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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Mécanique des systèmes de points : Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels
Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et
s'il est « indéformable » il définit un « solide
au sens de la mécanique
».
La masse du système de deux points matériels «
» est une grandeur scalaire
caractérisant l'inertie du système et définie selon
«
».
Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c.-à-d. «
».
Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système[modifier | modifier le wikicode]
Le centre d'inertie
ou centre de masse
du système de deux points matériels «
» est le barycentre
des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant [1]
«
tel que
ou
»
est donc un point fictif
.
Avec
représentant une position quelconque, «
est tel que
» [2]
«
»
de par la définition
est indépendant de
.
Justification : introduisant la position
dans la définition, on obtient «
» ou «
»
«
» ou encore «
».
Résultante cinétique du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]
La résultante cinétique du système de deux points matériels «
» en mouvement dans le référentiel
, est notée, à l'instant
,
ou, en absence d'ambiguïté,
et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant
soit, en notant
la quantité de mouvement du point
dans le référentiel
à cet instant
,
«
» [3] ou encore, ;
«
» [4], [5] avec
le vecteur vitesse du point
à l'instant
dans
.
Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.
La résultante cinétique
du système de deux points matériels «
», définie à l'instant
dans le référentiel
, est liée au mouvement du C.D.I. [6]
du système au même instant
dans le même référentiel
selon
«
» [4] dans lequel
est la masse du système et
le vecteur vitesse de
à l'instant
dans
.
Démonstration : Choisissant un point
fixe du référentiel d'étude
, le vecteur position du C.D.I. [6]
du système de deux points matériels
est tel que
;
Démonstration : dérivant cette relation par rapport à
et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient
[7] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses,
, le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D. [8].
La résultante cinétique
du système de deux points matériels «
», définie à l'instant
dans le référentiel
, est aussi, au même instant
dans le même référentiel
, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. [6]
du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.
Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «
» dans le référentiel d'étude
par rapport à un point
a priori quelconque
[9] est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant
, dans le référentiel
par rapport à ce même point
[10] soit encore
«
» [3] avec
« le vecteur quantité de mouvement de
dans
au même instant
»,
soit encore «
» [4], avec
« le vecteur vitesse de
dans
au même instant
».
Soit
deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant
dans le référentiel
suit la relation suivante
«
» [3] dans laquelle
«
» est la résultante cinétique du système au même instant
dans le même référentiel
.
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles [11]
et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [12] soit
dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme
et on factorise vectoriellement à gauche par
[13] dans le 1er terme
d'où la R.Q.F.D. [14].
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque
et le C.D.I. [6]
du système est le plus couramment utilisé soit «
» [3] ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant
, par rapport à un point
quelconque dans le référentiel
, «
» est donc la somme
Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant
, par rapport au C.D.I. [6]
du système dans le même référentiel
, «
» et
Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à
, du point fictif
de quantité de mouvement
au même instant
dans le même référentiel
, «
».
Cas d'un système de deux points matériels en translation[modifier | modifier le wikicode]
Considérant le système de deux points matériels «
» en translation de vecteur vitesse
à l'instant
dans le référentiel d'étude
c.-à-d. tel que
, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel
vaut, à l'instant
relativement à un point
quelconque, «
» dans lequel «
ou, d'une part «
» et d'autre part «
» puis, en factorisant vectoriellement à droite [13] par
«
» par définition du C.D.I. [6] du système soit
«
» [3] et
«
[3]
» [4].
Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]
Le système de deux points matériels «
» étant en rotation autour d'un axe
fixe du référentiel d'étude
, de vecteur rotation instantanée
[15] à l'instant
et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point
quelconque de
, on peut écrire, au même instant
, le vecteur moment cinétique du point
dans
par rapport à
sous la forme
[16], [4], avec
centre de rotation de
autour de
et
le rayon du cercle décrit par
, le vecteur moment cinétique du système
s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point
;
on en déduit donc
ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par
ou
dans le 1er ou 2ème terme,
«
» [4] ;
en notant «
» exprimée en
le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation
il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse
et
repérant le point
par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle
et d'axe
orienté par
de sens a priori arbitraire sur
mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas
«
»
la base cylindro-polaire liée à
étant notée
[17],
le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «
» en rotation autour de l'axe
fixe dans
, de vecteur rotation instantanée
[15] à l'instant
dans
, évalué au même instant
par rapport à
point quelconque de
, se réécrit selon
«
» [4].
Remarques : Pour un système de deux points matériels «
» en rotation autour d'un axe
fixe du référentiel d'étude
, il existe un point origine
d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel
est un « axe principal d'inertie » c.-à-d. tel que
«
» avec
«
le vecteur rotation instantanée [15] du système autour de
» et
«
le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation
», Remarques : ce qui nécessite «
» ou, en repérant le point
par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle
et d'axe
orienté par
, c.-à-d. «
»
la base cylindro-polaire liée à
étant notée
[17] la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point
» se réécrit «
».
Schéma descriptif d'un système de deux points

en rotation autour d'un axe

,

et

étant coplanaires avec

et

de part et d'autre de
![{\displaystyle \;\Delta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253fcb66c149824a93e089ec5517bd20a6fffbd7)
, positionnement de

pour que

soit axe principal d'inertie du système
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point
:
1er cas
voir ci-contre
,
et
tournent autour de l'axe de rotation
en restant, de part et d'autre de
, dans un même plan le contenant,
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point
que l'on notera
par la suite
tel que
, les cotes des points
et
étant repérées par rapport au point origine
» dont on déduit «
» ou encore «
»
étant égal à
, c.-à-d. que « l'axe de rotation
est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point
comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système »
est alors hors du segment
,
et
étant respectivement les projetés orthogonaux sur
de
et
c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par
et
dans leur rotation autour de
«
» ;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points
pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «
» [19] avec
la masse du système et
le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que «
sera égal à
» si «
» ou, sachant que
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque :
est, comme le système, en rotation autour de
«
ou
mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «
radial et
», nous en déduisons «
si
» ;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «
C.D.I. [6] de
»
«
» soit, en projetant sur
,
«
» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que
soit « axe principal d'inertie du système pour
» à savoir «
» nous en déduisons «
» c.-à-d. la confusion de
et
, projetés orthogonaux sur
de
et
ou encore
centres respectifs des cercles décrits par
et
dans leur rotation autour de
;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion
est « axe principal d'inertie du système pour tout point
» si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier,
et
les centres des cercles respectivement décrits par
et
, sont confondus
leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I. [6]
du système des deux points matériels
;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas
est « axe de symétrie
matérielle
[20] de révolution du système des deux points matériels
» c.-à-d. que
est tel que «
».
Schéma descriptif d'un système de deux points

en rotation autour d'un axe

,

et

étant coplanaires avec

et

d'un même côté par rapport à
![{\displaystyle \;\Delta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253fcb66c149824a93e089ec5517bd20a6fffbd7)
, positionnement de

pour que

soit axe principal d'inertie du système
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A :
2ème cas
voir ci-contre
,
et
tournent autour de l'axe de rotation
en restant, d'un même côté de
, dans un même plan le contenant,
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point
que l'on notera
par la suite
tel que
, les cotes des points
et
étant repérées par rapport au point origine
» dont on déduit «
» ou encore «
»
étant égal à
, c.-à-d. que « l'axe de rotation
est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point
comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système »
est alors sur le segment
,
et
étant respectivement les projetés orthogonaux sur
de
et
c.-à-d. les centres respectifs des cercles décrits par
et
dans leur rotation autour de
«
» ;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points
pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «
» [19] avec
la masse du système et
le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que «
sera égal à
» si «
» ou, sachant que
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque :
est, comme le système, en rotation autour de
«
ou
mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «
radial et
», nous en déduisons «
si
» ;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «
C.D.I. [6] de
»
«
» soit, en projetant sur
, «
» cette condition étant à rejeter dans la mesure où
et
sont tous deux nécessairement
;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point
que
pour lequel
est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.
Schéma descriptif d'un système de deux points

en rotation autour d'un axe

,

dans un même plan

à
![{\displaystyle \;\Delta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253fcb66c149824a93e089ec5517bd20a6fffbd7)
, recherche de la condition pour que

soit axe principal d'inertie du système pour

Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A :
3ème cas
voir ci-contre
,
et
tournent autour de l'axe de rotation
en restant, dans un même plan
à
, les projetés orthogonaux sur
de
et
étant confondus en
noté
sur le schéma ci-contre
,
étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de
,
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe
est « principal d'inertie du système pour le point
»
que l'on notera
par la suite
car «
»
pouvant être positionnés de façon quelconque
ou encore «
»
et
pouvant être positionnés de façon quelconque
«
» ;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points
pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système [18] «
» [19] avec
la masse du système et
le C.D.I. [6] de ce dernier, nous en déduisons que «
sera égal à
» si «
» ou, sachant que
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque :
est, comme le système, en rotation autour de
«
ou
mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «
radial et
», nous en déduisons «
si
» soit encore
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I. [6]
du système
» confondu avec
noté
sur le schéma ci-dessus
;
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point
que
pour lequel
est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée
ce point
centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I. [6]
du système des deux points matériels
.
Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ[modifier | modifier le wikicode]
Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «
» par rapport à un axe
, à l'instant
, dans le référentiel d'étude
est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant
, dans le même référentiel
, par rapport à un point
quelconque de l'axe soit
«
», [21], [3]
.
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c.-à-d. en vérifiant la propriété «
» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels [18] entre
et
soit «
» [3] et on multiplie scalairement chaque membre par
en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [22]
«
» [23] R.Q.F.D. [14] ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts
et
quelconques sur l'axe
orienté par
, nous pouvons poser
et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par
, «
», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.
Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]
Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «
» en translation de vecteur vitesse
à l'instant
dans le référentiel d'étude
, s'exprimant, à l'instant
relativement à un point
quelconque d'un axe
, «
» [24] dans lequel «
d'où
le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe
orienté par
«
» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [25] ou, en notant
le projeté orthogonal de
sur l'axe
«
» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle
et d'axe orienté par
les coordonnées cylindro-polaires de
sont
avec pour base cylindro-polaire liée à
,
[17]
ce qui permet de réécrire «
» selon «
» ou, en notant
la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant
, [3]
«
[4], [26].
Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]
Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «
» en rotation autour d'un axe
, de vecteur rotation instantanée
[15] à l'instant
dans le référentiel d'étude
, s'exprimant, à l'instant
relativement à un point
quelconque de
, «
» [27], [4] dans lequel «
» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation
,
le projeté orthogonal de
sur l'axe et
la vitesse angulaire de rotation du système autour de
orienté par
, d'où
le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «
» en rotation autour de l'axe
orienté par
, le moment scalaire étant évalué par rapport à
, «
» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [22] ainsi que
à
, soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe
par rapport auquel le moment cinétique est évalué
«
» que l'axe
soit principal d'inertie [28] ou non [4].
Énergie cinétique d'un système de deux points matériels[modifier | modifier le wikicode]
L'énergie cinétique, à l'instant
, du système de deux points matériels «
» dans le référentiel d'étude
est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant
, dans le référentiel
[29] soit encore
«
» [3] ou
«
» [4] avec
« le vecteur quantité de mouvement de
dans
au même instant
»,
et
« le vecteur vitesse de
dans
au même instant
».
Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé[modifier | modifier le wikicode]
L'énergie cinétique, à l'instant
, du système de deux points matériels «
» en translation de vecteur vitesse
au même instant
dans le référentiel d'étude
c.-à-d. tel que
, s'évaluant selon «
» soit, en factorisant par
et reconnaissant
dans l'autre facteur
«
» [4], [29]
ou encore, avec
[4]
«
» [4].
Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]
L'énergie cinétique du système de deux points matériels «
» en rotation autour d'un axe
, de vecteur rotation instantanée
[15] à l'instant
dans le référentiel d'étude
c.-à-d. tel que
avec
[30], s'évaluant selon «
» [29] ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [25] «
» soit, en factorisant par
et en reconnaissant dans l'autre facteur
«
» [4] ou
«
» [4] dans laquelle
est la vitesse angulaire de rotation du système autour de
ou encore, avec
[4],
étant le moment d'inertie du système relativement à
,
«
» [4].
Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée[modifier | modifier le wikicode]
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels
Remarques :
étant immobile dans
, le vecteur vitesse de
dans
y est nul soit «
» noté plus succinctement «
».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à 