Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg

**Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 18
Chap. préc. :	Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
Chap. suiv. :	Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1^ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique

Grandeurs conjuguées en mécanique quantique

Il existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « conjuguées », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous des exemples ^[1] :

le vecteur quantité de mouvement d'une particule $\;{\vec {p}}\;$ et son vecteur position d'observation $\;{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}\;$ ^[2],
l'énergie d'une particule $\;E\;$ et sa date d'observation $\;t$ ,

la raison du caractère « conjugué » des grandeurs couplées étant qu'il existe un opérateur linéaire agissant sur la fonction d'onde associée à la particule $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ permettant d'obtenir une valeur de la grandeur cinétique, voir détails ci-après $\;\ldots$

En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées

Si on considère une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ et de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixées, nous avons vu, dans le paragraphe « notion de fonction d'onde » du chap. $17$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'on peut lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ ^[3] dans laquelle la partie spatiale de la fonction d'onde s'écrit $\;{\underline {\Psi }}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r\right)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;$ ^[4] soit « $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ » ^[5]^, ^[6] ;

en se servant de cette forme on peut induire un opérateur linéaire pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique $\;{\big (}$ voir ci-après ${\big )}$ .

Induction de l'opérateur linéaire « énergie »

L'opérateur linéaire « énergie » noté $\;{\widehat {E}}\left[\;\right]\;$ devant être tel que, si on l'applique à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)$ , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ fixée, on obtienne $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=E\times {\underline {\psi }}(M,\,t)$ , on induit la forme de cet opérateur selon

«

\;{\widehat {E}}\left[\;\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[\;\right]\;

» ^[7] ;

en effet $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\right]=\left(i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)=E\;{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ soit le résultat escompté

«

\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=E\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;

» ^[8].

Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »

L'opérateur linéaire « quantité de mouvement » noté $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]\;$ devant être tel que, si on l'applique à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)$ , fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixée, on obtienne $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\vec {p}}\times {\underline {\psi }}(M,\,t)$ , on induit la forme de cet opérateur selon

«

\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;

» ^[9] ;

     en effet $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=-i\;\hbar \left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\right\rbrace \left[{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\right]$
     en effet $\;\color {transparent}{{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]}$ $=\left(-i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z}{\hbar }}\right)$
     en effet $\;\color {transparent}{{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]}$ $=\left(-i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\right)+{\vec {u}}_{y}\,\left(i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\right)+{\vec {u}}_{z}\,\left(i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\right)\right\rbrace \exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z}{\hbar }}\right)={\vec {p}}\;{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ soit le résultat escompté

\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\vec {p}}\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;

^[10].

En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires

Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique

La définition de ces deux opérateurs linéaires a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées ^[11] ;
dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état.

Opérateur linéaire « énergie »

L'opérateur linéaire « énergie » est défini selon « $\;{\widehat {E}}\left[\;\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[\;\right]\;$ ^[7] » ^[11],
l'opérateur linéaire « énergie » étant $\;\propto \;$ à l'opérateur linéaire « dérivation partielle relativement au temps » $\Rightarrow$ les deux grandeurs « énergie » et « temps » ^[12] sont dites « conjuguées ».

Opérateur linéaire « quantité de mouvement »

L'opérateur linéaire $\;{\big (}$ vectoriel ${\big )}\;$ « quantité de mouvement » est défini selon « $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$ ^[9] » ^[11],
l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » étant $\;\propto \;$ à l'opérateur linéaire vectoriel « nabla » ^[9] $\Rightarrow$ les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » ^[13] sont dites « conjuguées » ^[14].

Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire

Une fonction propre d'un opérateur linéaire scalaire $\;{\mathcal {OL}}\left[\;\right]\;$ ^[15] est une fonction $\;{\underline {f}}(M,\,t)\;$ non identiquement nulle satisfaisant la relation

«

\;{\mathcal {OL}}\left[{\underline {f}}\right](M,\,t)=\mu \;{\underline {f}}(M,\,t)\;

» ^[16] dans laquelle

\;\mu \;

est un scalaire associé à

{\underline {f}}(M,\,t)

,

\;\mu \;

étant qualifié de « valeur propre » ^[17] associée à

{\underline {f}}(M,\,t)\;

appelée « fonction propre » ^[18].

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie »

On cherche donc les fonctions du temps ^[19] à valeurs complexes $\;{\underline {f}}(t)\;$ telles que « $\;{\widehat {E}}\left[{\underline {f}}\right](t)=E\;{\underline {f}}(t)\;$ » ou encore « $\;i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}=E\;{\underline {f}}(t)\;$ » ^[20] c.-à-d. une équation différentielle linéaire du 1^er ordre à cœfficients constants homogène ^[21] d'« équation caractéristique $\;i\;\hbar \;{\underline {s}}=E\;$ donnant pour solution $\;{\underline {s}}={\dfrac {E}{i\;\hbar }}=-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;$ » ^[22],
On cherche donc la « fonction propre associée à la valeur propre $\;E\;$ étant alors $\;{\underline {f}}_{E}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ ^[23] où $\;{\underline {A}}\;$ est une constante d'intégration » ^[24].

Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement »

Recherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique »

On cherche donc les fonctions de la position ^[25] à valeurs complexes $\;{\underline {f}}(M)\;$ telles que « $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$ » ou « $\;-i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;-i\;\hbar \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$ » ^[26] soit encore ^[15], en adoptant le repérage cartésien « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)=p_{x}\;{\underline {f}}(M)\\-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)=p_{y}\;{\underline {f}}(M)\\-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=p_{z}\;{\underline {f}}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[27] ou,

en cherchant « $\;{\underline {f}}(x,\,y,\,z)\;$ sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c.-à-d. $\;{\underline {f}}(x,\,y,\,z)={\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\;$ », « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{1}}}}{dx}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)=p_{x}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{2}}}}{dy}}(y)\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{3}}}(z)=p_{y}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{3}}}}{dz}}(z)\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)=p_{z}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit, après simplification évidente « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{1}}}}{dx}}(x)=p_{x}\;{\underline {f_{1}}}(x)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{2}}}}{dy}}(y)=p_{y}\;{\underline {f_{2}}}(y)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{3}}}}{dz}}(z)=p_{z}\;{\underline {f_{3}}}(z)\end{array}}\right\rbrace \;$ » c.-à-d. trois équations différentielles linéaires du 1^er ordre à cœfficients constants homogènes ^[21] d'« équations caractéristiques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}-i\;\hbar \;{\underline {s_{1}}}=p_{x}\\-i\;\hbar \;{\underline {s_{2}}}=p_{y}\\-i\;\hbar \;{\underline {s_{3}}}=p_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solutions respectives $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}=-{\dfrac {p_{x}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\\{\underline {s_{2}}}=-{\dfrac {p_{y}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\\{\underline {s_{3}}}=-{\dfrac {p_{z}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[28],

On cherche donc la fonction propre associée à la valeur propre $\;p_{x}\;$ ${\big [}$ respectivement $\;p_{y}\;$ et $\;p_{z}{\big ]}\;$ étant alors « $\;{\underline {f_{1}}}_{p_{x}}(x)={\underline {A_{1}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\;x\right)\;$ » ${\bigg [}$ respectivement $\;{\underline {f_{2}}}_{p_{y}}(y)={\underline {A_{2}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\;y\right)\;$ et $\;{\underline {f_{3}}}_{p_{z}}(z)$ $={\underline {A_{3}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\;z\right){\bigg ]}\;$ ^[29] où $\;{\underline {A_{1}}}\;$ ${\big [}$ respectivement $\;{\underline {A_{2}}}\;$ et $\;{\underline {A_{3}}}{\big ]}\;$ sont des constantes d'intégration ^[30].

Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » de « valeur propre $\;{\vec {p}}=p_{x}\;{\vec {u}}_{x}+p_{y}\;{\vec {u}}_{y}+p_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » peuvent se réécrire
Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » selon « $\;{\underline {f}}_{\vec {p}}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)\;$ » ^[31]^, ^[32].

Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences

     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixée ^[33]
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée » ^[34] « $\;{\underline {\psi }}_{\vec {p}}(M,\,t)={\underline {A}}(t)\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;$ » ^[35] s'écrivant
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{\vec {p}}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {A}}(t)\vert ^{2}\;$ » est uniforme sur tout l'espace $\Rightarrow$
     La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique ».

     Conséquences : on découvre une propriété des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position » ^[2] :
     Conséquences : on découvre une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée $\;{\big (}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur la quantité de mouvement nulle soit $\;\Delta {\vec {p}}={\vec {0}}{\big )}$ ,
     Conséquences : on découvre une propriété si la position de la particule « quantique » est inconnue $\;{\big (}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur la position infinie soit $\;\Vert \Delta {\vec {r}}\Vert =\infty \;$ ^[37] ${\big )}$ ;

     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de valeur $\;p_{x}\;$ fixée ^[38]
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » ^[39]
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par « $\;{\underline {\psi }}_{p_{x}}(M,\,t)={\underline {A_{1}}}(t)\;{\underline {f_{2}}}(y,\,t)\;{\underline {f_{3}}}(z,\,t)\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}x\right)\;$ » ^[40] étant
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » « $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{p_{x}}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {A_{1}}}(t)\;{\underline {f_{2}}}(y,\,t)\;{\underline {f_{3}}}(z,\,t)\vert ^{2}\;$ » est indépendante de $\;x\;$ $\Rightarrow$
     Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » sur $\;{\vec {u}}_{x}$ ;

     Conséquences : nous découvrons une propriété plus précise des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » :
     Conséquences : nous découvrons une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction $\;{\big [}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante de la quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$ , nulle soit $\;\Delta p_{x}=0\;$ ${\big (}$ respectivement $\;\Delta p_{y}=0\;$ ou $\;\Delta p_{z}=0{\big )}{\big ]}$ ,
     Conséquences : nous découvrons une propriété si la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue $\;{\big [}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante de la position sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$ , infinie soit $\;\Delta x=\infty \;$ ${\big (}$ respectivement $\;\Delta y=\infty \;$ ou $\;\Delta z=\infty {\big )}{\big ]}$ .

Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction »

     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., $\;{\mathcal {OL}}_{1}\left[\;\right]\;$ et $\;{\mathcal {OL}}_{2}\left[\;\right]\;$ étant deux opérateurs linéaires et
     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., $\;{\underline {\psi }}(M,\;t)\;$ une fonction d'onde quelconque,
     Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si « $\;{\mathcal {OL}}_{1}\left\lbrace {\mathcal {OL}}_{2}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)={\mathcal {OL}}_{2}\left\lbrace {\mathcal {OL}}_{1}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\;$ »,

Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » dans le cas contraire, les deux opérateurs sont dits « non commutables ».

     Or nous vérifions aisément que « $\;{\widehat {x}}\left\lbrace {\widehat {p_{x}}}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\neq {\widehat {p_{x}}}\left\lbrace {\widehat {x}}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\;$ » en effet, pour cela, calculons « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)\;$ » ^[41] et vérifions que le résultat n'est pas nul soit
     Or nous vérifions aisément que « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)=x\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)\right\rbrace -\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left[x\;{\underline {\psi }}\right]}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\;t)\right\rbrace \;$ ^[42]
     Or nous vérifions aisément que « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$ $=-i\;\hbar \;x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)+i\;\hbar \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)+x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)\right]$
     Or nous vérifions aisément que « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$ $=i\;\hbar \;{\underline {\psi }}(M,\,t)\neq 0\;$ » d'où le caractère « non commutable » des deux opérateurs linéaires $\;{\widehat {x}}\;$ et $\;{\widehat {p_{x}}}\;$ ^[43] ;

Or nous pourrions vérifier aussi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables » ^[43]
Or nous pourrions vérifier ainsi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables » ^[43].

     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués comme $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ sont « commutables » en effet, pour cela, il suffit de calculer « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)\;$ » ^[44] et de vérifier un résultat nul :
     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)=x\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)\right\rbrace -\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left[x\;{\underline {\psi }}\right]}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\;t)\right\rbrace \;$ ^[45]
     Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$ $=-i\;\hbar \;x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)+i\;\hbar \left[0\times {\underline {\psi }}(M,\,t)+x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)\right]=0\;$ » ^[46]^, ^[47] ;

de même les opérateurs linéaires non conjugués comme $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{x}}}\left[\;\right]\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{x}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ sont « commutables » ^[47].

Si « la quantité de mouvement sur une direction $\;{\vec {u}}\;$ est fixée » il y a impossibilité théorique « de connaître la position sur $\;{\vec {u}}\;$ » $\;{\big \{}$ conséquence du caractère « non commutable » des opérateurs associés ${\big \}}\;$ et

si « la quantité de mouvement sur une direction $\;{\vec {u}}\;$ est fixée » il y a possibilité théorique « de connaître la position sur une direction $\;{\vec {v}}\perp {\vec {u}}\;$ » ${\big \{}\!\!\Leftarrow \;$ par le caractère « commutable » des opérateurs associés ${\big \}}$ .

Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée

     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à l'instant d'observation ^[12],
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique n'est donc pas de même nature que les précédentes ^[48] $\;{\big \{}$ justification $\;{\big (}$ exposée ci-dessous ${\big )}\;$ résultant de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée ^[49] ${\big \}}$ :

     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ fixée ^[50]
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » ^[51]
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » $\;{\underline {\psi }}_{E}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}t\right)\;$ ^[52]
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence s'écrivant $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{E}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {\Psi }}(M)\vert ^{2}\;$ est indépendante de $\;t\;$ ^[53] $\Rightarrow$
     Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence il est impossible de déterminer l'instant d'observation de la particule « quantique ».

     Conséquence : nous découvrons une propriété du couple de grandeurs conjuguées « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » :
     Conséquence : nous découvrons une propriété si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée $\;{\big (}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur l'énergie nulle soit $\;\Delta E=0{\big )}$ ,
     Conséquence : nous découvrons une propriété si l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu $\;{\big (}$ c.-à-d. d'incertitude « quantique » ^[36] sur l'instant d'observation infinie soit $\;\Delta t=\infty {\big )}$ .

Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

Schéma de diffraction d'un faisceau lumineux $\;\parallel$ , détermination, à partir du lien entre largeur de la fente, longueur d'onde dans le vide et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, de l'ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg ^[54]

     Si on considère un photon d'un faisceau $\;\parallel$ , photon de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}=p\;{\vec {u}}_{z}\;$
     Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$ , photon arrivant orthogonalement sur une fente de largeur $\;a\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$ ,
     Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$ , photon arrivant orthogonalement sur une fente de grande longueur suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ^[55],
     Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$ , on observe un phénomène de diffraction du faisceau $\;\parallel$ $\;{\big (}$ à condition que la largeur de la fente $\;a\;$ ne soit pas grande devant la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ du photon c.-à-d. $\;a\,{\cancel {\gg }}\,\lambda _{0}\;$ ^[56] ${\big )}\;$ avec un demi-angle d'ouverture $\;\theta _{1}$ du faisceau principal de diffraction vérifiant la relation « $\;\sin(\theta _{1})={\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\;$ » ^[57] ;

la « répartition angulaire de l'éclairement ^[58] du faisceau de diffraction » pouvant être identifiée à
la « densité angulaire de probabilité de présence du photon considéré après la traversée de la fente »,
utiliser le lien entre rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, largeur de la fente et longueur d'onde dans le vide du photon ^[57]
dans le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon ...
... lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » plus bas dans ce chapitre

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un ordre de grandeur de l'inégalité de Heisenberg ^[54] relatif aux
grandeurs conjuguées « composantes sur l'axe des abscisses
de la quantité de mouvement et de la position du photon au niveau de la fente ».

Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon

La position transversale ^[59] la plus probable, juste à la sortie de la fente, du photon diffracté, est au centre $\;O\;$ de la fente ^[60] c.-à-d. d'abscisse $\;x_{\text{la plus probable}}={\overline {x}}=0\;$ ^[61],
les autres positions transversales ^[59] possibles ^[62] étant d'abscisse $\;x\neq 0\;$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)\;$ ^[63] ;

          La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;x\;$ par « $\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\overline {x}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$ »,
     La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » ^[36] sur $\;x\;$ ^[64] estimée par la demi-largeur de la fente soit
          La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;\color {transparent}{x}\;$ par « $\;\Delta x\sim {\dfrac {a}{2}}\;$ » ^[65] ;

     la composante transversale ^[59] la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle $\;{\big (}$ faisceau principal de diffraction symétrique par rapport à $\;Oz{\big )}\;$
            la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle c.-à-d. de composante $\;p_{x,\;{\text{la plus probable}}}={\overline {p_{x}}}=0\;$ ^[61],
     les autres composantes transversales ^[59] possibles ^[62] étant de valeur $\;p_{x}\neq 0\;$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence d'autant plus petite que la valeur s'écarte de $\;0\;$ ^[66],

          La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;p_{x}\;$ par « $\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$ »,
     La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » ^[36] sur $\;p_{x}\;$ ^[64] estimée à partir du rayon angulaire
                La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ du faisceau principal de diffraction
          La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ soit « $\;\Delta p_{x}\sim p\;\sin(\theta _{1})={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\;$ ^[67] ou $\;\Delta p_{x}\sim {\dfrac {h}{a}}\;$ » ^[68].

Conclusion : dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques » ^[36] sur les deux grandeurs conjuguées « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ au niveau de la fente sont liées par la relation « approchée » « $\;\Delta x\;\Delta p_{x}\sim {\dfrac {a}{2}}\;{\dfrac {h}{a}}={\dfrac {h}{2}}\;$ » ^[69] ;

     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision $\;{\big (}$ c.-à-d. en $\;\searrow \;$ l'« incertitude quantique » ^[36] sur $\;x\;$ réalisé par la $\;\searrow \;$ de la largeur de la fente ${\big )}$ ,
     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\;\nearrow \;$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $\;{\big (}$ on $\;\nearrow \;$ donc l'« incertitude quantique » ^[36] sur $\;p_{x}\;$ $\Rightarrow$
     Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $\;\color {transparent}{\big (}$ on la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté $\;\nearrow {\big )}$ .

Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon

La relation entre les « incertitudes quantiques » ^[36] sur deux grandeurs conjuguées comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ^[70],
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ;

Werner Heisenberg ^[54] a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » ^[54]^, ^[71] « $\;\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » ^[72], avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ « constante réduite de Planck ^[73] » ^[74]
Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » « $\;\color {transparent}{\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}}\;$ », valant « $\;\hbar \simeq 1,056\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ »,

La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par « $\;\Delta x\;\Delta p_{x}\gtrsim 0,5\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ »
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon $\;{\big (}$ ou une inégalité identique sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$ ;

     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision »,
     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est »
     cette inégalité représente une contrainte fondamentale : et inversement ^[75].

Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale

     On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » ^[54] sur n'importe quelle direction ^[76] par exemple,
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{x}$ , l'inégalité « $\;\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck ^[73] » ^[74] où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$ , l'inégalité « $\;\Delta x\;$ est l'incertitude « quantique » ^[36] sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$ , l'inégalité « $\;\color {transparent}{\Delta x}$ $\;\Delta p_{x}\;$ l'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de sa quantité de mouvement,

          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{y}$ , l'inégalité « $\;\Delta y\;\Delta p_{y}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck ^[73] » ^[74] où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$ , l'inégalité « $\;\Delta y\;$ est l'incertitude « quantique » ^[36] sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$ , l'inégalité « $\;\color {transparent}{\Delta y}$ $\;\Delta p_{y}\;$ l'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de sa quantité de mouvement et

          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{z}$ , l'inégalité « $\;\Delta z\;\Delta p_{z}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck ^[73] » ^[74] où
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$ , l'inégalité « $\;\Delta z\;$ est l'incertitude « quantique » ^[36] sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
          On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$ , l'inégalité « $\;\color {transparent}{\Delta z}$ $\;\Delta p_{z}\;$ l'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de sa quantité de mouvement.

Remarques : L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique
Remarques : L'impossibilité théorique rend obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement :

     Remarques : 1^er exemple : électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » ^[36] sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit
          Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur $\Delta r\sim r_{0}=0,53\;{\text{Ǻ}}=5,3\;10^{-11}\;m$ ,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » ^[36] sur la 1^ère composante radiale de sa quantité de mouvement est donc au minimum $\;\Delta p_{r}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta r}}={\dfrac {1,056\;10^{-34}}{2\times 5,3\;10^{-11}}}\simeq 10^{-24}\;kg\cdot m\cdot s^{-1}\;$
          Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur ou, compte-tenu de la masse de l'électron $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg$ ,
     Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » ^[36] sur la vitesse radiale de l'électron ^[77] est estimée au minimum à $\;\Delta v_{r}={\dfrac {\Delta p_{r}}{m_{e}}}\simeq {\dfrac {10^{-24}}{0,91\;10^{-30}}}\simeq 1,1\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}=1100\;km\cdot s^{-1}$ , a priori
                 Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron « $\;\not \ll \;$ par rapport à la vitesse orthoradiale d'un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à
                 Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron « $\;\color {transparent}{\not \ll }\;$ par rapport à la vitesse une distance de $\;0,53\;{\text{Ǻ}}\;$ ^[78] sous l'action de la force électrique attractive » ^[79],
     Remarques : 1^er exemple : on peut donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale ^[80] et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire $\;\ldots \;$
     Remarques : 1^er exemple : La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique.

Remarques : En revanche la limitation imposée par l'inégalité de Heisenberg ^[54] n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique ^[81] et encore moins à l'échelle macroscopique :

     Remarques : 2^ème exemple : grain de sable de diamètre $\;2\;mm$ , de masse $\;20\;mg$ , emporté par le vent suivant une direction $\;Ox$ ,
     Remarques : 2^ème exemple : supposons une incertitude « quantique » ^[36] sur son positionnement transversal $\;\Delta y=1\;mm$ ,
     Remarques : 2^ème exemple : l'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum $\;\Delta p_{y}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta y}}={\dfrac {1,056\;10^{-34}}{2\times 1,0\;10^{-3}}}\simeq 5,3\;10^{-32}\;kg\cdot m\cdot s^{-1}\;$
     Remarques : 2^ème exemple : et l'incertitude « quantique » ^[36] sur la composante transversale de sa vitesse ^[82] est estimée au minimum à $\;\Delta v_{y}={\dfrac {\Delta p_{y}}{m}}\simeq {\dfrac {5,3\;10^{-32}}{20\;10^{-6}}}\simeq 2,6\;10^{-27}\;m\cdot s^{-1}\;$ c.-à-d.
                 Remarques : 2^ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse excessivement petite devant la vitesse du grain de sable dans le vent ;
     Remarques : 2^ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » ^[83] et par suite la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique ^[81]
          Remarques : 2^ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite ${\big (}$ on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n. ^[84] à un objet mésoscopique ^[81] ${\big )}$ .

En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle

     Il existe également une inégalité de Heisenberg ^[54] entre les deux grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais
   Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'opérateur linéaire associée à la date d'observation de la particule ^[12] et,
  Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes même si on peut définir un opérateur linéaire associé à l'énergie ^[85] de la particule,
  Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes il n'y a évidemment pas d'opérateurs linéaires non commutables associés à cette inégalité ^[86].

     L'inégalité de Heisenberg ^[54] temporelle s'énonce selon « $\;\Delta E\;\Delta t\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ » avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck ^[73] » ^[74] où
           L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « $\Delta E\;$ est l'incertitude « quantique » ^[36] sur l'énergie de la particule « quantique » et
           L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « $\;\color {transparent}{\Delta E}$ $\;\Delta t\;$ l'incertitude « quantique » ^[36] sur la date d'observation de la particule ;

commentaire : cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec exactitude », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement ^[87].

     Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\tau$ , on peut estimer l'incertitude « quantique » ^[36] sur la date de désexcitation $\;\Delta t\sim \tau \;$ et
     Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\color {transparent}{\tau }$ , on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » ^[36] sur l'énergie de cet état excité
          Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\color {transparent}{\tau }$ , on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie « $\;(\Delta E)_{\text{min}}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\tau }}\;$ » ^[88] $\;\ldots$

Notes et références

↑ La liste n'est pas exhaustive, je n'indique que celles qui sont accessibles à cet instant d'avancement du programme de physique de P.C.S.I. $\;\ldots$
↑ ^2,0 et ^2,1 En fait ce sont les composantes correspondantes qui sont conjuguées : $\;p_{x}\;$ étant la grandeur conjuguée de $\;x$ , $\;p_{y}\;$ celle de $\;y\;$ et $\;p_{z}\;$ celle de $\;z$ ; dire que le « vecteur quantité de mouvement » et le « vecteur position » sont des grandeurs conjuguées est donc incorrect car $\;p_{y}\;$ n'est conjuguée que de $\;y\;$ et nullement de $\;x\;$ ou $\;z\;$ mais $\;\ldots \;$ c'est une façon plus concise de s'exprimer $\;\ldots \;$ qui devient correct à condition de connaître sa signification ;
nous avons donc déjà trois couples de grandeurs conjuguées.
↑ Traduisant le caractère harmonique de l'O.P.P.H. modèle.
↑ Traduisant le caractère plan de l'O.P.P.H. modèle, le vecteur d'onde étant de direction fixée $\;{\vec {u}}$ , le terme de phase $\;k\;r\;$ de l'O.P.P.H. modèle où $\;r\;$ est la distance parcourue sur la direction $\;{\vec {u}}\;$ peut se réécrire $\;k\;r=k\;{\vec {u}}\cdot r\;{\vec {u}}={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\;$ car $\;r\;{\vec {u}}\;$ est le projeté orthogonal de $\;{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}\;$ sur $\;k\;{\vec {u}}={\vec {k}}\;$ voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; de $\;k\;r={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\;$ on en déduit la modification de la partie spatiale de la fonction d'onde « $\;{\underline {\Psi }}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r\right)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;$ ».
↑ Revoir le paragraphe « explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste » du chap. $17$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(\omega \;t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]\;$ ${\big \{}$ voir la note « ¹⁵ » du chap. $17$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big \}}\;$ mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle $\;{\big (}$ ou imaginaire ${\big )}\;$ a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant $\;t\;$ et au point $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\underline {A}}\;\exp \!\left[i\left(-\omega \;t+{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)\right]$ , c'est cette 2^ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ et de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixées.
↑ ^7,0 et ^7,1 L'indice $\;_{M}\;$ signifiant que l'on dérive partiellement par rapport à l'instant $\;t$ , la position $\;M\;$ restant figée.
↑ Cette égalité traduit le fait que $\;E\;$ est une valeur propre de l'opérateur linéaire $\;{\widehat {E}}\left[\;\right]\;$ de fonction propre associée $\;{\underline {\psi }}_{E}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ ;
pour une fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire $\;{\widehat {E}}$ , le résultat $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$ ne serait pas $\;\propto \;$ à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ c.-à-d. $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;{\cancel {\propto }}\;{\underline {\psi }}(M,\,t)$ .
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2 Voir l'opérateur linéaire « nabla » noté $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ au paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ », l'indice $\;_{t}\;$ signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de $\;M$ , l'instant $\;t\;$ restant figé.
↑ Cette égalité traduit le fait que $\;{\vec {p}}\;$ est une valeur propre de l'opérateur linéaire $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]\;$ de fonction propre associée $\;{\underline {\psi }}_{\vec {p}}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ ;
pour une fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ qui ne serait pas fonction propre de l'opérateur linéaire $\;{\widehat {\vec {p}}}$ , le résultat $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;$ ne serait pas égal à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ à un facteur vectoriel près c.-à-d. $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]$ $\neq {\vec {\alpha }}\;{\underline {\psi }}(M,\,t)$ .
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 Voir les paragraphes « induction de l'opérateur linéaire énergie » et « induction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^12,0 ^12,1 et ^12,2 A priori, à toute grandeur on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule $\;{\big (}$ ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule ${\big )}$ mais
il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à la grandeur « temps » $\;{\big (}$ « théorème » de Pauli ${\big )}$ , cette impossibilité mettant l'opérateur linéaire « énergie » à part des autres opérateurs linéaires $\;{\big (}$ raison pour laquelle vous ne trouverez pas l'opérateur linéaire « énergie » parmi la liste des opérateurs linéaires de la mécanique quantique ${\big )}$ ;
Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) physicien autrichien surtout connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en $\;1945$ .
↑ À toute grandeur $\;{\big (}$ à l'exception du temps ${\big )}$ , on peut associer un opérateur linéaire qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule $\;{\big (}$ ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule ${\big )}$ ;
ici nous définissons l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » mais l'opérateur linéaire « position » peut aussi être défini selon « $\;{\widehat {\vec {r}}}\left[\;\right]={\vec {r}}\times \left[\;\right]\;$ » dont l'action sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » est une simple multiplication de celle-ci par le vecteur position.
↑ Si on adopte le repérage cartésien la composante de la quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ est conjuguée de la composante de la position sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ c.-à-d. $\;p_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement $\;p_{y}\;$ ou $\;p_{z}{\big )}\;$ est conjuguée de $\;r_{x}=x\;$ ${\big (}$ respectivement $\;r_{y}=y\;$ ou $\;r_{z}=z{\big )}$ ;
Dire que les grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont conjuguées $\;{\big (}$ au lieu de dire que leurs composantes respectives le sont ${\big )}\;$ serait un abus de langage car la conjugaison doit correspondre à un lien par dérivation partielle, ainsi « $\;p_{x}=-i\;\hbar \;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\;$ » ou « $\;p_{y}=-i\;\hbar \;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\;$ » ou enfin « $\;p_{z}=-i\;\hbar \;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\;$ ».
↑ ^15,0 et ^15,1 En théorie, l'opérateur linéaire peut être vectoriel mais, dans ce cas, on se ramène à trois opérateurs linéaires scalaires en considérant les composantes de l'opérateur vectoriel,
En théorie, l'opérateur linéaire peut être vectoriel mais, dans ce cas, c'est donc la raison pour laquelle on considère ici uniquement le cas d'opérateur linéaire scalaire ;
l'expression de l'opérateur linéaire scalaire est définie à partir de $\;\mathbb {C}$ .
↑ Dite « équation aux valeurs propres de l'opérateur linéaire ».
↑ L'ensemble des valeusr propres d'un opérateur linéaire constitue son « spectre », ce dernier peut être « continu » ou « discret ».
↑ Une valeur propre peut être associée à plusieurs fonctions propres distinctes $\;{\big (}$ c.-à-d. non $\;\propto \;$ entre elles ${\big )}$ , dans ce cas elle est qualifiée de « dégénérée », le nombre de fonctions propres distinctes qui lui sont associées définit le « degré de dégénérescence de la valeur propre ».
↑ Uniquement du temps car l'opérateur linéaire « énergie » $\;{\widehat {E}}\left[\;\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[\;\right]\;$ n'agit pas sur la position du point $\;M$ .
↑ La fonction recherchée ne dépendant que du temps la dérivée partielle devient droite.
↑ ^21,0 et ^21,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Sans autre condition, $\;E\;$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre de l'opérateur linéaire « énergie » est alors « continu ».
↑ On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
↑ D'une part celle-ci peut être déterminée, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence,
d'autre part celle-ci peut potentiellement dépendre du point $\;M$ , alors sa détermination peut se faire à l'aide de C.A.L. $\;{\big (}$ conditions aux limites ${\big )}\;$ associées à une éventuelle condition de normalisation de la densité de probabilité de présence correspondante ;
d'autre part si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre $\;E\;$ qui dépendent de $\;t\;$ mais aussi de $\;M\;$ sans intervention de C.A.L., $\;{\underline {A}}\;$ pouvant être n'importe quelle fonction du point $\;M$ , la valeur propre $\;E\;$ est dégénérée, son degré de dégénérescence restant à déterminer $\;{\big (}$ il dépend, a priori, des C.A.L. ${\big )}$ .
↑ Uniquement de la position car l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$ n'agit pas sur l'instant $\;t$ .
↑ Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. $19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'indice $\;_{t}\;$ signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de $\;M$ , l'instant $\;t\;$ restant figé.
↑ La fonction recherchée ne dépendant que de la position, maintenir $\;t\;$ constant n'a plus de signification.
↑ Sans autre condition, $\;p_{x}\;$ ${\big (}$ respectivement $\;p_{y}\;$ et $\;p_{z}{\big )}\;$ peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre des composantes de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » est alors « continu ».
↑ On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.
↑ D'une part le produit des trois constantes d'intégration peut être déterminé, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence,
d'autre part chacune des constantes peut potentiellement dépendre de l'instant $\;t$ , alors la détermination de chacune peut se faire à l'aide de C.I. $\;{\big (}$ condition initiale ${\big )}$ ;
d'autre part si on s'intéresse aux fonctions propres associées à la valeur propre $\;p_{x}\;$ ${\big [}$ respectivement $\;p_{y}\;$ et $\;p_{z}{\big ]}\;$ qui dépendent de $\;M\;$ mais aussi de $\;t\;$ sans intervention de C.I., $\;{\underline {A_{1}}}\;$ ${\big [}$ respectivement $\;{\underline {A_{2}}}\;$ et $\;{\underline {A_{3}}}{\big ]}\;$ pouvant être n'importe quelle fonction de l'instant $\;t$ , la valeur propre $\;p_{x}\;$ ${\big [}$ respectivement $\;p_{y}\;$ et $\;p_{z}{\big ]}\;$ est dégénérée, leur degré respectif de dégénérescence restant à déterminer $\;{\big (}$ il dépend, a priori, des C.I. ${\big )}$ .
↑ En effet le produit « $\;{\underline {f_{1}}}_{p_{x}}(x)\;{\underline {f_{2}}}_{p_{y}}(y)\;{\underline {f_{3}}}_{p_{z}}(z)={\underline {A_{1}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\;x\right)\;{\underline {A_{2}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\;y\right)\;{\underline {A_{3}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\;z\right)\;$ » se réécrit « $\;{\underline {f}}_{\vec {p}}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z}{\hbar }}\right)\;$ » avec $\;{\underline {A}}=$ ${\underline {A_{1}}}\;{\underline {A_{2}}}\;{\underline {A_{3}}}\;$ soit le résultat énoncé sachant que « $\;p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\;$ ».
↑ On retrouve la composante spatiale de la fonction d'onde d'une particule « quantique » de quantité de mouvement fixée.
↑ C.-à-d. étant valeur propre de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
↑ C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre $\;{\vec {p}}\;$ de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement ».
↑ La fonction $\;{\underline {A}}(t)\;$ étant a priori quelconque sans autre information.
↑ ^36,00 ^36,01 ^36,02 ^36,03 ^36,04 ^36,05 ^36,06 ^36,07 ^36,08 ^36,09 ^36,10 ^36,11 ^36,12 ^36,13 ^36,14 ^36,15 ^36,16 ^36,17 ^36,18 ^36,19 ^36,20 ^36,21 ^36,22 ^36,23 ^36,24 ^36,25 ^36,26 et ^36,27 On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».
↑ C.-à-d. une incertitude « quantique » sur chaque composante infinie soit $\;\Delta r_{x}=\infty \;$ simultanément à $\;\Delta r_{y}=\infty \;$ et $\;\Delta r_{z}=\infty$ , que l'on pourrait écrire, par abus, $\;\Delta {\vec {r}}={\vec {\infty }}\;$ à condition d'en préciser la signification.
↑ C.-à-d. étant valeur propre de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur $\;{\vec {u}}_{x}$ .
↑ C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre $\;p_{x}\;$ de la composante de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » sur $\;{\vec {u}}_{x}$ .
↑ Les fonctions $\;{\underline {A_{1}}}(t)$ , $\;{\underline {f_{2}}}(y,\,t)\;$ et $\;{\underline {f_{3}}}(z,\,t)\;$ étant a priori quelconques sans autre information.
↑ L'objet mathématique « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » est lui-même un opérateur linéaire, encore noté « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)\;$ » et appelé « commutateur des deux opérateurs linéaires » $\;{\big \{}$ attention le commutateur des opérateurs linéaires $\;{\widehat {x}}\;$ et $\;{\widehat {p_{x}}}\;$ est anticommutatif relativement à l'ordre des opérateurs c.-à-d. que « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)=-\left[{\widehat {p_{x}}}\,,\,{\widehat {x}}\right]\left(\;\right)\;$ » ${\big \}}$ .
↑ La définition de l'opérateur vectoriel « quantité de mouvement » étant « $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « opérateur linéaire quantité de mouvement » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ nous en déduisons l'opérateur scalaire « composante de quantité de mouvement selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ » « $\;{\widehat {p_{x}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}\left[\;\right]\;$ ».
↑ ^43,0 ^43,1 et ^43,2 Plus précisément on peut donner la valeur de l'opérateur « commutateur des deux opérateurs linéaires » soit « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)=i\;\hbar \times \left(\;\right)\;$ » ou
sur les deux autres directions cartésiennes « $\;\left[{\widehat {y}}\,,\,{\widehat {p_{y}}}\right]\left(\;\right)=i\;\hbar \times \left(\;\right)\;$ » et « $\;\left[{\widehat {z}}\,,\,{\widehat {p_{z}}}\right]\left(\;\right)=i\;\hbar \times \left(\;\right)\;$ ».
↑ L'objet mathématique « $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » est lui-même un opérateur linéaire, encore noté « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{y}}}\right]\left(\;\right)\;$ » et appelé « commutateur des deux opérateurs linéaires » $\;{\big \{}$ attention le commutateur de deux opérateurs linéaires est a priori anticommutatif relativement à l'ordre des opérateurs sauf, bien sûr, s'il se confond avec l'opérateur nul ${\big \}}$ .
↑ La définition de l'opérateur vectoriel « quantité de mouvement » étant « $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « opérateur linéaire quantité de mouvement » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ nous en déduisons l'opérateur scalaire « composante de quantité de mouvement selon $\;{\vec {u}}_{y}\;$ » « $\;{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}\left[\;\right]\;$ ».
↑ La raison étant que $\;x\;$ est une constante dans la dérivation partielle relativement à $\;y$ .
↑ ^47,0 et ^47,1 L'opérateur « commutateur de deux opérateurs linéaires non conjugués » est l'opérateur nul c.-à-d. « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{y}}}\right]\left(\;\right)=0\times \left(\;\right)\;$ » ou « $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{z}}}\right]\left(\;\right)=$ $0\times \left(\;\right)\;$ » ou « $\;\left[{\widehat {y}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)=0\times \left(\;\right)\;$ » ou « $\;\left[{\widehat {y}}\,,\,{\widehat {p_{z}}}\right]\left(\;\right)=0\times \left(\;\right)\;$ » ou « $\;\left[{\widehat {z}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)=0\times \left(\;\right)\;$ » ou enfin « $\;\left[{\widehat {z}}\,,\,{\widehat {p_{y}}}\right]\left(\;\right)=0\times \left(\;\right)\;$ ».
↑ Impossibilité théorique de connaître la grandeur $\;\alpha \;$ d'une particule « quantique » si la grandeur conjuguée $\;\beta \;$ est fixée $\;{\bigg (}\!\beta \;$ est conjuguée de $\;\alpha \;$ si l'opérateur linéaire $\;{\widehat {\beta }}\left[\;\right]\propto {\dfrac {\partial }{\partial \alpha }}\left[\;\right]\!{\bigg )}\;$ car les opérateurs linéaires associés aux grandeurs conjuguées ne commutent pas,
ceci ne peut donc pas être invoqué dans le cas du couple de grandeurs conjuguées « énergie, temps » par absence théorique d'opérateur « temps » $\;{\big (}$ « théorème » de Pauli ${\big )}$ .
Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) physicien autrichien surtout connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, voir la note « ¹² » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Revoir le paragraphe « densité volumique de probabilité de présence d'une particule quantique de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences » plus haut dans ce chapitre.
↑ C.-à-d. étant valeur propre de l'opérateur linéaire « énergie ».
↑ C.-à-d. la fonction propre associée à la valeur propre $\;E\;$ de l'opérateur linéaire « énergie ».
↑ La fonction $\;{\underline {\Psi }}(M)\;$ étant a priori quelconque sans autre information.
↑ On dit que la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ fixée est « stationnaire ».
↑ ^54,0 ^54,1 ^54,2 ^54,3 ^54,4 ^54,5 ^54,6 et ^54,7 Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $\;\parallel \;$ et « para » où ils sont anti $\;\parallel$ , le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion $\;\searrow \;$ quand sa température $\;\searrow {\big )}$ .
↑ On qualifie alors la fente d'« infiniment longue ».
↑ C.-à-d. si $\;a\,\ngeq \,100\;\lambda _{0}\;$ sinon la diffraction est inobservable $\;{\big [}$ revoir le paragraphe « dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^57,0 et ^57,1 Revoir le paragraphe « lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Revoir la définition de l'éclairement dans le paragraphe « notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^59,0 ^59,1 ^59,2 et ^59,3 C.-à-d. selon $\;{\vec {u}}_{x}$ .
↑ Nous supposons le faisceau incident recouvrant totalement la fente.
↑ ^61,0 et ^61,1 Usuellement dans une série de valeurs de la grandeur $\;g\;$ on note la valeur moyenne $\;\left\langle g\right\rangle \;$ selon $\;{\overline {g}}$ .
↑ ^62,0 et ^62,1 En se limitant au faisceau principal de diffraction.
↑ Plus précisément la densité linéique de probabilité de présence s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)=\vert {\underline {\psi }}_{x}(x,\,t)\vert ^{2}\;$ avec $\;{\underline {\psi }}_{x}(x,\,t)\;$ la fonction d'onde propre de l'opérateur linéaire « position sur l'axe des abscisses » associée à la valeur propre $\;x$ ; la densité linéique de probabilité de présence est effectivement indépendante de $\;t\;$ car la composante temporelle de $\;{\underline {\psi }}_{x}(x,\,t)\;$ pour une énergie de photon incident $\;E_{\gamma }\;$ est $\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{\gamma }}{\hbar }}t\right)\;$ de module égal à $\;1$ .
↑ ^64,0 et ^64,1 À ne pas confondre avec l'incertitude expérimentale que l'on observerait si on faisait une mesure de positionnement ; pour éviter cette confusion, certains utilisent le terme « indétermination » quantique pour définir l'écart quadratique moyen résultant de la mécanique quantique, réservant le terme « incertitude » pour l'incertitude expérimentale.
↑ Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec les dimensions de la fente.
↑ En effet la densité linéique de probabilité de présence de photons à composante transversale $\;p_{x}=p\;\sin(\theta )\;$ s'identifie à la courbe d'éclairement du faisceau principal de diffraction en fonction de l'angle de diffraction $\;\theta$ , revoir l'« allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » sachant que l'éclairement est $\;\propto \;$ au carré de l'amplitude.
↑ Voir le paragraphe « aspect corpusculaire de la lumière » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » rappelant l'expression de la quantité de mouvement d'un photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide de l'onde associée.
↑ Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec l'extension du faisceau principal de diffraction.
↑ N'oublions pas que $\;{\dfrac {h}{2}}\;$ représente un majorant dans la mesure où nous avons choisi un majorant pour chaque « incertitude quantique ».
↑ Voir le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » plus haut dans ce chapitre.
↑ Elle se déduit de l'expression du commutateur $\;\left[{\widehat {x}}\,,\,{\widehat {p_{x}}}\right]\left(\;\right)=i\;\hbar \left(\;\right)\;$ mais son établissement nécessitant des connaissances mathématiques d'un niveau supérieur à celui de P.C.S.I. nous l'admettons.
↑ Par rapport à l'ordre de grandeur induit à partir du phénomène de diffraction par une fente établi dans le paragraphe « incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon » plus haut dans ce chapitre $\;{\big (}$ on rappelle qu'il s'agissait d'un majorant lequel vérifie effectivement l'inégalité spatiale de Heisenberg ${\big )}$ , la valeur minimale est donc « $\;2\;\pi \;$ fois plus faible » soit approximativement « $\;6\;$ fois plus faible ».
↑ ^73,0 ^73,1 ^73,2 ^73,3 et ^73,4 Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers $\;1900$ , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en $\;1918$ .
↑ ^74,0 ^74,1 ^74,2 ^74,3 et ^74,4 Encore parfois appelée « constante de Dirac ».
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $\;{\big (}$ équivalent du prix Nobel en mathématiques ${\big )}\;$ en $\;1950\;$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $\;{\big (}$ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\ldots {\big )}$ .
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ On retrouve l'indétermination quantique de la position du photon dont la quantité de mouvement est fixée, $\;\Delta p_{x}=0$ , $\;\Delta p_{y}=0\;$ et $\;\Delta p_{z}=0\;$ injectés dans les trois inégalités de Heisenberg entraînent $\;\Delta x=\infty$ , $\;\Delta y=\infty \;$ et $\;\Delta z=\infty \;$ c.-à-d. l'absence totale d'information sur la position du photon.
↑ D'une part la démonstration de l'inégalité de Heisenberg est indépendante de la nature de la particule d'une part et
   d'autre part on peut déduire un ordre de grandeur de cette inégalité à partir de la diffraction par une fente d'un faisceau $\;\parallel \;$ de particules massiques homocinétiques
   d'autre part on peut déduire sachant que l'étude est identique à la diffraction par une fente d'un faisceau lumineux $\;\parallel \;$ monochromatique
   d'autre part on peut déduire sachant que l'étude est identique à condition de remplacer la longueur d'onde dans le vide de la lumière par la longueur d'onde de de Broglie des particules massiques.
↑ Nous supposons que l'électron est non relativiste ce qui est justifié a posteriori.
↑ L'angström $\;1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ est une unité de longueur adaptée à la physique atomique, elle a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la spectroscopie ».
↑ L'application de la r.f.d.n. $\;{\big (}$ relation fondamentale de la dynamique newtonienne $\;{\big )}\;$ à l'électron sur sa trajectoire circulaire conduirait à une vitesse orthoradiale de $\;v_{\theta }\simeq 2200\;km\cdot s^{-1}\;$ ${\big \{}$ voir la solution de la question « détermination de grandeurs cinétiques et dynamiques de l'électron de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique quand le 1^er est en mouvement circulaire dans le référentiel protocentrique lié au 2^nd (vitesse instantanée) » de la série d'exer. $5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big \}}$ , en effet on y trouve « $\;v={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{0}}}}\;$ » avec $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq$ $9\;10^{9}\;USI\;$ » $\;{\big (}$ Unité du Système International ${\big )}\;$ où $\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide $\;{\big \{}$ la permittivité diélectrique d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique $\;{\big [}$ plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ${\big ]}$ ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant $\;0,05\;\%\;$ $>\;$ à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière ${\big \}}\;$ soit, avec la charge élémentaire $\;e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C$ , la masse de l'électron $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ et le rayon de l'orbite circulaire fondamentale $\;r_{0}\simeq 0,53\;{\text{Ǻ}}=0,53\;10^{-10}\;m$ , « $\;v\simeq {\sqrt {\dfrac {\left(1,60\;10^{-19}\right)^{2}\times 9\;10^{9}}{0,91\;10^{-30}\times 0,53\;10^{-10}}}}\simeq 2,19\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}\;$ » soit effectivement « $\;v=v_{\theta }\simeq 2200\;km\cdot s^{-1}\;$ ».
↑ Relativement à la vitesse orthoradiale de l'électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à une distance de $\;0,53\;{\text{Ǻ}}\;$ sous l'action de la force électrique attractive, l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale représente la moitié de la vitesse orthoradiale !
↑ ^81,0 ^81,1 et ^81,2 Un objet étant d'échelle mésoscopique si ses dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».
↑ Nous supposons que le grain de sable est non relativiste, ce qui se justifie par l'ordre de grandeur de la vitesse des vents.
↑ Si on souhaitait une plus grande détermination de la position transversale par exemple $\;\Delta y=1\;nm\;$ ${\big (}$ ajoutons qu'il s'agirait d'une précision tout à fait illusoire au niveau d'un grain de sable ${\big )}$ , l'incertitude « quantique » sur la vitesse transversale serait multipliée par $\;10^{6}\;$ soit $\;\Delta v_{y}=\simeq 2,6\;10^{-21}\;m\cdot s^{-1}\;$ ce qui ne changerait absolument rien à la conclusion.
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Une grandeur à laquelle on peut faire correspondre un opérateur linéaire est appelée « observable », on peut en effet se servir de cet opérateur et de l'état dans lequel se trouve la particule pour déterminer sa mesure ;
les composantes de la position, celles de la quantité de mouvement et l'énergie sont des observables, le temps par contre n'est pas une observable mais un paramètre pouvant évoluer et qu'il est possible de mesurer, sans pouvoir définir sa mesure à l'aide d'un opérateur linéaire $\;{\big (}$ théorème de Pauli ${\big )}$ .
↑ Par absence d'opérateur linéaire associé à la date d'observation.
↑ On retrouve l'indétermination « quantique » de la date d'observation de la particule dont l'énergie est fixée, $\;\Delta E=0\;$ injecté dans l'inégalité de Heisenberg temporelle entraîne $\;\Delta t=\infty \;$ correspondant à la particule dans un état stationnaire.
↑ Ainsi plus la durée de vie est faible, moins l'énergie de cet état est connue avec précision et le seul état dont l'énergie est parfaitement définie est l'état fondamental dont la durée de vie est infinie.