Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

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Notion d'espace

     Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera $\;{\mathcal {E}}$, l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :

• « affine », c'est-à-dire tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
• « euclidien », c'est-à-dire que la « direction de l'espace affine » est un espace $\;\mathbb {R}$-vectoriel dans lequel on définit
  « euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine $\;{\big (}$égale à la norme du vecteur associé au bipoint${\big )}\;$ et
  « euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints $\;{\big (}$à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints${\big )}$ .

Champ (ou fonction) scalaire de l'espace

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de $\;M\;$ selon :«$\;M\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(M)\;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;M\,\in \,{\mathcal {E}}\;$» .

Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points

     Soit une base fixe de l'« espace physique » notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ et appelée « cartésienne » ;

     tout point $\;M\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x,\,y,\,z)\;$ tel que, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage,
     tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;\color {transparent}{(x,\,y,\,z)}\;$ tel que, «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$».

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ de coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de $\;M\;$ selon : «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» .

     Un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire de l'espace s'identifie à une fonction scalaire des trois coordonnées du point de l'espace.

Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace

• Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ;
• énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique $\ldots$

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace

     Pour caractériser la variation du champ $\;{\big (}$ou d'une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}$, on peut introduire le repérage du point générique $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {E}}\;$ en utilisant une base cartésienne
    Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on peut introduire le repérage du point générique $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$,
    Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on peut introduire le repérage du point générique $\;M\;$ ayant alors pour coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$,
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que le champ $\;{\big (}$ou la fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f(M)\;$ s'identifie à
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que la fonction scalaire des trois coordonnées de $\;M$, $\;f(x,\,y,\,z)$,
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que la fonction scalaire ces coordonnées étant indépendantes si $\;M\;$ est libre dans $\;{\mathcal {E}}\;$ soit
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que «$\;f(M)=f(x,\,y,\,z)\;$» ;

     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que la variation de $\;f(M)\;$ peut être déterminée à l'aide
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\blacktriangleright \;$des signes des dérivées partielles de $\;f\;$ par rapport aux coordonnées de $\;M\;$ ou
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\blacktriangleright \;$du signe de la différentielle de $\;f\;$ relativement aux signes des éléments différentiels
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$du signe de la différentielle de $\;\color {transparent}{f}\;$ relativement des coordonnées de $\;M\;$.

     Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température $\;T(M)\;$ dans l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ ?

Caractérisation par signe des dérivées partielles

     Supposons connu le champ scalaire température $\;T(M)=T(x,\,y,\,z)\;$ c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de $\;M$,
     nous nous proposons de connaître la variation de $\;T\;$ relativement à $\;x\;$ sans faire varier $\;y\;$ et $\;z\;$, nous aurons alors
  nous nous proposons de connaître les variations suivantes :$\bullet \;$«$\;T\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}>0\;$»,
  nous nous proposons de connaître les variations suivantes :$\bullet \;$«$\;T\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}<0\;$» et
  nous nous proposons de connaître les variations suivantes :$\bullet \;$«$\;T\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}=0\;$».

     Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.

Caractérisation par signe de la différentielle

     Supposons connu le champ scalaire température $\;T(M)=T(x,\,y,\,z)\;$ c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de $\;M$,
     nous nous proposons de connaître la variation de $\;T\;$ le long d'une courbe par exemple le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; pour cela,

     nous évaluons la différentielle $\;dT\;$ dans le contexte de la variation de $\;M\;$ à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}dx+dy\!\!&=&\!\!0\\dz\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=2)\;$» paramétré par $\;x_{0}\;$ soit
  nous évaluons la différentielle «$\;dT=\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy+{\cancel {\left({\dfrac {\partial T}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz}}\;$» ou, « en remplaçant $\;dy\;$ par $\;-dx\;$» pour satisfaire à la courbe suivie,
  nous évaluons la différentielle «$\;dT=\left[\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;$»,
  nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire les variations de $\;T\;$ le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=2)\;$» :
  nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire $\bullet \;$«$\;T\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;dT>0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})>\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
  nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire $\bullet \;$«$\;T\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;dT<0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})<\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$» et
  nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire $\bullet \;$«$\;T\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;dT=0\;$» ou
  nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{T}\;$ reste stationnaire quand $\;\color {transparent}{x}\;$ varie le long de $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace }\;$» si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$».

Commentaire final

     La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par évaluation de sa différentielle mais
     la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles ;
     nous introduirons la notion de « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » dans le chap.$19$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui donnera
     nous introduirons une version plus compacte de ces deux méthodes dans le paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » du même chap.$19$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de $\;M\;$ selon :«$\;M\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(M)\;\in \;{\mathcal {V}},\;\;\forall \;M\,\in \,{\mathcal {E}}\;$», où «$\;{\mathcal {V}}\;$ est un espace $\;\mathbb {R}$-vectoriel ».

Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points

     Soit une base fixe de l'« espace physique » notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ et appelée « cartésienne » ;

     tout point $\;M\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x,\,y,\,z)\;$ tel que, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage,
     tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;\color {transparent}{(x,\,y,\,z)}\;$ tel que, «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$».

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ de coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de $\;M\;$ selon «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)\;\in \;{\mathcal {V}},\;\;\forall \;(x,\,y,\,z)\,\in \,\mathbb {R} ^{3}\;$», $\;{\mathcal {V}}\;$ étant l'« espace vectoriel image » ;      usuellement $\;{\mathcal {V}}\;\subseteq \;\mathbb {R} ^{3}\;$ permet de définir les composantes de $\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)\;$ dans la même base cartésienne selon «$\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)=f_{x}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{x}+f_{z}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,      la définition du champ $\;{\big (}$ou fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition
     la définition des trois champs $\;{\big (}$ou fonctions${\big )}\;$ scalaires de l'espace correspondant à ses composantes
     la définition des trois champs $\;\color {transparent}{\big (}$ou fonctions$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaires «$\;(x,\,y,\,z)\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overset {f_{x}}{\rightarrow }}\;f_{x}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{y}}{\rightarrow }}\;f_{y}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{z}}{\rightarrow }}\;f_{z}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \end{array}}\right.,\;\;\forall \,(x,\,y,\,z)\,\in \,\mathbb {R} ^{3}\;$».

     Un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace
     Un champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux correspondant aux trois composantes du champ$\;($ou fonction$)\;$vectoriel(le) .

Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace

• Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique $\ldots$
• vecteur position du point $\;M\;$ de l'espace $\;{\overrightarrow {OM}}$, vecteur vitesse, vecteur accélération $\ldots$

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace

     Pour caractériser la variation du champ $\;{\big (}$fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}\;$ on peut introduire le repérage du point générique $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {E}}\;$ en utilisant une base cartésienne
    Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on peut introduire le repérage du point générique $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$,
    Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on peut introduire le repérage du point générique $\;M\;$ ayant alors pour coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$,
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que le champ $\;{\big (}$ou la fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}(M)\;$ s'identifie aux
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que trois fonctions scalaires des trois coordonnées de $\;M$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{x}(M)\\f_{y}(M)\\f_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que trois fonctions scalaires ces coordonnées étant indépendantes si $\;M\;$ est libre dans $\;{\mathcal {E}}\;$ soit
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que «$\;M\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overset {f_{x}}{\rightarrow }}\;f_{x}(M)\;\in \;\mathbb {R} \\{\overset {f_{y}}{\rightarrow }}\;f_{y}(M)\;\in \;\mathbb {R} \\{\overset {f_{z}}{\rightarrow }}\;f_{z}(M)\;\in \;\mathbb {R} \end{array}}\right.,\;\;\forall \;M\,\in \,{\mathcal {E}}$» ;

     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que la variation de $\;{\vec {f}}\;$ peut être déterminée en étudiant les variations de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{x}(M)\\f_{y}(M)\\f_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ à l'aide
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\blacktriangleright \;$des signes des dérivées partielles de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ par rapport aux coordonnées de $\;M\;$
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ou
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\blacktriangleright \;$du signe de la différentielle de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ relativement aux signes des éléments
          Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}$, on en déduit que $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$du signe de la différentielle de $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{x}\right\rbrace }\;$ différentiels des coordonnées de $\;M\;$.

Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie

     Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire vues au chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
           Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {f}}+{\vec {g}}\right)=d\!\left({\vec {f}}\right)+d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\;$»,
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left({\overrightarrow {cste}}\right)={\vec {0}}\;$»,
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {f}}\cdot \,{\vec {g}}\right)=d\!\left({\vec {f}}\right)\cdot \,{\vec {g}}+{\vec {f}}\cdot \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\;$» $\;{\big [}$on peut utiliser la commutativité de la multiplication scalaire ${\big ]}$,
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)=d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}+{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\;$» ${\big [}$attention la multiplication vectorielle est anticommutative ${\big ]}$.
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left(f\times {\vec {g}}\right)=df\times {\vec {g}}+f\times d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\;$» $\;{\big [}$commutativité applicable${\big ]}$,
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left({\dfrac {\vec {g}}{f}}\right)={\dfrac {f\times d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}-df\times {\vec {g}}}{f^{\,2}}}\;$» $\;{\big [}$commutativité applicable${\big ]}$,
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\bullet \;$«$\;d\!\left\lbrace \left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}\right\rbrace =d\!\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}+\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;$
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}\right\rbrace }$ $=\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}+{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;$ ou, par utilisation
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}\right\rbrace =}$ de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}\right\rbrace =}$ de la distributivité de la multiplication scalaire relativement vectorielle
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot \,{\vec {h}}\right\rbrace }$ $=\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;$»
     Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne $\color {transparent}{\bullet }\;$ ${\big [}$attention seules les permutations circulaires laissent le produit mixte invariant ${\big ]}$.

     Différenciant «$\;{\vec {f}}(M)=f_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ base cartésienne de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$», $\;{\big (}$les vecteurs de base étant constants${\big )}$, on obtient
     Différenciant «$\;d\!\left({\vec {f}}\right)(M)=df_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+df_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+df_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ ou encore
     Différenciant «$\;\color {transparent}{d\!\left({\vec {f}}\right)(M)}$ $=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{y}\;\cdots$
                                                                                                                                    Différenciant «$\;\color {transparent}{d\!\left({\vec {f}}\right)(M)}$ $\cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{z}\;$».

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes

     Une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie, la variation de la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;\left(f_{x}\,,\,f_{y}\,,\,f_{z}\right)\;$ à partir d'un point $\;M_{0}\;$ $\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ revient à l'étude de
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, la variation de « chaque composante cartésienne de $\;{\vec {f}}$, $\;f_{x}$, $\;f_{y}\;$ et $\;f_{z}\;$» en fonction de « chacune des coordonnées de $\;M$, $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$»,
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, c'est-à-dire l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}$ ;

     par exemple l'étude de la variation de $\;f_{x}(M)\;$ à partir de $\;M_{0}\;$ relativement à $\;y\;$ est la suivante $\bullet \;$«$\;f_{x}(M)\nearrow \;$ quand $\;y\nearrow \;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ restant figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})>0\;$»,
          par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ à partir de $\;\color {transparent}{M_{0}}\;$ relativement à $\;\color {transparent}{y}\;$ est la suivante $\bullet \;$«$\;f_{x}(M)\searrow \;$ quand $\;y\nearrow \;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ restant figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})<0\;$» et
          par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ à partir de $\;\color {transparent}{M_{0}}\;$ relativement à $\;\color {transparent}{y}\;$ est la suivante $\bullet \;$«$\;f_{x}(M)\;$ reste stationnaire quand $\;y\;$ varie à $\;x\;$ et $\;z\;$ figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})=0\;$».

     Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une composante cartésienne de la fonction vectorielle suivant une coordonnée à la fois,
     Remarque : L'inconvénient de cette méthode il faut donc faire l'étude pour les neuf dérivées partielles des trois composantes suivant les trois coordonnées.

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes

     Une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie, la variation de la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;\left(f_{x}\,,\,f_{y}\,,\,f_{z}\right)\;$ à partir d'un point $\;M_{0}\;$ $\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ peut être faite par l'étude de
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, la variation des différentielles $\;df_{x}$, $\;df_{y}\;$ et $\;df_{z}\;$ des composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}\;$ explicitées en fonction des coordonnées de $\;M$,
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, c'est-à-dire par l'étude du signe des trois différentielles $\;df_{x}$, $\;df_{y}\;$ et $\;df_{z}\;$ des composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}$ ;

     par exemple l'étude de la variation de $\;f_{x}(M)\;$ le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» à partir de $\;M_{0}\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=2)\;$ paramétré par $\;x_{0}\;$
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ utilisant l'expression de la différentielle de $\;f_{x}(M)\;$ «$\;df_{x}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;$»
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ dans le contexte de la variation de $\;M\;$ à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}dx+dy\!\!&=&\!\!0\\dz\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=2)\;$» paramétré par $\;x_{0}\;$
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ est la suivante «$\;df_{x}=\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy+{\cancel {\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz}}\;$» ou,
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ « en remplaçant $\;dy\;$ par $\;-dx\;$» pour satisfaire à la courbe suivie, «$\;df_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;$»,
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ « en remplaçant $\;\color {transparent}{dy}\;$ par $\;\color {transparent}{-dx}\;$» pour satisfaire à la courbe suivie, expression permettant de déduire les variations de $\;f_{x}\;$ le long de la droite d'équations
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ « en remplaçant $\;\color {transparent}{dy}\;$ par $\;\color {transparent}{-dx}\;$» pour satisfaire à la courbe suivie, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=2)\;$»
                  par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ « en remplaçant $\;\color {transparent}{dy}\;$ par $\;\color {transparent}{-dx}\;$» pour satisfaire à la courbe suivie, «$\;\color {transparent}{\left\lbrace x+y=1\right\rbrace }\;$» à partir du point paramétré par $\;x_{0}$ :
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ $\bullet \;$«$\;f_{x}\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;df_{x}>0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})>\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ $\bullet \;$«$\;f_{x}\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;df_{x}<0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})<\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$» et
     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ $\bullet \;$«$\;f_{x}\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}x+y\!\!&=&\!\!1\\z\!\!&=&\!\!2\end{array}}\right\rbrace \;$» si «$\;df_{x}=0\;$» ou
                 par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{f_{x}}\;$ reste stationnaire quand $\;\color {transparent}{x}\;$ varie le long de $\;\color {transparent}{\left\lbrace x+y=1\right\rbrace }\;$» si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$».

Commentaire final

     La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais
     la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes
     la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses cartésiennes ;
     existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire  ?
     existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et
     existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait posséder un « caractère de dérivation »,
     existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non » .