étant la « constante réduite de Planck » ;

......la valeur de la constante réduite de Planck étant , les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par ou une inégalité identique sur ou sur  ;

......cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision », « moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est » et inversement [64].

Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale[modifier | modifier le wikicode]

......On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur n'importe quelle direction [65] à savoir,

sur la direction l'inégalité suivante [66] avec la « constante réduite de Planck » où
est l'incertitude « quantique » sur la position d'une particule « quantique » suivant la direction et
l'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement de la particule sur la même direction [67] ;

......L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique rend obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement :

......exemple de l'électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit , l'incertitude « quantique » sur la 1ère composante radiale de sa quantité de mouvement est au minimum ou, compte-tenu de la masse de l'électron , l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron [68] est estimée au minimum à , a priori « non petit par rapport à la vitesse orthoradiale qu'aurait un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à une distance de sous l'action de la force électrique attractive » [69], nous pouvons donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale [70] et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique.

......En revanche la limitation imposée par l'inégalité de Heisenberg n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique et encore moins à l'échelle macroscopique [71] :

......exemple d'un grain de sable de diamètre 2 mm, de masse 20 mg, emporté par le vent suivant une direction Ox : supposons une incertitude « quantique » sur son positionnement transversal , l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum et l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse [72] est estimée au minimum à c.-à-d. excessivement petit devant la vitesse du grain de sable dans le vent ; on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » [73] et par suite la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique (on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n. à un objet mésoscopique).

En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle[modifier | modifier le wikicode]

......Il existe également une inégalité de Heisenberg entre les deux grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'opérateur linéaire associée à la date d'observation de la particule et, même si on peut définir un opérateur linéaire associé à l'énergie [74] de la particule, il n'y a évidemment pas d'opérateurs linéaires non commutables associés à cette inégalité [75].

......L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon avec la « constante réduite de Planck » où est l'incertitude « quantique » sur la date d'observation d'une particule « quantique » et l'incertitude « quantique » sur l'énergie de la particule ;

......cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec précision », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement [76].

......Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie , on peut estimer l'incertitude « quantique » sur la date de désexcitation et on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie de cet état excité [77]

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. La liste n'est pas exhaustive, je n'indique que celles qui vous sont, pour l'instant, accessibles.
  2. 2,0 et 2,1 Comme nous le verrons plus loin ce sont les composantes correspondantes qui sont conjuguées : étant la grandeur conjuguée de , celle de et celle de  ; dire que le « vecteur quantité de mouvement » et le « vecteur position » sont des grandeurs conjuguées est donc incorrect car n'est conjuguée que de et nullement de ou mais c'est une façon plus concise de s'exprimer qui devient correct à condition de connaître sa signification.
  3. Revoir le paragraphe « explication de la figure d'interférences par fentes d'Young » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  4. Nous avions noté car l'onde de matière se déplaçait suivant une direction fixée , étant la distance parcourue sur cette direction mais est encore égal à car est le projeté orthogonal de sur voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. 5,0 et 5,1 L'indice signifiant que l'on dérive partiellement par rapport à l'instant , la position restant figée.
  6. Cette égalité traduit le fait que est une valeur propre de l'opérateur linéaire de fonction propre associée  ;
    ... pour une fonction d'onde qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire , le résultat ne serait pas proportionnel à c.-à-d. .
  7. 7,0, 7,1 et 7,2 Revoir l'opérateur linéaire « nabla » noté au paragraphe « opérateur linéaire “nabla” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », par exemple en repérage cartésien , l'indice signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de , l'instant restant figé.
  8. Cette égalité traduit le fait que est une valeur propre de l'opérateur linéaire de fonction propre associée  ;
    ... pour une fonction d'onde qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire , le résultat ne serait pas égal à à un facteur vectoriel près c.-à-d. .
  9. 9,0 et 9,1 A priori, à toute grandeur on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur mais il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à la grandeur « temps » (théorème de Pauli), cette impossibilité mettant l'opérateur linéaire « énergie » à part des autres opérateurs linéaires (raison pour laquelle vous ne trouverez pas l'opérateur linéaire « énergie » parmi la liste des opérateurs linéaires de la mécanique quantique).
  10. À toute grandeur (à l'exception du temps), on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur par exemple nous avons vu l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » mais on peut aussi définir l'opérateur linéaire « position » selon dont l'action sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » est une simple multiplication de celle-ci par le vecteur position.
  11. Si on adopte le repérage cartésien la composante de la quantité de mouvement sur resp. sur ou sur est conjuguée de la composante de la position sur resp. sur ou sur c.-à-d. resp. ou est conjuguée de resp. ou  ;
    ...Dire que les grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont conjuguées (au lieu de dire que leurs composantes respectives le sont) serait un abus de langage car la conjugaison doit correspondre à un lien par dérivation partielle, ainsi ou ou enfin .
  12. 12,0 et 12,1 En théorie, l'opérateur linéaire pourrait être vectoriel, mais si c'était le cas, on se ramènerait à trois opérateurs linéaires scalaires en considérant les composantes de l'opérateur vectoriel et c'est la raison pour laquelle on considère uniquement le cas d'opérateur linéaire scalaire ;
    ...l'expression de l'opérateur linéaire scalaire est définie à partir de .
  13. Dite « équation aux valeurs propres de l'opérateur linéaire ».
  14. L'ensemble des valeurs propres d'un opérateur linéaire constitue son « spectre », ce dernier peut être « continu » ou « discret ».
  15. Une valeur propre peut être associée à plusieurs fonctions propres distinctes (c.-à-d. non proportionnelles entre elles), dans ce cas elle est qualifiée de « dégénérée », le nombre de fonctions propres distinctes qui lui sont associées définit le « degré de dégénérescence de la valeur propre ».
  16. Uniquement du temps car l'opérateur linéaire « énergie » n'agit pas sur la position du point .
  17. La fonction recherchée ne dépendant que du temps la dérivée partielle devient droite.
  18. Sans autre condition, peut prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre de l'opérateur linéaire « énergie » est alors « continu ».
  19. On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
  20. Celle-ci peut éventuellement dépendre du point d'une part et d'autre part, sa valeur peut être déterminée à l'aide de C.A.L. (conditions aux limites) associées, quand cela est possible, à une normalisation ;
    ...si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre qui dépendent de mais aussi de sans autre condition, pouvant être n'importe quelle fonction du point , la valeur propre est dégénérée, son degré de dégénérescence restant à déterminer.
  21. Uniquement de la position car l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » n'agit pas sur l'instant .
  22. Revoir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. La fonction recherchée ne dépendant que de la position, maintenir constant n'a plus de signification.
  24. Sans autre condition, resp. et peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre des composantes de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » est alors « continu ».
  25. On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
  26. Celles-ci peuvent éventuellement dépendre du temps d'une part et d'autre part, leurs valeurs peuvent être déterminées à l'aide de C.I. (conditions initiales) associées, quand cela est possible, à une normalisation ;
    ...si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre resp. et qui dépendent de mais aussi de sans autre condition, resp. et pouvant être n'importe quelle fonction du temps , la valeur propre resp. et est dégénérée, leur degré de dégénérescence restant à déterminer.
  27. En effet le produit se réécrit à l'aide de selon soit le résultat énoncé en utilisant .
  28. C.-à-d. étant valeur propre de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
  29. C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
  30. La fonction étant a priori quelconque sans autre information.
  31. 31,0, 31,1, 31,2, 31,3, 31,4 et 31,5 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
  32. C.-à-d. une incertitude « quantique » sur chaque composante infinie soit simultanément à et , que l'on pourrait écrire, par abus, à condition d'en préciser la signification.
  33. C.-à-d. étant valeur propre de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur .
  34. C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur .
  35. Les fonctions , et étant a priori quelconques sans autre information.
  36. est lui-même un opérateur linéaire, encore noté et appelé « commutateur des deux opérateurs linéaires » attention le commutateur des opérateurs linéaires et est anticommutatif relativement à l'ordre des opérateurs c.-à-d. que .
  37. Obtenu en développant le 2e terme et en simplifiant 
  38. 38,0 et 38,1 Plus précisément on peut donner la valeur de l'opérateur « commutateur des deux opérateurs linéaires » soit ou ou enfin .
  39. La raison étant que est une constante dans la dérivation partielle relativement à .
  40. 40,0 et 40,1 On peut traduire cela en précisant l'opérateur « commutateur des deux opérateurs linéaires non conjugués » qui est l'opérateur nul c.-à-d. ou ou ou ou ou enfin .
  41. On rappelle qu'il y a une impossibilité théorique de connaître la grandeur d'une particule « quantique » si la grandeur conjuguée est fixée est conjuguée de si l'opérateur linéaire car les opérateurs linéaires associés aux grandeurs conjuguées ne commutent pas, ceci ne peut donc pas être invoqué dans le cas du couple de grandeurs conjuguées « énergie, temps » par absence théorique d'opérateur « temps » (théorème de Pauli) Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) physicien autrichien surtout connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en .
  42. Revoir le paragraphe « densité volumique d'une particule quantique de quantité de mouvement fixée et conséquences » de ce chapitre.
  43. C.-à-d. étant valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie ».
  44. C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie ».
  45. La fonction étant a priori quelconque sans autre information.
  46. On dit que la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie fixée est « stationnaire ».
  47. On qualifie alors la fente d'« infiniment longue ».
  48. C.-à-d. si sinon la diffraction est inobservable (revoir le paragraphe « dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  49. Revoir le paragraphe « lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  50. Revoir la définition de l'éclairement dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  51. 51,0 et 51,1 C.-à-d. selon .
  52. Nous supposons le faisceau incident recouvrant totalement la fente.
  53. 53,0 et 53,1 Usuellement dans une série de valeurs de la grandeur on note la valeur moyenne selon .
  54. 54,0 et 54,1 En se limitant au faisceau principal de diffraction.
  55. Plus précisément la densité linéique de probabilité s'écrit avec la fonction d'onde propre de l'opérateur linéaire « position sur l'axe des abscisses » associée à la valeur propre , fonction d'onde qui dépend de la répartition énergétique du faisceau incident.
  56. 56,0 et 56,1 À ne pas confondre avec l'incertitude expérimentale que l'on observerait si on faisait une mesure de positionnement ; pour éviter cette confusion, certains utilisent le terme « indétermination » quantique pour définir l'écart quadratique moyen résultant de la mécanique quantique, réservant le terme « incertitude » pour l'incertitude expérimentale.
  57. Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec les dimensions de la fente.
  58. En effet la densité linéique de probabilité de présence de photons à composante transversale s'identifie à la courbe d'éclairement du faisceau principal de diffraction en fonction de l'angle de diffraction , revoir le graphe de l'« amplitude de l'onde diffractée en fonction de l'angle d'observation » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » sachant que l'éclairement est proportionnel au carré de l'amplitude.
  59. Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec l'extension du faisceau principal de diffraction.
  60. N'oublions pas que représente un majorant dans la mesure où nous avons choisi un majorant pour chaque « incertitude quantique ».
  61. Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en pour la création d'une forme de mécanique quantique (connue sous le nom de mécanique matricielle), dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène (le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue).
  62. Elle se déduit de l'expression du commutateur mais on l'admet.
  63. Par rapport à l'ordre de grandeur induit à partir du phénomène de diffraction par une fente (on rappelle qu'il s'agissait d'un majorant lequel vérifie effectivement l'inégalité spatiale de Heisenberg), la valeur minimale est donc fois plus faible soit approximativement fois plus faible.
  64. On retrouve l'indétermination quantique de la position du photon dont la quantité de mouvement est fixée, , et injectés dans les trois inégalités de Heisenberg entraînent , et c.-à-d. l'absence totale d'information sur la position du photon.
  65. La démonstration de l'inégalité d'Heisenberg est indépendante de la nature de la particule d'une part et d'autre part on peut aussi déduire un ordre de grandeur de cette inégalité à partir de la diffraction par une fente d'un faisceau parallèle de particules massiques homocinétiques sachant que l'étude est absolument identique à la diffraction par une fente d'un faisceau lumineux parallèle monochromatique à condition de remplacer la longueur d'onde dans le vide de la lumière par la longueur d'onde de de Broglie des particules massiques.
  66. Ou, sur la direction l'inégalité suivante ou encore, sur la direction l'inégalité suivante .
  67. Ou, est l'incertitude « quantique » sur la position d'une particule « quantique » suivant la direction et l'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement de la particule sur la même direction
    ...ou encore, est l'incertitude « quantique » sur la position d'une particule « quantique » suivant la direction et l'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement de la particule sur la même direction .
  68. Nous supposons que l'électron est non relativiste ce qui est justifié a posteriori.
  69. L'application de la r.f.d.n. à l'électron sur sa trajectoire circulaire conduirait à une vitesse orthoradiale de (exercice classique qui sera étudié en mécanique).
  70. Relativement à la vitesse orthoradiale de l'électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à une distance de sous l'action de la force électrique attractive, l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale représente la moitié de la vitesse orthoradiale !
  71. Un objet est d'échelle mésoscopique si ses dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».
  72. Nous supposons que le grain de sable est non relativiste, ce qui se justifie par l'ordre de grandeur de la vitesse des vents.
  73. Si on souhaitait une plus grande détermination de la position transversale par exemple (ajoutons qu'il s'agirait d'une précision tout à fait illusoire au niveau d'un grain de sable), l'incertitude « quantique » sur la vitesse transversale serait multipliée par soit ce qui ne changerait absolument rien à la conclusion.
  74. Une grandeur à laquelle on peut faire correspondre un opérateur linéaire est appelée « observable », on peut en effet se servir de cet opérateur et de l'état dans lequel se trouve la particule pour déterminer sa mesure ;
    ...les composantes de la position, celles de la quantité de mouvement et l'énergie sont des observables, le temps par contre n'est pas une observable mais un paramètre pouvant évoluer et qu'il est possible de mesurer, sans pouvoir définir sa mesure à l'aide d'un opérateur linéaire (théorème de Pauli).
  75. Par absence d'opérateur linéaire associé à la date d'observation.
  76. On retrouve l'indétermination « quantique » de la date d'observation de la particule dont l'énergie est fixée, injecté dans l'inégalité de Heisenberg temporelle entraîne correspondant à la particule dans un état stationnaire.
  77. Ainsi plus la durée de vie est faible, moins l'énergie de cet état est connue avec précision et le seul état dont l'énergie est parfaitement définie est l'état fondamental dont la durée de vie est infinie.