Mécanique des systèmes de points/Problème à deux corps, réduction canonique

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Exposé du problème

     Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

1. le mouvement du C.D.I.. $\;G\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$par théorème du C.D.I.${\big )}$, ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ puis
2. le mouvement barycentrique de chaque point ;

     de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : Faire une réduction canonique du système des deux points n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ;

     Remarque : dans ce cas $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique

Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$.

Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point

     La résultante cinétique barycentrique ${\vec {P}}^{*}\;$ étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I. $\;{\vec {P}}^{*}=(m_{1}+m_{2})\;{\vec {V}}^{*}\!(G)={\vec {0}}\;$ on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{*}={\vec {p}}_{1}^{*}+{\vec {p}}_{2}^{*}$, que

$\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}$, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.

Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M₂ en fonction de la vitesse relative de M₂ par rapport à M₁

     De $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})\;$ et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ nous conduisant à $\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d’où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ que l'on peut réécrire en utilisant $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=m_{1}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d'où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ puis uniquement $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=$ $-{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ ou $\left(1+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\right){\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ soit finalement

$\;{\vec {p}}_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})$.

Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Le moment cinétique barycentrique du système $\;{\vec {\sigma }}^{*}\;$ étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en $\;M_{1}\;$ d'où $\;{\vec {\sigma }}^{*}={\cancel {{\overrightarrow {M_{1}M_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {v}}^{*}(M_{1})}}+{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {v}}^{*}(M_{2})=$ ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent

$\;{\vec {\sigma }}^{*}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$.

Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit $\;K^{*}={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{1}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{1}}}+{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{2}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{2}}}\;$ ou, avec $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {p}}_{1}^{*}\Vert =\Vert {\vec {p}}_{2}^{*}\Vert \;$ de valeur commune notée $\;p_{2}^{*}$, $\;K^{*}={\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}\right)=$ ${\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}{\dfrac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}\;m_{2}}}\;$ soit encore, avec $\;p_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ où $\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})=\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert \;$ et par simplification évidente

$\;K^{*}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\right]^{2}$.

Notion de mobile réduit

Définition

     Le mobile réduit $\;M\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ est le point fictif

• de masse égale à la masse réduite du système de deux points $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ ${\bigg [}$définition équivalente à $\;{\dfrac {1}{\mu }}={\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}{\bigg ]}\;$ et
• de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à $\;G\;$ est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ soit $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t$ $\;{\big [}$on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$.

     Propriétés : $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer

• Propriétés : que $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {GM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ ainsi
• Propriétés : que $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\vec {v}}^{*}(M)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {a}}^{*}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t$.

Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit

Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit

     Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)=$ $\mu \;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit

$\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;$ ou encore
les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du point $\;M_{2}\;$ sont identiques à tout instant.

Moment cinétique barycentrique du mobile réduit

     D'après $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$, le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à $\;G\;$ soit $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\overrightarrow {GM}}\wedge {\vec {p}}^{*}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}(t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ c'est-à-dire le moment cinétique barycentrique du système soit

$\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ ou encore
les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ calculé en $\;G\;$ et du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit

     Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite $\;{\dfrac {1}{2}}\;\mu ={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit $\;K^{*}(M,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\mu \left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}$, cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points $\;K^{*}\;$ soit

$\;K^{*}(M,\,t)=K^{*}(t)\;$ ou encore
les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Conclusion

     En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ sont celles du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de $\;M_{2}\;$.

Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé

Conséquence du caractère isolé du système

     Si le système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ est isolé, l'application du théorème du C.D.I. dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I. $\;G\;$ et par suite au caractère galiléen du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ et conséquence

     Si on applique la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ galiléen on obtient $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{*}}{dt}}(t)\;$ ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{M}^{*}(t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t$, on peut réécrire la relation précédente sous la forme $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}_{M}^{*}}{dt}}(t)\;$ et en déduire

la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ : $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}$.

     Conséquence : La force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ devient, avec $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;r_{1,\,2}\;{\vec {u}}_{1,\,2}=r_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$,

$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M},\,\theta _{M},\,\varphi _{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\Rightarrow$ le mobile réduit M a un mouvement à force centrale d'où
mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet $\;\ldots$

Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives

     Les forces intérieures sont conservatives ssi $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ est telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;$ ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de $\;r_{1,\,2}$ ;

     sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$ dont dérive la force intérieure $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ se détermine par $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=$ $-\delta W({\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1})=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\overrightarrow {dM_{1}M_{2}}}\;$ soit $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est une primitive de $\;-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction quand les deux points sont éloignés à l'infini,

$\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})=\displaystyle \int _{\infty }^{r_{1,\,2}}-F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}=\displaystyle \int _{r_{1,\,2}}^{\infty }F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}$

     Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$, peut être déterminé par application de la r.f.d.n. à condition d'appliquer à $\;M\;$ la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ que $\;M_{1}\;$ exerce sur $\;M_{2}$, force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle $\;G\;$ lié à $\;M\;$ selon $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=$ $F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ ; du caractère conservatif de la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ on en déduit que la force appliquée à $\;M\;$ est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;dr_{M}$ $=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}=-dU_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$, on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c'est-à-dire à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ ou plus précisément, en remplaçant $\;r_{1,\,2}\;$ par $\;r_{M}$, elle s'identifie à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$ ;

     on en déduit que le mobile réduit $\;M$, dans ce champ de force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique

$\;E_{m}^{*}(M)=K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$

     avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit $\;K^{*}(M)=K^{*}\;$ et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à $\;M\;$ qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})=U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$ ;

     par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit

$\;E_{m}^{*}(M)=E_{m}^{*}$, cette dernière étant $\;E_{m}^{*}=K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$.

     Remarque : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;{\big (}$ainsi que celle du système des deux points${\big )}\;$ est conservée soit

$\;E_{m}^{*}(M)=cste$ $\;{\big [}$ou $\;E_{m}^{*}=cste{\big ]}$, d'où
le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective et d’énergie mécanique.

Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit

     Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit $\;M\;$ d'un système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ isolé dans son référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ si on lui impose $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ c'est-à-dire :

• la r.f.d.n. $\;{\big (}$la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation${\big )}$,

• le théorème du moment cinétique vectoriel, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant $\;G\;$ comme origine $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$,

• le théorème de l'énergie cinétique,

• le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)=$ $K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$ s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système $\;E_{m}^{*}=$ $K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)={\text{cste}}\;$ ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique $\;\ldots$

Conclusion : mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à celui du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}$, la connaissance du 1^er implique celle du 2^ème.

Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit

Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système

     Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}\;$ en fonction du vecteur position $\;{\big (}$barycentrique${\big )}\;$ du mobile réduit $\;{\overrightarrow {GM}}\;$ en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM_{2}}}-{\overrightarrow {GM_{1}}}\\m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{2}}}\,,\,{\overrightarrow {GM_{1}}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\overrightarrow {GM_{2}}}&-&{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\overrightarrow {GM}}\;\;\;({\mathfrak {a}})\\m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}&+&m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\vec {0}}\;\;\;({\mathfrak {b}})\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on résout par la C.L. $\;m_{1}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ et par la C.L. $\;-m_{2}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}$ ;

     finalement, avec $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, on réécrit $\;{\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ d'une part, $\;-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :

• $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,{\frac {\mu }{m_{2}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{2}\;$ et
• $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{1}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,-{\frac {\mu }{m_{1}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{1}\;$.

Exemple de tracé

Mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ relativement à $\;M_{1}\;$ avec $\;m_{1}=2\;m_{2}$

     Soient deux points matériels dont le 1^er $\;M_{1}\;$ est deux fois plus lourd que le 2^ème $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire $\;m_{1}=2\;m_{2}\;$ $\Rightarrow$ la masse du système est $\;m_{\text{syst}}=$ $m_{1}+m_{2}=3\;m_{2}\;$ et sa masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {2\;m_{2}^{2}}{3\;m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;m_{2}$ ;

     connaissant la trajectoire relative de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ voir ci-contre, on en déduit,

Mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M$, des points $\;M_{2}\;$ et $\;M_{1}\;$ avec $\;m_{1}=2\;m_{2}$

• par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ $\;{\big (}$en noir${\big )}\;$ puis,
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;$ celle de $\;M_{2}\;$ $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ et
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}=-{\dfrac {1}{3}}\;$ celle de $\;M_{1}\;$ $\;{\big (}$en bleu${\big )}$.

Système isolé de deux points en interaction newtonienne

Généralités

     Le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est galiléen $\;{\big [}$en effet le système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ étant isolé, son C.D.I. $\;G\;$ a un mouvement rectiligne uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le référentiel lié à $\;G\;$ en translation $\;{\big (}$rectiligne uniforme${\big )}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est galiléen${\big ]}\;$ et

     le mouvement relatif de l'un des points $\;M_{2}\left(m_{2}\right)\;$ par rapport à l'autre $\;M_{1}\left(m_{1}\right)\;$ s’identifie au mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)$, ce dernier pouvant se déterminer par r.f.d.n. si on lui applique la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {k_{1,\,2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ ou, en utilisant les coordonnées de $\;M\;$ dans la base locale sphérique $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {k_{1,\,2}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}$ ;

     $\;M\;$ a donc un mouvement barycentrique à force centrale newtonienne, sa trajectoire est donc plane ou rectiligne et, dans l’hypothèse de planéité, une conique $\;{\big (}$ou portion de conique${\big )}\;$ dont $\;G\;$ est le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big (}$le foyer dans le cas d'une parabole, l'un des foyers dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une branche d'hyperbole le foyer contourné par cette dernière${\big )}$.

     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ est $\;<0\;$ et elle vaut «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{1}\;m_{2}\;$» dans laquelle $\;{\mathcal {G}}\;$ est la constante de gravitation universelle valant $\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.$, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ pouvant être exprimée en fonction de la « masse du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$ $\;m_{\text{tot}}=m_{1}+m_{2}\;$» et de la « masse réduite de ce dernier $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;m_{1}\;m_{2}=\mu \;(m_{1}+m_{2})\;$ ou «$\;m_{1}\;m_{2}=\mu \;m_{\text{tot}}\;$» d'où «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu \;$» et ainsi
     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la force qui doit être imposée au point réduit $\;{\big (}$de masse $\;\mu {\big )}\;$ pour que celui-ci ait un mouvement barycentrique identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ est formellement identique à une force de gravitation qui serait créée par le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$, $\;G\;$ auquel on affecterait la masse $\;m_{\text{tot}}$.

     Si l’interaction newtonienne est électrostatique, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ est $\;<0\;$ dans le cas d'une attraction entre les deux charges ou $\;>0\;$ dans le cas d'une répulsion et elle vaut «$\;k_{1,\,2}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;q_{1}\;q_{2}\;$» dans laquelle $\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ $\Rightarrow$ «$\;\varepsilon _{0}\simeq {\dfrac {1}{36\;\pi }}\;10^{-9}\;U.S.I.\simeq 8,85\;10^{-12}\;U.S.I.\;$», $\;\left(q_{1}\,,\,q_{2}\right)\;$ étant les charges respectives du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$.

     Nous nous intéresserons pour la suite aux interactions de gravitation entre deux astres $\;{\big (}$quand il s’agit d’étoiles, le système est appelé « étoile double »${\big )}$.

Rappel des principaux résultats

     Préliminaire : Les résultats concernant le mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ uniquement soumis à une force d'attraction gravitationnelle newtonienne «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;k<0\;$ vaut «$\;k=$ $-{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m\;$» avec $\;{\mathcal {G}}\;$ constante de gravitation universelle, $\;m_{O}\;$ la masse de la source de l'espace champ de gravitation newtonien, $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage sphérique du point $\;M\;$ de pôle $\;O$, le centre d'action de la force newtonienne lequel est fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, peuvent être vus plus en détails
     Préliminaire : Les résultats dans le chap.$14$ intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : champ newtonien, lois de Kepler » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », ainsi que
     Préliminaire : Les résultats dans le chap.$17$ intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne » de la même leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du même cours « Physique en classe préparatoire PCSI »

     Préliminaire : Les principaux résultats sont rappelés ci-dessous en les adaptant au mouvement barycentrique du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\;$» dans le champ de gravitation newtonien créé par «$\;G\,\left(m_{\text{tot}}=m_{1}+m_{2}\right)\;$», « le mouvement barycentrique de $\;M\left(\mu \right)\;$ étant identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire au mouvement de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}$.

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;{\vec {V}}_{0}\;$ le vecteur vitesse relative initiale de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ $\;{\big (}$c'est aussi le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit $\;M{\big )}$,

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;r_{0}\;$ la distance initiale séparant les deux points $\;{\big (}$c'est aussi la distance initiale séparant le mobile réduit $\;M\;$ du C.D.I. $\;G\;$ ou la coordonnée radiale initiale de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ et

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ l'angle orienté que fait le vecteur vitesse relative initiale de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}\;$ choisi $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2,\,0}}}\;$ et de même sens, l'axe $\;{\overrightarrow {M_{1}y}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}\;$ dans le plan initial du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$, les angles du plan étant orientés par le 3^ème axe $\;{\overrightarrow {M_{1}z}}$ $\;\perp \;$ au plan et de sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\overrightarrow {M_{1}y}}\,,\,{\overrightarrow {M_{1}z}}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\bigg [}$ou encore $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ l'angle orienté que fait le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit $\;M\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}\;$ choisi de support confondu avec le vecteur position barycentrique initial du mobile réduit et dans le même sens que ce dernier, l'axe $\;{\overrightarrow {Gy}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Gx}}\;$ dans le plan initial du mouvement barycentrique de $\;M$, les angles du plan étant orientés par le 3^ème axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ $\;\perp \;$ au plan et de sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\overrightarrow {Gy}}\,,\,{\overrightarrow {Gz}}\right\rbrace \;$ soit direct${\bigg ]}$,

     Rappel des principaux résultats : l'équation polaire de la trajectoire de $\;M_{2}\;$ dans le plan fixe de $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$référentiel lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ contenant $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2,\,0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» est une conique dont le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) est $\;M_{1}\;$ dans laquelle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\right)}}\;$ est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté «$\;{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\;$» avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}$, $\;p\;$ et $\;e\;$ étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique $\;{\bigg [}$ou encore l'équation polaire de la trajectoire barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ dans le plan fixe de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ contenant $\;\left(G\,,\,M_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» est une conique dont le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) est $\;G\;$ dans laquelle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\right)}}\;$ est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté «$\;{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\;$» avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$, $\;p\;$ et $\;e\;$ étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique${\bigg ]}$.

     Rappel des principaux résultats : La suite des rappels sera exposée uniquement en termes de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ sachant que ce dernier s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$le référentiel lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}$.

     Rappel des principaux résultats : Pour déterminer les grandeurs barycentriques du mouvement du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu \right)\;$» on évalue successivement :

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$la constante des aires «$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$»

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$le paramètre de la conique «$\;p={\dfrac {\mu \;C^{2}}{\vert k_{1,\,2}\vert }}\;$» soit, avec «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu \;$», «$\;p={\dfrac {C^{2}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$» $\;{\bigg [}$ou encore «$\;p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$»${\bigg ]}$,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$l'énergie mécanique barycentrique initiale «$\;E_{m,\,0}^{\,*}={\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{0}^{2}+{\dfrac {k_{1,\,2}}{r_{0}}}\;$» $\;{\big (}$en prenant la référence de l'énergie potentielle newtonienne à l'infini${\big )}\;$ soit, avec «$\;k_{1,\,2}$ $=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu \;$», $\;E_{m,\,0}^{\,*}={\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{r_{0}}}\;$ ou «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$» ;

     Rappel des principaux résultats : compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;M\,\left(\mu \right)\;$ et de l'expression de cette dernière en fonction de l'excentricité de la conique «$\;E_{m}^{\,*}=-{\dfrac {k_{1,\,2}}{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)\;$» ou encore, avec «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu \;$», «$\;E_{m}^{\,*}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)\;$» on en déduit « la nature de la conique suivant la valeur de $\;E_{m,\,0}^{\,*}\;$» :

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ valant $\;e=1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                           la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une parabole de foyer $\;G$, la vitesse $\;{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}=V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ étant appelée « vitesse de libération en la position $\;M_{0}\;$»,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$ est $\;<0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}<{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ ayant une valeur $\;e<1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une ellipse dont un des foyers est $\;G$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-grand axe $\;a\;$ de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «$\;E_{m}^{\,*}$ $=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(1-e^{2}\right)\;$» laquelle se réécrit «$\;E_{m}^{\,*}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}\;$» d'où «$\;\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}-V_{0}^{2}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ ou, en introduisant la vitesse de libération en la position $\;M_{0}\;$ «$\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», $\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ soit «$\;a={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})=$ ${\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale du demi-grand axe de l'ellipse décrite par le mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$», ou encore «$\;a=$ $r_{0}\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}-V_{0}^{2}\;r_{0}}}\;$»,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de l'ellipse décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre $\;p\;$ et de son demi-grand axe $\;a\;$ à l'aide de $\;p=a\;(1-e^{2})\;$ d'où «$\;e={\sqrt {1-{\dfrac {p}{a}}}}\;$» soit, avec «$\;p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}=r_{0}\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» et «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{a}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;{\dfrac {2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}\;$ d'où $\;e={\sqrt {\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})-4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}\;$ que l'on peut réécrire, en développant le numérateur et en reconnaissant le début d'un carré, $\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}-4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{4}(\alpha _{0})+4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[1-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$ soit finalement, sachant que $\;1-\sin ^{2}(\alpha _{0})=\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ et $\;2\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})=\sin(2\;\alpha _{0})$, «$\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}+{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}\;$» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la période $\;T\;$ du mouvement barycentrique du mobile réduit sur sa trajectoire elliptique se détermine à l'aide de la « 3^ème loi de Kepler généralisée aux centres gravitationnels autres que celui du Soleil » «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» d'où «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}\;a^{\frac {3}{2}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale de la période du mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {2}}}{V_{\text{lib}}(r_{0})\;{\sqrt {r_{0}}}}}\;a^{\frac {3}{2}}={\dfrac {2\;\pi \;a\;{\sqrt {2}}}{V_{\text{lib}}(r_{0})}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{r_{0}}}}\;$» ou enfin, en reportant l'expression de «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$», «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;a}{\sqrt {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}}}}={\dfrac {\pi \;r_{0}\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\;$»,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$ est $\;>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ ayant une valeur $\;e>1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une branche d'hyperbole dont $\;G\;$ est un des foyers, celui contourné par la branche,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-axe focal $\;a\;$ de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «$\;E_{m}^{\,*}$ $={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)\;$» laquelle se réécrit «$\;E_{m}^{\,*}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}\;$» d'où «$\;\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;V_{0}^{2}-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ ou, en introduisant la vitesse de libération en la position $\;M_{0}\;$ «$\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», $\;V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ soit «$\;a={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale du demi- axe focal de branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}}\;$», ou encore «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{0}^{2}\;r_{0}-2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de la branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre $\;p\;$ et de son demi-axe focal $\;a\;$ à l'aide de $\;p=a\;(e^{2}-1)\;$ d'où «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$» soit, avec «$\;p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}=r_{0}\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» ainsi que «$\;a=$ $r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{a}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;{\dfrac {2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}\;$ d'où $\;e={\sqrt {\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})+4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}\;$ c'est-à-dire la même expression que celle obtenue dans le cas d'une trajectoire elliptique, d'où finalement, «$\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}+{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}\;$».

     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 1^ère C.N. est «$\;\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» ce qui implique, en reportant cette valeur dans l'expression de l'excentricité de la trajectoire quand celle-ci est elliptique «$\;e={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;{\cancel {\sin ^{2}(\alpha _{0})}}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}\;{\cancel {+\,{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}}}={\Bigg \vert }1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}{\Bigg \vert }\;$» laquelle, devant être nulle pour une trajectoire circulaire, implique comme
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 2^ème C.N. «$\;V_{0}={\dfrac {V_{\text{lib}}(r_{0})}{\sqrt {2}}}\;$», valeur notée «$\;V_{\text{circ}}(r_{0})={\dfrac {V_{\text{lib}}(r_{0})}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$» et usuellement appelée « vitesse circulaire en la position $\;M_{0}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : le report de ces deux C.N. dans les expressions de la constante des aires $\;C\;$, du paramètre $\;p\;$ et de l'énergie mécanique barycentrique initiale $\;E_{m,\,0}^{\,*}\;$ du mobile réduit ainsi que celles du demi-grand axe $\;a\;$ et de la période $\;T\;$ dans le cas particulier d'un mouvement barycentrique elliptique de $\;M$, donnant
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;C=V_{\text{circ}}(r_{0})\;r_{0}\;\sin \!\left(\pm {\dfrac {\pi }{2}}\right)=\pm V_{\text{circ}}(r_{0})\;r_{0}\;$» ou encore «$\;C=\pm {\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;r_{0}}}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;p={\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\pm {\dfrac {\pi }{2}}\right)}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$» soit, après simplification, «$\;p=r_{0}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})-V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\right]\;$» soit «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=-{\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\;$» ou encore, «$\;E_{m,\,0}^{\,*}$ $=-\mu \;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{2\;r_{0}}}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\right]}}\;$» soit, après simplification «$\;a=r_{0}\;$» et
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;T={\dfrac {\pi \;r_{0}\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\right]^{\frac {3}{2}}}}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{V_{\text{circ}}(r_{0})}}\;$» ou encore «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}\;$».

Cas particulier du système composé du Soleil et d'une planète (ou d'un astéroïde ou encore d'une comète)

     Le système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète $\;{\big (}$ou d'un astéroïde ou encore d'une comète${\big )}$, le Soleil $\;{\big (}$considéré comme ponctuel de masse $\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg=m_{1}{\big )}\;$ étant noté $\;M_{\text{☉}}=M_{1}\;$ et la planète $\;{\big (}$également considérée comme ponctuelle de masse $\;m_{\text{planète}}=m_{2}\ll m_{\text{☉}}=m_{1}{\big )}\;$ étant notée $\;M_{\text{planète}}=M_{2}$ $\;{\big [}$la planète pouvant être remplacée par un astéroïde de masse $\;m_{\text{astéroïde}}=$ $m_{2}\ll \!\!\ll m_{\text{☉}}=m_{1}\;$ noté $\;M_{\text{astéroïde}}=M_{2}\;$ ou par une comète de masse $\;m_{\text{comète}}=m_{2}\ll \!\!\ll m_{\text{☉}}=m_{1}\;$ noté $\;M_{\text{comète}}=M_{2}{\big ]}$, peut être considéré, en 1^ère approximation, isolé, l'influence des autres planètes $\;{\big (}$ou astéroïdes ou comètes${\big )}\;$ pouvant être négligée ;

     de $\;m_{1}\gg m_{2}$ $\;{\big (}$ou même $\;m_{1}\gg \!\!\gg m_{2}{\big )}\;$ nous déduisons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m_{\text{tot}}=m_{1}\;{\cancel {+\;m_{2}}}\simeq m_{1}\\\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}\;{\cancel {+\;m_{2}}}}}\simeq m_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ selon une très bonne approximation dans le cas d'un astéroïde ou d'une comète $\;{\big [}$l'approximation dans le cas d'une planète est d'autant moins bonne que la masse de la planète est grande mais cela reste néanmoins très acceptable${\big ]}$.

     Le référentiel barycentrique du système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète $\;{\big (}$ou d'un astéroïde ou encore d'une comète${\big )}\;$ pouvant être assimilé au référentiel de Copernic et
     le référentiel lié au « Soleil ☉ » en translation relativement au référentiel barycentrique étant le référentiel de Kepler
     nous en déduisons, dans la mesure où le système étudié est considéré comme isolé, que le mouvement de la planète $\;{\big (}$ou de l'astéroïde ou encore de la comète${\big )}\;$ dans le référentiel de Kepler est identique au mouvement du mobile réduit du système dans le référentiel de Copernic ;

     comme le mobile réduit du système étudié est assimilable à la planète $\;{\big (}$ou à l'astéroïde ou encore à la comète${\big )}$, nous pouvons conclure, qu'à cette approximation, le référentiel de Kepler s'identifie au référentiel de Copernic.

     Le mouvement relatif de la planète $\;{\big (}$ou de l'astéroïde ou encore de la comète${\big )}$ par rapport au Soleil $\;{\big (}$quand le système constitué avec le Soleil est dans un état lié${\big )}\;$ a été décrit historiquement par les trois lois de Kepler, le mouvement correspondant étant qualifié de « képlérien » :

     1^ère loi de Kepler : nature elliptique de la trajectoire de la planète $\;{\big (}$ou de l'astéroïde ou encore de la comète${\big )}\;$ dont le « Soleil ☉ » est un des foyers.

     2^ème loi de Kepler : en des durées égales le rayon vecteur de la planète $\;{\big (}$ou de l'astéroïde ou encore de la comète${\big )}\;$ issu du « Soleil ☉ » balaie des aires égales.

     3^ème loi de Kepler : le rapport du cube du demi-grand axe de l'ellipse décrite par la planète $\;{\big (}$ou par l'astéroïde ou encore par la comète${\big )}\;$ sur le carré de la période du mouvement de la planète $\;{\big (}$ou de l'astéroïde ou encore de la comète${\big )}\;$ est une constante ne dépendant pas de la masse de l'objet gravitant autour du « Soleil ☉ » ou «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\simeq {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$».

     Utilisation de la 3^ème loi de Kepler : La 3^ème loi de Kepler permet de déterminer le demi-grand axe de l’ellipse d'une planète, d'un astéroïde ou d'une comète si on connaît sa période $\;{\bigg [}$par exemple le demi-grand axe de l’ellipse de la comète de Halley se détermine aisément car on connaît sa période «$\;T_{\text{Halley}}\simeq 76\;ans\;$» et on peut écrire «$\;{\dfrac {a_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}={\dfrac {a_{\text{Halley}}^{\,3}}{T_{\text{Halley}}^{\,2}}}\;$» avec «$\;a_{\text{♁}}=1\;ua\;$» et «$\;T_{\text{♁}}$ $=1\;an\;$»${\bigg ]}$.

Système de deux points dans le champ d'un astre éloigné

But recherché

     Nous avons vu le grand intérêt de l’introduction du mobile réduit pour étudier le mouvement barycentrique de chaque point matériel $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ d’un système de deux points isolé $\;{\big [}$mais aussi pour obtenir le mouvement relatif de l’un des points par exemple $\;M_{2}\;$ relativement à $\;M_{1}\;$ toujours dans le cas d'un système de deux points isolé${\big ]}$ ;

     le mobile réduit peut-il être utile dans le cas d’un système de deux points dans un champ de forces extérieures $\;{\big (}$donc non isolé${\big )}$ ?

     Pour tenter de répondre à cette question, nous allons, ci-après, considérer un cas particulier, celui d’un système de deux points dans le champ newtonien d’un astre éloigné et

     Pour tenter de répondre à cette question, nous allons, ci-après, voir comment la notion de mobile réduit pourrait y être utilisée $\;\ldots$

Recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Le mobile réduit $\;M\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ dans l'espace champ de gravitation newtonien d'un astre éloigné de vecteur champ $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(P)\;$ en un point $\;P\;$ quelconque est toujours de masse $\;\mu ={\dfrac {M_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ appelée « masse réduite » et tel que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire au mouvement de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen${\big )}$ ;

     les grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit associé au système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ dans l'espace champ de gravitation newtonien d'un astre éloigné de vecteur champ $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(P)\;$ en un point $\;P\;$ quelconque restent celles d'un mobile réduit associé à un système de deux points matériels isolé énoncées, plus haut dans ce chapitre, dans le paragraphe «grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit (d'un système de deux points isolé) ».

     Sachant que le vecteur quantité de mouvement du mobile réduit $\;M\left(\mu \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ s'identifie au vecteur quantité de mouvement barycentrique du point matériel $\;M_{2}\left(m_{2}\right)\;$ au même instant $\;t$, soit $\;{\vec {p}}^{*}\!\left(M,\,t\right)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;$, nous établirons la $\;{\big (}$ou les${\big )}\;$ force(s) à appliquer au mobile réduit dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ en cherchant ce qui doit être mis à la place du point d'interrogation dans «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}^{*}}{dt}}(M,\,t)={\text{?}}\;$» équivalent à «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{*}}{dt}}(t)={\text{?}}\;$» appliqué dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$.

Nature du référentiel barycentrique et conséquence

     Le système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ n'étant pas isolé, le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ n’est pas galiléen $\;{\big [}$en effet, si $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, celle-ci n'est pas rectiligne uniforme${\big ]}$, il faut donc tenir compte de la pseudo-force d’inertie d’entraînement lors de l'étude de la dynamique d'un point dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ non galiléen $\;{\big (}$ce dernier étant en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen${\big )}$, par exemple, sur $\;M_{2}$, cette pseudo-force d’inertie d’entraînement s'écrit «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}},\,e}(M_{2},\,t)=-m_{2}\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(G,\,t)\;$» où $\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(G,\,t)\;$ est le vecteur accélération du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ;

     le vecteur accélération du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, à savoir «$\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(G,\,t)\;$» se détermine par application, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, du théorème du mouvement du C.D.I. au système des deux points «$\;m_{1}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})+m_{2}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})=(m_{1}+m_{2})\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(G,\,t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(G,\,t)={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})\;$», dont on déduit l'expression de la pseudo-force d'inertie d'entraînement en $\;M_{2}$, soit «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}},\,e}(M_{2},\,t)=-{\dfrac {m_{2}\;m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})-{\dfrac {m_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})\;$».

Application de la r.f.d.n. à M₂ dans le référentiel barycentrique non galiléen, notion de « force des marées »

Application de la r.f.d.n. à M₂ dans le référentiel barycentrique non galiléen

     Appliquant la r.f.d.n. au point matériel $\;M_{2}\left(m_{2}\right)\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ non galiléen $\;{\big (}$en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen${\big )}\;$ nous obtenons la relation suivante «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+m_{2}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})+{\vec {f}}_{{\text{in.}},\,e}(M_{2},\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}},\,e}(M_{2},\,t)=-{\dfrac {m_{2}\;m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})-{\dfrac {m_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})\;$» soit, en regroupant les deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})$, «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+m_{2}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})+\left[m_{2}-{\dfrac {m_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right]\,{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}-{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})+{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t)\;$» soit finalement

$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})\right]={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t)\;$» ;

     en conclusion, lors de l’application de la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ non galiléen, on peut considérer que $\;M_{2}\;$ est soumis à deux forces $\;{\big (}$ou pseudo-forces${\big )}$ :

• une 1^ère force « la force d’interaction $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ exercée par l’autre point $\;M_{1}\;$» $\;{\big (}$la seule force dans la mesure où le système des deux points matériels serait isolé${\big )}\;$ et
• une 2^ème « force $\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})\right]\;$» résultant de l'action directe du champ extérieur créé par l'astre éloigné sur $\;M_{2}\;$ et de la pseudo-force d’inertie d’entraînement liée au caractère non galiléen du référentiel barycentrique $\;{\Big \{}$cette 2^ème « force $\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})\right]\;$» sera appelée « force des marées appliquée à $\;M_{2}\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», ce dernier devant alors être considéré « pseudo_galiléen » dans la mesure où cette 2^ème « force » $\;{\big [}$que l'on notera $\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2}){\big ]}\;$ englobe la pseudo-force d'inertie d'entraînement tenant compte du caractère non galiléen de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ $\Rightarrow$ celle-ci ne doit donc pas être introduite une 2^ème fois d'où $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ considéré comme galiléen $\;{\big (}$ce que souligne le préfixe « pseudo- »${\big )}{\Big \}}$.

Notion de « force des marées »

     La « force des marées appliquée à $\;M_{2}\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$» est la résultante de la force exercée par l'astre éloigné sur $\;M_{2}\;$ et de la pseudo-force d'inertie d'entraînement liée au caractère non galiléen du référentiel barycentrique s'appliquant sur $\;M_{2}\;$ soit

«$\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})\right]\;$»,
l'introduction de cette « force » rendant le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ pseudo-galiléen.

     En conséquence, pour déterminer le mouvement barycentrique de $\;M_{2}$, on peut donc considérer le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ pseudo-galiléen $\;{\big (}$ou le système des deux points comme « isolé »${\big )}\;$ à condition d’ajouter à la force d’interaction exercée par $\;M_{1}$ $\;{\big (}$la seule force qui s'exercerait sur $\;M_{2}\;$ si le système des deux points matériels était réellement isolé${\big )}$, « la force des marées appliquée à $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire $\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})\;$», le mouvement barycentrique de $\;M_{2}\;$ suivant la r.f.d.n. suivante

«$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».

     Remarque : En permutant les rôles joués par les points matériels $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ $\;{\big (}$ce qui revient à échanger les indices «$\;_{1}\;$» et «$\;_{2}\;$»${\big )}$, on définit la « force des marées appliquée à $\;M_{1}\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$» comme la résultante de la force exercée par l'astre éloigné sur $\;M_{1}\;$ et de la pseudo-force d'inertie d'entraînement liée au caractère non galiléen de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ s'appliquant sur $\;M_{1}\;$ soit

«$\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{1})={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})\right]=-{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})\;$»,
l'introduction de cette « force » rendant le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ pseudo-galiléen ;

     Remarque : ainsi, pour déterminer le mouvement barycentrique de $\;M_{1}$, on pourra considérer le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ pseudo-galiléen $\;{\big (}$ou le système des deux points comme « isolé »${\big )}\;$ à condition d’ajouter à la force d’interaction exercée par $\;M_{2}$ $\;{\big (}$la seule force qui s'exercerait sur $\;M_{1}\;$ si le système des deux points matériels était réellement isolé${\big )}$, « la force des marées appliquée à $\;M_{1}\;$ c'est-à-dire $\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{1})\;$», le mouvement barycentrique de $\;M_{1}\;$ suivant la r.f.d.n. suivante

«$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{1})={\dfrac {d{\vec {p}}_{1}^{\,*}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;

     Remarque : en fait la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ est équivalente à la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ car elle représente l'opposée de cette dernière puisque $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\\{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{1})=-{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})\\{\vec {p}}_{1}^{\,*}=-{\vec {p}}_{2}^{\,*}\end{array}}\right\rbrace$.

Notion de champ des marées d'un astre dans le voisinage d'un point O éloigné de l'astre

Champ des marées d'un astre dans le voisinage d'un point A éloigné de l'astre

     Soit un astre $\;\left({\mathcal {A}}\right)\;$ de « centre $\;A\;$», source d'un champ gravitationnel en tout point $\;P\;$ extérieur «$\;{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(P)\;$» ainsi que deux points $\;\left(O\,,\,M\neq O\right)\;$ avec $\;O\;$ éloigné de l'astre $\;\left({\mathcal {A}}\right)$ $\;{\big [}$c'est-à-dire éloigné de son « centre $\;A\;$»${\big ]}\;$ et $\;M\;$ restant dans le voisinage de $\;O\;$, le champ des marées de l'astre $\;\left({\mathcal {A}}\right)\;$ au point $\;M\;$ du voisinage d'un point $\;O\;$ éloigné de l'astre est noté «$\;{\vec {C}}_{\mathcal {A}}(M)\;$» et défini selon «$\;{\vec {C}}_{\mathcal {A}}(M)={\vec {G}}_{\mathcal {A}}(M)-{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(O)\;$».

     Remarques : Tout comme la définition du vecteur champ gravitationnel d'un astre $\;\left({\mathcal {A}}\right)\;$ en une position $\;P\;$ de son espace ne nécessite pas que cette position soit occupée par un point matériel $\;{\Big [}$mais si ce n'est pas le cas l'action de l'astre en $\;P\;$ reste invisible, ce n'est que si cette position est occupée par un point matériel $\;P\left(m_{P}\right)\;$ que ce dernier subit la force d'attraction gravitationnelle $\;m_{P}\;{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(P)\;$ avec $\;{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(P)\;$ champ gravitationnel de l'astre en $\;P$, champ existant même si la position $\;P\;$ est vide${\Big ]}$,

     Remarques : Tout comme la définition du vecteur champ des marées d'un astre $\;\left({\mathcal {A}}\right)\;$ en la position $\;M\;$ du voisinage d'une position $\;O\;$ éloignée de l'astre ne nécessite pas que ces deux positions soient occupées par des points matériels $\;{\bigg \{}$mais si ce n'est pas le cas l'action du champ des marées restera invisible, ce n'est que si ces deux positions sont simultanément occupées par deux points matériels $\;O\left(m_{O}\right)\;$ et $\;M\left(m_{M}\right)\;$ que ce dernier subit une « force des marées » dans le référentiel barycentrique des deux points matériels $\;\left(O\,,\,M\right)$, « force » dépendant du champ des marées «$\;{\vec {C}}_{\mathcal {A}}(M)=$ ${\vec {G}}_{\mathcal {A}}(M)-{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(O)\;$» $\;{\Big [}$avec $\;{\vec {G}}_{\mathcal {A}}(P)\;$ champ gravitationnel de l'astre en $\;P{\Big ]}\;$ ainsi que des deux masses par l'intermédiaire de la masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{O}\;m_{M}}{m_{O}+m_{M}}}\;$ de ces dernières, « force » résultant de l'influence du champ de gravitation de l'astre éloigné sur le point $\;M\;$ ainsi que du caractère non galiléen du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ des deux points matériels et qui se manifeste dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ « pseudo-galiléen » selon la relation $\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M)={\dfrac {m_{O}\;m_{M}}{m_{O}+m_{M}}}\;{\vec {C}}_{\mathcal {A}}(M)=\mu \;{\vec {C}}_{\mathcal {A}}(M)\;$${\bigg \}}$.

     Exemples $\;\succ \;$ Le champ des marées lunaires au voisinage de la Terre « ♁ de centre $\;T\;$» $\;{\Big [}$ou le champ des marées de la Lune « ☽ de centre $\;L\;$» en un point matériel $\;M\,(m)\;$ du voisinage de «$\;{\text{♁}}\,\left(m_{\text{♁}}\right)\;$ de centre $\;T\;$» considéré comme éloigné de $\;L\;$${\Big ]}$ : «$\;{\vec {C}}_{\text{☽}}(M)={\vec {G}}_{\text{☽}}(M)-{\vec {G}}_{\text{☽}}(T)\;$» avec «$\;{\vec {G}}_{\text{☽}}(P)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☽}}}{r_{L,\,P}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{L\,\rightarrow \,P}\;$ le champ d'attraction de la Lune en tout point hors de celle-ci, $\;m_{\text{☽}}\;$ étant sa masse », l'action de ce champ des marées lunaires sur le point matériel $\;M\,(m)\;$ se manifestant par la « force des marées lunaires $\;{\vec {f}}_{\text{marées ☽}}(M)={\dfrac {m\;m_{\text{♁}}}{m+m_{\text{♁}}}}\;{\vec {C}}_{\text{☽}}(M)\;$» dans le référentiel barycentrique du système $\;\left(M\,,\,{\text{♁}}\right)$, référentiel considéré comme « pseudo-galiléen » $\;{\big (}$sur une durée où l'action du Soleil peut être négligée c'est-à-dire $\;\lesssim \;$ à $\;3\;j{\big )}\;$ ou encore, $\;m\;$ étant usuellement $\;\ll \;$ par rapport à $\;m_{\text{♁}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {m\;m_{\text{♁}}}{{\cancel {m\;+}}\;m_{\text{♁}}}}\simeq m$, la « force des marées lunaires sur $\;M\;$» s'écrivant de façon approchée selon $\;{\vec {f}}_{\text{marées ☽}}(M)\simeq m\;{\vec {C}}_{\text{☽}}(M)\;$ dans le référentiel géocentrique « pseudo-galiléen » $\;{\bigg [}$le C.D.I. de $\;\left\lbrace T\,\left(m_{\text{♁}}\right)\,,\,M\,\left(m\right)\right\rbrace \;$ se confondant avec $\;T\;$ compte-tenu de $\;m\ll m_{\text{♁}}{\bigg ]}$, ceci toujours sur une durée où l'action du Soleil peut être négligée c'est-à-dire $\;\lesssim \;$ à $\;3\;j$.

     Exemples $\;\succ \;$ Le champ des marées solaires au voisinage de la Terre « ♁ de centre $\;T\;$» $\;{\Big [}$ou le champ des marées du Soleil « ☉ de centre $\;S\;$» en un point matériel $\;M\,(m)\;$ du voisinage de «$\;{\text{♁}}\,\left(m_{\text{♁}}\right)\;$ de centre $\;T\;$» considéré comme éloigné de $\;S\;$${\Big ]}$ : «$\;{\vec {C}}_{\text{☉}}(M)={\vec {G}}_{\text{☉}}(M)-{\vec {G}}_{\text{☉}}(T)\;$» avec «$\;{\vec {G}}_{\text{☉}}(P)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{S,\,P}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,P}\;$ le champ d'attraction du Soleil en tout point hors de celui-ci, $\;m_{\text{☉}}\;$ étant sa masse », l'action de ce champ des marées solaires sur le point matériel $\;M\,(m)\;$ se manifestant par la « force des marées solaires $\;{\vec {f}}_{\text{marées ☉}}(M)={\dfrac {m\;m_{\text{♁}}}{m+m_{\text{♁}}}}\;{\vec {C}}_{\text{☉}}(M)\;$» dans le référentiel barycentrique du système $\;\left(M\,,\,{\text{♁}}\right)$, référentiel considéré comme « pseudo-galiléen » $\;{\Big [}$à condition toutefois d'y ajouter la « force des marées lunaires sur $\;M\;$» car l'action de la Lune a aussi une influence sur le mouvement du C.D.I. de $\;\left\lbrace T\,\left(m_{\text{♁}}\right)\,,\,M\,\left(m\right)\right\rbrace \;$ dans le référentiel de Copernic galiléen${\Big ]}\;$ ou encore, $\;m\;$ étant usuellement $\;\ll \;$ par rapport à $\;m_{\text{♁}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {m\;m_{\text{♁}}}{{\cancel {m\;+}}\;m_{\text{♁}}}}\simeq m$, la « force des marées solaires sur $\;M\;$» s'écrivant de façon approchée selon $\;{\vec {f}}_{\text{marées ☉}}(M)\simeq m\;{\vec {C}}_{\text{☉}}(M)\;$ dans le référentiel géocentrique « pseudo-galiléen » $\;{\Big [}$le C.D.I. de $\;\left\lbrace T\,\left(m_{\text{♁}}\right)\,,\,M\,\left(m\right)\right\rbrace \;$ se confondant avec $\;T\;$ compte-tenu de $\;m\ll m_{\text{♁}}{\Big ]}$, « pseudo-galiléen » sur une durée $\;\lesssim \;$ à $\;3\;j\;$ avec la nécessité d'ajouter à la « force des marées solaires » « la force des marées lunaires » dont l'influence est primordiale relativement à celle des marées solaires, cette dernière ne représentant approximativement que $\;45\;\%\;$ de la 1^ère en norme pour des points matériels restant voisins de la surface de la Terre.

Forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Comme cela a été rappelé en « introduction du paragraphe recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ » plus haut dans ce chapitre, le vecteur quantité de mouvement du mobile réduit $\;M\left(\mu \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ s'identifiant au vecteur quantité de mouvement barycentrique du point matériel $\;M_{2}\left(m_{2}\right)\;$ au même instant $\;t$, c'est-à-dire $\;{\vec {p}}^{*}\!\left(M,\,t\right)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;$, nous établissons la $\;{\big (}$ou les${\big )}\;$ force(s) à appliquer au mobile réduit dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ en cherchant ce qui doit être mis à la place du point d'interrogation dans «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}^{*}}{dt}}(M,\,t)={\text{?}}\;$» dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen » ce qui est équivalent à «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{*}}{dt}}(t)={\text{?}}\;$» le même référentiel $\;{\mathcal {R}}^{*}$ ; or nous avons établi la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ dans le paragraphe « notion de force des marées » plus haut dans ce chapitre sous la forme «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{\,*}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» et nous en déduisons la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ à savoir «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}^{\,*}}{dt}}(M,\,t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» à appliquer dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen » ;

     de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ nous pouvons affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\left(\mu \right)\;$ associé au système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{2}\,(m_{2})\,,\,M_{1}\,(m_{1})\right\rbrace \;$ positionné dans l'espace champ de gravitation d'un astre éloigné de vecteur champ de gravitation en un point $\;P\;$ quelconque $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(P)$, se détermine en lui appliquant la r.f.d.n. dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen » après avoir supposé que le mobile réduit est soumis aux deux « forces » suivantes :

• la force d'attraction gravitationnelle de $\;M_{1}\;$ sur $\;M_{2}\;$ à savoir «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{1}\;m_{2}}{r_{1\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\;$» ou, sachant que $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;m_{1}\;m_{2}=\mu \;m_{\text{syst}}\;$ avec $\;m_{\text{syst}}=m_{1}+m_{2}$, et que «$\;{\overrightarrow {GM}}(t)$ $={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t),\;\;\forall \;t\;$» avec $\;G\;$ le C.D.I. du système des deux points matériels $\Rightarrow$ la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;G\;$ vaut «$\;r=r_{1\,2}\;$» et son vecteur unitaire radial du même repérage sphérique de pôle $\;G\;$ «$\;{\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\;$», la réécriture de la force selon «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;\mu \;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big (}$la seule force à appliquer dans le cas d'un système de deux points matériels isolé${\big )}\;$ et
• la « force des marées appliquée à $\;M_{2}\;$» dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen » à savoir «$\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {C}}_{\text{ext}}(M_{2})\;$» avec $\;{\vec {C}}_{\text{ext}}(M_{2})=$ ${\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{2})-{\vec {G}}_{\text{ext}}(M_{1})$, le champ des marées en $\;M_{2}\;$ de l'astre éloigné du système des deux points matériels dans lequel $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(P)\;$ est le champ de gravitation créé par cet astre en un point $\;P\;$ quelconque ou, sachant que $\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=\mu \;$ et que «$\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t),\;\;\forall \;t\;$», la réécriture de « la force des marées appliquée à $\;M\;$» dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen » selon «$\;{\vec {f}}_{\text{marées}}(M)=$ $\mu \;{\vec {C}}_{\text{ext}}(M)\;$» avec $\;{\vec {C}}_{\text{ext}}(M)={\vec {G}}_{\text{ext}}(M)-{\vec {G}}_{\text{ext}}(G)$, cette « force » n'étant, en pratique, qu'une force corrective relativement à l'autre force «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$» $\;\ldots$

Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit

     L'application de la r.f.d.n. au mobile réduit $\;M\;(\mu )\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{2}\,(m_{2})\,,\,M_{1}\,(m_{1})\right\rbrace \;$ situé dans l'espace champ gravitationnel d'un astre éloigné, écrite dans le référentiel barycentrique du système des deux points $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ « pseudo-galiléen » selon $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}+{\vec {f}}_{\text{marées}}(M_{2})={\dfrac {d{\vec {p}}^{\,*}}{dt}}(M,\,t)\;$» ou «$\;-\mu \;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}+\mu \;{\vec {C}}_{\text{marées}}(M)=\mu \;{\vec {a}}^{*}(M,\,t)\;$» soit, après simplification par $\;\mu$, l'expression du vecteur accélération barycentrique du mobile réduit à l'instant $\;t\;$

«$\;{\vec {a}}^{*}(M,\,t)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}+{\vec {C}}_{\text{marées}}(M)\;$» dans lequel
la composante principale est $\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}$, l'autre composante $\;{\vec {C}}_{\text{marées}}(M)\;$ étant corrective.

     Nous savons qu'en absence de « la force des marées appliquée à $\;M\;$» dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$ « pseudo-galiléen », le mouvement barycentrique du mobile réduit possède les propriétés rappelées dans le paragraphe « rappel des principaux résultats (du mouvement du mobile réduit d'un système de deux points en interaction newtonienne isolé) » plus haut dans ce chapitre et que la présence de cette « force des marées » peut modifier selon les ajouts indiqués :

• un mouvement plan $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}$, caractère « plan » maintenu si toutefois le centre de l'astre éloigné se trouve dans le plan envisagé $\;{\Big \{}$en effet, utilisant le repérage polaire de pôle $\;G\;$ du point $\;M\;$ dans le plan de son mouvement en absence de « la force des marées » $\;{\big (}{\vec {u}}_{z}\;$ étant le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan orientant les angles de ce dernier${\big )}$, l'ajout de la « force des marées $\;\mu \;{\vec {C}}_{\text{marées}}(M)\;$», laquelle est, tout comme $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(G)\;$ et $\;{\vec {G}}_{\text{ext}}(M)$, contenu dans ce plan, n'introduisant aucune composante sur $\;{\vec {u}}_{z}$, on en déduit $\;a_{z}^{*}(M,\,t)=0,\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;V_{z}^{*}(M,\,t)=cste\;$ ou, avec C.I. $\;{\Big (}$le plan $\;xGy\;$ contenant $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}^{*}{\Big )}$, $\;V_{z}^{*}(M,\,t)=0\;$ C.Q.F.D.${\Big \}}$, le caractère « plan » n'étant qu'approché dans le cas contraire,
• la trajectoire barycentrique de $\;M$ est une conique $\;{\big (}$ou portion de conique${\big )}\;$ dont $\;G\;$ est le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big [}$dans le cas d'une portion de conique, celle-ci est une hyperbole et la portion est la branche contournant $\;G{\big ]}$, l'ajout de la « force des marées $\;\mu \;{\vec {C}}_{\text{marées}}(M)\;$» déformant plus ou moins la conique, la direction, le sens et l'intensité de la déformation dépendant de l'étude graphique ou algébrique exposée dans les deux paragraphes suivants « détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂ » et « détermination algébrique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂ » $\;\ldots$

Détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂

     De façon à rendre plus concrète cette détermination, la Terre « ♁ » $\;{\big (}$supposée ponctuelle$\;{\big )}\;$ de centre $\;T\;$ est choisie comme point matériel $\;M_{1}$, la Lune « ☽ » $\;{\big (}$également supposée ponctuelle$\;{\big )}\;$ de centre $\;L\;$ choisie comme point matériel $\;M_{2}$, le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique est le référentiel géocentrique et le Soleil « ☉ » de centre $\;S\;$ choisi comme astre éloigné du système « (♁, ☽) » ;

Représentation du champ de gravitation solaire au centre de la Terre et en quatre positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L₁), en conjonction avec le Soleil (L₂), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L₃ et L₄ respectivement en phase décroissante et croissante)

Construction du champ des marées solaires en trois positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L₁), en conjonction avec le Soleil (L₂), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L₃ en phase décroissante)

Représentation du champ des marées solaires en quatre positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L₁), en conjonction avec le Soleil (L₂), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L₃ et L₄ respectivement en phase décroissante et croissante)

     pour simplifier l'étude, nous supposons que le centre de l'astre source du champ newtonien extérieur $\;{\big [}$c'est-à-dire le centre $\;S\;$ du Soleil${\big ]}\;$ et le système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$ $\;{\big [}$c'est-à-dire le système « (♁, ☽) » modélisé en $\;\left(T\,,\,L\right){\big ]}\;$ sont coplanaires ; dans ce cadre d'étude nous envisageons quatre positions particulières $\;{\big (}$voir ci-contre les champs de gravitation solaire${\big )}$ :

• position $\;L_{1}\;$ correspondant à $\;S,\;T,\;L\;$ alignés dans cet ordre, position de Pleine Lune $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune${\big )}$ $\;{\big \{}$le Soleil et la Lune sont en opposition par rapport à la Terre${\big \}}$,
• position $\;L_{2}\;$ correspondant à $\;S,\;L,\;T\;$ alignés dans cet ordre, position de Nouvelle Lune $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit la face non éclairée par $\;S\;$ de la Lune${\big )}$ $\;{\big \{}$le Soleil et la Lune sont en conjonction par rapport à la Terre${\big \}}$,
• position $\;L_{3}\;$ correspondant à $\;S,\;L\;$ en quadrature relativement à $\;T\;$ phase décroissante, position de Dernier Quartier $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit partiellement la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune sur sa partie gauche${\big )}\;$ et
• position $\;L_{4}\;$ correspondant à $\;S,\;L\;$ en quadrature relativement à $\;T\;$ phase croissante, position de Premier Quartier $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit partiellement la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune sur sa partie droite${\big )}$.

     Voir ci-contre la construction du champ des marées solaires en les trois positions $\;L_{1}$, $\;L_{2}\;$ et $\;L_{3}$, $\;{\big (}$la construction pour la position $\;L_{4}\;$ étant la symétrique relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {ST}}\;$ de celle pour la position $\;L_{3}{\big )}$, les constructions utilisant les directions et sens comparés des champs de gravitation en $\;L_{i}\;$ et $\;T\;$ ainsi que leurs intensités comparées ;

     Voir ci-contre $\;\succ \;$ en $\;L_{1}\;$ le champ des marées solaires est «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})={\vec {G}}_{S}(L_{1})-{\vec {G}}_{S}(T)\;$» dans lequel $\;{\vec {G}}_{S}(L_{1})\;$ et $\;{\vec {G}}_{S}(T)\;$ sont de mêmes direction et sens avec $\;\Vert {\vec {G}}_{S}(L_{1})\Vert <\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert \;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})\;$ de direction $\;\left(ST\right)\;$ centrifuge relativement à $\;T\;$ tel que $\;\Vert {\vec {C}}_{S}(L_{1})\Vert$ $=\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert -\Vert {\vec {G}}_{S}(L_{1})\Vert \;$»,

     Voir ci-contre $\;\succ \;$ en $\;L_{2}\;$ le champ des marées solaires est «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})={\vec {G}}_{S}(L_{2})-{\vec {G}}_{S}(T)\;$» dans lequel $\;{\vec {G}}_{S}(L_{2})\;$ et $\;{\vec {G}}_{S}(T)\;$ sont de mêmes direction et sens avec $\;\Vert {\vec {G}}_{S}(L_{2})\Vert >\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert \;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})\;$ de direction $\;\left(ST\right)\;$ centrifuge relativement à $\;T\;$ tel que $\;\Vert {\vec {C}}_{S}(L_{2})\Vert$ $=\Vert {\vec {G}}_{S}(L_{2})\Vert -\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert \;$» et

     Voir ci-contre $\;\succ \;$ en $\;L_{3}\;$ le champ des marées solaires est «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{3})={\vec {G}}_{S}(L_{3})-{\vec {G}}_{S}(T)\;$» dans lequel $\;{\vec {G}}_{S}(L_{3})\;$ et $\;{\vec {G}}_{S}(T)\;$ n'ont pas même direction avec $\;\Vert {\vec {G}}_{S}(L_{3})\Vert =\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert \;$ d'où, par construction graphique «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})\;$ de direction quasi-$\perp \;$ à $\;\left(ST\right)\;$ ainsi que quasi-centripète relativement à $\;T$, l'évaluation de $\;\Vert {\vec {C}}_{S}(L_{3})\Vert \;$ nécessitant une détermination algébrique » $\;{\Big [}$en $\;L_{4}\;$ le champ des marées solaires «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{4})={\vec {G}}_{S}(L_{4})-{\vec {G}}_{S}(T)\;$» est le symétrique relativement à $\;\left(ST\right)\;$ du champ des marées solaires en $\;L_{3}{\Big ]}$.

     Voir ci-contre la carte des champs des marées solaires en les quatre positions particulières étudiées :

• $\;L_{1}\;$ et $\;L_{2}\;$ donnant un champ des marées solaires centrifuge relativement à $\;T\;$ dont l'action sur la trajectoire de la Lune dans le référentiel géocentrique sera un léger étirement le long de l'axe $\;\left(ST\right)\;$ et
• $\;L_{3}\;$ et $\;L_{4}\;$ donnant un champ des marées solaires quasi-centripète relativement à $\;T\;$ dont l'action sur la trajectoire de la Lune dans le référentiel géocentrique sera un léger tassement dans la direction $\;\perp \;$ à l'axe $\;\left(ST\right)$.

     Tout ce qui vient d'être exposé reste valable en remplaçant $\;T\;$ par $\;M_{1}$, $\;L\;$ par $\;M_{2}\;$ et $\;S\;$ par le centre de l'astre éloigné, le référentiel géocentrique étant remplacé par le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$.

Détermination algébrique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂

     De même que dans le paragraphe précédent, de façon à rendre plus concrète cette détermination, la Terre « ♁ » $\;{\big (}$supposée ponctuelle$\;{\big )}\;$ de centre $\;T\;$ est choisie comme point matériel $\;M_{1}$, la Lune « ☽ » $\;{\big (}$également supposée ponctuelle$\;{\big )}\;$ de centre $\;L\;$ choisie comme point matériel $\;M_{2}$, le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique est le référentiel géocentrique et le Soleil « ☉ » de centre $\;S\;$ choisi comme astre éloigné du système « (♁, ☽) » ;

     dans le but de simplifier l'étude, nous supposons que le centre de l'astre source du champ newtonien extérieur $\;{\big [}$c'est-à-dire le centre $\;S\;$ du Soleil${\big ]}\;$ et le système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$ $\;{\big [}$c'est-à-dire le système « (♁, ☽) » modélisé en $\;\left(T\,,\,L\right){\big ]}\;$ sont coplanaires ;

     là encore nous envisageons les quatre positions particulières précédentes dans le but de faire, pour chacune, une détermination approchée de «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{i})={\vec {G}}_{S}(L_{i})-{\vec {G}}_{S}\;(T),\;\;i\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» qui s'écrit encore «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{i})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{SL_{i}^{2}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{i}}-\left[-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{i}}}{SL_{i}^{2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}}{ST^{2}}}\right]\;$» :

• pour la position $\;L_{1}\;$ correspondant à $\;S,\;T,\;L\;$ alignés dans cet ordre, position de Pleine Lune $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune${\big )}$ $\;{\big \{}$le Soleil et la Lune sont en opposition par rapport à la Terre${\big \}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{1}}}{SL_{1}^{2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}}{ST^{2}}}\right]\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{1}}={\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}={\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;SL_{1}=ST+TL_{1}=ST\left(1+{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right)\;$ avec $\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\ll 1\;$ pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre un d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;{\vec {u}}_{z}\left[{\dfrac {1}{ST^{2}\;\left(1+{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right)^{\!2}}}-{\dfrac {1}{ST^{2}}}\right]=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[\left(1+{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right)^{\!-2}-1\right]\;$» ou, en faisant un D.L. à l'ordre un en $\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\;$ de l'expression entre crochets $\;\left(1+{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right)^{\!-2}-1\simeq \left(1-2\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right)-1=-2\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[-2\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\right]\;$ à l'ordre un en $\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation solaire au centre de la Terre, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position $\;L_{1}\;$ de la Lune «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{1})\simeq -2\;{\dfrac {TL_{1}}{ST}}\;{\vec {G}}_{S}(T)\;$» centrifuge relativement à la Terre,
• pour la position $\;L_{2}\;$ correspondant à $\;S,\;L,\;T\;$ alignés dans cet ordre, position de Nouvelle Lune $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit la face non éclairée par $\;S\;$ de la Lune${\big )}$ $\;{\big \{}$le Soleil et la Lune sont en conjonction par rapport à la Terre${\big \}}$ «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{2}}}{SL_{2}^{2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}}{ST^{2}}}\right]\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{2}}={\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}={\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;SL_{2}=ST-TL_{2}=ST\left(1-{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right)\;$ avec $\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\ll 1\;$ pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre un d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;{\vec {u}}_{z}\left[{\dfrac {1}{ST^{2}\;\left(1-{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right)^{\!2}}}-{\dfrac {1}{ST^{2}}}\right]=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[\left(1-{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right)^{\!-2}-1\right]\;$» ou, en faisant un D.L. à l'ordre un en $\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\;$ de l'expression entre crochets $\;\left(1-{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right)^{\!-2}-1\simeq \left(1+2\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right)-1=2\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[2\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\right]\;$ à l'ordre un en $\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation solaire au centre de la Terre, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position $\;L_{2}\;$ de la Lune «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{2})\simeq 2\;{\dfrac {TL_{2}}{ST}}\;{\vec {G}}_{S}(T)\;$» centrifuge relativement à la Terre $\Rightarrow$ « les champs des marées solaires en les positions opposées $\;L_{1}\;$ et $\;L_{2}\;$ de la Lune sur sa trajectoire quasi-circulaire autour de la Terre sont opposés et de même intensité »,
• pour la position $\;L_{3}\;$ correspondant à $\;S,\;L\;$ en quadrature relativement à $\;T\;$ phase décroissante, position de Dernier Quartier $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit partiellement la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune sur sa partie gauche${\big )}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{3})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{3}}}{SL_{3}^{2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}}{ST^{2}}}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {\overrightarrow {SL_{3}}}{SL_{3}^{3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {ST}}{ST^{3}}}\right]\;$» ou, avec $\;SL_{3}=ST\;$ et en mettant en facteur $\;{\dfrac {1}{SL_{3}^{3}}}={\dfrac {1}{ST^{3}}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{3})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{3}}}\left[{\overrightarrow {SL_{3}}}-{\overrightarrow {ST}}\right]$ $={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{3}}}\;{\overrightarrow {TL_{3}}}\;$» soit encore «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{3})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {TL_{3}}}{ST}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\dfrac {TL_{3}\;{\vec {u}}_{T\,\rightarrow \,L_{3}}}{ST}}\;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{T\,\rightarrow \,L_{3}}\simeq {\vec {u}}_{x}\;$» et $\;G_{S}(T)=\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}$, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position $\;L_{3}\;$ de la Lune «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{3})\simeq -{\dfrac {TL_{3}}{ST}}\;G_{S}(T)\;{\vec {u}}_{x}\;$» centripète relativement à la Terre et
• pour la position $\;L_{4}\;$ correspondant à $\;S,\;L\;$ en quadrature relativement à $\;T\;$ phase croissante, position de Premier Quartier $\;{\big (}$de $\;T\;$ on voit partiellement la face éclairée par $\;S\;$ de la Lune sur sa partie droite${\big )}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{4})=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,L_{4}}}{SL_{4}^{2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,T}}{ST^{2}}}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\left[{\dfrac {\overrightarrow {SL_{4}}}{SL_{4}^{3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {ST}}{ST^{3}}}\right]\;$» ou, avec $\;SL_{4}=ST\;$ et en mettant en facteur $\;{\dfrac {1}{SL_{4}^{3}}}={\dfrac {1}{ST^{3}}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{4})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{3}}}\left[{\overrightarrow {SL_{4}}}-{\overrightarrow {ST}}\right]$ $={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{3}}}\;{\overrightarrow {TL_{4}}}\;$» soit encore «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{4})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {TL_{4}}}{ST}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}\;{\dfrac {TL_{4}\;{\vec {u}}_{T\,\rightarrow \,L_{4}}}{ST}}\;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{T\,\rightarrow \,L_{4}}\simeq -{\vec {u}}_{x}\;$» et $\;G_{S}(T)=\Vert {\vec {G}}_{S}(T)\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{ST^{2}}}$, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position $\;L_{4}\;$ de la Lune «$\;{\vec {C}}_{S}(L_{4})\simeq {\dfrac {TL_{4}}{ST}}\;G_{S}(T)\;{\vec {u}}_{x}\;$» centripète relativement à la Terre $\Rightarrow$ « les champs des marées solaires en les positions opposées $\;L_{3}\;$ et $\;L_{4}\;$ de la Lune sur sa trajectoire quasi-circulaire autour de la Terre sont opposés et de même intensité $\;{\big (}$cette intensité représentant la moitié de celle des champs des marées solaires en les positions opposées $\;L_{1}\;$ et $\;L_{2}{\big )}\;$».

     Tout ce qui vient d'être exposé reste valable en remplaçant $\;T\;$ par $\;M_{1}$, $\;L\;$ par $\;M_{2}\;$ et $\;S\;$ par le centre de l'astre éloigné, le référentiel géocentrique étant remplacé par le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ soit, en s'adaptant aux notations d'un système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ dans le champ gravitationnel d'un astre de centre $\;S\;$ éloigné des deux points :

• pour $\;S,\;M_{1},\;M_{2,\,a}\;$ alignés dans cet ordre $\;{\big \{}S\;$ et $\;M_{2}\;$ sont en opposition par rapport à $\;M_{1}{\big \}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,a})=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,a}}}{SM_{2,\,a}^{\,2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}}{SM_{1}^{2}}}\right]\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,a}}={\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}={\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;SM_{2,\,a}=SM_{1}+M_{1}M_{2,\,a}=SM_{1}\left(1+{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\right)\;$ avec $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\ll 1\;$ considéré comme un infiniment petit d'ordre un d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,a})\,{\overset {\ldots }{=}}\,-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[\left(1+{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\right)^{\!-2}-1\right]\;$» ou, en faisant un D.L. à l'ordre un en $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\;$ de l'expression entre crochets $\;\left(1+{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\right)^{\!-2}-1\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;-2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,a})\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[-2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\right]\;$ à l'ordre un en $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation de l'astre au point $\;M_{1}$, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position $\;M_{2,\,a}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,a})$ $\simeq -2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,a}}{SM_{1}}}\;{\vec {G}}_{S}(M_{1})\;$» centrifuge relativement à $\;M_{1}$,
• pour $\;S,\;M_{2,\,b},\;M_{1}\;$ alignés dans cet ordre $\;{\big \{}S\;$ et $\;M_{2}\;$ sont en conjonction par rapport à $\;M_{1}{\big \}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,b})=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,b}}}{SM_{2,\,b}^{\,2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}}{SM_{1}^{2}}}\right]\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,b}}={\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}={\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;SM_{2,\,b}=SM_{1}-M_{1}M_{2,\,b}=SM_{1}\left(1-{\dfrac {TM_{2,\,b}}{SM_{1}}}\right)\;$ avec $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\ll 1\;$ considéré comme un infiniment petit d'ordre un d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,b})\,{\overset {\ldots }{=}}\,-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[\left(1-{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\right)^{\!-2}-1\right]\;$» ou, en faisant un D.L. à l'ordre un en $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\;$ de l'expression entre crochets $\;\left(1-{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\right)^{\!-2}-1\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\;$ d'où «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,b})\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\left[2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\right]\;$ à l'ordre un en $\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation de l'astre au point $\;M_{1}$, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position $\;M_{2,\,b}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,b})$ $\simeq 2\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,b}}{SM_{1}}}\;{\vec {G}}_{S}(M_{1})\;$» centrifuge relativement à $\;M_{1}\;$ $\Rightarrow$ « les champs des marées de l'astre en les positions opposées $\;M_{2,\,a}\;$ et $\;M_{2,\,b}\;$ de $\;M_{2}\;$ sur sa trajectoire autour de $\;M_{1}\;$ sont de même direction et de sens opposés »,
• pour $\;S,\;M_{2,\,c}\;$ en quadrature relativement à $\;M_{1}\;$ à gauche par rapport à la direction $\;\left(SM_{1}\right)\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,c})=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,c}}}{SM_{2,\,c}^{\,2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}}{SM_{1}^{2}}}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2,\,c}}}{SM_{2,\,c}^{\,3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}\right]\;$» ou, avec $\;SM_{2,\,c}$ $=SM_{1}\;$ et en mettant en facteur $\;{\dfrac {1}{SM_{2,\,c}^{\,3}}}={\dfrac {1}{SM_{1}^{3}}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,c})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{3}}}\left[{\overrightarrow {SM_{2,\,c}}}-{\overrightarrow {SM_{1}}}\right]=$ ${\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{3}}}\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2,\,c}}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,c}\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2,\,c}}}{SM_{1}}}\;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2,\,c}}\simeq$ ${\vec {u}}_{x}\;$» et $\;G_{S}(M_{1})=\Vert {\vec {G}}_{S}(M_{1})\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}$, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position $\;M_{2,\,c}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,c})\simeq -{\dfrac {M_{1}M_{2,\,c}}{SM_{1}}}\;G_{S}(M_{1})\;{\vec {u}}_{x}\;$» centripète relativement à $\;M_{1}\;$ et
• pour $\;S,\;M_{2,\,d}\;$ en quadrature relativement à $\;M_{1}\;$ à droite par rapport à la direction $\;\left(SM_{1}\right)\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,d})=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2,\,d}}}{SM_{2,\,d}^{\,2}}}-{\dfrac {{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}}{SM_{1}^{2}}}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2,\,d}}}{SM_{2,\,d}^{\,3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}\right]\;$» ou, avec $\;SM_{2,\,d}$ $=SM_{1}\;$ et en mettant en facteur $\;{\dfrac {1}{SM_{2,\,d}^{\,3}}}={\dfrac {1}{SM_{1}^{3}}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,d})={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{3}}}\left[{\overrightarrow {SM_{2,\,d}}}-{\overrightarrow {SM_{1}}}\right]=$ ${\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{3}}}\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2,\,d}}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\dfrac {M_{1}M_{2,\,d}\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2,\,d}}}{SM_{1}}}\;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2,\,d}}\simeq$ $-{\vec {u}}_{x}\;$» et $\;G_{S}(M_{1})=\Vert {\vec {G}}_{S}(M_{1})\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}$, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position $\;M_{2,\,d}\;$ «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,d})\simeq {\dfrac {M_{1}M_{2,\,d}}{SM_{1}}}\;G_{S}(M_{1})\;{\vec {u}}_{x}\;$» centripète relativement à $\;M_{1}\;$ $\Rightarrow$ « les champs des marées de l'astre en les positions opposées $\;M_{2,\,c}\;$ et $\;M_{2,\,d}\;$ de $\;M_{2}\;$ sur sa trajectoire autour de $\;M_{1}\;$ sont de même direction et de sens opposés ».

     Généralisation dans le cadre d'un système de deux points matériels dans le champ gravitationnel d'un astre éloigné : Si $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\;$ fait un angle $\;\psi \;\in \;\left]-\pi \,,\,+\pi \right]$ $\;{\big (}$a priori quelconque${\big )}\;$ avec $\;{\overrightarrow {SG}}\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,(m_{1})\,,\,M_{2}\,(m_{2})\right\rbrace$ $\;{\Big [}G\;(m_{\text{syst}}=m_{1}+m_{2})\;$ étant le C.D.I. du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace {\Big ]}$, le champ des marées de l'astre de centre $\;S\;$ défini en $\;M_{2}\;$ s'écrit «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2})={\vec {G}}_{S}(M_{2})-{\vec {G}}_{S}(M_{1})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{2}^{2}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{2}}-\left[-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{S}}{SM_{1}^{2}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}\right]=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\left[{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2}}}{SM_{2}^{3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}\right]\;$» $\;{\big [}$c'est aussi $\;{\vec {C}}_{S}(M)\;$ avec $\;M\;$ mobile réduit du système des deux points${\big ]}\;$ dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {SM_{2}}}={\overrightarrow {SG}}+{\overrightarrow {GM_{2}}}\\{\overrightarrow {SM_{1}}}={\overrightarrow {SG}}+{\overrightarrow {GM_{1}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {SM_{2}}}^{2}={\overrightarrow {SG}}^{2}+2\;{\overrightarrow {SG}}\cdot {\overrightarrow {GM_{2}}}+{\overrightarrow {GM_{2}}}^{2}=SG^{2}\left[1+2\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\cdot {\dfrac {\overrightarrow {GM_{2}}}{SG}}+{\dfrac {GM_{2}^{2}}{SG^{2}}}\right]\\{\overrightarrow {SM_{1}}}^{2}={\overrightarrow {SG}}^{2}+2\;{\overrightarrow {SG}}\cdot {\overrightarrow {GM_{1}}}+{\overrightarrow {GM_{1}}}^{2}=SG^{2}\left[1+2\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\cdot {\dfrac {\overrightarrow {GM_{1}}}{SG}}+{\dfrac {GM_{1}^{2}}{SG^{2}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, avec $\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\ll 1\;$ et $\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\ll 1\;$ considérés comme deux infiniment petits de même ordre de grandeur, et en limitant ces développements à l'ordre un $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {SM_{2}}}^{2}\simeq SG^{2}\left[1+2\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\cdot {\dfrac {\overrightarrow {GM_{2}}}{SG}}\right]=SG^{2}\left[1+2\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]\\{\overrightarrow {SM_{1}}}^{2}\simeq SG^{2}\left[1+2\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\cdot {\dfrac {\overrightarrow {GM_{1}}}{SG}}\right]=SG^{2}\left[1-2\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}SM_{2}\simeq SG\left[1+2\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]^{\frac {1}{2}}\\SM_{1}\simeq SG\left[1-2\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]^{\frac {1}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {1}{SM_{2}^{3}}}\simeq {\dfrac {1}{SG^{3}}}\left[1+2\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\{\dfrac {1}{SM_{1}^{3}}}\simeq {\dfrac {1}{SG^{3}}}\left[1-2\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]^{-{\frac {3}{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en faisant un D.L. à l'ordre un du facteur entre les crochets $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {1}{SM_{2}^{3}}}\simeq \\{\dfrac {1}{SM_{1}^{3}}}\simeq \end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{SG^{3}}}\left[1-3\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]\\{\dfrac {1}{SG^{3}}}\left[1+3\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire, en se limitant à l'ordre un, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2}}}{SM_{2}^{3}}}={\dfrac {\overrightarrow {SG}}{SM_{2}^{3}}}+{\dfrac {\overrightarrow {GM_{2}}}{SM_{2}^{3}}}\simeq {\dfrac {\overrightarrow {SG}}{SG^{3}}}\left[1-3\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]+{\dfrac {\overrightarrow {GM_{2}}}{SG^{3}}}\left[1\;{\cancel {-\;3\;{\dfrac {GM_{2}}{SG}}\;\cos(\psi )}}\right]\\{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}={\dfrac {\overrightarrow {SG}}{SM_{1}^{3}}}+{\dfrac {\overrightarrow {GM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}\simeq {\dfrac {\overrightarrow {SG}}{SG^{3}}}\left[1+3\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )\right]+{\dfrac {\overrightarrow {GM_{1}}}{SG^{3}}}\left[1\;{\cancel {+\;3\;{\dfrac {GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2}}}{SM_{2}^{3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}$ $\simeq -3\;{\dfrac {\overrightarrow {SG}}{SG^{3}}}\;{\dfrac {GM_{2}+GM_{1}}{SG}}\;\cos(\psi )+{\dfrac {{\overrightarrow {GM_{2}}}-{\overrightarrow {GM_{1}}}}{SG^{3}}}\;$ qui s'écrit encore $\;{\dfrac {\overrightarrow {SM_{2}}}{SM_{2}^{3}}}-{\dfrac {\overrightarrow {SM_{1}}}{SM_{1}^{3}}}\simeq -3\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;\cos(\psi )+{\dfrac {\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}{SG^{3}}}\;$ d'où l'expression approchée finale, définie dans le référentiel barycentrique des deux points matériels $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$, du champ des marées de l'astre de centre $\;S\;$ défini en $\;M_{2}$ $\;{\big [}$qui est aussi le champ des marées de l'astre de centre $\;S\;$ défini en $\;M$, mobile réduit du système des deux points${\big ]}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {C}}_{S}(M_{2})={\vec {G}}_{S}(M_{2})-{\vec {G}}_{S}(M_{1})\simeq 3\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;\cos(\psi )\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}{SG^{3}}}\\{\text{ou, sachant que}}\;\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t,\\{\vec {C}}_{S}(M)={\vec {G}}_{S}(M_{2})-{\vec {G}}_{S}(M_{1})\simeq 3\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {GM}{SG^{3}}}\;\cos(\psi )\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {\overrightarrow {GM}}{SG^{3}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont les projetés orthogonaux sur

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c}{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}\!\!&{\text{:}}&\!\!3\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;\cos(\psi )-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}\;\cos(\psi )}{SG^{3}}}\!\!&=&\!\!2\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;\cos(\psi )\\{\vec {u}}_{\left\lbrace {\begin{array}{c}\perp \,{\text{à}}\,(SG)\,{\text{dans le plan}}\,(SGM_{1}M_{2})\\{\text{orienté de}}\,G\,{\text{vers l'ext. du côté de}}\,M_{2,\,c}\end{array}}\right\rbrace }\!\!&{\text{:}}&\!\!-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}\;\sin(\psi )}{SG^{3}}}\!\!&=&\!\!-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;\sin(\psi )\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     Généralisation dans le cadre d'un système de deux points matériels dans le champ gravitationnel d'un astre éloigné : on vérifie l'expression approchée sur les quatre positions particulières de $\;M_{2}$ :

     $\;\succ \;$si $\;\psi =0$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,a})=2\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}=2\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}\;$» effectivement centrifuge relativement à $\;M_{1}$,

     $\;\succ \;$si $\;\psi =\pi$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,b})=-2\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,G}=-2\;{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{S\,\rightarrow \,M_{1}}\;$» effectivement centrifuge relativement à $\;M_{1}$,

     $\;\succ \;$si $\;\psi ={\dfrac {\pi }{2}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,c})=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{\left\lbrace {\begin{array}{c}\perp \,{\text{à}}\,(SG)\,{\text{dans le plan}}\,(SGM_{1}M_{2})\\{\text{orienté de}}\,G\,{\text{vers l'ext. du côté de}}\,M_{2,\,c}\end{array}}\right\rbrace }=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{G\,\rightarrow \,M_{2,\,c}}\;$» effectivement centripète relativement à $\;M_{1}\;$ et

     $\;\succ \;$si $\;\psi =-{\dfrac {\pi }{2}}$, «$\;{\vec {C}}_{S}(M_{2,\,d})={\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{\left\lbrace {\begin{array}{c}\perp \,{\text{à}}\,(SG)\,{\text{dans le plan}}\,(SGM_{1}M_{2})\\{\text{orienté de}}\,G\,{\text{vers l'ext. du côté de}}\,M_{2,\,c}\end{array}}\right\rbrace }={\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{G\,\rightarrow \,M_{2,\,c}}=-{\mathcal {G}}\;m_{S}\;{\dfrac {M_{1}M_{2}}{SG^{3}}}\;{\vec {u}}_{G\,\rightarrow \,M_{2,\,d}}\;$» effectivement centripète relativement à $\;M_{1}$.

Précisions sur les modifications du mouvement barycentrique du mobile réduit dues à l'influence de la force des marées

     Dans le paragraphe « conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit » traité plus haut dans ce chapitre, nous avons établi que le mouvement barycentrique de $\;M$, mobile réduit du système des deux points matériels $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)$, est

• plan dans la mesure où le centre $\;S\;$ de l'astre éloigné est dans le plan que le mobile réduit décrirait en absence de force des marées de l'astre et
• une conique $\;{\big (}$ou branche de conique${\big )}\;$ dont $\;G$, le C.D.I. du système des deux points est un $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s), conique légèrement déformée par influence de la force des marées ;

     il nous reste à préciser les déformations de la trajectoire barycentrique de $\;M\;$ dues à cette force des marées, nous observons :

• une légère $\;\nearrow \;$ de la distance séparant $\;M\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sont alignés avec $\;S$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\left(SG\right)$ $\;{\big [}S\;$ et $\;M_{2}\;$ étant en opposition ou en conjonction par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$,
• une légère $\;\searrow \;$ de la distance séparant $\;M\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}M_{2}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right)$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right)$ $\;{\big [}S\;$ et $\;M_{2}\;$ étant en quadrature $\;{\big (}$d'un côté ou de l'autre${\big )}\;$ par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$ et
• déformation variable en direction, sens et intensité en toutes positions du mobile réduit autres que celles correspondant à $\;M_{2}\;$ en opposition, en conjonction ou en quadrature avec $\;S\;$ par rapport à $\;M_{1}$.

     Cas où le mobile réduit décrit une trajectoire circulaire en absence de force des marées : si le centre $\;S\;$ de l'astre éloigné est dans le plan du cercle décrit par le mobile réduit en absence de force des marées, on observe une déformation de ce cercle sous l'action de la force des marées telle que $\;G\;$ reste un centre de symétrie du « cercle déformé » $\;{\big [}$un étirement à partir de $\;G\;$ le long de $\;\left(SG\right)\;$ et un tassement à partir de $\;G\;$ le long de la $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right)$, la courbe obtenue ressemblant à une coupe longitudinale d'un ballon de rugby${\big ]}$.

Conséquences de la force des marées sur le mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Étant donné que le mouvement barycentrique du mobile réduit du système des deux points matériels $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)\;$ s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, référentiel lié à $\;M_{1}\;$ et en translation par rapport au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$, nous obtenons exactement le même mouvement que celui décrit au paragraphe « précisions sur les modifications du mouvement barycentrique du mobile réduit dues à l'influence de la force des marées » précédent, à savoir :

     le mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, est

• plan dans la mesure où le centre $\;S\;$ de l'astre éloigné est dans le plan que $\;M_{2}\;$ décrirait en absence de force des marées de l'astre et
• une conique $\;{\big (}$ou branche de conique${\big )}\;$ dont $\;M_{1}$, est un $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s), conique légèrement déformée par influence de la force des marées ;

     les déformations de la trajectoire relative de $\;M_{2}\;$ dues à cette force des marées sont :

• une légère $\;\nearrow \;$ de la distance séparant $\;M_{2}\;$ de $\;M_{1}\;$ quand $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sont alignés avec $\;S$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\left(SM_{1}\right)$ $\;{\big [}S\;$ et $\;M_{2}\;$ étant en opposition ou en conjonction par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$,
• une légère $\;\searrow \;$ de la distance séparant $\;M_{2}\;$ de $\;M_{1}\;$ quand $\;M_{1}M_{2}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;\left(SM_{1}\right)$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\perp \;$ à $\;\left(SM_{1}\right)$ $\;{\big [}S\;$ et $\;M_{2}\;$ étant en quadrature $\;{\big (}$d'un côté ou de l'autre${\big )}\;$ par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$ et
• déformation variable en direction, sens et intensité en toutes positions de $\;M_{2}\;$ autres que celles correspondant à $\;M_{2}\;$ en opposition, en conjonction ou en quadrature avec $\;S\;$ par rapport à $\;M_{1}$.

     Cas où le point matériel M₂ décrit une trajectoire circulaire en absence de force des marées : si le centre $\;S\;$ de l'astre éloigné est dans le plan du cercle décrit par $\;M_{2}\;$ en absence de force des marées, on observe une déformation de ce cercle sous l'action de la force des marées telle que $\;M_{1}\;$ reste un centre de symétrie du « cercle déformé » $\;{\big [}$un étirement à partir de $\;M_{1}\;$ le long de $\;\left(SM_{1}\right)\;$ et un tassement à partir de $\;M_{1}\;$ le long de la $\;\perp \;$ à $\;\left(SM_{1}\right)$, la courbe obtenue ressemblant à une coupe longitudinale d'un ballon de rugby${\big ]}$.

Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique de chaque point

     Étant donné que le mouvement barycentrique du point matériel «$\;M_{2}\,\left(m_{2}\right)\;$» se déduit de celui du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\;$» par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ soit «$\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,{\frac {\mu }{m_{2}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{2}\;$» d'où un mouvement plan dans la mesure où $\;S\;$ est dans le plan du mouvement que décrirait $\;M_{2}\;$ en absence de force des marées, la trajectoire décrite par $\;M_{2}\;$ résultant de légères déformations d'une conique $\;{\big (}$ou branche de conique${\big )}\;$ dont $\;G$, le C.D.I. du système des deux points est un $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s), légères déformations dues à la force des marées $\;{\big \{}$une légère $\;\nearrow \;$ de la distance séparant $\;M_{2}\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sont alignés avec $\;S$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\left(SG\right)\;$ et une légère $\;\searrow \;$ de la distance séparant $\;M_{2}\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}M_{2}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right)$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right){\big \}}\;$ et

     Étant donné que le mouvement barycentrique du point «$\;M_{1}\,\left(m_{1}\right)\;$» se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\;$» par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ soit «$\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,-{\frac {\mu }{m_{1}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{1}\;$» d'où un mouvement plan dans la mesure où $\;S\;$ est dans le plan du mouvement que décrirait $\;M_{1}\;$ en absence de force des marées, la trajectoire décrite par $\;M_{1}\;$ résultant de légères déformations d'une conique $\;{\big (}$ou branche de conique${\big )}\;$ dont $\;G$, le C.D.I. du système des deux points est un $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s), légères déformations dues à la force des marées $\;{\big \{}$une légère $\;\nearrow \;$ de la distance séparant $\;M_{1}\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sont alignés avec $\;S$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\left(SG\right)\;$ et une légère $\;\searrow \;$ de la distance séparant $\;M_{1}\;$ de $\;G\;$ quand $\;M_{1}M_{2}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right)$, la déformation se faisant suivant la direction $\;\perp \;$ à $\;\left(SG\right){\big \}}$.