Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

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Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
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Chapitre no 20
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
Chap. suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
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Sommaire

Analogie « particule libre confinée 1D », « corde vibrante fixée à ses extrémités »[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......Une « particule libre confinée 1D » une particule (classique ou quantique) susceptible de se déplacer uniquement sur un axe donc d'unique paramètre de position libre sur un intervalle borné de positions c.-à-d. sans action extérieure sur cet intervalle et ne pouvant pas en sortie.

Traduction énergétique d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons déjà vu la notion de confinement spatial d'une particule au chapitre précédent sur l'exemple d'une particule confinée dans un puits d'énergie potentielle parabolique [1] : il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » [2] en regard, l'espace entre ces deux murs définissant un « puits d'énergie potentielle » [3], empêchant une particule « classique » de sortir de cet espace [4] (mais ne l'interdisant pas, sous conditions, à une particule « quantique » [5]) ;

À gauche le diagramme d'énergie du puits d'énergie potentielle infinie et à droite les deux murs d'énergie potentielle matérialisant les deux zones interdites

......une « particule libre confinée 1D » ne devant pas sortir (qu'elle soit classique ou quantique) de l'intervalle borné de positions, on suppose que chaque borne correspond à l'existence d'un « mur d'énergie potentielle infinie » ainsi la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà du mur est nulle car l'écart est infini quelle que soit [6], [4] ;

......une « particule libre confinée 1D » est donc une particule susceptible de se déplacer uniquement sur un axe dans un « puits d'énergie potentielle infinie » de largeur finie (voir schéma ci-contre) :

......l'équation du puits d'énergie potentielle infinie est , les murs d'énergie potentielle étant à gauche et à droite.

Analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées »[modifier | modifier le wikicode]

......La partie spatiale d'une fonction d'onde décrivant un état stationnaire c.-à-d. à énergie fixée d'une « particule quantique libre confinée 1D » sur un intervalle étant « nulle sur les deux murs d'énergie potentielle infinie » [7], ces derniers doivent être des nœuds de , tout comme les extrémités fixées d'une corde vibrante sont les nœuds de l'onde stationnaire qui peut s'y créer [8] ; nous pouvons donc affirmer l'analogie énoncée dans le titre du paragraphe.

Longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous savons que la distance séparant deux nœuds successifs d'une onde stationnaire est [9], nous en déduisons que les seules longueurs d'onde de de Broglie possibles de la particule sont telles que

,
la fonction d'onde stationnaire correspondante étant alors constituée de « n fuseaux » ;

......en conclusion les longueurs d'onde de de Broglie possibles de la particule sont

soit une série discrète de valeurs.

Niveaux d'énergie d'une « particule libre confinée 1D », fonction d'onde stationnaire associée[modifier | modifier le wikicode]

Niveaux d'énergie possibles d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule soit, avec ,

c.-à-d. une série discrète de valeurs dont le quantum est

......et son énergie, purement cinétique (l'énergie potentielle étant nulle entre les deux murs d'énergie potentielle infinie),

[10] soit encore une série discrète de valeurs ;

......l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes variant comme le carré d'un entier naturel avec

un niveau fondamental d'énergie [11] non nulle et
des niveaux excités d'énergie d'autant plus écartés du précédent que est grand [12].

Détermination d'un minorant de l'énergie d'une « particule libre confinée 1D » par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale[modifier | modifier le wikicode]

......La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle , l'incertitude quantique sur sa position est majorée par

[13] et

......La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle \;[0 , l\, ], celle sur sa quantité de mouvement se déduisant de l'inégalité de Heisenberg spatiale selon on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique sur la position, que l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est minorée par

 ;

......la définition de cette dernière étant , la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur et , nous en déduisons

[14] ;

......l'énergie de la « particule libre confinée 1D » ayant une valeur fixée , celle-ci s'identifie à sa valeur moyenne soit et, en utilisant le résultat établi sur ainsi que la valeur du minorant précédemment obtenu de l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement , nous obtenons que l'énergie est minorée selon [15] d'où


ce qui, devant être vérifié par tout niveau d'énergie, doit l'être en particulier par le niveau fondamental, ce qui est le cas car
.

Expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......À l'énergie [16], correspondant à la quantité de mouvement , la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire associée s'écrit, par analogie aux ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixées,

[17]

dans laquelle il faut écrire que les murs d'énergie potentielle infinie sont des nœuds de fonction d'onde soit :

  • impliquant par exemple [18] et
  •   entraînant, étant , c.-à-d. ou ce qui correspond à la condition de quantification déjà trouvée en choisissant soit  ;

......finalement la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode de vibration s'écrit , se déterminant en normalisant la densité linéique de probabilité de présence [19] par soit encore ou, en linéarisant [20] soit, après une intégration sans souci, ou et finalement on choisit d'où l'expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode de vibration

[21]

donnant une densité linéique de probabilité de présence pour le mode de vibration

[21] ;

......on remarque qu'en les positions des ventres de vibration [22], la densité linéique de probabilité de présence est indépendante du nombre de « fuseaux »

Transitions entre niveaux d'énergie[modifier | modifier le wikicode]

......La « particule libre confinée 1D » doit être dans l'un des niveaux précédemment déterminés,

  • elle peut passer dans un niveau plus faible en émettant un photon d'énergie ou
  • elle peut passer dans un niveau plus élevé en absorbant un photon d'énergie  ;

......la plus petite fréquence de photon pouvant être émis ou absorbé par la « particule libre confinée 1D » est .

......Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en mettant une couche semi-conductrice d'arséniure de gallium [23] en sandwich entre deux couches d'arséniure de gallium-aluminium [24], les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés entre les deux couches latérales avec un espace de confinement [25] de quelques  ;

......Exemple : en prenant et en considérant la mobilité des électrons de la couche semi-conductrice centrale avec leur masse effective [26], on trouve une fréquence minimale de photon productible ou absorbable de correspondant à une longueur d'onde maximale dans le vide soit caractéristique de la lumière émise par les diodes électroluminescentes émettant dans le rouge.

Lien qualitatif entre « confinement spatial » et « quantification de l'énergie »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons vu deux exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné (le 1er au chapitre précédent un « oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » [27] et le 2e dans ce chapitre une « particule libre confinée 1D ») se traduit par la « quantification de son énergie » [28] ; ceci est généralisable

« une particule quantique confinée dans une région de l'espace de taille finie a son énergie quantifiée ».

......En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, on peut déterminer l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » pour une particule confinée dans un espace de dimension suivant la nature de la particule (on détermine ci-dessous l'écart entre le 1er niveau excité et le niveau fondamental en supposant la particule « libre » [29], les autres écarts étant plus grands) :

  • pour un électron dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un atome et on trouve [30] c.-à-d. soit [31] c.-à-d. un ordre de grandeur de  ;
  • pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau [32] et on trouve [30] c.-à-d. soit [33] c.-à-d. un ordre de grandeur de  ;
  • bien que ces valeurs peuvent être inférieures d'un facteur à aux valeurs expérimentales obtenues en observant le spectre d'émission en énergie, elles valident bien le fait que les valeurs nucléaires sont fois plus grandes que les valeurs atomiques.

En complément : résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

Équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » [34] se réécrit

......c.-à-d. que c'est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2e ordre en sans terme du 1er ordre, dont la résolution passe par celle de l'équation caractéristique [35]

Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2e ordre en sans terme du 1er ordre [35] ci-dessus s'écrivant

[36],

sa résolution nécessite la discussion suivante :

  • si est , les racines de l'équation caractéristique sont réelles et la solution de l'équation différentielle s'écrit [37] mais cette solution est à rejeter car les C.A.L. [38] s'écrivant entraînent et c.-à-d. la nullité de la fonction d'onde ;
  • si est , il y a une racine double de l'équation caractéristique et la solution de l'équation différentielle s'écrit [39] mais cette solution est à rejeter car les C.A.L. [38] s'écrivant entraînent et c.-à-d. la nullité de la fonction d'onde ;
  • si est , les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées et la solution de l'équation différentielle s'écrit [40] ; les constantes d'intégration doivent obéir aux C.A.L. [38] soit , système de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues homogène à solutions nécessairement non triviales [41], ce qui est réalisé si [42] ou encore [43] d'où la condition de quantification de l'énergie

    ou encore [15] ;
    dans ces conditions les constantes d'intégration étant liées par , la solution de l'équation différentielle se réécrit ou encore [43] soit, en posant [44] et en choisissant [45],
    est solution de l'équation différentielle [46]
    avec à déterminer par normalisation de la densité linéique de probabilité de présence.

Normalisation de la densité linéique de probabilité de présence d'une « particule libre confinée 1D »[modifier | modifier le wikicode]

......La normalisation de la densité linéique de probabilité de présence [47], elle se traite en écrivant d'où ou, en linéarisant [20] soit, après une intégration sans souci, ou, avec la condition de quantification [15], et finalement en choisissant , d'où

la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps [48] et
la densité linéique de probabilité de présence [49].

Additif à l'introduction au monde quantique concernant l'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie »[modifier | modifier le wikicode]

Pourquoi peut-on parler d'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » ?[modifier | modifier le wikicode]

La cosmologie est la science qui étudie la structure, l'origine et l'évolution de l'Univers considéré dans son ensemble.

......Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, si on appelle l'incertitude quantique du temps où l'espace est observé vide, l'incertitude quantique de l'énergie de cet espace localement vide doit suivre l'inégalité de Heisenberg temporelle et par suite l'incertitude quantique de l'énergie du vide est minorée selon , minorant d'autant plus grand que est petite et vice-versa ;

......l'incertitude quantique de l'énergie du vide correspond à l'écart quadratique moyen de cette énergie est l'énergie moyenne du vide considérée comme nulle d'où et par suite

 ;

......cette relation nous enseigne que « le vide (qualifié de quantique) peut contenir de l'énergie à certains instants » [50] avec des valeurs pouvant être d'autant plus élevées que la durée d'observation est petite, ces très grandes valeurs potentielles d'énergie du « vide quantique » pendant des durées très courtes sont appelées « fluctuations du vide (quantique) » ;

......on a observé que « des valeurs très élevées d'énergie peuvent être “empruntées” au vide quantique pour créer des particules virtuelles à durée de vie très courte » [51], l'emprunt étant restitué au vide quantique lors de l'annihilation des particules virtuelles

......La succession de création et d'annihilation des particules virtuelles à partir du vide quantique a-t-elle un intérêt ? Oui car il se trouve que, sous conditions de très fortes valeurs d'énergie (ce qui nécessitent, on le rappelle, des durées d'interaction excessivement petites), les particules virtuelles peuvent devenir « réelles » [52] (ceci ayant été observé dans les accélérateurs de particules et plus particulièrement dans ceux de dernières générations [53]).

......En conclusion, l'existence des fluctuations du vide quantique ne sont pas des hypothèses théoriques sans retombées expérimentales : nous avons déjà vu leur apparition dans les accélérateurs de particules, mais elles permettent aussi

  • l'explication de l'« effet Casimir » [54] et
  • du point de vue théorique, l'explication de la création de l'Univers à partir du vide quantique

Retour sur l'énergie du vide quantique[modifier | modifier le wikicode]

......Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, il a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme le champ électromagnétique ;

......or en théorie quantique des champs ceux-ci peuvent être vus comme un espace rempli de « balles » et de « ressorts vibrants » tous interconnectés c.-à-d. des « oscillateurs harmoniques quantiques », cet ensemble ayant une énergie fondamentale (c.-à-d. en absence de vibrations) « non nulle » [55] qui est conservée lors de la création du vide par disparition des champs, sa valeur définissant « l'énergie du vide quantique » ou « énergie du point zéro ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 2ème définition d'un oscillateur harmonique.
  2. Notion vue en détail dans le paragraphe « mur d'énergie potentielle » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; une particule classique d'énergie mécanique étant telle que son énergie cinétique est on en déduit que c.-à-d. que la courbe « physique » d'énergie mécanique ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée doit être au-dessus de la courbe « physique » d'énergie potentielle ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée , les droites à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection, définissant alors les « murs d'énergie potentielle », c.-à-d. les droites séparant les zones où interdites pour une particule classique, de celles où seules autorisées si la particule est classique.
  3. Encore appelé « cuvette d'énergie potentielle ».
  4. 4,0 et 4,1 La présence de « deux murs d'énergie potentielle en regard », interdit, pour une particule classique, la zone située au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse, la zone autorisée se limite donc à un intervalle fermé pour une particule classique, mais ce raisonnement fondé sur n'est applicable qu'à une particule classique ;
    ...pour une particule quantique, les « murs d'énergie potentielle » définis comme les droites à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection des deux courbes « physiques » d'énergie mécanique et d'énergie potentielle, restent toujours définis, mais les zones classiquement interdites ne le sont plus nécessairement, la probabilité de présence dans le voisinage immédiat au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse n'est pas nulle (pour traiter les deux cas simultanément nous dirons, par abus, « au-delà des murs » pour traduire que est envisagée dans les zones classiquement interdites), elle est d'autant plus grande que la pénétration au-delà des murs est faible et que l'écart est petit ;
    ...ainsi les zones classiquement interdites (c.-à-d. « au-delà des murs ») ne sont-elles pas quantiquement interdites mêmes si elles le deviennent avec l'augmentation de la pénétration dans ces zones.
  5. Un 1er exemple de ce phénomène a été observé au chapitre précédent : nous avons dit que la densité linéique de probabilité de présence de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est grossièrement maximal pour avec d'où voir le paragraphe « composante spatiale de la fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et que cette grandeur est assimilée à l'amplitude des oscillations classiques si «  est grand » est l'amplitude des oscillations classiques d'où , les valeurs de correspondantes définissant les murs d'énergie potentielle nous constatons, sur les courbes de densités linéiques de probabilité de présence, que celle-ci n'est pas nulle « au-delà de ces murs » même si elle est assez rapidement avec l'augmentation de l'éloignement du mur ; cela signifie que la particule quantique peut aller au-delà des bornes d'oscillations classiques ;
    ...un 2e exemple correspond au cas d'une particule libre dans un demi-espace par exemple avec la présence d'une « barrière d'énergie potentielle » correspondant à une énergie potentielle constante sur un intervalle de petite largeur : si la particule est d'énergie et si elle est classique, elle ne peut pas se retrouver dans la zone mais si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en n'est pas nulle, étant d'autant plus grande, à fixée, que est petit et étant une fonction de dans la mesure où n'est pas trop grand et que la barrière d'énergie potentielle n'est pas trop large, la particule quantique a une probabilité non nulle de se retrouver « libre » dans la « zone classiquement interdite » , ce phénomène étant connu sous le nom d'« effet tunnel » ;
    ......l'« effet tunnel » se manifeste, par exemple :
    • comme un défaut dans les interrupteurs microscopiques, l'« isolant » étant d'autant moins parfait qu'il est de faible épaisseur mais
    • en devenant une propriété avantageuse dans les microscopes à effet tunnel, la mesure de la probabilité au-delà de la barrière (d.d.p. entre une pointe se déplaçant à niveau constant et la surface à ausculter) ou celle de l'intensité du flux d'électrons, permettant de déterminer la largeur de la barrière et d'en déduire, points par points, la surface étudiée.
  6. étant finie et infinie.
  7. En effet la densité linéique de probabilité de présence étant continue en tout point, elle l'est en particulier sur les frontières et comme elle est nulle à l'extérieur de l'intervalle autorisé, elle est nulle sur les frontières ; compte-tenu du lien entre fonction d'onde et densité linéique de probabilité de présence, on en déduit la nullité de la 1ère sur les frontières.
  8. Revoir le paragraphe sur l'« absence de propagation dans une onde stationnaire sinusoïdale » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  9. Revoir le paragraphe sur la « position des nœuds d'une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  10. Nous avons défini le lien entre énergie et fréquence de de Broglie pour une onde de matière au paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par est l'énergie totale égale, dans le cas d'une particule libre, à la somme de l'énergie de masse (à compter dans l'énergie totale pour définir la fréquence de de Broglie, que la particule soit relativiste ou non) et de l'énergie cinétique  ;
    ...ici la fréquence de de Broglie de la particule libre serait soit encore compte-tenu du 1er terme largement prépondérant pour des particules non relativistes d'où un inintérêt de la notion de fréquence de de Broglie (dans le cas non relativiste) ;
    ...on peut en déduire la célérité de l'onde de matière pour le niveau par et la vitesse de la particule classique par et permet de vérifier le lien déjà évoqué au paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
  11. Dont nous allons déterminer l'ordre de grandeur d'un minorant par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale au paragraphe suivant.
  12. En effet .
  13. En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est et son incertitude quantique définie selon donne sachant que .
  14. C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude quantique sur cette dernière.
  15. 15,0 15,1 et 15,2 On rappelle le lien entre constante de Planck réduite et constante de Planck .
  16. On rappelle que l'énergie de la « particule libre confinée 1D » est identifiée à son énergie cinétique  ; l'introduction de l'énergie totale (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie de masse) n'étant nécessaire que pour définir la fréquence de de Broglie ce que nous ne ferons plus dans le cadre de ce cours.
  17. La partie spatiale de la fonction d'onde est réelle comme l'est la fonction caractérisant les oscillations stationnaires d'une corde à extrémités fixées voir paragraphe « définition d'une onde sinusoïdale stationnaire 1D » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le choix d'un sinus au lieu d'un cosinus étant fait pour des raisons de simplification de calcul.
  18. Le choix de conduirait simplement au remplacement de par .
  19. Modification de la notation de la densité linéique de probabilité de présence car l'indice habituel prêterait à confusion compte-tenu que est l'abscisse d'un des murs.
  20. 20,0 et 20,1 On rappelle la formule de trigonométrie .
  21. 21,0 et 21,1 On remarque que l'amplitude est indépendante du mode de vibration.
  22. Revoir aussi le paragraphe « détermination de la position des ventres d'une onde sinusoïdale stationnaire » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
    ...un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.
  23. L'arsenic étant pentavalent et le gallium trivalent, les porteurs de charge mobiles sont, à température ordinaire, les électrons de l'arsenic et les trous du gallium excédentaires relativement à la tétravalence en ce qui concerne le gallium, le site de l'électron « manquant » par rapport à la tétravalence est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un trou fictif (particule fictive chargée positivement), les électrons de valence fictifs ajoutés restant fixes mais les trous pouvant se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, ceci ayant pour effet la matérialisation de l'électron de valence initialement fictif du site de départ et rendant fictif l'électron de valence initialement réel du site d'arrivée, les trous constituant donc les porteurs de charge mobiles ;
    ...bien que liés dans le semi-conducteur les porteurs peuvent être considérés comme libres si on remplace leur masse par une masse dite effective par exemple la masse effective de l'électron est ou celles des trous ou (plus complexe car le trou étant fictif, sa masse effective n'est pas déterminable en fonction de la masse qu'il aurait s'il était entièrement libre puisque dans ces conditions, il n'existerait pas, on rappelle que sa fonction permet de remplacer un site vide d'électron de valence par un site rempli d'un électron de valence fictif auquel se superpose un trou fictif chargé positivement, ce dernier pouvant se déplacer car considéré comme appartenant à la bande de conduction alors l'électron de valence fictif considéré comme appartenant à la bande de valence reste « figé dans son site », la théorie permet de définir des trous « légers » et des trous « lourds »).
  24. Une fraction des atomes de gallium dans l'arséniure de gallium est remplacée uniformément par des atomes d'aluminium aussi trivalent ; il s'agit donc d'un alliage arbitraire entre l'arséniure de gallium et l'arséniure d'aluminium.
  25. C.-à-d. la distance séparant les deux couches d'arséniure de gallium-aluminium.
  26. On rappelle la masse d'un électron libre .
  27. À énergie fixée, l'oscillateur harmonique unidimensionnel classique est confiné sur l'intervalle sont les positions des murs d'énergie potentielle, l'oscillateur quantique élargit un peu cet intervalle (dans la mesure où la densité de probabilité de présence n'est pas nulle au-delà d'un mur d'énergie potentielle finie) mais il reste confiné.
  28. On rappelle que l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est quantifiée selon et celle d'une particule libre confinée 1D selon .
  29. Ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités la particule n'est pas libre d'une part et d'autre part le confinement n'est pas unidimensionnel.
  30. 30,0 et 30,1 On rappelle le résultat trouvé dans le paragraphe « niveaux d'énergie possibles » de ce chapitre dans lequel on fait .
  31. On rappelle que .
  32. Pour lire « fentomètre » (sous-multiple de l'unité de longueur du S.I.) ou « fermi » appellation historique en hommage à « Enrico Fermi (1901 - 1954), physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents », unité bien adaptée aux dimensions du noyau de même que l'angström , est une unité qui a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIXe siècle, un des fondateurs de la spectroscopie », unité bien adaptée aux dimensions de l'atome ;
    ...le rayon d'un nucléon est estimé à , celui d'un noyau de nombre de masse estimé à par exemple pour le rayon est .
  33. On rappelle que .
  34. Revoir le paragraphe « ...équation de Schrödinger indépendante du temps » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  35. 35,0 et 35,1 Revoir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre homogène sans terne du 1erordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », avec une différence par rapport à l'exposé qui a été fait dans le paragraphe précité où la fonction recherchée était réelle, ici elle n'est pas nécessairement réelle mais peut être complexe.
  36. On cherche une fonction à valeur complexe de la forme , le paramètre est cherché a priori complexe.
  37. Revoir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est négatif » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  38. 38,0 38,1 et 38,2 Conditions aux limites utilisées pour une fonction de la position remplaçant les C.I. utilisées pour une fonction du temps.
  39. Revoir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  40. Revoir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est positif » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; recherchant une solution complexe à l'équation différentielle et non a priori réelle, la dernière phase du paragraphe précité consistant à rendre réelle la fonction n'est pas à utiliser ici.
  41. Sinon la fonction d'onde serait encore nulle et par suite cela signifierait que l'équation de Schrödinger indépendante du temps de la « particule libre confinée 1D » n'aurait pas de solution quelle que soit son énergie, ce qui n'est pas ce qu'on observe.
  42. Revoir le paragraphe « conditions d'existence de solutions non triviales » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. 43,0 et 43,1 On rappelle la formule d'Euler relative au sinus  ;
    ...Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
  44. Avec le module de c.-à-d. et l'argument de c.-à-d. .
  45. Comme seule la densité de probabilité de présence, c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde, a une signification physique, nous en déduisons que la fonction d'onde est définie à un facteur de phase près, le choix de revient donc à choisir la fonction d'onde réelle.
  46. Il s'agit bien de la même solution que celle établie par analogie avec les ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixées voir le paragraphe « fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie » de ce chapitre car , la seule différence étant que la constante a priori arbitraire avant normalisation de la densité linéique de probabilité de présence était notée et qu'ici elle est notée .
  47. Bien que déjà été exposée au paragraphe « expression de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie » de ce chapitre avec l'autre forme équivalente de cette densité , est exposée de nouveau ici.
  48. Ou, en utilisant la condition de quantification .
  49. Ou, en utilisant la condition de quantification .
  50. L'affirmation contraire serait « le vide ne contient à aucun moment de l'énergie » c.-à-d. à tout instant fixé correspondant à la simultanéité de puisque est toujours nulle et puisque est fixé en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg temporelle d'où la validité du contraire.
  51. La durée de vie étant inversement proportionnelle à l'énergie empruntée selon l'inégalité de Heisenberg temporelle.
  52. Les particules devenues réelles étant très instables et se désintégrant en d'autres particules instables etc
  53. Comme le LHC du CERN qui a permis la découverte du Boson de Higgs (chaînon manquant de la naissance de l’univers).
  54. C'est la manifestation expérimentale la plus flagrante des fluctuations du vide ; entre deux miroirs plans parfaits entre lesquels on a effectué le vide s'exerce une force attractive « la force de Casimir » qui a pour origine les fluctuations du vide, aujourd'hui fait expérimental parfaitement vérifié ; l'effet Casimir a été prédit en par Hendrik Brugt Gérhard Casimir (1909 - 2000) physicien néerlandais essentiellement connu pour l'effet portant son nom.
  55. Revoir le paragraphe « énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'énergie de l'état fondamental étant .