Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable

**Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 14
Chap. préc. :	Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables
Chap. suiv. :	Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable
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Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

L'approximation linéaire^[1] est un cas particulier d'application à l'ordre un du théorème de Taylor – Young^[2] vu plus loin :

Approximation linéaire de

f(x)

au voisinage de

a

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$ , de classe $\;C^{1}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ ^[3],
     Soit $\;a\;$ une valeur du domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ et
     Soit $\;x\,\in \,{\mathcal {V}}(a)\;$ ^[4],
     on peut écrire la relation suivante : « $\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)\;$ »^[5] où « $\;\lim \limits _{x\rightarrow a}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)}{x-a}}\right]=0\;$ ».

Remarque : En physique on note $\;\color {transparent}{+\varepsilon }\;$ $\;f(x)\simeq f(a)+f'(a)\,(x-a)\;$ ou,
Remarque : En physique on note $\;f(a+\varepsilon )\simeq f(a)+f'(a)\;\varepsilon \;$ $\;\color {transparent}{(-a)}\;$ en introduisant la variable $\;\varepsilon =x-a$ .

Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Définitions

      $\varepsilon =x-a\;$ pouvant être choisi aussi petit que possible définissant « un infiniment petit d'ordre un » et
     l'approximation linéaire^[1] de $\;f(x)\;$ au voisinage de $\;a\;$ ^[6] « $\;f(a+\varepsilon )\simeq f(a)+f'(a)\,\varepsilon \;$ »^[7] est encore appelée
            l'approximation linéaire de $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{a}\;$ « développement limité à l'ordre un de la fonction $\;f\;$ au voisinage de $\;a\;$ »^[8] :

le 1^er terme $\;f(a)\;$ étant le terme d'ordre zéro $\;{\big (}$ seule grandeur non infiniment petite ${\big )}\;$ et
le 2^ème $\;f'(a)\,\varepsilon \;$ le terme d'ordre un $\;{\big (}$ qui est aussi un infiniment petit d'ordre un ${\big )}$ ;
le 1^er terme non nul définit le terme prépondérant ${\Bigg [}$ c.-à-d. $\;{\begin{aligned}&\;\;f(a)&{\text{si }}\quad f(a)\neq 0\\&f'(a)\,\varepsilon &{\text{si }}\quad f(a)=0\end{aligned}}$ ${\Bigg ]}$ .

Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles

D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\sin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\sin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\tan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\tan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cos(\varepsilon )=1+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\cos(\varepsilon )\simeq 1\;$ »^[10],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\arcsin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\arccos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\arccos(\varepsilon )\simeq {\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon \;$ »^[11],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\arctan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arctan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\arctan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\exp(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\exp(\varepsilon )=1+\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\exp(\varepsilon )\simeq 1+\varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\ln(1+\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\ln(1+\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;(1+x)^{n},\;n\in \mathbb {Q} ^{*}\;$ ^[12]^,^[13] au voisinage de $\;0$ : $\;(1+\varepsilon )^{n}=1+n\,\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon \;$ ».

     Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un D.L^[9]. à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire^[1] d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant
  Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un « D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ » :
     Remarque : on utilise la formule de trigonométrie $\;\cos(x)=1-2\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ et le D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\sin \!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ au voisinage de $\;0$ $\;\sin \!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)={\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)={\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5]^,^[14] d'où $\cos(\varepsilon )=$
     Remarque : $1-2\,\left[{\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}-2\,\varepsilon \,{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)-2\,\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5]^,^[15] ou « $\;\cos(\varepsilon )\simeq 1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$ »^[16].

Énoncé du théorème de Taylor-Young

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$ , de classe $\;C^{n}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ ^[17],
     Soit $\;a\;$ une valeur du domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ et
     Soit $\;x\in {\mathcal {V}}(a)\;$ ^[4],
     on peut lui appliquer la relation de Taylor-Young^[2] suivante :

«

f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\cdots +f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+\cdots

+f^{(n)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{n}}{n!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\;

»^[5] où
«

\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{n}}}\right\rbrace =0\;

».

Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Infiniment petits d'ordres successifs

Dans la mesure où $\;x\,\in \,{\mathcal {V}}(a)\;$ ^[4] peut être « le plus proche possible de $\;a\;$ »^[18],

$\;(x-a)\;$ définit un infiniment petit d'ordre un,
$\;(x-a)^{2}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre deux,
$\;\ldots$ ,
$\;(x-a)^{k}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre k, $\;k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$ ^[19],
$\;\ldots$ ,
$\;(x-a)^{n}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre n.

Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cⁿ est de classe C^p avec p < n

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$ , de classe $\;C^{n}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ ^[17], elle est évidemment de classe $\;C^{p}\;$ sur le même domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ si $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right[\right[\;$ ^[20] et
     on peut réécrire la relation de Taylor-Young^[2] selon « $\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\right\rbrace \;$ »^[5]^,^[21]
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon dans laquelle la somme entre accolades $\;\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\right\rbrace \;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$ ^[5] car
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {\sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l-p}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-p}\right]\right\rbrace =0\;$ soit finalement
     on peut la réécriture de la relation de Taylor-Young^[2] selon « $\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$ »^[5] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0\;$ » pour tout $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right]\right]\;$ ^[22].

Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cⁿ au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n

On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordre $\;p\in \left[\left[0\,,\,(n-1)\right]\right]\;$ de la fonction $\;f\;$ ${\big [}$ de classe $\;C^{n}\;$ sur le domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ ^[17] ${\big ]}\;$ au voisinage de $\;a\in {\mathcal {D}}$ , la relation de Taylor-Young^[2] tronquée à l'ordre $\;p\;$ à savoir $\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$ ^[5] avec $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0$ ;

D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre zéro au voisinage de $\;a$ « $\;f(x)=f(a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]\;$ »^[5] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]}{1}}\right\rbrace =0\;$ »,
D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre un au voisinage de $\;a$ « $\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]\;$ »^[5] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]}{\left(x-a\right)}}\right\rbrace =0\;$ »,
D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre deux au voisinage de $\;a$ « $\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]\;$ »^[5] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]}{\left(x-a\right)^{2}}}\right\rbrace =0\;$ »,
D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre trois au voisinage de $\;a$ « $\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+f^{(3)}(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]\;$ »^[5]^,^[23] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]}{\left(x-a\right)^{3}}}\right\rbrace =0\;$ »,
$\;\ldots$
D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre (n - 1) au voisinage de $\;a$ « $\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots +f^{(n-1)}(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{n-1}}{(n-1)!}}+$ ${\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]\;$ »^[5] avec « $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]}{\left(x-a\right)^{n-1}}}\right\rbrace =0\;$ ».

Remarques : Par abus nous appellerons D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre n au voisinage de $\;a$ , la relation de Taylor-Young^[2] de $\;f\;$ appliquée à l'ordre $\;n\;$ au voisinage de $\;a\;$ bien qu'il n'y ait pas troncature^[24].

Remarques : On rappelle que les D.L^[9]. de $\;f\;$ d'ordre $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right]\right]\;$ au voisinage de $\;a\;$ sont écrits de façon plus concise en physique^[25] selon « $\;f(x)\simeq \sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}\;$ ».

Principaux développements limités au voisinage de zéro

D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro

Revoir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » plus haut dans ce chapitre ;

on peut ajouter les D.L^[9]. de fonctions hyperboliques directes et inverses^[26], au voisinage de $\;0\;$ ^[27] :

D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\sinh(x)\;$ ^[28] au voisinage de $\;0$ : $\;\sinh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\sinh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[29],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\tanh(x)\;$ ^[30] au voisinage de $\;0$ : $\;\tanh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\tanh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[31],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\cosh(x)\;$ ^[32] au voisinage de $\;0$ : $\;\cosh(\varepsilon )=1+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\cosh(\varepsilon )\simeq 1\;$ »^[33]^,^[10],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\mathrm {argsinh} (x)\;$ ^[34] au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[35],
D.L^[9]. à l'ordre un de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ ^[36] au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[37].

D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro

D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\sin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\sin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[38]^,^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\tan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\tan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[40]^,^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cos(\varepsilon )=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\cos(\varepsilon )\simeq 1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$ »^[41],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\arcsin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[42]^,^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\arccos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\arccos(\varepsilon )\simeq {\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon \;$ »^[43]^,^[44],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\arctan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arctan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\arctan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[45]^,^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\exp(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\exp(\varepsilon )=1+\varepsilon +{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\exp(\varepsilon )\simeq 1+\varepsilon +{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$ »,
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\ln(1+\varepsilon )=\varepsilon -{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\ln(1+\varepsilon )\simeq \varepsilon -{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$ »^[46],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;(1+x)^{n},\;n\in \mathbb {Q} ^{*}\;$ ^[12]^,^[13] au voisinage de $\;0$ : $\;(1+\varepsilon )^{n}=1+n\,\varepsilon +{\dfrac {n\,(n-1)}{2}}\,\varepsilon ^{2}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon +{\dfrac {n\,(n-1)}{2}}\,\varepsilon ^{2}\;$ »^[47] ;

on peut ajouter les D.L^[9]. de fonctions hyperboliques directes et inverses^[26], au voisinage de $\;0\;$ ^[27] :

D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\sinh(x)\;$ ^[28] au voisinage de $\;0$ : $\;\sinh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\sinh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\tanh(x)\;$ ^[30] au voisinage de $\;0$ : $\;\tanh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\tanh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\cosh(x)\;$ ^[32] au voisinage de $\;0$ : $\;\cosh(\varepsilon )=1+{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ^[5] ou « $\;\cosh(\varepsilon )\simeq 1+{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$ »^[48],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\mathrm {argsinh} (x)\;$ ^[34] au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[49]^,^[39],
D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ ^[36] au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ^[5] ou « $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$ »^[50]^,^[39].

Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée

Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinage

On se propose de retrouver le D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ à partir du D.L^[9]. à l'ordre un de $\;{\dfrac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}\;$ au même voisinage de $\;0$ ,
On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux de $\;\color {transparent}{\ln(1+x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ sachant que $\;\ln(1+x)\;$ est la primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ qui s'annule en $\;x=0$ ;

du D.L^[9]. de « $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ à l'ordre un en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=1-x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x\right)\;$ »^[5], on en déduit, en intégrant terme à terme,
le D.L^[9]. de « $\;\ln(1+x)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {d\xi }{1+\xi }}\;$ à l'ordre deux en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ » soit « $\;\ln(1+x)=\displaystyle \int _{0}^{x}d\xi -\displaystyle \int _{0}^{x}\xi \;d\xi +\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi =x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$ »^[5]^,^[51].

Commentaire : il est essentiel pour affirmer qu'on obtient le D.L^[9]. de $\;\ln(1+x)\;$ à l'ordre deux au voisinage de $\;0\;$ en intégrant terme à terme le D.L^[9]. de $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ à l'ordre un au voisinage de $\;0\;$
Commentaire : il est essentiel de vérifier que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi \;$ ^[5] est effectivement un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$ ^[5]^,^[51].

Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage

Si on connaît le D.L^[9]. à l'ordre $\;p\;$ d'une fonction $\;f\;$ de classe $\;C^{\infty }\;$ au voisinage de $\;0$ , on peut déterminer, en intégrant terme à terme,
Si on connaît le D.L^[9]. à l'ordre $\;p+1\;$ de n'importe quelle de ses primitives $\;C+\displaystyle \int _{0}^{x}f(\xi )\;d\xi \;$ au même voisinage de $\;0\;$ ^[52], le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en $\;0\;$ à savoir $\;C$ .

     La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;C^{\,n}\;$ avec $\;n\;$ fini $\;{\big [}$ dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe $\;C^{\,n+1}{\big ]}\;$
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{n}\;$ fini mais la démonstration du fait que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{p}\right)\;d\xi \;$ avec $\;p<n\;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{p+1}\right)\;$ ^[5]
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{n}\;$ fini mais la démonstration est nécessairement différente^[53] $\;{\big (}$ et non fournie ${\big )}$ .

Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration

Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinage

Connaissant le D.L^[9]. à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ « $\;\sin(x)=x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$ »^[5] et

Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =\left[-\cos(\xi )\right]_{0}^{x}=1-\cos(x)\;$ dont on déduit « $\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi \;$ »,

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi ={\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$ »^[5]^,^[54] pour en déduire

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0\;$ soit « $\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$ »^[5]^,^[55].

Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage

Connaissant le D.L^[9]. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0$ « $\;\cos(x)=1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$ »^[5] et

Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction cosinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi =\left[\sin(\xi )\right]_{0}^{x}=\sin(x)\;$ dont on déduit « $\;\sin(x)=\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi \;$ »,

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0$ selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi =x-{\dfrac {x^{3}}{3\times 2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5]^,^[56] pour en déduire

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0\;$ soit « $\;\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5].

Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage

Connaissant le D.L^[9]. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ « $\;\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5] et

Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =\left[-\cos(\xi )\right]_{0}^{x}=1-\cos(x)\;$ dont on déduit « $\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi \;$ »,

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi ={\dfrac {x^{2}}{2}}-{\dfrac {x^{4}}{4\times 6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$ »^[5]^,^[57] pour en déduire

on intègre terme à terme le D.L^[9]. à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de $\;0\;$ soit « $\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$ »^[5]^,^[58].

$\;\ldots$

Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions »

Exposé de la méthode et précaution d'utilisation

On peut, pour évaluer le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ d'une « fonction produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ » au voisinage de $\;0$ ,
On peut, utiliser le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;v(x)\;$ au même voisinage de $\;0$ , mais attention
On peut, utiliser le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ ^[59],
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement du produit des D.L^[9].
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L^[9]. de $\;p(x)\;$ faux à partir de l'ordre $\;n+1$ ,
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ obtenu en développant le produit des D.L^[9]. doit impérativement être englobé dans un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ ^[5].
On peut aussi, pour évaluer le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ d'une « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » au voisinage de $\;0\;$ ^[60]
On peut, utiliser le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;v(x)\;$ au même voisinage de $\;0$ , plus précisément
On peut, se ramener à la détermination du D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de la fonction « produit $\;q(x)=u(x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ » au voisinage de $\;0$ , et pour cela il conviendra auparavant de déduire,
      On peut, avec « $\;v(0)\neq 0\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de la « fonction $\;{\dfrac {1}{v(x)}}={\dfrac {1}{v(0)}}\,\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}$ » de celui de « $\;{\dfrac {v(x)}{v(0)}}=1+\alpha (x)\;$ avec $\;\alpha (x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow 0\;$ »,
      On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de $\;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$ s'obtenant par utilisation
      On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », du D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;\alpha (x)\;$ de « $\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)-\alpha ^{3}(x)+\cdots +(-1)^{n}\;\alpha ^{n}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{n}(x)\right]\;$ »^[5]^,^[61] mais attention,
      On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de $\;{\dfrac {v(x)}{v(0)}}=1+\alpha (x)\;$ ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ ^[59],
            On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence d'infiniment petits en $\;x\;$ d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement de $\;\alpha ^{k}(x)\;$ où $\;k\geqslant 2\;$
            On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L^[9]. de $\;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$
                On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. faux à partir de l'ordre $\;n+1$ ,
            On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ obtenu en développant les infiniment petits $\;\alpha ^{k}(x)\;$ où $\;k\geqslant 2\;$
            On peut, avec « $\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$ », le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ tout infiniment petit d'ordre $\;\color {transparent}{>\,n}\;$ doit impérativement être englobé dans un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ ^[5] puis
On peut, utiliser le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;{\dfrac {1}{v(x)}}={\dfrac {1}{v(0)}}\,\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}\;$ au même voisinage de $\;0$ , mais attention
On peut, utiliser le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ ^[59],
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement du produit des D.L^[9].
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L^[9]. de $\;q(x)\;$ faux à partir de l'ordre $\;n+1$ ,
    On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$ obtenu en développant le produit des D.L^[9]. doit impérativement être englobé dans un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ ^[5].
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;v(0)=0\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ étant un infiniment petit d'ordre $\;\geqslant 1$ ,
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$ », la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » n'est définie en $\;0\;$ ${\big \{}\Rightarrow$ on peut lui associer un D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0{\big \}}\;$ que si
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ est aussi un infiniment petit d'ordre $\;\geqslant 1\;$ ^[60] ; dans ces conditions,
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$ », la détermination du D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » au voisinage de $\;0\;$ sera exposée en commentaire du
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$ », paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de D.L. à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p »
On peut, Commentaire : Dans le cas où « $\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$ », paragraphe plus loin dans ce chapitre.

Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage

     À partir du D.L^[9]. à l'ordre quatre de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\\\cos(x)=1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[5] au voisinage de $\;0\;$ ^[62] et
     À partir de la définition de $\;\tan(x)={\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\;$ on peut déterminer le D.L^[9]. à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de $\;0\;$ et
     pour cela il convient d'abord $\bullet \;$ de déterminer le D.L^[9]. d'ordre quatre en $\;x\;$ de « $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$ » avec « $\;\alpha (x)=-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5]
              pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;\color {transparent}{\cos(x)=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}}\;$ » avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en $\;x\;$ $\Rightarrow$ il suffira
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « d'utiliser le D.L^[9]. de $\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$ à l'ordre deux en $\;\alpha (x)\;$ pour en avoir le D.L^[9]. à l'ordre quatre en $\;x\;$ soit
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{2}(x)\right]\;$ ^[5]^,^[63]^,^[64] où $\;\alpha (x)=-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ ^[5] et
                          pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;\color {transparent}{\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{2}(x)\right]}\;$ où $\;\alpha ^{2}(x)=\left(-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right)^{\!\!2}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)={\dfrac {x^{4}}{4}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ ^[5]^,^[65]
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en $\;x\;$ on obtient
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}=1-\left[-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\dfrac {x^{4}}{4}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]=1+{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5] puis
     pour cela il convient d'abord $\bullet \;$ de déterminer le D.L^[9]. d'ordre quatre en $\;x\;$ de « $\;\tan(x)=\sin(x)\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$ » à partir de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\\{\dfrac {1}{\cos(x)}}=1+{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[5] sans omettre de
     pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L^[9]. soit
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;\tan(x)=\left[x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]\times 1+\left[x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\right]\times {\dfrac {x^{2}}{2}}+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(0\right)\right]\times {\dfrac {5\;x^{4}}{24}}\;{\cancel {+\left[0\right]\times {\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)}}\;$ »^[5]^,^[66] d'où
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$ de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « $\;\tan(x)=x+{\dfrac {x^{3}}{3}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ »^[5]^,^[67].

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p

     Pour obtenir un D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en l'infiniment petit $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ d'un produit de deux fonctions $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ sachant que
    Pour obtenir le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ d'un des facteurs $\;{\big [}$ par exemple $\;u(x){\big ]}\;$ a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre $\;p<n\;$ »^[68],
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ il suffit de prendre le D.L^[9]. de l'autre facteur $\;{\big [}$ sur l'exemple $\;v(x){\big ]}\;$ à l'ordre $\;n-p$ ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le 1^er facteur $\;u(x)\;$ par $\;x^{p}\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de $\;u(x)\;$ se réécrit « $\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$ »
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le 1^er facteur $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ par $\;\color {transparent}{x^{p}}\;$ », où « $\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$ ^[5] est le D.L^[9]. à l'ordre $\;n-p\;$ de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$ » et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L^[9]. du produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ s'obtenant à partir de $\;p(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]\,v(x)=x^{p}\,\left[\alpha (x)\;v(x)\right]\;$
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\alpha (x)\;$ étant un D.L^[9]. à l'ordre $\;n-p\;$ en $\;x$ , il est impératif que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ soit aussi à l'ordre $\;n-p\;$ de façon à ce que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L^[9]. du produit $\;\alpha (x)\;v(x)\;$ soit exact à cet ordre $\;n-p\;$ ^[69] ;
     pour terminer le produit du D.L^[9]. de $\;\alpha (x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ par l'infiniment petit $\;x^{p}\;$ d'ordre $\;p\;$ conduit effectivement au D.L^[9]. du produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n$ .

D.L. d'un produit dont l'un des facteurs est équivalent à un infiniment petit d'ordre p

     Cherchant à déterminer le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ d'un produit de deux fonctions $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ avec
     Cherchant à déterminer le D.L^[9]. de $\;u(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre $\;p<n$ ,
     il suffit de prendre le D.L. de $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ pour en faire le produit avec le D.L^[9]. de $\;u(x)$ .

Pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre un de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre zéro,
pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre un,
pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre trois de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre deux $\;\ldots$

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p

     Pour obtenir un D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en l'infiniment petit $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ d'un quotient de deux fonctions $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ sachant que
    Pour obtenir le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ du numérateur $\;u(x)\;$ a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre $\;p<n\;$ »^[68],
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ il suffit de prendre le D.L^[9]. du dénominateur $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p$ ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le numérateur $\;u(x)\;$ par $\;x^{p}\;$ », le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ de $\;u(x)\;$ se réécrit « $\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$ »
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le numérateur $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ par $\;\color {transparent}{x^{p}}\;$ », où « $\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$ ^[5] est le D.L^[9]. à l'ordre $\;n-p\;$ de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$ » et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L^[9]. du quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ s'obtenant à partir de $\;q(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]\,{\dfrac {1}{v(x)}}=x^{p}\,\left[\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\right]\;$
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\alpha (x)\;$ étant un D.L^[9]. à l'ordre $\;n-p\;$ en $\;x$ , il est impératif que
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L^[9]. de $\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ et donc de $\;v(x)\;$ soit aussi à l'ordre $\;n-p\;$
                          Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant de façon à ce que le D.L^[9]. du produit $\;\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ soit exact à cet ordre $\;n-p\;$ ^[69] ;
     pour terminer le produit du D.L^[9]. de $\;\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ par l'infiniment petit $\;x^{p}\;$ d'ordre $\;p\;$ conduit effectivement au D.L^[9]. du produit $\;q(x)=u(x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n$ .

     Commentaire : supposant le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ être un infiniment petit d'ordre $\;q\in \left[\left[1\,,\,n\right[\right[\;$ ^[19] et
     Commentaire : supposant le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ être un infiniment petit d'ordre $\;p\in \left[\left[q\,,\,n\right[\right[\;$ ^[19] de façon à ce que
     Commentaire : supposant la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » soit définie en $\;0\;$ et ait un D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ de terme prépondérant infiniment petit d'ordre $\;p-q\;$ ^[70],
     Commentaire : $\Rightarrow$ la réécriture du D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ « $\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$ » avec
         Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la réécriture du D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ « $\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$ »^[5] ainsi que
     Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ celle du D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ « $\;v(x)=x^{q}\left[b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)\right]=x^{q}\;\beta (x)\;$ » avec
         Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ celle du D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction $\;\color {transparent}{v(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ « $\;\beta (x)=b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)\;$ »^[5] d'où la réécriture de « $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » avec
     Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les D.L^[9]. précédents selon « $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}={\dfrac {x^{p}\;\alpha (x)}{x^{q}\;\beta (x)}}=x^{(p-q)}\;{\dfrac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=x^{(p-q)}\;{\dfrac {a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}{b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)}}\;$ ^[5]^,^[71] ou, compte-tenu de la note « ⁷¹ »,
         Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les D.L. précédents selon « $\;\color {transparent}{q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}={\dfrac {x^{p}\;\alpha (x)}{x^{q}\;\beta (x)}}=x^{(p-q)}\;{\dfrac {\alpha (x)}{\beta (x)}}}$ $=x^{(p-q)}\;{\dfrac {a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}{b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n-p+q}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}}\;$ »^[5] ;
     Commentaire : finalement nous obtenons le D.L^[9]. de la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ » à l'ordre $\;n-q\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$
         Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à $\;{\dfrac {a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}{b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n-p+q}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}}\;$ ^[5]
          Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à $\Rightarrow$ un D.L^[9]. à l'ordre $\;n-p\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ et par suite
          Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un D.L^[9]. de $\;q(x)\;$ à l'ordre $\;n-q\;$ ^[72] en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$
              Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un D.L. de $\;\color {transparent}{q(x)}\;$ de terme prépondérant infiniment petit d'ordre $\;p-q\;$ ^[70] ;
     Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L^[9]. de $\;q(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ il faut partir d'un D.L^[9]. de $\;u(x)\;$ à l'ordre $\;n+q\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$ a un D.L^[9]. à l'ordre $\;n+q-p\;$ et
         Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de $\;\color {transparent}{q(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ il faut partir d'un D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n+q\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {v(x)}{x^{q}}}\;$ a un D.L^[9]. à l'ordre $\;n>n+q-p\;$
               Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de $\;\color {transparent}{q(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ il faut partir d'un D.L. de $\;\color {transparent}{v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n+q}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ qu'il faut tronquer à l'ordre $\;n+q-p\;$ ^[73]
         Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de $\;\color {transparent}{q(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ on obtient alors un D.L^[9]. de $\;{\dfrac {q(x)}{x^{(p-q)}}}\;$ à l'ordre $\;n+q-p\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ et par suite
          Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de $\;\color {transparent}{q(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ on obtient alors un D.L^[9]. de $\;q(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ ^[74] en $\;x\;$ au voisinage de $\;0$ .

D.L. d'un quotient dont le numérateur est équivalent à un infiniment petit d'ordre p

     Cherchant à déterminer le D.L^[9]. à l'ordre $\;n\;$ d'un quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ au voisinage de $\;0\;$ avec
     Cherchant à déterminer le D.L^[9]. de $\;u(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre $\;p<n$ ,
     il suffit de prendre le D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ pour en déduire celui de $\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ au même ordre et
     il suffit d'en faire le produit avec le D.L^[9]. de $\;u(x)$ .

Pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre un de $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre zéro,
pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre deux de $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre un,
pour déterminer le D.L^[9]. à l'ordre trois de $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L^[9]. de $\;v(x)\;$ à l'ordre deux $\;\ldots$

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 J'ai volontairement laissé le qualificatif « linéaire » pour l'approximation car c'était l'usage historique mais de nos jours on doit dire « approximation affine ».
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 et ^2,5 Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en $\;1715\;$ et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young.
William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème (ou formule) de Taylor-Young.
↑ C.-à-d. fonction et dérivée 1^ère continues sur le domaine $\;{\mathcal {D}}$ .
↑ ^4,0 ^4,1 et ^4,2 $\;{\mathcal {V}}(a)\;$ est un voisinage de $\;a\;$ si et seulement s'il existe un réel strictement positif $\;\mu \;$ tel que $\;\left]a-\mu \,{;}\,a+\mu \right[\,\subset \,{\mathcal {V}}(a)$ .
↑ ^5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 ^5,12 ^5,13 ^5,14 ^5,15 ^5,16 ^5,17 ^5,18 ^5,19 ^5,20 ^5,21 ^5,22 ^5,23 ^5,24 ^5,25 ^5,26 ^5,27 ^5,28 ^5,29 ^5,30 ^5,31 ^5,32 ^5,33 ^5,34 ^5,35 ^5,36 ^5,37 ^5,38 ^5,39 ^5,40 ^5,41 ^5,42 ^5,43 ^5,44 ^5,45 ^5,46 ^5,47 ^5,48 ^5,49 ^5,50 ^5,51 ^5,52 ^5,53 ^5,54 ^5,55 ^5,56 ^5,57 ^5,58 ^5,59 ^5,60 ^5,61 ^5,62 ^5,63 ^5,64 ^5,65 ^5,66 ^5,67 ^5,68 ^5,69 ^5,70 ^5,71 ^5,72 ^5,73 et ^5,74 Se lit « petit o de » $\;\ldots$
↑ Ou théorème de Taylor-Young à l'ordre un appliqué à $\;f(x)\;$ au voisinage de $\;a$ .
↑ Il faudrait écrire mathématiquement $\;f(a+\varepsilon )=f(a)+f'(a)\,\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ où $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0$ .
↑ En toute rigueur, pour que le développement soit limité à l'ordre un, il faut qu'il soit possible à un ordre supérieur à un et donc que la fonction soit au moins de classe $\;C^{2}\;$ ${\big (}$ fonction et dérivées continues jusqu'à l'ordre deux minimal ${\big )}\;$ sur le domaine $\;{\mathcal {D}}$ , sinon il s'agit d'une simple application du théorème de Taylor-Young à l'ordre le plus élevé possible c.-à-d. l'ordre un pour une fonction de classe $\;C^{1}\;$ sur le domaine $\;{\mathcal {D}}$ .
↑ ^9,000 ^9,001 ^9,002 ^9,003 ^9,004 ^9,005 ^9,006 ^9,007 ^9,008 ^9,009 ^9,010 ^9,011 ^9,012 ^9,013 ^9,014 ^9,015 ^9,016 ^9,017 ^9,018 ^9,019 ^9,020 ^9,021 ^9,022 ^9,023 ^9,024 ^9,025 ^9,026 ^9,027 ^9,028 ^9,029 ^9,030 ^9,031 ^9,032 ^9,033 ^9,034 ^9,035 ^9,036 ^9,037 ^9,038 ^9,039 ^9,040 ^9,041 ^9,042 ^9,043 ^9,044 ^9,045 ^9,046 ^9,047 ^9,048 ^9,049 ^9,050 ^9,051 ^9,052 ^9,053 ^9,054 ^9,055 ^9,056 ^9,057 ^9,058 ^9,059 ^9,060 ^9,061 ^9,062 ^9,063 ^9,064 ^9,065 ^9,066 ^9,067 ^9,068 ^9,069 ^9,070 ^9,071 ^9,072 ^9,073 ^9,074 ^9,075 ^9,076 ^9,077 ^9,078 ^9,079 ^9,080 ^9,081 ^9,082 ^9,083 ^9,084 ^9,085 ^9,086 ^9,087 ^9,088 ^9,089 ^9,090 ^9,091 ^9,092 ^9,093 ^9,094 ^9,095 ^9,096 ^9,097 ^9,098 ^9,099 ^9,100 ^9,101 ^9,102 ^9,103 ^9,104 ^9,105 ^9,106 ^9,107 ^9,108 ^9,109 ^9,110 ^9,111 ^9,112 ^9,113 ^9,114 ^9,115 ^9,116 ^9,117 ^9,118 ^9,119 ^9,120 ^9,121 ^9,122 ^9,123 ^9,124 ^9,125 ^9,126 ^9,127 ^9,128 ^9,129 ^9,130 ^9,131 ^9,132 ^9,133 ^9,134 ^9,135 ^9,136 ^9,137 ^9,138 ^9,139 ^9,140 ^9,141 ^9,142 et ^9,143 Développement(s) Limité(s).
↑ ^10,0 et ^10,1 Le D.L. d'une fonction paire au voisinage de $\;0\;$ ne peut contenir que des termes d'ordre pair.
↑ Ce D.L. à l'ordre un au voisinage de $\;0\;$ pouvait être aussi déduit du lien existant entre $\;\arcsin(x)\;$ et $\;\arccos(x)$ , à savoir $\;\arccos(x)={\dfrac {\pi }{2}}-\arcsin(x)$ , dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre un de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ soit $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ce qui permet d'écrire $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\left[\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]\;$ ou, sachant que $\;-{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ est aussi un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)$ , le D.L. final écrit.
↑ ^12,0 et ^12,1 $\;u^{\frac {p}{q}},\;p\in \mathbb {Z} ^{*}\;{\text{et}}\;q\in \mathbb {N} ^{*}\;$ est définie par $\;u^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{u^{p}}}$ .
↑ ^13,0 et ^13,1 $\;n=0\;$ est exclu car, pour cette valeur, ce n'est pas un D.L. mais une expression exacte.
↑ En effet $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\;$ étant telle que $\;\lim \limits _{{\frac {\varepsilon }{2}}\rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)}{\dfrac {\varepsilon }{2}}}\right]=0\;$ vérifie aussi $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)}{\varepsilon }}\right]=0\;$ c.-à-d. que $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\;$ peut s'écrire $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)$ .
↑ En effet $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ étant telle que $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0\;$ on en déduit $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\varepsilon \;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0\;$ c.-à-d. que $\;\varepsilon \;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ peut s'écrire $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)$ ,
de même $\;\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}\;$ est telle que $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\times {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0\;$ ou encore $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left\lbrace {\dfrac {\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0\;$ c.-à-d. que $\;\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}\;$ peut s'écrire $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)$ ,
enfin une combinaison linéaire de $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ est aussi une fonction du type $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)$ .
↑ Il faudrait écrire mathématiquement $\;\cos(\varepsilon )=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ où $\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0$ .
↑ ^17,0 ^17,1 et ^17,2 C.-à-d. continûment dérivable jusqu'à l'ordre $\;n\;$ inclus sur le domaine $\;{\mathcal {D}}$ .
↑ $\;x\,\in \,{\mathcal {V}}(a)\;$ choisi « le plus proche possible de $\;a\;$ » signifie que l'ouvert $\;\left]a-\mu \,,\,a+\mu \right[\subset {\mathcal {V}}(a)\;$ dans lequel se trouve $\;x$ , est choisi le plus étroit possible en prenant $\;\mu \;$ le plus petit possible $\;\ldots$
↑ ^19,0 ^19,1 et ^19,2 Cette notation est utilisée pour représenter un intervalle fermé d'entiers naturels.
↑ La borne $\;n\;$ étant exclue de l'intervalle, celui-ci pourrait être écrit $\;\left[\left[0\,,\,(n-1)\right]\right]$ ;
bien sûr $\;p\;$ pourrait aussi prendre la valeur $\;n\;$ mais il se s'en déduirait alors aucune transformation de la relation de Taylor-Young et c'est la raison pour laquelle on exclut la valeur $\;n$ .
↑ Le 1^er terme de la somme étant $\;f^{(0)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{0}}{0!}}\;$ s'identifiant à $\;f(a)\;$ si on admet que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction elle-même
Le 1^er terme de la somme étant $\;\color {transparent}{f^{(0)}(a)\,(x-a)^{0}}\;$ s'identifiant à $\;\color {transparent}{f(a)}\;$ si on admet que avec $\;(x-a)^{0}=1\;$ ainsi que $\;0!=1\;$ par convention.
↑ Le fait d'autoriser que $\;p\;$ puisse prendre la valeur $\;n\;$ ne fait que réécrire la relation de Taylor-Young sous sa forme initiale, cela n'apporte donc rien de nouveau mais c'est bien sûr admissible $\;\ldots$
↑ On rappelle que $\;3!=3\times 2\times 1=6$ .
↑ Donc pas de limitation du développement.
↑ Mais écriture non tolérée en mathématiques $\;\ldots$
↑ ^26,0 et ^26,1 Voir le chap. $27$ intitulé « fonctions hyperboliques directes et inverses » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^27,0 et ^27,1 Bien sûr uniquement pour celles qui y sont définies.
↑ ^28,0 et ^28,1 Voir le paragraphe « sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;{\dfrac {d\left[\sinh \right]}{dx}}(0)=\cosh(0)=1$ .
↑ ^30,0 et ^30,1 Voir le paragraphe « tangente hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;{\dfrac {d\left[\tanh \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(0)}}=1$ .
↑ ^32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;\cosh(0)=1\;$ d'une part et d'autre part $\;{\dfrac {d\left[\cosh \right]}{dx}}(0)=\sinh(0)=0$ .
↑ ^34,0 et ^34,1 Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argsinh} \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}(x=0)=1$ .
↑ ^36,0 et ^36,1 Voir le paragraphe « fonction argument tangente hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{1-x^{2}}}(x=0)=1$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\sin \right]}{dx^{2}}}(0)=-\sin(0)=0$ .
↑ ^39,0 ^39,1 ^39,2 ^39,3 ^39,4 ^39,5 ^39,6 et ^39,7 Le D.L. d'une fonction impaire au voisinage de $\;0\;$ ne peut contenir que des termes d'ordre impair.
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\tan \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[1+\tan ^{2}\right]}{dx}}(0)=2\;\tan(0)\,\left[1+\tan ^{2}(0)\right]=0$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\cos \right]}{dx^{2}}}(0)=-\cos(0)=-1$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\arcsin \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2\;x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(x=0)=0$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\arccos \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {-2\;x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(x=0)=0$ .
↑ Ce D.L. à l'ordre deux au voisinage de $\;0\;$ pouvait être aussi déduit du lien existant entre $\;\arcsin(x)\;$ et $\;\arccos(x)$ , à savoir $\;\arccos(x)={\dfrac {\pi }{2}}-\arcsin(x)$ , dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre deux de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ soit $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ce qui permet d'écrire $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\left[\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\right]\;$ ou, sachant que $\;-{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ est aussi un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)$ , le D.L. final écrit.
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\arctan \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {2\;x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}(x=0)=0$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\ln(1+x)\right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{1+x}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {1}{\left(1+x\right)^{2}}}(x=0)=-1$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left(1+x)\right)^{n}}{dx^{2}}}(0)=n\;{\dfrac {d\left(1+x\right)^{n-1}}{dx}}(0)=n\;(n-1)\,\left(1+x\right)^{n-2}(x=0)=n\;(n-1)$ .
↑ En effet $\;\cosh(0)=1\;$ d'une part et d'autre part $\;{\dfrac {d^{2}\left[\cosh \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[\sinh \right]}{dx}}(0)=\cosh(0)=1$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\mathrm {argsinh} \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]}{dx}}(x=0)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2\;x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(x=0)=0$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {d^{2}\left[\mathrm {argtanh} \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{1-x^{2}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {-2\;x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}(x=0)=0$ .
↑ ^51,0 et ^51,1 En effet la fonction $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ étant de classe $\;C^{\infty }$ , le reste de son D.L. à l'ordre un au voisinage de $\;0\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {1}{1+x}}-\left[1-x\right]\;$ noté $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x\right)\;$ se décompose en une somme infinie de monômes de degré $\;\geqslant 2\;$ représentant la partie tronquée de tout D.L. de $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ à un ordre $\;\geqslant 2\;$ à savoir $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x\right)=x^{2}-x^{3}+\cdots +x^{2\,k}-x^{2\,k+1}+\cdots =\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,+\infty \right[\right[}x^{2\,k}-x^{2\,k+1}\;$ d'où $\,\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi =\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,+\infty \right[\right[}{\dfrac {x^{2\,k+1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k+2}}{2\,k+2}}={\dfrac {x^{3}}{3}}-{\dfrac {x^{4}}{4}}+\cdots +{\dfrac {x^{2\,k+1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k+2}}{2\,k+2}}+\cdots =x^{2}\!\left[{\dfrac {x}{3}}-{\dfrac {x^{2}}{4}}+\cdots +{\dfrac {x^{2\,k-1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k}}{2\,k+2}}+\cdots \right]=x^{2}\!\left[\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,+\infty \right[\right[}{\dfrac {x^{2\,k-1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k}}{2\,k+2}}\right]\,$ dont on déduit $\;{\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi }{x^{2}}}=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,+\infty \right[\right[}{\dfrac {x^{2\,k-1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k}}{2\,k+2}}={\dfrac {x}{3}}-{\dfrac {x^{2}}{4}}+\cdots +{\dfrac {x^{2\,k-1}}{2\,k+1}}-{\dfrac {x^{2\,k}}{2\,k+2}}+\cdots \;$ tendant vers $\;0\;$ quand $\;x\rightarrow 0\;$ ${\big (}$ voir justification en fin de note ${\big )}\;$ établissant que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi \;$ est effectivement un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)$ ;
justification : la série de 1^er terme $\;u_{1}={\dfrac {x}{3}}$ , de 2^ème terme $\;u_{2}=-{\dfrac {x^{2}}{4}}$ , de (2k - 1)^ème terme $\;u_{2\,k-1}={\dfrac {x^{2\,k-1}}{2\,k+1}}$ , (2k)^ème terme $\;u_{2\,k}=-{\dfrac {x^{2\,k}}{2\,k+2}}$ $\;\ldots \;$ est alternée et telle que $\;\vert u_{n}\vert \searrow \;$ et $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;n\rightarrow +\infty$ , elle est donc convergente $\;{\Big (}$ ce qui signifie que $\;\lim \limits _{n\,\rightarrow \,\infty }\sum \limits _{m=1..n}u_{m}\;$ existe et est finie ${\Big )}$ voir le critère de convergence d'une série alternée dans wikipédia ;
justification : de plus chaque terme tendant vers $\;0\;$ quand $\;x\rightarrow 0$ , la limite finie ne peut qu'être nulle $\;{\big (}$ en effet une somme infinie de termes tendant tous vers zéro ne peut qu'être nulle ou infinie ${\big )}$ .
↑ La justification a le même fondement que celui exposé au paragraphe « précédent » plus haut dans ce chapitre, en particulier la démonstration du fait que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{p}\right)\;d\xi \;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{p+1}\right)\;$ est la même dans la mesure où la fonction de départ est de classe $\;C^{\infty }$ , voir la note « ⁵¹ » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet si $\;f\;$ est de classe $\;C^{\,n}$ , le reste de son D.L. à l'ordre $\;p\;$ au voisinage de $\;0\;$ c.-à-d. $\;f(x)-\left\lbrace \mathrm {D.L.} _{p}\left[f\right](x)\right\rbrace \;$ noté $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{p}\right)\;$
   En effet si $\;\color {transparent}{f}\;$ est de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}$ , le reste de son D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ se décompose en une somme finie de monômes de degré $\;>p\;$ mais $\;\leqslant n\;$ et
   En effet si $\;\color {transparent}{f}\;$ est de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}$ , le reste de son D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ se décompose en une somme finie d'un dernier terme différent d'un monôme correspondant à $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)$ ,
   En effet si $\;\color {transparent}{f}\;$ est de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}$ , le reste de son D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ se décompose cette somme représentant la partie tronquée de tout D.L. de $\;f\;$ à un ordre $\;>p\;$ ,
   En effet si $\;\color {transparent}{f}\;$ est de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}$ , le reste de son D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ c'est donc la partie non monômiale $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ due au fait que la classe de $\;f\;$ est finie qui complique la démonstration $\;\ldots$
↑ On utilise $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{2}\right)\,d\xi ={\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$ voir la note « ⁵² » plus haut dans ce chapitre.
↑ On a utilisé le fait que $\;-{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)$ .
↑ On utilise $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{3}\right)\,d\xi ={\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ voir la note « ⁵² » plus haut dans ce chapitre.
↑ On utilise $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{4}\right)\,d\xi ={\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$ voir la note « ⁵² » plus haut dans ce chapitre.
↑ On a utilisé le fait que $\;-{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)$ .
↑ ^59,0 ^59,1 et ^59,2 Rappel : l'existence de termes $\;\propto \;$ à un infiniment petit d'ordre $\;n'\,>\,n\;$ dans l'application du théorème de Taylor-Young à une fonction à l'ordre $\;n'\;$ nécessite que cette dernière soit au moins de classe $\;C^{\,n'}$ .
↑ ^60,0 et ^60,1 La fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ devant être définie pour $\;x=0$ , il est nécessaire que $\;v(x)\;$ ne s'annule pas en $\;0$ ;
dans le cas $\;v(0)=0$ , il faudrait, pour que $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ soit défini en $\;0$ , que $\;u(x)\;$ s'annule également en $\;0\;$ de façon à ce que le quotient soit une forme indéterminée qu'il est possible de lever $\;{\big \{}$ c.-à-d. que l'ordre de l'infiniment petit $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ soit $\;\leqslant \;$ à celui de l'infiniment petit $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0{\big \}}$ .
Dans la suite de ce paragraphe $\;{\big (}$ à l'exception du sous-paragraphe « commentaire » ${\big )}\;$ nous supposons $\;v(0)\neq 0$ .
↑ En effet, appelant $\;g(\xi )\;$ la fonction $\;\left[1+\xi \right]^{-1}$ , nous obtenons $\bullet \;$ « $\;g(0)=1\;$ »,
   En effet, appelant $\;\color {transparent}{g(\xi )}\;$ la fonction $\;\color {transparent}{\left[1+\xi \right]^{-1}}$ , nous obtenons $\bullet$ $\;g'(\xi )=-1\,\left[1+\xi \right]^{-2}\;$ $\Rightarrow$ « $\;g'(0)=-1\;$ »,
   En effet, appelant $\;\color {transparent}{g(\xi )}\;$ la fonction $\;\color {transparent}{\left[1+\xi \right]^{-1}}$ , nous obtenons $\bullet$ $\;g''(\xi )=+2\,\left[1+\xi \right]^{-3}\;$ $\Rightarrow$ « $\;g''(0)=+2\;$ »,
   En effet, appelant $\;\color {transparent}{g(\xi )}\;$ la fonction $\;\color {transparent}{\left[1+\xi \right]^{-1}}$ , nous obtenons $\bullet$ $\;g'''(\xi )=-6\,\left[1+\xi \right]^{-4}\;$ $\Rightarrow$ « $\;g'''(0)=-6=(-1)^{3}\;3!\;$ »,
   En effet, appelant $\;\color {transparent}{g(\xi )}\;$ la fonction $\;\color {transparent}{\left[1+\xi \right]^{-1}}$ , nous obtenons $\bullet$ $\;\ldots$
   En effet, appelant $\;\color {transparent}{g(\xi )}\;$ la fonction $\;\color {transparent}{\left[1+\xi \right]^{-1}}$ , nous obtenons $\bullet$ $\;g^{(n)}(\xi )=(-1)^{n}\;n!\,\left[1+\xi \right]^{-(n+1)}\;$ $\Rightarrow$ « $\;g^{(n)}(0)=(-1)^{n}\;n!\;$ ».
↑ Voir les paragraphes « déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage » et « déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage » plus haut dans ce chapitre.
La fonction $\;\cos(x)\;$ étant paire, la relation de Taylor-Young appliquée à cette fonction au voisinage de $\;0\;$ ne contient aucun ordre impair et par suite le D.L. à l'ordre cinq de $\;\cos(x)\;$ est aussi celui à l'ordre quatre, puisqu'il n'y a pas de terme en $\;x^{5}\;$ dans le D.L. à l'ordre cinq.
↑ Voir le paragraphe « D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » plus haut dans ce chapitre appliqué à $\;(1+\varepsilon )^{n},\;n\in \mathbb {Q} ^{*}\;$ dont le D.L. à l'ordre deux en $\;\varepsilon \;$ est $\;(1+\varepsilon )^{n}=1+n\,\varepsilon +{\dfrac {n\,(n-1)}{2}}\,\varepsilon ^{2}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ et sur lequel on impose $\;n=-1$ .
↑ Lequel doit être nécessairement tronqué à l'ordre quatre en $\;x$ , compte-tenu de la troncature initiale du D.L. de $\;\cos(x)$ .
↑ En effet dans $\;\alpha ^{2}(x)=\left(-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right)^{\!\!2}-2\left(-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right){\dfrac {x^{4}}{24}}+\left({\dfrac {x^{4}}{24}}\right)^{\!\!2}+2\left(-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right){\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)+2\;{\dfrac {x^{4}}{24}}\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]^{2}\;$ tous les termes, à l'exception du 1^er, sont des $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)$ .
↑ La méthode de développement du produit consistant à associer chaque terme du D.L. de $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$ au D.L. de $\;\sin(x)\;$ mais limité à un ordre adéquat
   par exemple le 2^ème terme du D.L. de $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$ étant un infiniment petit d'ordre deux « $\;{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ » on lui associe le D.L. à l'ordre deux de $\;\sin(x)\;$ soit « $\;x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$ » ou
   par exemple le 3^ème terme du D.L. de $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$ étant un infiniment petit d'ordre quatre « $\;{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}\;$ » on lui associe le D.L. à l'ordre zéro de $\;\sin(x)\;$ soit « $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(0\right)\;$ » ou
   par exemple le dernier terme du D.L. de $\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$ étant « $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ » on lui associe le terme prépondérant de $\;\sin(x)\;$ soit « $\;0\;$ ».
↑
On peut vérifier ce résultat directement en utilisant le théorème de Taylor-Young sachant que
- $\;\tan(0)=0\;$ $\Rightarrow \;$ le terme constant dans le D.L. est $\;0$ ,
- $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}\;$ $\Rightarrow \;$ le cœfficient de $\;x\;$ dans le D.L. vaut $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(0)}}=1$ ,
- $\;{\dfrac {d^{2}\left[\tan(x)\right]}{dx^{2}}}={\dfrac {d\left[\cos ^{-2}(x)\right]}{dx}}=-2\,\cos ^{-3}(x)\,\left[-\sin(x)\right]={\dfrac {2\,\sin(x)}{\cos ^{3}(x)}}\;$ $\Rightarrow \;$ le cœfficient de $\;{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ dans le D.L. vaut $\;{\dfrac {2\,\sin(0)}{\cos ^{3}(0)}}=0$ , en accord avec le fait que $\;\tan(x)\;$ étant impaire son D.L. ne doit contenir que des termes impairs,
- $\;{\dfrac {d^{3}\left[\tan(x)\right]}{dx^{3}}}={\dfrac {d\left[2\,\sin(x)\,\cos ^{-3}(x)\right]}{dx}}=2\,\cos(x)\,\cos ^{-3}(x)+2\,\sin(x)\left\lbrace -3\,\cos ^{-4}(x)\left[-\sin(x)\right]\right\rbrace ={\dfrac {2\,\cos ^{2}(x)+6\,\sin ^{2}(x)}{\cos ^{4}(x)}}\;$ $\Rightarrow \;$ le cœfficient de $\;{\dfrac {x^{3}}{3!}}={\dfrac {x^{3}}{6}}\;$ dans le D.L. vaut $\;{\dfrac {2\,\cos ^{2}(0)+6\,\sin ^{2}(0)}{\cos ^{4}(0)}}=2\;$ d'où le terme d'ordre trois $\;{\dfrac {x^{3}}{3}}\;$ et
- enfin le cœfficient de $\;{\dfrac {x^{4}}{4!}}={\dfrac {x^{4}}{24}}\;$ dans le D.L. vaut $\;0\;$ car $\;\tan(x)\;$ étant impaire son D.L. ne doit contenir que des termes impairs.
↑ ^68,0 et ^68,1 Le terme prépondérant étant le terme de plus bas degré du D.L. à l'ordre $\;n\;$ du facteur, c.-à-d. sur l'exemple choisi $\;u(x)\;$ le D.L. de $\;u(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ en l'infiniment petit $\;x\;$ s'écrit $\;u(x)=a_{p}\;x^{p}+a_{p+1}\;x^{p+1}+\cdots +a_{n}\;x^{n}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ avec $\;a_{p}\neq 0$ .
↑ ^69,0 et ^69,1 On rappelle que cela exige que tout infiniment petit d'ordre $\;>n-p\;$ obtenu lors du développement du produit soit considéré comme un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;\ldots$
↑ ^70,0 et ^70,1 Sachant qu'un infiniment petit d'ordre $\;0\;$ est un abus pour qualifier un terme fini non nul.
↑ Attention les termes infiniment petits d'ordre $\;>n-p\;$ ayant été tronqués dans $\;\alpha (x)\;$ ${\big \{}$ ils sont regroupés dans $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right){\big \}}$ , ils doivent aussi l'être dans $\;\beta (x)\;$ d'où, si $\;p\neq q$ , la nécessité de regrouper $\;b_{n-p+q+1}\;x^{(n-p+1)}+\cdots +b_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)\;$ dans un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)$ .
↑ En effet le D.L. de $\;q(x)\;$ est d'ordre $\;(n-p)+(p-q)=n-q\;$ résultant de l'ordre du D.L. de $\;{\dfrac {a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}{b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n-p+q}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)}}\;$ et de l'autre facteur de $\;q(x)\;$ infiniment petit d'ordre $\;p-q\;$ à savoir $\;x^{(p-q)}$ .
↑ Pour que le quotient du D.L. de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$ sur le D.L. de $\;{\dfrac {v(x)}{x^{q}}}\;$ ait un D.L. sans ordres $\;\in \left]\left]n+q-p\,,\,n\right]\right]\;$ lesquels sont présents dans le D.L. de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$ mais tronqués dans le D.L. de $\;{\dfrac {v(x)}{x^{q}}}$
↑ En effet le D.L. de $\;q(x)\;$ est d'ordre $\;(n+q-p)+(p-q)=n\;$ résultant de l'ordre du D.L. de $\;{\dfrac {q(x)}{x^{(p-q)}}}\;$ et de l'autre facteur de $\;q(x)\;$ infiniment petit d'ordre $\;p-q\;$ à savoir $\;x^{(p-q)}$ .