Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels

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Cinétique d'un système de deux points matériels

     Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et

     s'il est « indéformable » il définit un « solide $\;{\big (}$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

Définition de la masse du système

     La masse du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\;\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\;\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon

«$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{1}+m_{2}\;$».

     Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c.-à-d. «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$».

Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système

Définition

     Le centre d'inertie $\;{\big (}$ou centre de masse${\big )}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant

«$\;G\;$ tel que $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$ ou $\;m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\;$» $\;{\big (}G\;$ est donc un point fictif${\big )}$.

Propriété

     Avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}\;$» $\;{\big (}$de par la définition $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.

     Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}$ $={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}\;$».

Résultante cinétique du système des deux points matériels

Définition

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big [}$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ la quantité de mouvement du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$» ou encore, ;
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.

Propriété de liaison avec le C.D.I.

     La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans lequel
$\;m_{\text{syst}}\;$ est la masse du système et
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$ est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)$ ;

     Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)\;$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$, le 2^ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D. .

Remarque

     La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est aussi, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels

Définition

     Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big (}$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit encore

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
soit encore «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Formule de changement d'origine

     Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\right]\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {O'M_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1^er terme $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]={\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D. .

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système est le plus couramment utilisé soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$»  ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en translation

     Considérant le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c.-à-d. tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, d'une part «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et d'autre part «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\overrightarrow {GM_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)+{\overrightarrow {GM_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» puis, en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» et
«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ $\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» .

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé

     Le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ $m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$ , avec $\;H_{i}\;$ centre de rotation de $\;M_{i}\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r_{i}\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $\;M_{i}$ ;
     on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1^er ou 2^ème terme,

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]$»  ;

     en notant «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big [}$il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et

     repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,

     le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\right]\;$» .

     Remarques : Pour un système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, il existe un point origine $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est un « axe principal d'inertie » c.-à-d. tel que

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$» et
«$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$»,

     Remarques : ce qui nécessite «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, en repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, c.-à-d. «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$ la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point $\;A\;$» se réécrit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ et $\;\Delta \;$ étant coplanaires avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ de part et d'autre de $\;\Delta {\big ]}$, positionnement de $\;A\;$ pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système

     Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point $\;A$ : $\;\succ \;$1^er cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, de part et d'autre de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant,
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c.-à-d. que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \{}A_{p}\;$ est alors hors du segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, $\;0=m_{1}\;r_{1}-m_{2}\;r_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;m_{1}\;r_{1}=m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que $\;\left(\Delta \right)\;$ soit « axe principal d'inertie du système pour $\;A_{p}\;$» à savoir «$\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$ $=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}\;$» nous en déduisons «$\;z_{1}=z_{2}\;$» c.-à-d. la confusion de $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}$, projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ ou encore centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$ ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système pour tout point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$» si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ les centres des cercles respectivement décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$, sont confondus $\;{\big (}$leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels${\big )}$ ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe de symétrie $\;{\big (}$matérielle${\big )}\;$ de révolution du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» c.-à-d. que $\;\left(\Delta \right)\;$ est tel que «$\;m_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ et $\;\Delta \;$ étant coplanaires avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ d'un même côté par rapport à $\;\Delta {\big ]}$, positionnement de $\;A\;$ pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$2^ème cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, d'un même côté de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{2}\;r_{2}\;z_{2}=-m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c.-à-d. que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \{}A_{p}\;$ est alors sur le segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, «$\;0=m_{1}\;r_{1}+m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à rejeter dans la mesure où $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}\;$ sont tous deux nécessairement $\;>0$ ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta {\big ]}$, recherche de la condition pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système pour $\;A$

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$3^ème cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta$, les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant confondus en $\;H$ $\;{\big (}$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}$, $\;H\;$ étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de $\;\left(\Delta \right)$,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ est « principal d'inertie du système pour le point $\;H\;$» ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ car «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}\left\lbrace z_{i}=0\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]},\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}$ ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}z_{1}=z_{2}=0,\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ et $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» soit encore
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» confondu avec $\;A_{p}$ $\;{\big (}$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-dessus${\big )}$ ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée $\;{\big (}$ce point $\;A_{p}\;$ centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace {\big )}$.

Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ

Définition

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» par rapport à un axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;\forall \;A\;\in \;\Delta$.

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c.-à-d. en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D.  ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.

Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où
     le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ $m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire ou, en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ sont $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big [}$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ ce qui permet de réécrire «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» selon «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ .

Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H_{i}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où
     le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$, le moment scalaire étant évalué par rapport à $\;\left(\Delta \right)$, «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}}\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M_{i}$, soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit principal d'inertie ou non .

Énergie cinétique d'un système de deux points matériels

Définition

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit encore

«$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}K_{M_{i}}(t)=K_{M_{1}}(t)+K_{M_{2}}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst}},\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,2}}{2\;m_{i}}}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,2}}{2\;m_{1}}}(t)+{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,2}}{2\;m_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{1}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
et $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c.-à-d. tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur

«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$»
ou encore, avec $\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» .

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c.-à-d. tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t),\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}}\;$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$

«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ est la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$
ou encore, avec $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$, $\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$ étant le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta \right)$,
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» .

Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée

Référentiel du centre de masse (ou barycentrique)

Définition

Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels

     Le référentiel barycentrique $\;{\big (}$ou du centre de masse${\big )}\;$ ${\mathcal {R}}^{*}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le référentiel lié au C.D.I. $\;G\;$ du système en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarques : $\;G\;$ étant immobile dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, le vecteur vitesse de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ y est nul soit «$\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» noté plus succinctement «$\;{\vec {V}}^{\,*}\!(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$