Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels

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Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique des systèmes de points
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Cinétique d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et

     s'il est « indéformable » il définit un « solide au sens de la mécanique».

Définition de la masse du système[modifier | modifier le wikicode]

     La masse du système de deux points matériels «» est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon

«».

     Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c'est-à-dire «».

Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie ou centre de masse du système de deux points matériels «» est le barycentre des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant[1]

« tel que ou » est donc un point fictif.

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

     Avec représentant une position quelconque, « est tel que »[2] «» de par la définition est indépendant de .

     Justification : introduisant la position dans la définition, on obtient «» ou «» «» ou encore « ».

Résultante cinétique du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «» en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant soit, en notant la quantité de mouvement du point dans le référentiel à cet instant ,

«»[3] ou encore, ;
«»[4],[5] avec
le vecteur vitesse du point à l'instant dans .

     Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.

Propriété de liaison avec le C.D.I.[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «», définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I[6]. du système au même instant dans le même référentiel selon

«»[4] dans lequel
est la masse du système et
le vecteur vitesse de à l'instant dans .

     Démonstration : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I[6]. du système de deux points matériels est tel que  ;

     Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [7] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D[8]..

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «», définie à l'instant dans le référentiel , est aussi, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I.[6] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «» dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[9] est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [10] soit encore

«»[3] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
soit encore «»[4], avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Formule de changement d'origine[modifier | modifier le wikicode]

     Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante

«»[3] dans laquelle
«» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles[11] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[12] soit dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [13] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D[14]..

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I[6]. du système est le plus couramment utilisé soit «»[3] ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I[6]. du système dans le même référentiel , «» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».

Cas d'un système de deux points matériels en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, « » dans lequel « ou, d'une part «» et d'autre part « » puis, en factorisant vectoriellement à droite[13] par « » par définition du C.D.I[6]. du système soit

«»[3] et
«[3] »[4].

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     Le système de deux points matériels «» étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique du point dans par rapport à sous la forme [16],[4], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point  ;
     on en déduit donc ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

«»[4] ;

     en notant «» exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [17],

     le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«
»[4].

     Remarques : Pour un système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , il existe un point origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel est un « axe principal d'inertie » c'est-à-dire tel que

«» avec
« le vecteur rotation instantanée[15] du système autour de » et
« le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation »,

     Remarques : ce qui nécessite «» ou, en repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par , c'est-à-dire «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [17] la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point » se réécrit « ».

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , et étant coplanaires avec et de part et d'autre de , positionnement de pour que soit axe principal d'inertie du système

     Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point  : 1er cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, de part et d'autre de , dans un même plan le contenant,
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point que l'on notera par la suite tel que , les cotes des points et étant repérées par rapport au point origine » dont on déduit «» ou encore «» étant égal à , c'est-à-dire que « l'axe de rotation est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » est alors hors du segment , et étant respectivement les projetés orthogonaux sur de et c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de

«» ;

                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système[18] «»[19] avec la masse du système et le C.D.I[6]. de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si «» ou, sachant que
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or « C.D.I[6]. de » «» soit, en projetant sur , «» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que soit « axe principal d'inertie du système pour » à savoir « » nous en déduisons «» c'est-à-dire la confusion de et , projetés orthogonaux sur de et ou encore centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de  ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion est « axe principal d'inertie du système pour tout point » si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier, et les centres des cercles respectivement décrits par et , sont confondus leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I[6]. du système des deux points matériels ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas est « axe de symétrie matérielle[20] de révolution du système des deux points matériels » c'est-à-dire que est tel que «».

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , et étant coplanaires avec et d'un même côté par rapport à , positionnement de pour que soit axe principal d'inertie du système

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : 2ème cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, d'un même côté de , dans un même plan le contenant,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point que l'on notera par la suite tel que , les cotes des points et étant repérées par rapport au point origine » dont on déduit «» ou encore «» étant égal à , c'est-à-dire que « l'axe de rotation est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » est alors sur le segment , et étant respectivement les projetés orthogonaux sur de et c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par et dans leur rotation autour de

«» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système[18] «»[19] avec la masse du système et le C.D.I[6]. de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si « » ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or « C.D.I[6]. de » «» soit, en projetant sur , «» cette condition étant à rejeter dans la mesure où et sont tous deux nécessairement  ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point que pour lequel est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.

Schéma descriptif d'un système de deux points en rotation autour d'un axe , dans un même plan à , recherche de la condition pour que soit axe principal d'inertie du système pour

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : 3ème cas voir ci-contre, et tournent autour de l'axe de rotation en restant, dans un même plan à , les projetés orthogonaux sur de et étant confondus en noté sur le schéma ci-contre, étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de ,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe est « principal d'inertie du système pour le point » que l'on notera par la suite car «» pouvant être positionnés de façon quelconque ou encore «» et pouvant être positionnés de façon quelconque

«» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système[18] «»[19] avec la masse du système et le C.D.I[6]. de ce dernier, nous en déduisons que « sera égal à » si « » ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : est, comme le système, en rotation autour de « ou mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant « radial et », nous en déduisons « si » soit encore
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I[6]. du système » confondu avec noté sur le schéma ci-dessus ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point que pour lequel est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée ce point centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I[6]. du système des deux points matériels .

Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «» par rapport à un axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un point quelconque de l'axe soit

«»,[21],[3] .

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels[18] entre et soit « »[3] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[22] «»[23] R.Q.F.D[14]. ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.

Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «»[24] dans lequel « d'où
     le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par « » en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[25] ou, en notant le projeté orthogonal de sur l'axe «» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par les coordonnées cylindro-polaires de sont avec pour base cylindro-polaire liée à , [17] ce qui permet de réécrire «» selon « » ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant [3],

«[4],[26].

Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «»[27],[4] dans lequel « » est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où
     le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe orienté par , le moment scalaire étant évalué par rapport à , « » en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[22] ainsi que à , soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«» que l'axe soit principal d'inertie[28] ou non[4].

Énergie cinétique d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système de deux points matériels «» dans le référentiel d'étude est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant , dans le référentiel [29] soit encore

«»[3] ou
«»[4] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
et « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , s'évaluant selon «» soit, en factorisant par et reconnaissant dans l'autre facteur

«»[4],[29]
ou encore, avec [4]
«»[4].

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que avec [30], s'évaluant selon «»[29] ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[25] «» soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur

«»[4] ou
«»[4] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de
ou encore, avec [4], étant le moment d'inertie du système relativement à ,
«»[4].

Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée[modifier | modifier le wikicode]

Référentiel du centre de masse (ou barycentrique)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .

Intérêt de son introduction[modifier | modifier le wikicode]

     On peut décrire la cinématique d'un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :

        un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et

        un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I[6].  ;

     le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude  ;

     la description de la cinématique du système se réduit donc à

        celle du mouvement du C.D.I[6]. dans le référentiel d’étude et

        celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Résultante cinétique barycentrique[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système de deux points matériels «» est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique des deux points matériels du système soit

«»[3] ou encore «»[4].

     Propriété : «»[4] car «»[4] d'une part et «» d'autre part ;
     Propriété : on en déduit « »[4].

Moment cinétique vectoriel barycentrique[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système de deux points matériels «» évalué en un point quelconque «» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique des deux points matériels du système par rapport au même point au même instant soit

«»[3] ou encore
«»[4].

     Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «»[4] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «»[3] avec [4] d'où «»[4].

Énergie cinétique barycentrique[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système de deux points matériels «» est la somme des énergies cinétiques barycentriques des deux points matériels du système au même instant soit

«»[3] ou encore
«
»[4].

Mouvement du référentiel barycentrique par rapport au référentiel d'étude et conséquence sur la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     A priori, il est nécessaire de préciser le référentiel ou dans lequel on calcule la dérivée temporelle d'une fonction vectorielle en effet, a priori, même si la norme de la fonction vectorielle est constante, sa direction peut être constante dans un référentiel et variable dans un autre, entraînant la nullité de la dérivée temporelle dans le 1er référentiel et la non nullité dans l’autre ;

     toutefois, quand les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre, les dérivées temporelles de grandeurs vectorielles sont identiques voir le paragraphe « introduction (au changement de référentiel en cinématique newtonienne dans le cas du référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu) » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen », cela résulte du fait que la direction de la fonction vectorielle est alors indépendante du référentiel d'où

     toutefois étant en translation de vecteur vitesse relativement à , on aura «»
      toutefois il est inutile de préciser le référentiel ou dans lequel on fait la dérivation temporelle de la grandeur vectorielle , la dérivée temporelle étant simplement notée «».

Théorèmes de Kœnig (ou König)[modifier | modifier le wikicode]

     Les théorèmes de Kœnig ou König[31] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes de deux points matériels.

Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1er théorème de Kœnig)[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude[18] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I[6]. du système, on peut donc écrire «»[4] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude  ;

     il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig[31], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.[6] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude , s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I[6]. du système, soit encore à établir «» ;

     pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[33], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[34], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «»[33] puis,
     en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[12] dans le membre de droite « », enfin
     en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par [13] » par définition du C.D.I[6]. du système de deux points matériels d'où finalement «» R.Q.F.D[14]..

Version projetée sur une direction fixée du 1er théorème de Kœnig[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Il suffit d'appliquer, à l'instant , au système de deux points matériels «», le 1er théorème de Kœnig[31], dans le référentiel d'étude , soit « »[4] puis
     Démonstration : Il suffit de multiplier chaque membre par définissant la direction de projection du 1er théorème de Kœnig[31], soit «» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[22], «» et enfin
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique scalaire du système à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un axe passant par et orienté par «»,
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique barycentrique scalaire du système à l'instant relativement à la direction «»[35] et
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique scalaire du C.D.I[6]. du système au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même axe « »,
     Démonstration : soit finalement «» R.Q.F.D[14]..

Système de deux points matériels « » en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude , le C.D.I[6]. du système étant hors de l'axe

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Soit le système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude le repère cartésien associé à étant , orientant avec un vecteur rotation instantanée [15] voir figure ci-contre, le C.D.I[6]. du système étant hors de l'axe ,
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le référentiel barycentrique du système le repère cartésien associé à étant choisis aux axes du repère cartésien associé à est en translation circulaire dans avec un vecteur vitesse instantanée  ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : étant en translation relativement à , le mouvement barycentrique du système des deux points matériels « » est en rotation autour de l'axe fixe dans avec un vecteur rotation instantanée [15] ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : l'application du 1er théorème de Kœnig[31] au système des deux points matériels «» dans sa version projetée sur une direction orientée par nous conduit à « » avec

  • «» dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le point de l'axe , « étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du système définie selon » et
  • «» dans lequel « est le moment d'inertie du C.D.I[6]. par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le C.D.I[6]. de l'axe , d'où
«»,

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en évaluant directement le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe dans le référentiel d'étude par « dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le point de l'axe et
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en identifiant les deux expressions de déterminée directement et par 1er théorème de Kœnig[31] dans sa version projetée sur la direction ,

«»
après simplification par
«» théorème de Huygens[36][37],
étant aussi la distance orthogonale séparant de .

Théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2ème théorème de Kœnig)[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «» étant définie,

  • à l'instant , dans le référentiel d'étude , selon «»[4] et,
  • dans le référentiel barycentrique , au même instant , selon «»,

     nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[33], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[34], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit « »[33] puis,
     en formant le carré scalaire multiplié par de chaque membre et en développant le membre de droite «», enfin
     en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant scalairement par [38] » par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système de deux points matériels et le « 3ème terme, en factorisant par , » d'où finalement « » R.Q.F.D[14]..

Exemple d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe ΔG de vecteur rotation instantanée barycentrique fixé[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons un système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe passant par le C.D.I[6]. du système et de direction fixe dans le référentiel barycentrique du système, avec un vecteur rotation instantanée [15] à l'instant ,
     Considérons le C.D.I[6]. du système se déplaçant dans le référentiel d'étude et y ayant un vecteur vitesse instantanée au même instant ,
     l'application du 2ème théorème de Kœnig[31] au système des deux points matériels «» nous conduit à «» avec

  • «» dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale entre le point et l'axe , « étant la vitesse angulaire de rotation du système à l'instant dans le référentiel barycentrique soit » étant le vecteur unitaire orientant cette partie d’énergie cinétique correspondant à la rotation propre barycentrique du système des deux points et
  • «» dans lequel « est la masse du système » cette partie d’énergie cinétique correspondant à la translation d'ensemble du système des deux points dans le référentiel d'étude d'où
«».

Dynamique d'un système de deux points matériels dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Systèmes de forces extérieures, de forces intérieures, résultante des systèmes de forces[modifier | modifier le wikicode]

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que la notion associée de « résultante ».

Définition des systèmes de forces extérieures, de forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Une force extérieure est une force que l'extérieur du système de deux points matériels «» exerce sur un point de ce système «» ;
           le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces « que chaque système de exerce sur chaque point de » ou encore «»[39].

     Une force intérieure est une force qu'un point du système de deux points matériels «» exerce sur un autre point ce système  ;
           le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces que chaque point de exerce sur chaque point de .

           Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que exerce sur mais aussi l’action que exerce sur avec  ; on parle alors d’interactions entre les deux points et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton[40] a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n[41]. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton[40].

Rappel du principe de l'action et de la réaction (ou 3ème loi de Newton)[modifier | modifier le wikicode]

     Le principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton[40] a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques et commentaires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », il ne s'agit donc que d'un rappel.

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : En « dynamique newtonienne »[44] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel[45] ;

     Commentaires : la 2ème relation peut s'écrire encore, en utilisant la 1ère relation, , ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun , la 1ère relation ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.

Résultante d'un système de forces[modifier | modifier le wikicode]

Résultante du système des forces extérieures (ou encore résultante dynamique)[modifier | modifier le wikicode]
Résultante du système des forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété[46] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système[47].

              Propriété Démonstration : cette propriété résulte de la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a .

Théorème de la résultante cinétique, théorème du mouvement du centre d'inertie (ou théorème du centre d’inertie ou de masse)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de la résultante cinétique[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Démonstration[48] : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque point matériel du système de deux points matériels , la r.f.d.[49] soit

«»[50] et

           Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne ou ,

  • le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système de deux points matériels,
  • le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit et
  • le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système de deux points matériels soit d'où
pour un système de deux points matériels dans un référentiel galiléen,
ou (C.Q.F.D.)[8],
applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

Théorème du mouvement du centre d'inertie (ou théorème du centre d’inertie ou de masse)[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Démonstration[51] : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système de deux points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit dans laquelle est la résultante cinétique du système au même instant et,
            Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique , la masse inerte et le vecteur vitesse du C.D.I[6]. du système à savoir dont on déduit,
            Démonstration : , la masse du système de deux points matériels étant constante, soit,
            Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, (C.Q.F.D.)[8].

Théorèmes de l'inertie[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système de deux points matériels sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel quelconque de postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à le système étant isolé «» d'où, en faisant ajoutant ces relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir ainsi que la définition de la résultante cinétique , on établit soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé[52].

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système isolé on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétique de est conservée au cours du temps puis, comme avec pour un système de deux points matériels, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[6]. du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de .

Conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Conséquence du théorème de la résultante cinétique[53] : Si le système de deux points matériels est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème de la résultante cinétique au système dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,

« la conservation de la résultante cinétique du système »[54] soit  ;
cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

     Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie[55] : Si le système de deux points matériels est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème du mouvement du C.D.I[6]. au système dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,

« la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[6]. du système »[56] soit  ;
cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.

Moments résultants d’un système de forces calculé en O (a priori quelconque)[modifier | modifier le wikicode]

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que les notions associées de moments résultants vectoriel et scalaire.

Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures calculé en O (ou encore moment résultant vectoriel dynamique)[modifier | modifier le wikicode]

Moment résultant vectoriel du système de forces intérieures calculé en O[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété[58] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système[47].

              Propriété Démonstration : le vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur le système «», avec comme point origine d'évaluation des moments vectoriels, s'écrivant ou,
              Propriété Démonstration : ayant, d’après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, soit, en substituant par et en factorisant vectoriellement à droite par [13] «»,
              Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d'où la propriété énoncée .

Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nuls en effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine , il l'est par rapport à tout autre point origine car la résultante l'est aussi[59] ;

     toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels n'est pas équivalent à un système de forces nul en particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de deux points matériels déformable n’est pas nul[60], alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment.

Moment résultant scalaire d’un système de forces par rapport à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment scalaire d'une force par rapport à l'axe , noté est le projeté, sur l'axe orienté par , du moment vectoriel de cette force par rapport à un point quelconque de l'axe [61] soit

«», [62].
Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels et propriété[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété[63] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système[47].

              Propriété Démonstration : ayant établi au paragraphe « définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels et propriété » plus haut dans ce chapitre «» on en déduit aisément, en multipliant scalairement chaque membre par , «» c'est-à-dire la propriété énoncée «».

Théorèmes des moments cinétiques[modifier | modifier le wikicode]

Théorème du moment cinétique vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «» étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,

     Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans [64], s'écrivant « »,

     Démonstration : on fait la somme de ces relations «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système de deux points matériels évalué au même point à l'instant «»[65] et
  • « le 2ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[66], à «» c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système de deux points matériels par rapport au même point au même instant .

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

Conséquence : condition de conservation du moment cinétique vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels par rapport à un point fixe dans le référentiel d'étude galiléen à savoir « » si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «»[67], cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système de deux points matériels en un point fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «» ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels par rapport au point fixe dans galiléen peut être nul par

« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système des deux points est isolé,
« des forces extérieures toutes centrales par rapport au point fixe »[68] ou
« des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe se compensent »[69].
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen n'est pas mémoriser quand le point origine a un mouvement quelconque relativement au système dans car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est[70] ;

     toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[6]. du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : Ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermé déformable ou non de points matériels.

     Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système de deux points matériels est lié à la vitesse du C.D.I. du système et à la masse de ce dernier par voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «» ;
     Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique d'un système de deux points matériels et le mouvement du C.D.I. du système[71] d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «» étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     Démonstration : on exprime d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans [72], en écrivant ce théorème relativement à un point origine fixe dans soit «» puis on effectue le changement d'origine selon «» que l'on reporte dans la relation après dérivation de la dernière expression selon « », ce qui donne, après factorisation vectorielle[13] partielle à gauche par dans le 2ème terme

«»,

     Démonstration : ou encore, en appliquant la r.f.d.n[73]. à «» d'où la réécriture de la relation «»

     Démonstration : soit, enfin en ajoutant les relations, «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système de deux points matériels évalué au même point à l'instant «»[65],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[66], à «» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système de deux points matériels par rapport au même point au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [13] «» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de deux points matériels «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;

     Démonstration : finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.

Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système de deux points matériels) dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen car le C.D.I[6]. du système est mobile le seul cas où y serait fixe est « isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale » :

     le prolongement du théorème dans lequel on utilise «» voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre, conduit donc à «» d'où l'énoncé :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[6]. du système , le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude galiléen et non dans le référentiel barycentrique , lequel est en général non galiléen[74].

Théorème du moment cinétique scalaire, énoncé et démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Cas d'un mouvement quelconque[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «» étudié dans le référentiel galiléen et un axe fixe dans par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe étant orienté par le vecteur unitaire ,

     Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point quelconque, fixe sur dans [75], s'écrivant «»,

     Démonstration : on multiplie scalairement chaque membre par «» et on reconnaît

  • dans « le 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système de deux points matériels évalué par rapport à l'axe à l'instant «» et
  • dans « le 2ème membre » se transformant en «» compte-tenu de la constance de , la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels par rapport au même axe au même instant , «».

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

Cas d’un système en rotation autour d’un axe Δ fixe[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « application du théorème du moment cinétique scalaire au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaire : sous cette forme, ce théorème applicable en dynamique newtonienne à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste[79].

     Démonstration : Ayant rappelé, dans le paragraphe « moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe de rotation , la vitesse angulaire de rotation et le moment d'inertie à savoir « » et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale « », il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas du système en rotation sachant que le moment d'inertie du système relativement à cet axe est une constante, soit « » et par suite «» R.Q.F.D[14]..

     Remarque : Sachant voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé (le point origine de calcul étant un point A quelconque de l'axe) » plus haut dans ce chapitre que «» dans laquelle «» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas du point la base cylindro-polaire liée à étant notée [17], le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation [76], le vecteur rotation instantanée du système à l'instant et la vitesse angulaire de rotation du système au même instant , nous constatons que, dans le cas général, «» « » d'où
     Remarque : le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit « » avec «» dans le cas général où l'axe n'est pas un axe principal d'inertie du système[80] ;

     Remarque : par contre, dans le cas particulier où l'axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen, est un axe principal d'inertie[80] du système de deux points matériels autour duquel il est en rotation, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de s'écrit «», étant un point quelconque de .

     Conséquence : Si le moment résultant dynamique scalaire du système de deux points matériels en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen est nul c'est-à-dire si «», le système tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps c'est-à-dire «».

Complément, système de deux points en rotation autour d’un axe Δ se déplaçant dans le référentiel d'étude en y gardant une direction fixe[modifier | modifier le wikicode]

     Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen ce qui a pour conséquence que le vecteur unitaire orientant est un vecteur constant dans n'est pas mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;

     il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen[81], étant choisi sur de façon à ce que soit «» dans laquelle « est la résultante cinétique du système » et « le vecteur vitesse du point dans » définis tous deux à l'instant «» dans laquelle on reconnaît

  • dans le 1er membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe soit «»,
  • dans le 1er terme du 2ème membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe car «» compte-tenu du fait que soit «» et
  • dans le 2ème terme du 2ème membre, un produit mixte « a priori »[23] ou encore, « a priori » en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[25],

     soit finalement, sans utiliser le caractère rotatif du système , «» ;

     pour un système en rotation, à l'instant , à la vitesse angulaire dans galiléen autour de l'axe se translatant dans donc gardant une direction fixe, le moment cinétique scalaire du système à l'instant , dans , s'exprimant selon «» avec le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation [76] « » d'où l'énoncé du prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à en rotation autour de de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen.

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : sous cette forme, ce prolongement de théorème applicable en dynamique newtonienne à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste[79].

     Commentaires : Le terme correctif «» se réécrivant, en tenant compte de «» voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique du système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre, «» est nul dans le cas de nullité d'un produit mixte[23] c'est-à-dire dans le cas où

  • l'axe glisse sur lui-même du point fixe de est colinéaire à ou,
  • l'axe se translate parallèlement au mouvement du C.D.I[6]. du système du point fixe de est colinéaire à ou encore,
  • l'axe passe par le C.D.I[6]. du système ce qui est certainement le cas le plus fréquemment rencontré du point fixe de est colinéaire à  ;

     Commentaires : en conclusion le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen prend la forme simplifiée «» dans le cas où l'axe de rotation glisse sur lui-même ou si la translation de l'axe se fait parallèlement à la trajectoire du C.D.I.[6] du système dont un cas particulier est l'axe passant par c'est-à-dire «».

Puissance des systèmes de forces relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que la notion associée de puissance développée.

Puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

  • 1er cas particulier, système de deux points matériels «» en translation de vecteur vitesse à l'instant par rapport au référentiel d'étude  :
    «» dans laquelle
    « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
    1er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement[38] par dans l'expression définissant «», on obtient ainsi « », le facteur entre crochets s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à à l'instant [83] R.Q.F.D[14]..
  • 2ème cas particulier, système (indéformable) de deux points matériels «» en rotation de vecteur rotation instantanée [15] à l'instant autour d'un axe fixe du référentiel d'étude  :
    «» dans laquelle
    « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et
    « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par » ;
    2ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée [15] autour de avec [84] « » «» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[25], nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la force relativement au point dans le facteur entre crochets «» puis, en factorisant scalairement[38] par , «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à et enfin, en explicitant en fonction de la vitesse angulaire de rotation de à l'instant autour de «», on obtient « »[85] R.Q.F.D[14]..
  • 3ème cas particulier, système indéformable de deux points matériels «» en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude  :
    «» dans laquelle
    « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant »,
    « le vecteur vitesse du C.D.I[6]. de à l'instant dans le référentiel d'étude »,
    « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à par rapport au C.D.I[6]. de à l'instant » et
    « le vecteur rotation instantanée[15], à l'instant , de autour de l'axe [86] dans le référentiel barycentrique du solide » ou
    dans le référentiel d'étude , les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre ;
    3ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « référentiel barycentrique intérêt de son introduction » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système de deux points matériels «» indéformable c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
    3ème cas particulier, démonstration : d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[6]. du système et
    3ème cas particulier, démonstration : d'une rotation[87] autour de son C.D.I[6]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide d'où
    3ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse du point à l'instant dans , «» dont on déduit l'expression de la puissance développée par la force extérieure agissant sur à l'instant , «» et, en ajoutant ces relations, la puissance cherchée «» ce qui donne
    3ème cas particulier, démonstration : dans le 1er terme, après factorisation scalaire[38] par , «» et
    3ème cas particulier, démonstration : dans le 2ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[25], «» puis la factorisation scalaire[38] par , «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à d'où
    3ème cas particulier, démonstration : «» R.Q.F.D[14]..

Puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Autres expressions[89] : la 1ère découle de l'utilisation de [90] et de l'introduction du référentiel lié au point en translation par rapport au référentiel d'étude ,
           Autres expressions : la 2nde est obtenue à partir de la 1ère mais sans la restriction permettant de ne pas compter deux fois le couple par exemple « ou » sans cette restriction on obtient fois plus de termes dans la double somme d'où le facteur pour compenser :

           Autres expressions : «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude on peut aussi utiliser le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude pour écrire «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude  ;

           Autres expressions : «» dans lesquelles «» c'est-à-dire la puissance développée, à l'instant , par la force que exerce sur dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude  ;

           Autres expressions : démonstration de la 1ère autre expression de  : la définition de la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système étant « » se réécrit
           Autres expressions : démonstration : en utilisant la 1ère relation introduite dans le principe des actions réciproques[90] à savoir «» pour factoriser scalairement[38] le terme entre crochets par «», ce qui donne «» ou encore,

           Autres expressions : démonstration : en évaluant dans le référentiel d'étude la grandeur vectorielle «» on obtient « » cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles[11], c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans , du « vecteur position relative de relativement à à l'instant » ou, « vecteur position de à l'instant dans le référentiel lié à en translation par rapport à », ou encore, avec en translation par rapport à «»[91] cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant de dans noté » soit finalement « » et par suite

           Autres expressions : démonstration : «» R.Q.F.D[14]..

           Autres expressions : démonstration : Remarque : L'expression utilisant le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude s'obtient en permutant les indices « et » selon « en remplaçant par d'où ».

     Conséquences : «» ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels ou et mais non de leur origine ou et , a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux , en particulier dans le référentiel d'étude et le référentiel barycentrique du système de deux points matériels .

     Conséquences : Dans le cas général «» est «» car dépendant de la vitesse relative du point par rapport au point ou de celle du point par rapport au point et celles-ci sont non nulles si le système de deux points matériels est déformable.

     Conséquences : Si le système de deux points matériels est indéformable, «» car «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[90] et la composante sur de étant avec d'où «».

Théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Démonstration[92] : Dans le référentiel d'étude galiléen , on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel [93], soit

«» puis

               Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme, membre à membre, des relations ainsi définies à l'instant

«» ou encore
«»
  • le 1er membre «» se réécrivant «» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système « » à l'instant c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «» au même instant ,
  • le 1er terme du 2nd membre «» définit la puissance développée, à l'instant , par les forces extérieures appliquées au système «» et
  • le 2ème terme du 2nd membre «» la puissance développée, à l'instant , par les forces intérieures appliquées au système « »,

               Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de deux points matériels.

Cas particulier d'un système de deux points matériels indéformable[modifier | modifier le wikicode]

     Voir aussi le paragraphe « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Conséquence de la nullité de la puissance du système de forces intérieures s'exerçant sur le système de deux points matériels indéformable[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de la puissance cinétique se simplifie dans le cas particulier d'un système de deux points matériels «» indéformable car nous avons établi au paragraphe « 3ème conséquence d'évaluation de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette dernière est nulle soit «» d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaire : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système indéformable de deux points matériels

Cas d'un système de deux points matériels indéformable en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système de deux points matériels «» en translation donc indéformable de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en translation[94] s'écrivant «» avec « la résultante dynamique appliquée à à l'instant » et l'énergie cinétique du système en translation[95] «» avec « la masse du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système de deux points matériels en translation donc indéformable relativement au référentiel d'étude galiléen se réécrit «».

Cas d'un système de deux points matériels indéformable en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée donné[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système de deux points matériels «» en rotation donc indéformable de vitesse angulaire instantanée autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en rotation autour d'un axe fixe[96] s'écrivant «» avec « le moment résultant dynamique scalaire appliquée à à l'instant relativement à » et l'énergie cinétique du système en rotation autour d'un axe fixe[97] «» avec « le moment d'inertie[76] du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe donc indéformable relativement au référentiel d'étude galiléen se réécrit «».

Complément, système de deux points matériels indéformable en mouvement quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un système de deux points matériels indéformable «» en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude galiléen, mouvement composé d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , , étant le C.D.I[6]. du système, et d'une rotation de vecteur rotation instantanée, au même instant , autour d'un axe passant par  : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en mouvement quelconque[98] s'écrivant «» avec « la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ainsi que « le moment résultant dynamique vectoriel appliquée à à l'instant évalué par rapport à » et l'énergie cinétique du système en mouvement quelconque[99] «» avec « la masse du système », « l'énergie cinétique barycentrique du système encore égale à , étant le moment d'inertie[76] du système par rapport à l'axe »[100], le théorème de la puissance cinétique appliqué au système indéformable de deux points matériels en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude galiléen se réécrit «».

Travail développé par les systèmes de forces relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que les notions associées de travaux élémentaire et fini.

Travail développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : «» dans laquelle est le vecteur déplacement élémentaire du point sur l'intervalle de temps dans  ; «» étant aussi le travail élémentaire développé par la force appliqué à sur l'intervalle de temps dans [101], nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.

  • 1er cas particulier, système de deux points matériels «» en translation donc indéformable d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude  :
    «» dans laquelle
    « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
    1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «»[102], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. »[14].
  • 2ème cas particulier, système de deux points matériels «» en rotation donc indéformable d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude  :
    «» dans laquelle
    « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » ;
    2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par »[103], on obtient ainsi « » ou encore, «» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. »[14].
Travail développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « travail élémentaire développé par le système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre « » avec le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle de temps dans «» dans laquelle chaque point décrivant une trajectoire spécifique a une position paramétrée par avec une position initiale notée et une finale notée d'où
     Remarque : en permutant l'addition discrète et l'addition continue[104], conséquence de la linéarité de ces opérations «» et
     Remarque : en reconnaissant dans le terme entre crochets la paramétrisation d'une intégrale curviligne «»[105],
     Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.

  • 1er cas particulier, système de deux points matériels «» en translation donc indéformable telle qu'un point quelconque réel ou fictif, lié à , suit la trajectoire de à dans le référentiel d'étude sur l'intervalle de temps  :
    «»[105] dans laquelle
    « est la résultante dynamique appliquée en lié à en une position générique de » et
    « le vecteur déplacement élémentaire du point lié à sur » ;
    1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[105],[106] dans laquelle est égal à au point d'application près, suivant se déduisant de par translation de vecteur d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue[104], conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «» ou encore, après factorisation scalaire[38] par dans la fonction à intégrer «» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. »[14].
  • 2ème cas particulier, système de deux points matériels «» en rotation donc indéformable autour d'un axe fixe du référentiel d'étude telle qu'un point quelconque réel ou fictif, lié à mais , tourne de à autour du , le projeté orthogonal de sur , l'abscisse angulaire de dans le plan de sa trajectoire variant de à sur l'intervalle de temps  :
    «» dans laquelle
    « est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en lié à en une position générique du cercle décrit » et
    « la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique lié à » ;
    2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[105],[106] dans laquelle est le cercle suivi par avec , son vecteur déplacement élémentaire le long de ou, en utilisant «», le point se déplaçant sur un cercle[107], on obtient «» dans laquelle est égal à au point d'application près, suivant se déduisant de par composition d'une homothétie de centre , le projeté orthogonal de sur l'axe , d'une translation de vecteur , étant le projeté orthogonal de sur l'axe et d'une rotation autour de d'un angle d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue[104], conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «» ou «» en factorisant par la fonction à intégrer, soit finalement «» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. »[14].

Travail développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Autres expressions[108] : la 1ère découle de la 1ère autre expression de voir le paragraphe « 1ère autre expression de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre obtenue en utilisant [90] et en introduisant le référentiel lié au point en translation par rapport au référentiel d'étude , 1ère autre expression de s'écrivant «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude dont on déduit, en multipliant les deux membres par ,

«» avec
«»[109] le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps
par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude

           Autres expressions : on peut aussi utiliser le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude pour écrire «» avec « » la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude et en déduire «» avec «» le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude  ;

           Autres expressions : la 2nde découle de la 2nde autre expression de voir le paragraphe « 1ère autre expression de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre obtenue en formant la demi-somme des deux formes possibles de la 1ère autre expression de soit «» dont on déduit, en multipliant les deux membres par ,

«» avec
«»[109] le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps
par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude .

     Avec un repérage sphérique du point [110] dans le repère associé au référentiel  : les coordonnées sphériques du point dans le repère associé au référentiel étant «» et la base locale sphérique associée «», on en déduit l'explicitation de «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[90] et celle de « »[111] «» et par suite

«» ou, en permutant les indices « et », «»
ou encore «»[112].

                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : Si la force d'interaction entre et est « attractive », « est » et
                        Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : si   la force d'interaction entre M1 et M2elle est « répulsive », « est ».
                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : De l'explicitation du travail élémentaire du système des forces intérieures appliqué au système de deux points matériels précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à utilisant le repérage sphérique du point [110] dans le repère associé au référentiel soit

«» ou
«».

                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : De ces expressions appliquées à indéformable on vérifie que «» et
                           Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «».

Travail développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

     Autres expressions[108] : ces expressions résultent de l'addition continue[104] des « diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (sous-paragraphe “ autres expressions ”) » établies plus haut dans ce chapitre d'où

           Autres expressions : la 1ère autre expression «» dans laquelle « » en utilisant le repérage sphérique du point [110] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double somme discrète et de la somme continue[104], à l'aide d'une intégrale curviligne[105] selon

«
»
avec la trajectoire du point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude et

           Autres expressions : la 2ème autre expression «» dans laquelle «» en utilisant le repérage sphérique du point [110] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double somme discrète et de la somme continue[104], à l'aide d'une intégrale curviligne[105] selon

«»
avec la trajectoire du point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude .

Théorème de l'énergie cinétique (forme intégrée du théorème de la puissance cinétique)[modifier | modifier le wikicode]

     La forme « intégrée » associée à la forme « locale » du « théorème de la puissance cinétique » est le « théorème de l'énergie cinétique » voir le paragraphe « différence entre “ forme locale de la dynamique ” et “ forme intégrée associée à cette forme locale ” » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour passer d'une « forme locale de la dynamique écrite à l'instant » à la « forme intégrée écrite sur l'intervalle de temps associée à cette forme locale », il suffit de multiplier la forme locale par d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire après utilisation de [113] d'une part et [114] d'autre part :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : de on déduit [115] d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «» dans le référentiel d'étude galiléen : « »[116] avec « la masse du solide » et « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant ».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : «»[117] avec « le moment d'inertie[76] du solide par rapport à » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide à l'instant ».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I[6]. «» et d'un déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe passant par mobile dans le référentiel d'étude galiléen : « »[118] avec « la masse du solide », « le moment d'inertie[119] du solide par rapport à », « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide au même instant ».

Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

     Pour mémoire « le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue[104] de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «» d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système de deux points matériels :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : de on déduit d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «» dans le référentiel d'étude galiléen : « »[116] avec « la masse du solide » et « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant ».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : «»[117] avec « le moment d'inertie[76] du solide par rapport à » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide à l'instant ».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I[6]. «» et d'un déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe passant par mobile dans le référentiel d'étude galiléen : « »[118] avec « la masse du solide », « le moment d'inertie[119] du solide par rapport à », « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide au même instant ».

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Le caractère conservatif d'un système de forces et par suite la notion d'énergie potentielle dans le champ de ce système de forces conservatif n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du temps l'énergie potentielle associée à ce système de forces conservatif ne dépend pas explicitement du temps il est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée l'énergie potentielle associée dépend alors explicitement du temps, sa différentielle à temps figé étant l'opposée du travail élémentaire du système de forces à temps figé mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons.

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans son champ de forces extérieures (conservatives)[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Les C.N[124]. pour que la forme différentielle «»[123] soit une différentielle de fonction scalaire[122] peuvent être étudiées dans le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », le caractère suffisant de ces C.N[124]. étant usuellement vérifié pour les fonctions vectorielles utilisées mais néanmoins, il faut savoir que les C.N[124]. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

     Remarque : L'énergie potentielle du système de deux points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de l'énergie potentielle » c'est-à-dire préciser la valeur des coordonnées des points pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.


Cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

     1er cas particulier, système de deux points matériels «» en translation donc indéformable d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude pour lequel le travail élémentaire du système de forces extérieures «» appliqué à et résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[129] est une différentielle de fonction scalaire avec « la résultante du système des forces extérieures », ce travail élémentaire s'écrivant encore « avec un point quelconque lié à » s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de dans le champ du système des forces extérieures notée fonction des coordonnées du point selon

«»

«» dans laquelle
« est la résultante du système des forces extérieures » ;

     1er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en translation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[130] près ne dépend pas du choix du point lié au système usuellement on choisit pour le C.D.I[6]. de

     2ème cas particulier, système de deux points matériels «» en rotation donc indéformable d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude pour lequel le travail élémentaire du système de forces extérieures «» appliqué à et résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[131] est une différentielle de fonction scalaire avec « le moment résultant scalaire du système des forces extérieures par rapport à l'axe », ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de dans le champ du système des forces extérieures notée fonction de l'abscisse angulaire de rotation selon

«»

«» dans laquelle
« est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures » ;

     2ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en rotation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[130] près ne dépend pas du choix de la direction, liée au système , par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation

Énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points matériels (évidemment pour une interaction conservative)[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Avec un repérage sphérique du point dans le repère associé au référentiel [110], nous avons établi dans le paragraphe « travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (avec un repérage sphérique …) » plus haut dans ce chapitre une expression du travail élémentaire de la force intérieure que exerce sur adaptable, dans le cas présent, selon «» avec « la coordonnée radiale de dans le repère associé à »[110] et « la seule composante radiale de appliquée à dans le repère associé à », d'où

     Remarque : Les C.N.[124] pour que la forme différentielle «»[123] soit une différentielle de fonction scalaire[122] voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » donnent, dans le cas présent, que «, la seule composante radiale de appliquée à dans le repère associé à , doit être indépendante des coordonnées angulaires du point dans le repérage sphérique[110] lié à ce point associé au référentiel »[135], le caractère suffisant de ces C.N[124]. étant usuellement vérifié pour les fonctions scalaires utilisées mais néanmoins, il faut savoir que les C.N[124]. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle »[130] : usuellement « la référence de » est choisie pour les points du système éloignés à l'infini l'un de l'autre c'est-à-dire « pour ».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif ne dépendant que de la distance séparant le deux points du système et celle-ci étant indépendante du référentiel dans laquelle elle est définie, on en déduit que « est invariante par changement de référentiel ».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif peut se réécrire comme la demi-somme des deux formes d'énergie potentielle précédentes soit

«» avec
«» définie de la même façon c'est-à-dire telle que
«»[110].

     Remarques : Avec le choix de « référence pour »[130] «», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif si la composante radiale de force est de variation monotone à savoir
     Remarques : si la force d'interaction de type est « purement attractive »[138] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » et
     Remarques : si la force d'interaction de type est « purement répulsive »[138] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est ».

Exemple, énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés ou de celui de deux points matériels en interaction gravitationnelle[modifier | modifier le wikicode]
1ère expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés, analogie avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle[modifier | modifier le wikicode]

1ère expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés :

     Soit un système de deux points chargés «», le système des forces d'interaction électrostatique «» entre les deux points du système est conservatif en effet chaque force suivant la loi de Coulomb[139] rappelée ci-dessous, on vérifie bien que le travail élémentaire de chacune d'elle est une différentielle de fonction scalaire, ceci caractérisant le caractère conservatif du système de forces.

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Vérification du caractère conservatif du système des forces d'interaction de Coulomb entre les deux points chargés : son travail élémentaire «[133] avec le référentiel lié au point en translation relativement au référentiel d'étude » est bien une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale repérant le « point dans le référentiel »[122] car le cœfficient de est indépendant des coordonnées angulaires du point dans le repérage sphérique[110] lié à ce point associé au référentiel »[135] on aurait pu utiliser l'autre force de travail élémentaire «[133] avec le référentiel lié au point en translation relativement au référentiel d'étude » qui encore est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale repérant le « point dans le référentiel »[122] car le cœfficient de est indépendant des coordonnées angulaires du point dans le repérage sphérique[110] lié à ce point associé au référentiel »[135].

     Le système des forces d'interaction électrostatique «» entre les deux points du système étant conservatif, on peut définir une énergie potentielle d'interaction électrostatique du système notée «» selon «»[145] d'où, après intégration avec choix de la « référence de l'énergie potentielle d'interaction électrostatique du système [130] quand les deux points sont infiniment éloignés l'un de l'autre »,

«» avec référence[130] choisie en «».

     Remarque : L'utilisation de «»[145] «» avec référence[130] choisie en «» c'est-à-dire à la même expression compte-tenu de .

     Commentaire : Si les deux charges sont de même signe c'est-à-dire « si est », les deux forces d'interaction électrostatique entre les deux points sont répulsives et l'énergie potentielle d'interaction électrostatique du système des deux points « est positive » si la référence de l'énergie potentielle[130] est ,

     Commentaire : si les deux charges sont de signe contraire c'est-à-dire « si est », les deux forces d'interaction électrostatique entre les deux points sont attractives et l'énergie potentielle d'interaction électrostatique du système des deux points « est négative » si la référence de l'énergie potentielle[130] est .

Analogie avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle :

     Il y a une analogie entre l'interaction électrostatique entre deux points chargés et celle gravitationnelle entre deux points matériels, dans chaque cas les forces d'interaction sont newtoniennes voir le paragraphe « définition d'une force newtonienne subie par le point matériel M » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », les résultats concernant l'interaction gravitationnelle entre les deux points matériels du système «» peuvent être déterminés à partir de ceux concernant l'interaction électrostatique entre les deux points chargés du système «» en conservant le repérage sphérique[110] et utilisant l'analogie suivante d'où

  • d'une part le système des forces d'interaction gravitationnelle «» entre les deux points matériels du système « » est conservatif,
  • d'autre part l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle du système s'écrit «» avec référence[130] choisie en «» c'est-à-dire quand les points matériels sont infiniment éloignés l'un de l'autre.

     Commentaire : Les deux masses étant toutes deux positives, « est », les deux forces d'interaction gravitationnelle entre les deux points matériels sont attractives la raison de ce changement relativement à l'interaction électrostatique étant que le facteur « dans le cas de charges toutes deux positives » est associé à « dans le cas de masses toutes deux positives » et l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle du système des deux points « est négative » si la référence de l'énergie potentielle[130] est .

2ème expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés, analogie (peu utilisée) avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Les forces d'interaction électrostatique entre les deux points chargés du système «» pouvant se réécrire en faisant apparaître le champ électrostatique créé par l'un des points chargés en la position de l'autre point selon

     Préliminaire : «» dans laquelle « est le vecteur champ électrostatique créé par le point chargé en la position du point » ainsi que

     Préliminaire : «» dans laquelle « est le vecteur champ électrostatique créé par le point chargé en la position du point »,

     Préliminaire : le caractère conservatif du système des forces d'interaction électrostatique «» entre les deux points du système est aussi une conséquence du fait que les deux vecteurs champs électrostatiques «» sont, comme tout champ électrostatique, à circulation conservative[146] et par suite

     Préliminaire : ces deux vecteurs champs électrostatiques «» « dérivant » des deux potentiels électrostatiques «» définis, à une constante additive près, selon [125] [127] « en choisissant la référence des potentiels électrostatiques[147] à l'infini du point source » on en déduit que

     Préliminaire : les deux forces d'interaction électrostatique «» entre les deux points du système « dérivent » des deux expressions d'énergie potentielle électrostatique de [148] soit «» « dérivant » de «» ainsi que «» « dérivant » de « » les liens entre énergie potentielle électrostatique de et potentiels électrostatiques créés en un des points par l'autre point chargé nécessitant que la référence de l'énergie potentielle et celle de chaque potentiel soient les mêmes ;

     Préliminaire : on vérifie aisément les expressions de l'énergie potentielle électrostatique du système des deux points chargés «» car

     Préliminaire : «» ainsi que

     Préliminaire : «».

2ème expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés :

     Considérant le système de deux points chargés «» ainsi que son énergie potentielle d'interaction électrostatique «» conséquence du caractère conservatif du système des forces d'interaction électrostatique «» entre les deux points de , le préliminaire précédemment exposé nous permet de réécrire «» selon

«»[149],[112] dans laquelle
est le potentiel électrostatique créé par le point chargé en la position du point chargé et
est le potentiel électrostatique créé par le point chargé en la position du point chargé . et

     Commentaire : Utilisant « obtenus en choisissant la référence des potentiels électrostatiques[147] à l'infini du point source » ainsi que on retrouve la 1ère expression de l'énergie potentielle d'interaction du système des deux points chargés «» avec référence[130] choisie en «».

Analogie avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle analogie peu utilisée dans le cadre de cette 2ème expression :

     D'après la 2ème partie du paragraphe « 1ère expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés, analogie avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle » exposant l'analogie d'un système de deux points chargés en interaction électrostatique et celle de deux points matériels en interaction gravitationnelle, on en déduit :

  • la réécriture du système conservatif des deux forces d'interaction gravitationnelle «» entre les deux points matériels du système » selon
         «» dans laquelle « est le vecteur champ gravitationnel créé par le point matériel en la position du point » ainsi que
         «» dans laquelle « est le vecteur champ gravitationnel créé par le point matériel en la position du point »,
  • les deux potentiels gravitationnels «» dont « dérivent » les deux vecteurs champs gravitationnels «», ces potentiels gravitationnels, définis à une constante additive près, selon [125] [127] « en choisissant la référence des potentiels gravitationnels[147] à l'infini du point source »,
  • la réécriture de l'énergie potentielle gravitationnelle du système «» dont « dérivent » les deux forces d'interaction gravitationnelle «» selon « » les liens entre énergie potentielle gravitationnelle de et potentiels gravitationnels créés en un des points par l'autre point matériel nécessitant que la référence de l'énergie potentielle et celle de chaque potentiel soient les mêmes ;

     en formant la demi-somme des deux expressions égales de l'énergie potentielle gravitationnelle du système , expressions exposées ci-dessus, on obtient la 2ème expression de l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle du système de deux points matériels

«»[112] dans laquelle
est le potentiel gravitationnel créé par le point matériel en la position du point matériel et
est le potentiel gravitationnel créé par le point matériel en la position du point matériel . et

     Commentaire : Utilisant « obtenus en choisissant la référence des potentiels gravitationnels[147] à l'infini du point source » ainsi que on retrouve la 1ère expression de l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle du système des deux points matériels «» avec référence[130] choisie en «».

Théorème de la variation de l'énergie mécanique (autre forme intégrée de la dynamique des systèmes de deux points matériels)[modifier | modifier le wikicode]

     Théorème déduit du « théorème de l'énergie cinétique » dans le cas où « le système de forces résultant de l'action du système extérieur au système étudié » ou et « celui de forces intérieures correspondant à une interaction entre les deux points de » est sont conservatif(s)[150]

Définition de l'énergie mécanique d'un système de deux points matériels dans les champs de forces extérieures et d'interaction entre points[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le système de forces résultant de l'action du système extérieur au système de deux points matériels » ainsi qu'éventuellement celui de forces intérieures correspondant à une interaction entre les deux points de » sont conservatifs[150], on définit

  • l'énergie potentielle de dans le champ du système de forces extérieures conservatif soit «»[151] ainsi que, si nécessaire,
  • l'énergie potentielle de dans le champ éventuel «» des forces intérieures correspondant à une interaction entre les deux points de soit «»[152] puis

     dans le référentiel d'étude , l'énergie mécanique de , à l'instant , «» dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatives selon

«»
avec «» l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude .

Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire et sa forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour établir, dans le référentiel d'étude galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant , à un système de deux points matériels « »,
     Pour établir, on écrit, dans le référentiel , le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant , au système , en distinguant parmi les forces extérieures ainsi que celles intérieures les forces conservatives dont on veut utiliser le caractère conservatif de celles qui ne le sont pas ou qui le sont mais dont on ne souhaite pas utiliser l'aspect conservatif soit

«» et

     Pour établir, on utilise la définition de l'énergie potentielle de dans le champ de forces extérieures conservatif ainsi que celle dans le champ de forces intérieures conservatif soit

«»[151] et «»[152],

«» puis,

     Pour établir, en ne laissant que les travaux élémentaires des forces non conservatives dans le membre de droite et en utilisant la définition, à l'instant , dans le référentiel , de l'énergie mécanique du système dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «» soit

«» d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : utilisant [115] on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système indéformable de deux points matériels dans le champ de forces extérieures conservatif :

Début d’un théorème
Fin du théorème
Théorème de la puissance mécanique[modifier | modifier le wikicode]

     Pour passer d'une « forme intégrée de la dynamique écrite sur l'intervalle de temps » à la « forme locale écrite à l'instant associée à cette forme intégrée », il suffit de diviser la forme élémentaire de la forme intégrée par d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique après utilisation de [113] d'une part et [114] d'autre part :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : utilisant [60] on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système indéformable de deux points matériels dans le champ de forces extérieures conservatif :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

     Pour mémoire « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue[104] de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «» d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système de deux points matériels :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système déformable ou non de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels[154] : de on déduit d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Cas particulier d'un système (déformable ou non) de deux points matériels conservatif : Un système de deux points matériels «» étant dit « conservatif » ssi « toutes les forces extérieures et intérieures sont conservatives ou, dans le cas de présence de forces extérieures et intérieures non conservatives, celles-ci ne travaillent pas »[155] on en déduit aisément, par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie au système étudié, la conservation de l'énergie mécanique du système de deux points matériels conservatif soit « » avec «»[156].

Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général d'un système de deux points matériels «», ce dernier n'étant ni isolé, ni pseudo-isolé, son C.D.I[6]. n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude galiléen et par suite le référentiel barycentrique [157] du système n'est pas galiléen ;

     on en déduit qu'a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique du système,

     le fait que le référentiel barycentrique [157] soit en translation de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, une pseudo-force d'inertie d'entraînement appliquée sur chaque point matériel du système «»[158] pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique [157] dans la mesure où ce dernier est non galiléen[159], toutefois

     Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique [157] d'un système de deux points matériels ni isolé, ni pseudo-isolé, c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I[6]. du système[160], voir ci-après.

Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système de deux points matériels «» le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I[6]. du système soit

«» dans le référentiel d'étude galiléen[160], avec

     Démonstration : «» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système et
     Démonstration : «» le vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans le référentiel d'étude puis,
     Démonstration : on applique le 1er théorème de Kœnig[31] au système pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude[162] «» soit, en prenant en , «» dont on déduit
     Démonstration : «» la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre d'où, par report dans la relation , «» ou simplement «» R.Q.F.D[14]. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.

Cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

     Il y a conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel d'un système de deux points matériels à savoir «»[161]
          si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système par rapport à , C.D.I[6]. du système, est nul à tout instant c'est-à-dire si «»,
          cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système de deux points matériels dans le référentiel barycentrique [157] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «».

     Si le système de deux points matériels est en rotation autour de de direction fixe orientée par et passant par , on peut déduire
          du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique [157] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen,
          le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique [157] a priori non galiléen,
          en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par soit «», étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces[163] et du moment cinétique scalaire[164],

«» avec fixe dans le référentiel barycentrique [157] du système,
étant a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;

          le système étant en rotation autour de de direction fixe, on peut écrire «» avec « le moment d'inertie du système[119] » et « la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe à l'instant »[165] «» étant une constante soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel barycentrique [157] du système,

«» avec
axe de rotation fixe dans le référentiel barycentrique a priori non galiléen,
le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;

          si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport fixe dans le référentiel barycentrique [157] du système, avec le C.D.I[6]. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c-à-d «» «», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de fixe dans ,

la conservation de la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de l'axe fixe dans le référentiel barycentrique [157]
soit «», le système étant donc en rotation uniforme autour de fixe dans le référentiel barycentrique [157].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de deux points pondérés » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  2. Voir le paragraphe « vecteur position du barycentre du système de deux points pondérés » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 et 3,13 Sous cette forme est encore applicable en cinétique relativiste.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 4,30 4,31 et 4,32 N'est pas applicable sous cette forme en cinétique relativiste.
  5. L'expression en cinétique relativiste est nettement moins conviviale dans laquelle est le facteur de Lorentz du point à l'instant dans le référentiel  ;
       toutefois cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel ou non et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est , la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération est à la résultante dynamique alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération est a priori à la résultante dynamique , cette dernière étant à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique.
  6. 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 6,11 6,12 6,13 6,14 6,15 6,16 6,17 6,18 6,19 6,20 6,21 6,22 6,23 6,24 6,25 6,26 6,27 6,28 6,29 6,30 6,31 6,32 6,33 6,34 6,35 6,36 6,37 6,38 6,39 6,40 6,41 6,42 6,43 6,44 6,45 6,46 6,47 6,48 6,49 6,50 6,51 6,52 6,53 6,54 6,55 6,56 6,57 et 6,58 Centre D'Inertie.
  7. étant constante, la dérivée temporelle de est donc que multiplie la dérivée temporelle de .
  8. 8,0 8,1 et 8,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  9. Ou « moment cinétique (vectoriel) du système discret de points matériels en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.
  10. Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  11. 11,0 et 11,1 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  12. 12,0 et 12,1 Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 et 13,5 Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  14. 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 et 14,14 Relation Qu'il Fallait Démontrer.
  15. 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 et 15,10 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  16. Voir le paragraphe « évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  17. 17,0 17,1 17,2 et 17,3 Voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 et 18,4 Voir le paragraphe « formule de changement d'origine (du calcul du vecteur moment cinétique d'un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.
  19. 19,0 19,1 et 19,2 Voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique) » plus haut dans ce chapitre.
  20. Une symétrie étant dite « matérielle » ce qui est très souvent sous-entendu d'où les parenthèses encadrant ce qualificatif quand la position du point est multipliée par la masse de ce dernier.
  21. Voir le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude et conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  22. 22,0 22,1 et 22,2 Voir le paragraphe autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  23. 23,0 23,1 et 23,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », en particulier les conditions de nullité du produit mixte.
  24. Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels en translation par rapport au C.D.I. du système étant nul selon la propriété établie au paragraphe « cas d'un système de deux points matériels en translation » plus haut dans ce chapitre.
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 et 25,4 Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte de trois vecteurs) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  26. Relation très peu utilisée, la notion de moment cinétique n'intervenant pratiquement qu'en présence d'une composante de rotation
  27. Voir le paragraphe « cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre.
  28. Voir la définition d'un axe principal d'inertie dans le paragraphe « cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé (remarques) » plus haut dans ce chapitre.
  29. 29,0 29,1 et 29,2 Voir les paragraphes « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point » et « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  30. Voir la remarque du paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 31,4 31,5 31,6 et 31,7 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
       Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  32. Voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » plus haut dans ce chapitre.
  33. 33,0 33,1 33,2 et 33,3 Voir le paragraphe « lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses) lors d'un entraînement de translation » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  34. 34,0 et 34,1 Voir le paragraphe « terminologie » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  35. 35,0 et 35,1 Ayant établi au paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le moment cinétique vectoriel barycentrique d'un système de deux points matériels est indépendant du point origine par rapport auquel on le définit et
       compte-tenu de la définition d'un moment cinétique scalaire relativement à un axe orienté par en fonction du moment cinétique vectoriel défini relativement à un point origine « »,
       nous en déduisons, dans le cas des moments cinétiques barycentriques où peut être quelconque dans tout l'espace, que le moment cinétique scalaire barycentrique d'un système de deux points matériels est indépendant de l'axe servant à l'évaluer mais dépendant de la direction de ce dernier d'où la notation utilisée «».
  36. Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  37. Le théorème de Huygens permet de déterminer le moment d'inertie d'un système relativement à un axe connaissant celui du système relativement à l'axe à et passant par le C.D.I. du système ainsi que la masse de ce dernier et la distance orthogonale séparant les deux axes voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  38. 38,0 38,1 38,2 38,3 38,4 38,5 et 38,6 Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  39. 39,0 39,1 39,2 39,3 39,4 39,5 39,6 39,7 et 39,8 étant le nombre de systèmes de .
  40. 40,0 40,1 et 40,2 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) pour qui l'invention du calcul infinitésimal fut la contribution principale dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment ; en optique Newton a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  41. Principe Fondamental de la Dynamique Newtonienne.
  42. 42,0 et 42,1 La force décrivant l'action de sur est encore notée et celle décrivant l'action de sur encore notée avec l'objet subissant l'action en 1er indice et l'objet source de l'action en 2nd.
  43. Et, ce qui est équivalent à .
  44. C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit à peu près , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
  45. En dynamique relativiste, le principe des actions réciproques reste applicable dans la mesure où les forces utilisées sont invariantes par changement de référentiel et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique dans sa globalité.
  46. Voir aussi le paragraphe « 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  47. 47,0 47,1 et 47,2 En particulier le système de deux points matériels peut être déformable ou indéformable.
  48. Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  49. Relation Fondamentale de la Dynamique newtonienne ou relativiste.
  50. Dans laquelle est la résultante des forces exercées par chaque système de sur ou encore avec le nombre de systèmes de .
  51. Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  52. Dans le cadre de la dynamique relativiste ce théorème suppose que le principe des actions réciproques est applicable dans le référentiel considéré et il y est car les forces utilisées sont invariantes par changement de référentiel et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique dans sa globalité.
  53. Voir aussi le paragraphe « conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolés : conservation de leur résultante cinétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  54. C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système de deux points matériels isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système de deux points matériels pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème de la résultante cinétique même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques.
  55. Voir aussi le paragraphe « conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolés dans le cadre de la dynamique newtonienne : mouvement rectiligne uniforme de leur C.D.I. (centre d'inertie) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  56. C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système de deux points matériels isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système de deux points matériels pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. du système même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques.
  57. 57,0 57,1 57,2 et 57,3 Au sens « fixe » ou « mobile ».
  58. Voir aussi le paragraphe « Vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  59. Pour vérifier cela, il suffit d'utiliser la formule de changement d'origine .
  60. 60,0 et 60,1 Voir le paragraphe « puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus bas dans ce chapitre.
  61. Voir le paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ », l'indépendance du point origine choisi sur l'axe étant justifiée dans le paragraphe qui le précède « équiprojectivité du moment vectoriel d'une force », tous deux du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  62. Il existe en gros deux façons d'évaluer un moment scalaire de force
  63. Voir aussi le paragraphe « Moment résultant scalaire des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  64. Voir le paragraphe « énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  65. 65,0 et 65,1 Voir le paragraphe « moment résultant vectoriel du système de forces intérieures en O (propriété) » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.
  66. 66,0 et 66,1 Car la somme des dérivées temporelles de grandeurs différentes est la dérivée temporelle de la somme de ces grandeurs.
  67. Voir aussi le paragraphe « condition de conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  68. C.-à-d. de direction passant par le même point fixe .
  69. On pourrait qualifier le système de deux points matériels de « pseudo-isolé en rotation autour d'un point » dans la mesure où la compensation des moments vectoriels des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée
  70. Voir aussi le paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  71. Voir la note « 32 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » où on rappelle l'expression appliquée au cas de deux points matériels avec le facteur de Lorentz du point , alors que l'expression de la vitesse du C.D.I. du système s'exprime, comme en cinématique newtonienne, selon d'où aucun lien dans le cas général sauf dans le cas où le système de deux points matériels est en translation car les deux points matériels ont la même vitesse donc le même facteur de Lorentz d'où, après factorisation par ce dernier ainsi que par la vitesse commune .
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  72. Voir aussi le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  73. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  74. Même si nous voyons dans le paragraphe « énoncé et démonstration (du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel) » plus loin dans ce chapitre qu'il s'applique également dans le référentiel barycentrique non galiléen, mais ce n'est pas ce qui est exposé ici
  75. Voir le paragraphe « énoncé et démonstration (du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude galiléen) » plus haut dans ce chapitre.
  76. 76,0 76,1 76,2 76,3 76,4 76,5 76,6 et 76,7 Le moment d'inertie du système autour de l'axe de rotation étant défini selon « est la distance orthogonale séparant de l'axe .
  77. 77,0 et 77,1 Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées , on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée définissant l'accélération angulaire instantanée s'écrit encore .
  78. On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »
       dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe de rotation du système ».
  79. 79,0 et 79,1 En effet nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de portée par l'axe dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » étant un point quelconque choisi sur , non applicabilité rédhibitoire par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire orientant l'axe
  80. 80,0 et 80,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé (remarques) » plus haut dans ce chapitre pour la définition d'un axe principal d'inertie.
  81. Voir le paragraphe « prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  82. Voir aussi le paragraphe « définition (de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  83. Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas d'un système de matière en translation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  84. On utilise avec voir la remarque du paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  85. Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  86. Axe non nécessairement fixe.
  87. Le caractère rotatif provient du fait que le système est indéformable.
  88. 88,0 88,1 et 88,2 Voir aussi le paragraphe « définition (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  89. Voir aussi le paragraphe « autres expressions équivalentes (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  90. 90,0 90,1 90,2 90,3 et 90,4 Voir le paragraphe « rappel du principe de l'action et de la réaction (ou 3ème loi de Newton » plus haut dans ce chapitre.
  91. En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres voir le paragraphe énoncé de la formule de Bour du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
       Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866) est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de ans.
  92. Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème de la puissance cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  93. Voir le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance cinétique (appliqué à un point matériel) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  94. Voir le paragraphe « 1er cas particulier d'évaluation de la puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  95. Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé » plus haut dans ce chapitre.
  96. Voir le paragraphe « 2ème cas particulier d'évaluation de la puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  97. Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre.
  98. Voir le paragraphe « 3ème cas particulier d'évaluation de la puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  99. Voir le paragraphe « énergie cinétique dans l'exemple d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe ΔG de vecteur rotation instantanée barycentrique fixé » plus haut dans ce chapitre.
  100. Bien que l'énergie cinétique soit la somme de grandeurs définies dans deux référentiels différents, la définition de la puissance cinétique comme la dérivée temporelle de l'énergie cinétique ne pose aucune difficulté car on dérive une grandeur scalaire et même si on dérivait une grandeur vectorielle, on obtiendrait la même dérivée dans l'un ou l'autre des référentiels car les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre.
  101. 101,0 et 101,1 Voir le paragraphe « expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  102. Voir le paragraphe « 1er cas particulier d'évaluation de la puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  103. Voir le paragraphe « 2ème cas particulier d'évaluation de la puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  104. 104,00 104,01 104,02 104,03 104,04 104,05 104,06 104,07 104,08 et 104,09 C.-à-d. obtenue en ajoutant toutes les contributions élémentaires successives ce qui correspond à une intégrale sur un intervalle voir le paragraphe « définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
       Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
  105. 105,0 105,1 105,2 105,3 105,4 105,5 et 105,6 Voir le paragraphe « notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  106. 106,0 et 106,1 Voir la définition équivalente plus haut dans ce paragraphe.
  107. En effet la puissance développée par une force dont le point d'application se déplace sur un cercle d'axe s'écrivant «» dans laquelle est la vitesse angulaire du point et le moment scalaire de la force relativement à l'axe de rotation voir le paragraphe « expression de la puissance développée par une force dans le cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », il suffit de multiplier la relation explicitant la puissance développée «» de part et d'autre par pour obtenir la relation cherchée «» avec et .
  108. 108,0 et 108,1 Voir aussi le paragraphe « définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final (remarque 2) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  109. 109,0 et 109,1 En effet étant le vecteur position du point à l'instant dans le référentiel , «» est son vecteur déplacement élémentaire et par suite « ».
  110. 110,00 110,01 110,02 110,03 110,04 110,05 110,06 110,07 110,08 110,09 110,10 110,11 et 110,12 Voir le paragraphe « coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  111. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphaérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  112. 112,0 112,1 et 112,2 Le seul intérêt de cette forme est de rendre l'expression symétrique relativement aux indices
  113. 113,0 et 113,1 Voir le paragraphe « travail développé par les systèmes de forces relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  114. 114,0 et 114,1 Voir le paragraphe « différentielle d'une fonction d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  115. 115,0 et 115,1 Voir la « 3ème remarque du paragraphe travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel lié à M1) » plus haut dans ce chapitre.
  116. 116,0 et 116,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels indéformable en translation » plus haut dans ce chapitre.
  117. 117,0 et 117,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels indéformable en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée donné » plus haut dans ce chapitre.
  118. 118,0 et 118,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels indéformable en mouvement quelconque » plus haut dans ce chapitre.
  119. 119,0 119,1 et 119,2 L'expression du moment d'inertie du système de deux points matériels «» par rapport à l'axe étant « » avec la distance orthogonale séparant le point de l'axe .
  120. 120,0 120,1 et 120,2 Voir le paragraphe « travail développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie » plus haut dans ce chapitre.
  121. Voir le paragraphe « travail développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie » plus haut dans ce chapitre.
  122. 122,00 122,01 122,02 122,03 122,04 122,05 122,06 122,07 122,08 et 122,09 Voir le paragraphe « distinction entre une “ forme différentielle ” et une “ différentielle de fonction scalaire ” (exposée dans le cas de deux variables indépendantes) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la généralisation de cette distinction à plus de variables indépendantes s'admettant sans difficulté.
  123. 123,0 123,1 123,2 123,3 123,4 et 123,5 Voir le paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes “ x, y et z ” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la généralisation à plus de variables indépendantes se faisant sans difficulté.
  124. 124,0 124,1 124,2 124,3 124,4 et 124,5 Conditions Nécessaires.
  125. 125,0 125,1 125,2 125,3 125,4 et 125,5 Voir le paragraphe « détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la généralisation de cette définition au potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à plus de dimensions s'admet sans difficulté le travail élémentaire d'un champ de force est un cas particulier de circulation élémentaire d'un champ vectoriel voir le paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », un champ de force conservatif étant un cas particulier de champ vectoriel à circulation conservative voir le paragraphe « définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
       quand le champ vectoriel à circulation conservative est un « système de forces conservatif », le potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative prend le nom d'« énergie potentielle dont dérive le système de forces conservatif ».
  126. 126,0 126,1 et 126,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la généralisation de cette définition au cas d'un espace à plus de dimensions s'admet sans difficulté.
  127. 127,0 127,1 127,2 127,3 127,4 et 127,5 Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la généralisation de cette définition au potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à plus de dimensions s'admet sans difficulté le travail élémentaire d'un champ de force est un cas particulier de circulation élémentaire d'un champ vectoriel voir le paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », un champ de force conservatif étant un cas particulier de champ vectoriel à circulation conservative voir le paragraphe « définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
       quand le champ vectoriel à circulation conservative est un « système de forces conservatif », le potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative prend le nom d'« énergie potentielle dont dérive le système de forces conservatif ».
  128. Les indices figurant en bas et à droite de dans signifie que ces variables restent figées le temps de la prise du gradient, la dérivation n'est donc faite que par rapport aux coordonnées de .
  129. Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude (1er cas particulier d'un système de deux points matériels en translation) » plus haut dans ce chapitre.
  130. 130,00 130,01 130,02 130,03 130,04 130,05 130,06 130,07 130,08 130,09 130,10 130,11 et 130,12 C.-à-d. les valeurs des variables pour lesquelles l'énergie potentielle est choisie nulle.
  131. Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude (2ème cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation) » plus haut dans ce chapitre.
  132. 132,0 132,1 132,2 et 132,3 Ce peut être une interaction gravitationnelle, une interaction électrique parmi celles pouvant exister entre molécules, atomes ou ions, ou encore une interaction nucléaire dans la mesure où cette interaction à courte portée entre nucléons est modélisée dans le cadre de la mécanique newtonienne
  133. 133,0 133,1 133,2 et 133,3 Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (1ère autre expression) » plus haut dans ce chapitre.
  134. En fait, comme la coordonnée radiale du point dans le référentiel «» est égale à la coordonnée radiale du point dans le référentiel «» et que
       En fait, comme la composante radiale de appliquée à dans le repère associé à «» est aussi égale à la composante radiale de appliquée à dans le repère associé à «» d'après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction voir le paragraphe « rappel du principe de l'action et de la réaction (ou 3ème loi de Newton) » plus haut dans ce chapitre et le lien entre les vecteurs unitaires radiaux des repérages sphériques de dans et de dans à savoir «»,
       les deux formes différentielles « et » exprimant le travail élémentaire du système des forces intérieures appliqué au système et correspondant à « une interaction entre points de » sont les mêmes.
  135. 135,0 135,1 et 135,2 En effet la forme différentielle «» se réécrivant «» l'égalité des dérivées croisées C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » donne la 3ème égalité de dérivées croisées n'ajoutant rien, soit finalement .
  136. 136,0 et 136,1 En fait d'après la note « 134 » plus haut dans ce paragraphe il s'agit de la même forme d'énergie potentielle.
  137. Ayant vu dans la note « 139 » plus haut dans ce paragraphe l'identité des deux formes d'énergie potentielle et sachant que on en déduit que « » le 1er gradient étant défini relativement à la variable vectorielle et le 2nd par rapport à d'où la vérification de .
  138. 138,0 et 138,1 Cette hypothèse est en fait non réaliste car si la force d'interaction était « purement attractive » sans contre-partie, le système de deux points matériels s'effondrerait il faut donc une composante répulsive aux faibles distances et
                           Cette hypothèse est en fait non réaliste car si la force d'interaction était « purement répulsive » sans contre-partie, le système de deux points matériels exploserait il faut donc une composante attractive aux grandes distances.
  139. 139,0 et 139,1 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  140. 140,0 et 140,1 C'est aussi la distance séparant et .
  141. C'est aussi le vecteur unitaire de la droite dirigé de vers .
  142. C'est aussi le vecteur unitaire de la droite dirigé de vers .
  143. La permittivité diélectrique du vide plus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.
  144. Unité du Système International.
  145. 145,0 et 145,1 Voir le paragraphe « Définition (de l'énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif) » plus haut dans ce chapitre.
  146. Voir le paragraphe « notion de champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  147. 147,0 147,1 147,2 et 147,3 C.-à-d. la position du point où le potentiel est défini pour laquelle ce dernier est choisi nul.
  148. Ces deux expressions étant identiques par définition de l'énergie potentielle électrostatique du système des deux points chargés
  149. Ayant établi dans le préliminaire de ce paragraphe «», on obtient la formule exposée ci-contre en prenant la demi-somme de ces deux expressions égales.
  150. 150,0 et 150,1 Voir le paragraphe « énergie potentielle d'un système de deux points matériels (dans les champs de forces extérieur et intérieur conservatifs) » plus haut dans ce chapitre.
  151. 151,0 et 151,1 Voir le paragraphe « définitions (de l'énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif) » plus haut dans ce chapitre.
  152. 152,0 et 152,1 Voir le paragraphe « définitions (de l'énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif) » plus haut dans ce chapitre.
  153. 153,0 153,1 153,2 153,3 153,4 153,5 153,6 153,7 et 153,8 Ou conservatives mais dont on n'utilise pas le caractère conservatif.
  154. C.-à-d. d'un solide au sens de la mécanique.
  155. Il s'agit de la généralisation à un système de deux points matériels de la définition d'un « point à mouvement conservatif » voir le paragraphe « définition d'un mouvement conservatif » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  156. Voir aussi le paragraphe « en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures en travaillant pas » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
  157. 157,00 157,01 157,02 157,03 157,04 157,05 157,06 157,07 157,08 157,09 157,10 157,11 157,12 et 157,13 Voir le paragraphe « définition (du référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre.
  158. Voir le paragraphe « pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  159. La forme de tous ces théorèmes est exposée, dans le cas où le système est réduit à un point matériel mais la généralisation se devine aisément dans le chap. intitulé « Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen » de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  160. 160,0 et 160,1 Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système de deux points matériels) dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
  161. 161,0 161,1 et 161,2 On rappelle que le moment cinétique barycentrique vectoriel ne dépend pas de l'origine d'évaluation de ce moment voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » plus haut dans ce chapitre.
  162. Voir le paragraphe « énoncé (du 1er théorème de Kœnig) » plus haut dans ce chapitre.
  163. Voir le paragraphe « rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci » plus haut dans ce chapitre.
  164. Voir le paragraphe « définition (du moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels par rapport à un axe Δ) » plus haut dans ce chapitre.
  165. Voir le paragraphe « moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre.