Leçons de niveau 14

Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels

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Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique des systèmes de points
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Cinétique d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et

     s'il est « indéformable » il définit un « solide au sens de la mécanique».

Définition de la masse du système[modifier | modifier le wikicode]

     La masse du système de deux points matériels «» est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon

«».

     Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c.-à-d. «».

Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie ou centre de masse du système de deux points matériels «» est le barycentre des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant [1]

« tel que ou » est donc un point fictif.

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

     Avec représentant une position quelconque, « est tel que » [2] «» de par la définition est indépendant de .

     Justification : introduisant la position dans la définition, on obtient «» ou «» «» ou encore « ».

Résultante cinétique du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «» en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant soit, en notant la quantité de mouvement du point dans le référentiel à cet instant ,

«» [3] ou encore, ;
«» [4], [5] avec
le vecteur vitesse du point à l'instant dans .

     Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.

Propriété de liaison avec le C.D.I.[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «», définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I. [6] du système au même instant dans le même référentiel selon

«» [4] dans lequel
est la masse du système et
le vecteur vitesse de à l'instant dans .

     Démonstration : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I. [6] du système de deux points matériels est tel que  ;

     Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [7] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D. [8].

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «», définie à l'instant dans le référentiel , est aussi, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. [6] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «» dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[9] est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [10] soit encore

«» [3] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
soit encore «» [4], avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Formule de changement d'origine[modifier | modifier le wikicode]

     Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante

«» [3] dans laquelle
«» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles [11] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [12] soit dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [13] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D. [14].

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I. [6] du système est le plus couramment utilisé soit «» [3] ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I. [6] du système dans le même référentiel , «» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».

Cas d'un système de deux points matériels en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, « » dans lequel « ou, d'une part «» et d'autre part « » puis, en factorisant vectoriellement à droite [13] par « » par définition du C.D.I. [6] du système soit

«» [3] et
«[3] » [4].

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     Le système de deux points matériels «» étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique du point dans par rapport à sous la forme [16], [4], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point  ;
     on en déduit donc ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

«» [4] ;

     en notant «» exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [17],

     le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«
» [4].

     Remarques : Pour un système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , il existe un point origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel est un « axe principal d'inertie » c.-à-d. tel que

«» avec
« le vecteur rotation instantanée [15] du système autour de » et
« le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation »,

     Remarques : ce qui nécessite «» ou, en repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par , c.-à-d. «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [17] la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point » se réécrit «».

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , et étant coplanaires avec et de part et d'autre de , positionnement de pour que soit axe principal d'inertie du système

     Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point  : 1er cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, de part et d'autre de , dans un même plan le contenant,
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point que l'on notera par la suite tel que , les cotes des points et étant repérées par rapport au point origine » dont on déduit «» ou encore «» étant égal à , c.-à-d. que « l'axe de rotation est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » est alors hors du segment , et étant respectivement les projetés orthogonaux sur de et c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de

«» ;

                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «» [19] avec la masse du système et le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si «» ou, sachant que
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or « C.D.I. [6] de » «» soit, en projetant sur , «» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que soit « axe principal d'inertie du système pour » à savoir « » nous en déduisons «» c.-à-d. la confusion de et , projetés orthogonaux sur de et ou encore centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de  ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion est « axe principal d'inertie du système pour tout point » si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier, et les centres des cercles respectivement décrits par et , sont confondus leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I. [6] du système des deux points matériels ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas est « axe de symétrie matérielle[20] de révolution du système des deux points matériels » c.-à-d. que est tel que «».

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , et étant coplanaires avec et d'un même côté par rapport à , positionnement de pour que soit axe principal d'inertie du système

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : 2ème cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, d'un même côté de , dans un même plan le contenant,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point que l'on notera par la suite tel que , les cotes des points et étant repérées par rapport au point origine » dont on déduit «» ou encore «» étant égal à , c.-à-d. que « l'axe de rotation est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » est alors sur le segment , et étant respectivement les projetés orthogonaux sur de et c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de

«» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «» [19] avec la masse du système et le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si « » ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or « C.D.I. [6] de » «» soit, en projetant sur , «» cette condition étant à rejeter dans la mesure où et sont tous deux nécessairement  ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point que pour lequel est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , dans un même plan à , recherche de la condition pour que soit axe principal d'inertie du système pour

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : 3ème cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, dans un même plan à , les projetés orthogonaux sur de et étant confondus en noté sur le schéma ci-contre, étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de ,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe est « principal d'inertie du système pour le point » que l'on notera par la suite car «» pouvant être positionnés de façon quelconque ou encore «» et pouvant être positionnés de façon quelconque

«» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «» [19] avec la masse du système et le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si « » ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » soit encore
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I. [6] du système » confondu avec noté sur le schéma ci-dessus ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point que pour lequel est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée ce point centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I. [6] du système des deux points matériels .

Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «» par rapport à un axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un point quelconque de l'axe soit

«», [21], [3] .

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c.-à-d. en vérifiant la propriété «» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels [18] entre et soit « » [3] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [22] «» [23] R.Q.F.D. [14] ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.

Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «» [24] dans lequel « d'où
     le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par « » en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [25] ou, en notant le projeté orthogonal de sur l'axe «» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par les coordonnées cylindro-polaires de sont avec pour base cylindro-polaire liée à , [17] ce qui permet de réécrire «» selon « » ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant , [3]

«[4], [26].

Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «» [27], [4] dans lequel « » est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où
     le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe orienté par , le moment scalaire étant évalué par rapport à , « » en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [22] ainsi que à , soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«» que l'axe soit principal d'inertie [28] ou non [4].

Énergie cinétique d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système de deux points matériels «» dans le référentiel d'étude est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant , dans le référentiel [29] soit encore

«» [3] ou
«» [4] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
et « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , s'évaluant selon «» soit, en factorisant par et reconnaissant dans l'autre facteur

«» [4], [29]
ou encore, avec [4]
«» [4].

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que avec [30], s'évaluant selon «» [29] ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [25] «» soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur

«» [4] ou
«» [4] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de
ou encore, avec [4], étant le moment d'inertie du système relativement à ,
«» [4].

Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée[modifier | modifier le wikicode]

Référentiel du centre de masse (ou barycentrique)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .

Intérêt de son introduction[modifier | modifier le wikicode]

     On peut décrire la cinématique d'un système de deux points matériel