En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera , l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :
« affine », c'est-à-dire tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
« euclidien », c'est-à-dire que la « direction de l'espace affine »[1] est un espace -vectoriel[2] dans lequel on définit « euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affineégale à la norme du vecteur associé au bipoint et « euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints[3].
Soit une base fixe de l'« espace physique »[5] notée et appelée « cartésienne » ;
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage, tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, «».
Définition
Soit un point de l'espace de coordonnées , on définit un champ ou une fonction scalaire de selon :
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique dans en utilisant une base cartésienne Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique de l'espace vectoriel associé à [7], Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique ayant alors pour coordonnées , Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que le champ ou la fonction scalaire s'identifie à Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la fonction scalaire des trois coordonnées de , , Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la fonction scalaire ces coordonnées étant indépendantes si est libre dans soit Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que «» ;
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la variation de peut être déterminée à l'aide Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que des signes des dérivées partielles de par rapport aux coordonnées de [8] ou Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement aux signes des éléments différentiels Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement des coordonnées de [9].
Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température dans l'espace ?
Supposons connu le champ scalaire température c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de , nous nous proposons de connaître la variation de relativement à sans faire varier et [10], nous aurons alors nous nous proposons de connaître les variations suivantes :« quand à et constants » si «»[8], nous nous proposons de connaître les variations suivantes :« quand à et constants » si «»[8] et nous nous proposons de connaître les variations suivantes :« reste stationnaire quand varie à et constants » si «»[8].
Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.
Supposons connu le champ scalaire température c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de , nous nous proposons de connaître la variation de le long d'une courbe par exemple le long de la droite d'équations «»[11] ; pour cela,
nous évaluons la différentielle [9] dans le contexte de la variation de à savoir «» à partir du point «» paramétré par soit nous évaluons la différentielle «»[9] ou, « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, nous évaluons la différentielle «»[9], nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire les variations de le long de la droite d'équations «»[11] à partir du point «» : nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « quand le long de » si «» ou si «»[8], nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « quand le long de » si «» ou si «»[8] et nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « reste stationnaire quand varie le long de » si «» ou nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « reste stationnaire quand varie le long de » si «»[8].
Soit une base fixe de l'« espace physique »[5] notée et appelée « cartésienne » ;
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage, tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, «».
Définition
Soit un point de l'espace de coordonnées , on définit un champ ou une fonction vectoriel(le) de selon
usuellement permet de définir les composantes de dans la même base cartésienne selon
«»,
la définition du champ ou fonction vectoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition la définition des trois champs ou fonctions scalaires de l'espace correspondant à ses composantes la définition des trois champs ou fonctions scalaires «»[6].
Un champ ou une fonction vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace Un champ ou une fonction vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux correspondant aux trois composantes du champou fonctionvectoriel(le)[13].
Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique on peut introduire le repérage du point générique dans en utilisant une base cartésienne Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique de l'espace vectoriel associé à [7], Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique ayant alors pour coordonnées , Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que le champ ou la fonction vectoriel(le) s'identifie aux Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que trois fonctions scalaires des trois coordonnées de , [13] Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que trois fonctions scalaires ces coordonnées étant indépendantes si est libre dans soit Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que «» ;
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que la variation de peut être déterminée en étudiant les variations de à l'aide Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que des signes des dérivées partielles de par rapport aux coordonnées de [8] Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que ou Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement aux signes des éléments Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de différentiels des coordonnées de [9].
Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie
Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire[14] vues au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne «», Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne «», Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne «» on peut utiliser la commutativité de la multiplication scalaire[15], Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne «» attention la multiplication vectorielle est anticommutative[16]. Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne «»[17]commutativité applicable, Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne «»[17]commutativité applicable, Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne « Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne « ou, par utilisation Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne «de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne « de la distributivité de la multiplication scalaire relativement vectorielle[18] Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne «» Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne attention seules les permutations circulaires laissent le produit mixte invariant[19].
Différenciant «» avec « base cartésienne de l'espace vectoriel associé à »[7], les vecteurs de base étant constants, on obtient Différenciant « ou encore Différenciant « Différenciant «»[9].
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes
Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace revient à l'étude de Une base cartésienne étant choisie, la variation de « chaque composante cartésienne de , , et » en fonction de « chacune des coordonnées de , , et », Une base cartésienne étant choisie, c'est-à-dire l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de ;
par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante[20]« quand à et restant figés » si «»[8], par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante « quand à et restant figés » si «»[8] et par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante « reste stationnaire quand varie à et figés » si «»[8].
Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une composante cartésienne de la fonction vectorielle suivant une coordonnée à la fois, Remarque : L'inconvénient de cette méthode il faut donc faire l'étude pour les neuf dérivées partielles des trois composantes suivant les trois coordonnées.
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes
Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace peut être faite par l'étude de Une base cartésienne étant choisie, la variation des différentielles , et des composantes cartésiennes de explicitées en fonction des coordonnées de , Une base cartésienne étant choisie, c'est-à-dire par l'étude du signe des trois différentielles , et des composantes cartésiennes de ;
par exemple l'étude de la variation de le long de la droite d'équations «»[11],[21] à partir de paramétré par par exemple l'étude de la variation de utilisant l'expression de la différentielle de «»[9] par exemple l'étude de la variation de dans le contexte de la variation de à savoir «» à partir du point «» paramétré par par exemple l'étude de la variation de est la suivante[22] «»[9] ou, par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, «»[9], par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, expression permettant de déduire les variations de le long de la droite d'équations par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, «»[11] à partir du point «» par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, «» à partir du point paramétré par : par exemple l'étude de la variation de « quand le long de »[11] si «» ou si «»[8], par exemple l'étude de la variation de « quand le long de »[11] si «» ou si «»[8] et par exemple l'étude de la variation de « reste stationnaire quand varie le long de »[11] si «» ou par exemple l'étude de la variation de « reste stationnaire quand varie le long de » si «»[8].
La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses cartésiennes ; existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire[23] ? existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait posséder un « caractère de dérivation », existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non »[24].
↑ La démarche serait la même pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et ou La démarche serait la même pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et .
↑ 11,011,111,211,311,411,5 et 11,6 Nous verrons au paragraphe « repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » Nous verrons qu'une équation cartésienne caractérise une surface et qu'il faut deux équations cartésiennes pour caractériser une courbe, Nous verrons dans l'exemple cité est l'équation du plan horizontal de cote et Nous verrons dans l'exemple cité celle du plan vertical passant par le point , Nous verrons dans l'exemple cité la courbe est donc la droite horizontale intersection des deux plans.
↑ 17,0 et 17,1 Le symbole «» traduit la multiplication d'une fonction scalaire par une fonction vectorielle, il n'est, en général, pas utilisé, il l'est, ici, pour mieux séparer la multiplication de la différenciation.
↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de à partir de relativement à ou relativement à ou pour l'étude de la variation de ou de relativement à chacune des coordonnées de .
↑ La démarche serait la même le long de n'importe quelle courbe passant par .
↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de ou de utilisant l'expression des différentielles respectives «» ou «».
![{\displaystyle \;dT=\left[\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682d1ff30574b11ec51eaea524a830e58fef9082)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle =\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}+{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8b100e5c154f84a0edaa9eceb8f8d6d126c1e)
![{\displaystyle =\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57dfe767fb299d8fcea6eee51c0e7c70429e914b)
![{\displaystyle =\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{y}\;\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40694b9ce670d24b3922be08e81e8a80a99571c8)
![{\displaystyle \cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cd99082fe44bc8d41fa21eac4bc740fe062c76)
![{\displaystyle \;df_{x}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c7ea92153b674fa7c8fc34bde8274942f663ec)
![{\displaystyle \;df_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b7cc71a88d8d93fac26722fc9545578358ee11)
![{\displaystyle \;df_{y}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1389afb6bb64d4c1ebce18ee2820fdfa9d349488)
![{\displaystyle \;df_{z}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a72de9d7b8c9fed2d0e65fa0297a284f8f060b9)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b86c2f41e349ba4f8943c93bd2fd7b57abf16c)
![{\displaystyle \left[\!\!\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\end{array}}\!\!\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9167520954251ca3cb1f8018f53e22e108dd455)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214abee9dafc1045e8e6fb5b87125d3f4fcb21e)
![{\displaystyle \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f741e29962ddfe59d12e6546de6cafb721a9d3)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0e413d0d3f396fdc28a6dac409ad7c023b71a4)
![{\displaystyle =\left[\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\,dz\end{array}}\!\right]=\left[\!{\begin{array}{c}df_{x}\\\\df_{y}\\\\df_{z}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421be16d6604eca242494a4c18a10deca985819f)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{x}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\\{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{y}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\\{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{z}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb8391239bca1fc6d31d501bf98f2f52337ab10)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}df_{x}\\df_{y}\\df_{z}\end{array}}\!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04413aacfa90e15c5dd7205b186b11d52c23ad9d)
