Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités

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Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
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Sommaire

Espace et temps classiques en cinématique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

......Newton [1] postule (de façon implicite) le caractère absolu de l'espace : « l'espace existerait indépendamment de la matière et de l'énergie et servirait de cadre dans lequel se positionneraient ces derniers » [2] ;

......il postule (également de façon implicite) le caractère absolu du temps : « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, il " s'écoule " toujours dans le même sens et cet " écoulement " est indépendant de l'espace et du contenu de ce dernier » [3].

Référentiel d'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Un référentiel d'espace est un « solide » [4] de référence par rapport auquel on repère le point ;

......pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace un repère d'espace (c'est-à-dire une origine et trois vecteurs de base).

Référentiel de temps[modifier | modifier le wikicode]

......Un référentiel de temps est une « horloge » [5] de référence utilisée pour repérer l’événement ;

......pour quantifier le repérage de l’événement il faudra attacher au référentiel de temps un repère de temps (c'est-à-dire une origine des temps et une unité, le sens étant en effet toujours choisi du passé vers le futur).

Référentiel d'espace-temps[modifier | modifier le wikicode]

......Le choix simultané des deux référentiels définit un « référentiel d'espace - temps » [6].

Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Décrire le mouvement d'un point c'est donner sa position relativement à son environnement aux différents instants successifs de son évolution ;

......il faut donc préciser le référentiel d'espace relativement auquel la position du point est décrite et

......il faut donc préciser le référentiel de temps relativement auquel les événements sont repérés,

......c'est-à-dire choisir un référentiel d'espace-temps appelé « référentiel d'étude (ou d'observation) ».

Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]

......Pour décrire quantitativement le mouvement d'un point, on choisit

  • un repère d'espace c'est-à-dire une origine d'espace et une base orthonormée (usuellement directe)[7] lié à la composante d'espace du référentiel d'étude et
  • un repère de temps (encore appelé « chronologie »c'est-à-dire une origine de temps et « unité de temps » [8] lié à la composante de temps du référentiel d'étude.

Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)[modifier | modifier le wikicode]

......Le repérage d'un évènement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) nécessite le repérage

  • dans l'espace qui se fait par
    ......un vecteur appelé « vecteur position du lieu » [9] est en général l'origine du repère d'espace [10] et le lieu où se produit l'évènement ponctuel (on parle de repérage intrinsèque [11]) ou
    ......trois scalaires appelés « coordonnées du lieu » (on parle de repérage utilisant une base) et
  • dans le temps qui se fait par un scalaire appelé « date de l'évènement ».

Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)[modifier | modifier le wikicode]

......L'unité légale de mesure du temps est « la seconde » (symbole dont la définition est donnée ci-dessous :

......la seconde est la « durée de périodes » de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux « hyperfins » [12] de l'état fondamental de l'atome de Césium 133 .

Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)[modifier | modifier le wikicode]

......L'unité légale de mesure du longueur est « le mètre » (symbole dont la définition est donnée ci-dessous :

......le mètre est la « longueur du trajet parcouru par lumière dans le vide pendant une durée  » [13].

Caractère relatif du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]

......Si on considère deux référentiels dont les repères d'espace sont en mouvement l'un par rapport à l'autre et un point immobile relativement au premier, ce point étant un point lié au premier repère d'espace se déplace relativement au deuxième comme tout point lié au premier repère ;

......le point n'a donc pas le même mouvement relativement aux deux repères d'espace, son mouvement est donc relatif.

......Exemple : vous êtes assis dans un train (définissant le référentiel lequel se déplace sur Terre (définissant le référentiel , vous êtes immobile dans et mobile dans .

......Autre exemple : Un train s'apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de par rapport au sol.

......Autre exemple : Un passager, noté A, avance vers l'arrière du train à une vitesse de par rapport au train.

......Autre exemple : À l'arrière du train se trouve un autre passager, noté C, qui fait signe à son ami, noté B, resté sur le quai.

......Autre exemple : Pour C, A avance à alors que pour B, A est immobile !

......Autre exemple : Le mouvement de A dépend donc de l'observateur : c'est ce qu'on appelle la relativité du mouvement.

Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que « intrinsèque » signifie « indépendant du choix d'une base ».

Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M[modifier | modifier le wikicode]

......Le repérage intrinsèque du point dans le référentiel d'espace se fait par un vecteur appelé « vecteur position [9] du point dans le référentiel d'espace », étant un point fixe du référentiel d'espace choisi en général à l'origine du repère d'espace associé au référentiel.

Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement[modifier | modifier le wikicode]

......Le repérage d'un évènement lié au point dans le référentiel de temps se fait par un scalaire appelé « date de l'événement » [14], l'origine des temps étant a priori arbitraire [souvent choisie au début du mouvement du point l'événement origine étant alors l'occupation par le point de sa position de départ) mais ce n'est pas une nécessité]
......dans le cas où le choix de l'origine des temps est arbitraire, est un réel de signe quelconque,

  • correspondant à la date d'un événement « antérieur » à l'événement origine et
  • correspondant à la date d'un événement « postérieur » à l'événement origine.

Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement de dans le référentiel d'étude est caractérisé par la donnée de la fonction [15], fonction vectorielle de la variable scalaire [16] définissant la loi horaire vectorielle du mouvement du point M dans le référentiel d'étude.

Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La trajectoire du mouvement du point dans le référentiel d'espace est l'ensemble des points du référentiel d'espace représentant les positions successives de M au cours du temps ;

...... est aussi l'« équation paramétrique vectorielle de la trajectoire  » [17].

Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise ici la notion de dérivée d'une fonction vectorielle de la variable introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......La notion d'hodographe de pôle du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur vitesse du point relativement au référentiel d'étude , noté est la dérivée temporelle du vecteur position soit

[18] ;
la norme du vecteur vitesse s'exprime en .

Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point[modifier | modifier le wikicode]

Détermination du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers (à l'exception du 1er et du dernier) [19]

......Si on suit la position de sur sa trajectoire aux instants successifs espacés de (voir enregistrement ci-contre), on évaluera le vecteur vitesse du point à un instant quasi-quelconque de l'enregistrement [20] par

[21] soit,

......avec l'échelle des vitesses [22], est obtenu en reportant à partir de voir figure ci-contre …

......Tous les vecteurs vitesses ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et explicitée ci-contre en (en on a reporté  ;

......il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesses en et en par cette méthode …

Tracé de l'hodographe de pôle O après détermination annexe du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers (à l'exception du 1er et du dernier) [23]

Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M[modifier | modifier le wikicode]

......L'hodographe de pôle [24] du mouvement de dans le référentiel est
......l'ensemble des positions dans tel que [22], [25].

Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point[modifier | modifier le wikicode]

......Il suffit (à partir d'un même pôle [24]) de reporter les vecteurs vitesses de obtenus aux différents instants de l'enregistrement régulier (voir ci-dessus) et
......on obtient une succession régulière de positions permettant d'en déduire l'hodographe de pôle [24] du mouvement de (voir ci-contre).

......Les positions ne peuvent être obtenues aux instants extrêmes de l'enregistrement des positions de .

Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'introduction y étant faite en repérant le point par son abscisse curviligne [26] et nous la reproduisons en repérant la position du point sur sa trajectoire par l'instant d'occupation [27] :

Introduction cinématique au vecteur déplacement élémentaire d'un point mobile le long d'une courbe

......Si le point mobile se déplace sur la courbe avec un paramétrage cinématique, étant la position [28] du point à l'instant et celle [28] à l'instant infiniment proche
......le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe à partir de l'instant est défini par

soit encore

c'est-à-dire la différentielle du vecteur position [29] d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire

usuellement noté [30].

......Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire : si il est tangent à la courbe en [31].

......Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie le vecteur position considéré comme fonction de et on obtient [32] soit finalement

[33]  le vecteur vitesse (quand il n'est pas nul) est tangent à la trajectoire en M ;

......Autre définition du vecteur vitesse du point M : [34] c'est-à-dire « le taux de variation horaire du vecteur déplacement élémentaire  » obtenu en divisant ce dernier par .

Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)[modifier | modifier le wikicode]

......On prolonge la notion de dérivée seconde d'une fonction scalaire de la variable introduite dans le paragraphe « définition de la dérivée seconde d'une fonction scalaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à celle de dérivée seconde d'une fonction vectorielle de la variable , la dérivée première ayant été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chapitre de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......On rappelle que la notion d'hodographe de pôle du mouvement d'un point n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit être introduite pour être utilisée, c'est en effet un complément.

Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur accélération du point relativement au référentiel d'étude , noté est la dérivée temporelle du vecteur vitesse soit

[35] ;

.......Le vecteur accélération du point ~M~ relativement au référentiel d'étude ~R~, noté~ c'est aussi la dérivée temporelle seconde du vecteur position soit

[36] ;
la norme du vecteur accélération s'exprime en .

Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M[modifier | modifier le wikicode]

......De la définition de l'hodographe de pôle [24] du mouvement de dans le référentiel à savoir « ensemble des positions dans tel que [22], [25] », on déduit, en effectuant la dérivation temporelle de chaque membre, soit, en remarquant que est le vecteur vitesse du point de l'hodographe dans le référentiel ,

c'est-à-dire que, au même instant ,
le vecteur vitesse de sur l'hodographe représente le vecteur accélération de sur la trajectoire .


Détermination du vecteur vitesse du point P de l'hodographe de pôle O à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers (à l'exception du 1er et du dernier de l'hodographe) [23]

......Suivant la position de sur sa trajectoire tous les , on a pu tracer les vecteurs vitesses aux différents instants, puis l'hodographe de pôle correspondant (voir ci-contre) ;

......on réitère l'opération sur pour déterminer le vecteur vitesse d'un point à un instant quasi-quelconque [20] du repérage sur l'hodographe selon

[37] soit,

......avec l'échelle des vitesses sur l'hodographe [22], est obtenu en reportant à partir de voir figure ci-contre …

......Tous les vecteurs vitesses ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et explicitée ci-contre en (en on a reporté  ;

......il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesses en et en par cette méthode …

Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point[modifier | modifier le wikicode]

Report sur l'enregistrement de mouvement de M à intervalles de temps réguliers du vecteur accélération du point M obtenu sur l'hodographe de pôle O de cet enregistrement comme vecteur vitesse du point P considéré au même instant (à l'exception des deux 1ers et des deux derniers de l'enregistrement) [19]

......Après détermination de l'hodographe et du vecteur vitesse d'un point à un instant quasi-quelconque [20] du repérage sur l'hodographe, il suffit alors de reporter en sur , le vecteur accélération étant alors représenté avec l'échelle des accélérations [22], voir figure ci-contre pour le report en bleu des vecteurs vitesses des points de l'hodographe, lesquels vecteurs vitesses s'identifient aux vecteurs accélérations des points de la trajectoire correspondants.

......Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle O du mouvement de M [38] : on peut déterminer directement sur l'enregistrement du mouvement de à intervalles de temps réguliers, le vecteur accélération en un point sans faire le tracé de l'hodographe ; on détermine les vecteurs vitesses dans les deux positions précédant et suivant le point soit puis on utilise [39] ou encore soit,
......avec l'échelle des accélérations [22], déterminé en formant, à partir de , la différence entre et

......Sur la figure ci-dessus, la construction sans référence à l'hodographe de pôle de l'enregistrement du mouvement de a été explicitée en vert, avec l'échelle des accélérations précédemment définie, pour le vecteur accélération en formant, à partir de , la différence entre et

Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération[modifier | modifier le wikicode]

......Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo (fait par vous-même [40] ou téléchargé [41]) pour déterminer le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération du point à un instant quasi-quelconque [20], les échelles des vitesses et des accélérations pouvant être différentes de celles simplificatrices utilisées précédemment …

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  2. Trois siècles plus tard, Einstein postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ;
    ...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  3. Trois siècles plus tard, Einstein postule que le temps n'est pas absolu, d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre (le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé « dilatation du temps »), d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une très grosse étoile (le temps " s'y écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement) ;
    ...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  4. Un solide (au sens de la mécanique) est un système de points matériels indéformable.
  5. Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.
  6. Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ; par contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste (l'espace dépendant du temps et inversement), il est nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.
  7. Voir définition d'une « base directe » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.
  9. 9,0 et 9,1 Voir le paragraphe « repérage intrinsèque d'un point dans l'espace » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Mais en fait il suffit que soit un point fixe du repère.
  11. C'est-à-dire de repérage n'utilisant pas de base.
  12. Les niveaux « hyperfins » de l'état fondamental résultent du dédoublement de cet état par l'interaction de leurs électrons avec le noyau ; sans tenir compte de cette interaction il n'y aurait qu'un niveau et avec elle, on obtient deux niveaux très proches l'un de l'autre, d'où le qualificatif « hyperfins » fournis à ces niveaux pour traduire la nécessité d'une observation « très fine » ;
    ...on nomme ces niveaux « hyperfins » et non « fins » car on réserve le qualificatif « fins » aux niveaux obtenus par levée de dégénérescence (c'est-à-dire dédoublement ou détriplement ou autres due à l'interaction entre le moment cinétique (voir fin de note) et le spin des électrons, la séparation des niveaux ainsi obtenus ne nécessitant qu'une observation « fine » et non « très fine » …
    ...Le moment cinétique d'un électron (notion développée dans un chapitre de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ») est une grandeur caractérisant « sa rotation orbitale », d'autant plus grande que le nombre quantique secondaire l'est.
  13. Une conséquence de cette définition du est que la vitesse de la lumière dans le vide s'en déduit, sa valeur étant .
  14. L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.
  15. En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon ,
    ...en physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations .
  16. Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. De paramètre .
  18. Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
    ...on peut aussi utiliser la 2ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position et celle du temps notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. 19,0 et 19,1 On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.
  20. 20,0 20,1 20,2 et 20,3 À l'exception des instants initial et final …
  21. La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant selon ainsi que celle à l'instant selon , ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse (ce que nous présupposons) d'où le vecteur vitesse du point à l'instant peut se réécrire soit, en posant pour symétriser l'expression, et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de pour petit avec sa limite quand .
  22. 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 et 22,5 Le symbole signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.
  23. 23,0 et 23,1 On a tracé l'hodographe par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de , nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
  25. 25,0 et 25,1 Par abus d'écriture on écrira sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
  26. Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.
  28. 28,0 et 28,1 Position non anguleuse sur la trajectoire (on rappelle qu'en un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non anguleux il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas ce cas de figure).
  29. On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où est un infiniment petit (la définition quant à elle étant rappelée dans un paragraphe traitant des « fonctions vectorielles » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »).
  30. Car la différentielle est en fait indépendante du choix de .
  31. Voir le paragraphe « propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. Revoir le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle et sa façon de la calculer » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation mais il en dépend évidemment.
  34. Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme pour que la dépendance relativement à du vecteur vitesse soit également présente dans le 2nd membre.
  35. Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais
    ...on peut aussi utiliser la 2ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse et celle du temps notions qui ont été introduites dans les paragraphes « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » et « élément différentiel d'une variable » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles secondes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais
    ...on peut aussi utiliser la 2ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de sans chercher une autre signification ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles …
  37. La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant selon ainsi que celle à l'instant selon , ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'hodographe (et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons) d'où soit, en posant pour symétriser l'expression, et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de pour petit avec sa limite quand .
  38. La notion d'hodographe de pôle du mouvement de est un complément de programme mais l'évaluation du vecteur accélération du point directement sur l'enregistrement en est une exigence.
  39. La justification reproduit celle qui a été donnée pour en remplaçant par et par
  40. Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».
  41. À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;
    ...un autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération.