Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable

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Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs[modifier | modifier le wikicode]

     L'approximation linéaire est un cas particulier d'application à l'ordre un du théorème de Taylor – Young [1] vu plus loin :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : En physique on note ou,
     Remarque : En physique on note en introduisant la variable .

Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs[modifier | modifier le wikicode]


Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [8],
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [9],
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. à l'ordre un de [10], [11] au voisinage de zéro : ou .

     Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un développement limité à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant « D.L. à l'ordre deux de au voisinage de zéro » :
     Remarque : on utilise la formule de trigonométrie et le D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro [12] d'où
     Remarque : [13] ou [14].

Énoncé du théorème de Taylor-Young[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs[modifier | modifier le wikicode]

Infiniment petits d'ordres successifs[modifier | modifier le wikicode]

     Dans la mesure où peut être « le plus proche possible de » [17],

  • définit un infiniment petit d'ordre un,
  • un infiniment petit d'ordre deux,
  • ,
  • un infiniment petit d'ordre k, [18],
  • ,
  • un infiniment petit d'ordre n.

Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cn est de classe Cp avec p < n[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction réelle de la variable , de classe sur un domaine [15], elle est évidemment de classe sur le même domaine si [19] et on peut réécrire la relation de Taylor-Young [1] selon [20] dans lequel la somme entre accolades est un car soit finalement la réécriture de la relation de Taylor-Young [1] selon

[4] avec pour tout [21].

Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n[modifier | modifier le wikicode]

     On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordre de la fonction de classe sur le domaine [15] au voisinage de , la relation de Taylor-Young [1] tronquée à l'ordre à savoir [4] avec  ;

  • D.L. [22] de d'ordre au voisinage de  : [4] avec ,
  • D.L. [22] de d'ordre au voisinage de  : [4] avec ,
  • D.L. [22] de d'ordre au voisinage de  : [4] avec ,
  • D.L. [22] de d'ordre au voisinage de  : [4], [23] dans lequel ,
  • D.L. [22] de d'ordre au voisinage de  : [4] dans lequel .

     Remarques : Par abus nous appellerons D.L. [22] de d'ordre au voisinage de , la relation de Taylor-Young [1] de appliquée à l'ordre au voisinage de bien qu'il n'y ait pas troncature donc pas de limitation du développement.

     Remarques : On rappelle que les D.L. [22] de d'ordre au voisinage de sont écrits de façon plus concise en physique [24] selon .

Principaux développements limités au voisinage de zéro[modifier | modifier le wikicode]

D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » plus haut dans ce chapitre ;

     on peut ajouter, après l'étude du chap. intitulé « fonctions hyperboliques directes et inverses » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les D.L. [22] de fonctions hyperboliques directes et inverses au voisinage de zéro [25] :

  • D.L. [22] à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [26],
  • D.L. [22] à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [27],
  • D.L. [22] à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [28], [8],
  • D.L. [22] à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [29],
  • D.L. [22] à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [30].

D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro[modifier | modifier le wikicode]

  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [31], [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [33], [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [34],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [35], [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [36], [37],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [38], [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou ,
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [39],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de [10], [11] au voisinage de zéro : que l'on écrit en physique selon [40] ;

     on peut ajouter, après l'étude du chap. intitulé « fonctions hyperboliques directes et inverses » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les D.L. [22] de fonctions hyperboliques directes et inverses au voisinage de zéro [25] :

  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [41],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [42], [32],
  • D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [43], [32].

Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée[modifier | modifier le wikicode]

Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose de retrouver le D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro à partir du D.L. [22] à l'ordre un de au même voisinage de zéro, sachant que est la primitive de qui s'annule en  ;

     sachant que à l'ordre un en au voisinage de zéro, on en déduit, en intégrant terme à terme, le D.L. [22] de à l'ordre deux en au voisinage de zéro soit [44], ce qui est effectivement le D.L. [22] de à l'ordre deux au voisinage de zéro.

Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     Si on connaît le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction de classe au voisinage de zéro, on peut déterminer, en intégrant terme à terme, le D.L. [22] à l'ordre de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage de zéro, le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en zéro à savoir [45].

     La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe avec fini dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe mais la démonstration du fait que avec est un est nécessairement différente [46] et non fournie.

Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration[modifier | modifier le wikicode]

Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     Connaissant le D.L. [22] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de zéro et

     intégrant la fonction sinus entre et selon dont on déduit ,

     on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de zéro pour

     en déduire le D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit [47].

Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     À partir du D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro et

     intégrant la fonction cosinus entre et selon ,

     on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro pour

     en déduire le D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro soit .

Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     À partir du D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro et

     ayant établi précédemment que ,

     on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro pour

     en déduire le D.L. [22] à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit [47]

Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions »[modifier | modifier le wikicode]

Exposé de la méthode et précaution d'utilisation[modifier | modifier le wikicode]

  • On peut, pour évaluer le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction produit au voisinage de zéro, utiliser le D.L. [22] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de zéro, mais attention

     le D.L. [22] à l'ordre de chaque fonction composante ayant nécessité d'éliminer tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à , maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre strictement supérieur à lors du développement du produit des D.L. [22] conduirait nécessairement à un D.L. [22] de faux à partir de l'ordre , tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à obtenu en développant le produit des D.L. [22] doit impérativement être englobé dans un .

  • On peut aussi, pour évaluer le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction quotient au voisinage de zéro, utiliser le D.L. [22] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de zéro, plus précisément

     on se ramènera à la détermination du D.L. [22] à l'ordre de la fonction produit au voisinage de zéro, et il conviendra auparavant de déduire le D.L. [22] à l'ordre de la fonction de celui de la forme normalisée de dont le terme constant étant égal à avec quand , le D.L. à l'ordre en de s'obtenant par utilisation du D.L. à l'ordre en de mais attention,

     le D.L. [22] à l'ordre en de la forme normalisée de ayant nécessité d'éliminer tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à , maintenir l'existence d'infiniment petits en d'ordre strictement supérieur à lors du développement de conduirait nécessairement à un D.L. [22] de faux à partir de l'ordre , tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à obtenu en développant les infiniment petits doit impérativement être englobé dans un et

     bien sûr la remarque précédente faite lors du développement du produit des D.L. [22] des composants et doit également être suivie

Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage[modifier | modifier le wikicode]

     À partir du D.L. [22] à l'ordre quatre de au voisinage de zéro et de la définition de on peut déterminer le D.L. [22] à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de zéro et pour cela il convient d'abord de

  • déterminer le D.L. [22] d'ordre quatre en de avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en implique qu'il suffira d'utiliser le D.L. [22] de à l'ordre deux en pour avoir le D.L. [22] à l'ordre quatre en de soit [48] avec et [49] d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en on obtient puis de
  • déterminer le D.L. [22] d'ordre quatre en de à partir de sans omettre de pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L. soit [50] d'où
[51].

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir un D.L. [22] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de zéro d'un produit sachant que le D.L. [22] à l'ordre d'un des facteurs par exemple a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [52], il suffit de prendre le D.L. [22] de l'autre facteur sur l'exemple à l'ordre  ;

     en effet, si on factorise le 1er facteur par , le D.L. [22] à l'ordre de se réécrit est le D.L. [22] à l'ordre de et

     en effet, le D.L. [22] du produit à l'ordre pouvant s'obtenir à partir de dans lequel étant un D.L. [22] à l'ordre en , il est impératif que le D.L. [22] de soit aussi à l'ordre de façon à ce que le D.L. [22] du produit soit exact à cet ordre [53] ;

     pour terminer le produit du D.L. [22] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [22] du produit à l'ordre .

  • Pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre un de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre zéro,
  • pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre deux de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre un,
  • pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre trois de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre deux

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir un D.L. [22] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de zéro d'un quotient sachant que le D.L. [22] à l'ordre du numérateur a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [52], il suffit de prendre le D.L. [22] du dénominateur à l'ordre  ;

     en effet, si on factorise le numérateur par , le D.L. [22] à l'ordre de se réécrit est le D.L. [22] à l'ordre de et

     en effet, le D.L. [22] du quotient à l'ordre pouvant s'obtenir à partir de dans lequel étant un D.L. [22] à l'ordre en , il est impératif que le D.L. [22] de et donc de soit aussi à l'ordre de façon à ce que le D.L. [22] du produit soit exact à cet ordre [53] ;

     pour terminer le produit du D.L. [22] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [22] du produit à l'ordre .

  • Pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre un de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre zéro,
  • pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre deux de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre un,
  • pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre trois de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre deux

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 et 1,5 Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young.
       William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème ou formule de Taylor-Young.
  2. C.-à-d. fonction et dérivée première continues sur le domaine .
  3. est un voisinage de  si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que .
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 et 4,8 Se lit « petit o de »
  5. Ou théorème de Taylor - Young à l'ordre un appliqué à au voisinage de .
  6. Il faudrait écrire mathématiquement .
  7. En toute rigueur, pour que le développement soit limité à l'ordre un, il faut qu'il soit possible à un ordre supérieur à un et donc que la fonction soit au moins de classe fonction et dérivées continues jusqu'à l'ordre deux minimal sur le domaine , sinon il s'agit d'une simple application du théorème de Taylor - Young à l'ordre le plus élevé possible c.-à-d. l'ordre un pour une fonction de classe sur le domaine .
  8. 8,0 et 8,1 Le D.L. d'une fonction paire au voisinage de zéro ne peut contenir que des termes d'ordre pair.
  9. Ce D.L. à l'ordre un au voisinage de zéro pouvait être aussi déduit du lien existant entre et , à savoir , dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro soit ce qui permet d'écrire ou, sachant que est aussi un , le D.L. final écrit.
  10. 10,0 et 10,1 est définie par .
  11. 11,0 et 11,1 est exclu car, pour cette valeur, ce n'est pas un D.L. mais une expression exacte.
  12. En effet étant telle que vérifie aussi c.-à-d. que peut s'écrire .
  13. En effet étant telle que on en déduit c.-à-d. que peut s'écrire ,
       de même est telle que ou encore c.-à-d. que peut s'écrire ,
       enfin une combinaison linéaire de est aussi une fonction du type .
  14. Il faudrait écrire mathématiquement .
  15. 15,0 15,1 et 15,2 C.-à-d. continûment dérivable jusqu'à l'ordre inclus sur le domaine .
  16. est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que .
  17. choisi « le plus proche possible de » signifie que l'ouvert dans lequel se trouve , est choisi le plus étroit possible en prenant le plus petit possible
  18. Cette notation est utilisée pour représenter un intervalle fermé d'entiers naturels.
  19. La borne étant exclue de l'intervalle, celui-ci pourrait être écrit  ;
       bien sûr pourrait aussi prendre la valeur mais il se s'en déduirait alors aucune transformation de la relation de Taylor-Young et c'est la raison pour laquelle on exclut la valeur .
  20. Le 1er terme de la somme étant s'identifiant à si on admet, d'une part, que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction elle-même et avec, d'autre part, ainsi que par convention.
  21. Le fait d'autoriser que puisse prendre la valeur ne fait que réécrire la relation de Taylor-Young sous sa forme initiale, cela n'apporte donc rien de nouveau mais c'est bien sûr admissible
  22. 22,000 22,001 22,002 22,003 22,004 22,005 22,006 22,007 22,008 22,009 22,010 22,011 22,012 22,013 22,014 22,015 22,016 22,017 22,018 22,019 22,020 22,021 22,022 22,023 22,024 22,025 22,026 22,027 22,028 22,029 22,030 22,031 22,032 22,033 22,034 22,035 22,036 22,037 22,038 22,039 22,040 22,041 22,042 22,043 22,044 22,045 22,046 22,047 22,048 22,049 22,050 22,051 22,052 22,053 22,054 22,055 22,056 22,057 22,058 22,059 22,060 22,061 22,062 22,063 22,064 22,065 22,066 22,067 22,068 22,069 22,070 22,071 22,072 22,073 22,074 22,075 22,076 22,077 22,078 22,079 22,080 22,081 22,082 22,083 22,084 22,085 22,086 22,087 22,088 22,089 22,090 22,091 22,092 22,093 22,094 22,095 22,096 22,097 22,098 22,099 22,100 22,101 et 22,102 Développement(s) Limité(s).
  23. On rappelle que .
  24. Mais écriture non tolérée en mathématiques
  25. 25,0 et 25,1 Bien sûr uniquement pour celles qui y sont définies.
  26. En effet .
  27. En effet .
  28. En effet d'une part et d'autre part .
  29. En effet .
  30. En effet .
  31. En effet .
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 32,6 et 32,7 Le D.L. d'une fonction impaire au voisinage de zéro ne peut contenir que des termes d'ordre impair.
  33. En effet .
  34. En effet .
  35. En effet .
  36. En effet .
  37. Ce D.L. à l'ordre deux au voisinage de zéro pouvait être aussi déduit du lien existant entre et , à savoir , dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre deux de au voisinage de zéro soit ce qui permet d'écrire ou, sachant que est aussi un , le D.L. final écrit.
  38. En effet .
  39. En effet .
  40. En effet .
  41. En effet d'une part et d'autre part .
  42. En effet .
  43. En effet .
  44. En effet la fonction étant de classe , on peut affirmer que le reste de son D.L. à l'ordre un au voisinage de zéro c.-à-d. noté peut être décomposé en une somme infinie de monômes de degré représentant la partie tronquée de tout D.L. de à un ordre à savoir d'où soit finalement ou dont on déduit tendant vers quand et établissant que est effectivement un  ;
       la série de 1er terme , de 2ème terme , de ème terme , ème terme est alternée et telle que et quand , elle est donc convergente ce qui signifie, rappelons-le, que existe et est finie ; de plus chaque terme tendant vers quand , la limite finie ne peut qu'être nulle en effet une somme infinie de termes tendant tous vers zéro ne peut qu'être nulle ou infinie.
  45. La justification a le même fondement que celui exposé au paragraphe précédent, en particulier la démonstration du fait que est un est la même dans la mesure où la fonction de départ est de classe .
  46. En effet si est de classe , on peut affirmer que le reste de son D.L. à l'ordre p au voisinage de zéro c.-à-d. noté peut être décomposé en une somme finie de monômes de degré mais et d'un dernier terme différent d'un monôme correspondant à , l'ensemble représentant la partie tronquée de tout D.L. de à un ordre , c'est donc la partie non monômiale due au fait que la classe de est finie qui complique la démonstration
  47. 47,0 et 47,1 On a utilisé le fait que est un .
  48. Lequel doit être nécessairement tronqué à l'ordre quatre en , compte-tenu de la troncature initiale du D.L. de .
  49. En effet dans tous les termes, à l'exception du 1er, sont des .
  50. La méthode de développement du produit consistant à associer chaque terme du D.L. de au D.L. de mais limité à un ordre adéquat par exemple le 2ème terme du D.L. de étant un infiniment petit d'ordre deux on lui associe le D.L. à l'ordre deux de ou le 3ème terme du D.L. de étant un infiniment petit d'ordre quatre on lui associe le D.L. à l'ordre zéro de
  51. On peut vérifier ce résultat directement en utilisant le théorème de Taylor-Young sachant que
    • le terme constant dans le D.L. est ,
    • le cœfficient de dans le D.L. vaut ,
    • le cœfficient de dans le D.L. vaut , en accord avec le fait que étant impaire son D.L. ne doit contenir que des termes impairs,
    • le cœfficient de dans le D.L. vaut d'où le terme d'ordre trois et
    • enfin le cœfficient de dans le D.L. vaut car étant impaire son D.L. ne doit contenir que des termes impairs.
  52. 52,0 et 52,1 Le terme prépondérant étant le terme de plus bas degré du D.L. à l'ordre du facteur, c.-à-d. sur l'exemple choisi le D.L. de