Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

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Sommaire

Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemples[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)[modifier | modifier le wikicode]

......Un vecteur est un vrai vecteur (ou vecteur polaire) si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace » (c'est-à-dire du choix d'une base directe ou indirecte) [1].

Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)[modifier | modifier le wikicode]

......Un vecteur est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace » (c'est-à-dire du choix d'une base directe ou indirecte)[1].

Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?[modifier | modifier le wikicode]

......Pour savoir si un vecteur est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », on se demande si la nature « directe » ou « indirecte » de la base orientant l'espace est indispensable à sa définition :

  • si elle n'est pas nécessaire le vecteur est alors « vrai (ou polaire) »,
  • si elle est indispensable le vecteur est un « pseudo-vecteur (ou vecteur axial) ».

Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

......Vecteur position , vecteur déplacement élémentaire [2],

......vecteur vitesse [3], vecteur accélération

......Vecteur quantité de mouvement [4],

......tout vecteur force par r.f.d.n[4].

......vecteur champ électrique [4]

......Remarque : bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction (le circuit filiforme), un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur (ou vecteur polaire) [5].

Exemples de pseudo-vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

......Si la définition d'un vecteur se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), le vecteur obtenu est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) [6] :

......pseudo-vecteur moment cinétique par rapport à , point origine, [7],

......pseudo-vecteur moment d'une force par rapport à , point origine, [8]

......Si la détermination d'un vecteur se fait en multipliant un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) par un scalaire, le vecteur obtenu est alors un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) comme le pseudo-vecteur rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe est le moment d'inertie du point relativement à son axe de rotation [9]

......Si la détermination d'un vecteur se fait par produit vectoriel d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) et d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial), le vecteur obtenu est un vrai vecteur (ou vecteur polaire)[6] :

......pseudo-vecteur rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe par [10] (autre justification),

......pseudo-vecteur champ magéntique par [11]

Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Base directe (les deux premiers vecteurs en noir et le troisième en rouge) et indirecte (les mêmes deux premiers vecteurs en noir et le troisième en bleu)

......Considérons deux bases cartésiennes l'une directe [le 3e vecteur en rouge ci-contre], et l'autre indirecte [le 3e vecteur en bleu ci-contre] et définissons le produit vectoriel des deux vecteurs[12] par ses composantes :

  • [13] avec la base directe et
  • [13] avec la base indirecte .

......Remarque : il s'agit de la même règle d'obtention des composantes du produit vectoriel à partir des composantes de chacun des vecteurs, que l'espace soit orienté par une base directe ou indirecte, cette règle respectant :

  • la direction, au plan formé par et ,
  • le sens, le trièdre est direct dans l'espace orienté par la base directe (règle des trois doigts de la main droite) et le trièdre est indirect dans l'espace orienté par la base indirecte (règle des trois doigts de la main gauche) et
  • la norme .

Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)[modifier | modifier le wikicode]

......La définition des deux vrais vecteurs est inchangée quand on passe d'une base à l'autre (ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme dans les deux bases) et par suite que les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs sur et sur sont individuellement les mêmes opposées soit , alors que les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs sur et sur sont opposées soit  ;

......on en déduit que les composantes de dans les bases directe et indirecte sont [14] :

  • opposées sur , ,
  • opposées sur , et
  • les mêmes sur et , soit, avec ,  ;

......la conséquence de ceci étant que est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté par une base directe à un espace orienté par une base indirecte, on conclut que le produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires) est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial).

Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)[modifier | modifier le wikicode]

......La définition des deux pseudo-vecteurs est changée quand on passe d'une base à l'autre (ce qui signifie qu'ils gardent la même direction et la même norme dans les deux bases, mais prennent des sens opposés) et par suite que les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs sur et sur sont individuellement opposées soit , alors que les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs sur et sur sont les mêmes soit  ;

......on en déduit que les composantes de dans les bases directe et indirecte sont[14] :

  • opposées sur , ,
  • opposées sur , et
  • les mêmes sur et , soit, avec ,  ;

......la conséquence de ceci étant que est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté par une base directe à un espace orienté par une base indirecte, on conclut que le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux) est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial).

Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)[modifier | modifier le wikicode]

......La définition du pseudo-vecteur est changée quand on passe d'une base à l'autre (ce qui signifie qu'il garde la même direction et la même norme dans les deux bases, mais prend des sens opposés) et par suite que ses composantes sur et sur sont individuellement opposées soit , alors que sa composante sur et sur est la même soit  ;

......la définition du vrai vecteur est inchangée quand on passe d'une base à l'autre (ce qui signifie qu'il garde la même direction, le même sens et la même norme dans les deux bases) et par suite que ses composantes sur et sur sont individuellement les mêmes soit , alors que ses composantes sur et sur sont opposées soit  ;

......on en déduit que les composantes de dans les bases directe et indirecte sont[14] :

  • les mêmes sur , ,
  • les mêmes sur , et
  • opposées sur et , soit, avec ,  ;

......la conséquence de ceci étant que est inchangé quand on passe d'un espace orienté par une base directe à un espace orienté par une base indirecte, on conclut que le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) et d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) est un vrai vecteur (ou vecteur polaire).

......Remarque : Le produit étant anticommutatif, le résultat est indépendant de la place du pseudo-vecteur c'est-à-dire que le produit vectoriel d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) et d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) est un vrai vecteur (ou vecteur polaire).

Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries ou antisymétries axiales ;

......Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, les symétries ou antisymétries envisagées seront planes.

Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet espace orienté par une base directe dont les deux premiers vecteurs sont au plan et le troisième lui est ,

......l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie plane , est orienté par les vecteurs images, par la même symétrie plane , des vecteurs de base à savoir qui est une base indirecte.

......Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions à savoir l'espace image, symétrique par symétrie plane d'un espace orienté par une base directe est orienté par une base indirecte et l'espace image, symétrique par symétrie plane d'un espace orienté par une base indirecte est orienté par une base directe.

Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi de préciser un 3e vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;

......on se rend compte qu'un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et de préciser le caractère direct ou indirect de cette base.

......Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et supposant cet espace orienté par une base directe dont le premier vecteur est à l'axe , le deuxième lui est et le 3e au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,

......l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale , peut être

  • orienté par les vecteurs images, par la même symétrie axiale , des vecteurs de base à savoir qui est une base directe (mais les angles de et de sont algébrisés en sens contraire[15]) ou
  • orienté par les vecteurs images, par la même symétrie axiale , des vecteurs de base du plan à savoir en conservant le 3e vecteur orientant les angles du plan [16] soit , la base précisant l'orientation de étant alors soit une base indirecte.

Notion d'antisymétrie[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : La notion d'antisymétrie nécessite qu'on s'intéresse à des champs scalaire ou vectoriel du point générique d'un espace , elle n'a aucune signification sur les points eux-mêmes ;

......Préliminaire : l'antisymétrie envisagée dans ce chapitre est soit plane soit axiale[17].

Antisymétrie plane agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Soient un espace à trois dimensions, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et

......considérons le point symétrique du point par rapport à un plan de à savoir

avec symétrie plane par rapport au plan .


Antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

......Soient un espace à deux dimensions plan, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et

......considérons le point symétrique du point par rapport à un axe de à savoir

avec symétrie axiale par rapport à l'axe .


Influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Une antisymétrie plane agissant sur une fonction scalaire de l'espace à trois dimensions se comporte, pour l'orientation de l'espace, comme une symétrie plane car seule cette dernière, en agissant sur les coordonnées du point, a une action nécessitant de préciser le caractère direct ou indirect de la base, l'action propre de l'antisymétrie consistant à multiplier le résultat obtenu par ne modifie par l'orientation de l'espace ;

......Préliminaire : aussi, pour étudier l'influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions, nous n'envisagerons son action que sur une fonction vectorielle de l'espace à trois dimensions.

......Envisageant une antisymétrie de tous les fonctions vectorielles des points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet espace orienté par une base directe dont les deux premiers vecteurs sont au plan et le troisième lui est ,

......l'espace image des fonctions vectorielles de , antisymétrique de l'espace des fonctions vectorielles de par l'antisymétrie plane , est orienté par les vecteurs images, par la même antisymétrie plane , des vecteurs de base à savoir qui est une base directe.

......Une antisymétrie plane agissant sur les fonctions vectorielles d'un espace à trois dimensions conserve l'orientation cet espace à savoir l'espace image des fonctions vectorielles antisymétriques par antisymétrie plane d'un espace de fonctions vectorielles orienté par une base directe (respectivement indirecte) est orienté par une base directe (respectivement indirecte).

Influence d'une antisymétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi de préciser un 3e vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;

......on se rend compte qu'un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et de préciser le caractère direct ou indirect de cette base.

......Envisageant une antisymétrie de toutes les fonctions vectorielles d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et supposant cet espace orienté par une base directe dont le premier vecteur est à l'axe , le deuxième lui est et le 3e au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,

......l'espace image , antisymétrique de l'espace par l'antisymétrie axiale , est orienté par les vecteurs images, par la même antisymétrie axiale , des vecteurs de base à savoir qui est une base indirecte (avec les angles de et de algébrisés dans le même sens).

......Une antisymétrie axiale agissant sur les fonctions vectorielles d'un espace à deux dimensions plan, l'axe de l'antisymétrie étant au plan de l'espace, inverse l'orientation de l'espace des fonctions vectorielles de cet espace à savoir l'espace image des fonctions vectorielles antisymétriques par antisymétrie axiale d'un espace de fonctions vectorielles orienté par une base directe est orienté par une base indirecte et vice-versa [18].

Invariance par symétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant, dans l'espace à trois dimensions , une symétrie plane par rapport à un plan de cet espace, symétrie notée , et un champ vectoriel , nous dirons que

......le champ vectoriel est invariant par symétrie plane si le symétrique par rapport au plan (Π) du champ vectoriel au point générique M à savoir le symétrique de est le champ vectoriel au point symétrique du point générique M à savoir est le point symétrique du point générique  ;

Exemple de champ vectoriel invariant par symétrie plane

......Propriété des composantes tangentielles et de la composante normale du champ vectoriel au point générique M : soit deux vecteurs unitaires orthogonaux du plan et un vecteur unitaire perpendiculaire au plan [19], on en déduit :

  • les composantes tangentielles [20] du symétrique du champ vectoriel (au point symétrique) sont égales aux composantes tangentielles du champ vectoriel au point symétrique soit
    ,
  • la composante normale [21] du symétrique du champ vectoriel (au point symétrique) est opposée à la composante normale du champ vectoriel au point symétrique soit
    .

......Propriété du champ vectoriel en un point du plan de symétrie : si , il est alors son propre symétrique à savoir et le champ vectoriel en ce point devant être son propre symétrique , on en déduit que

est nécessairement dans le plan [22].

Invariance par symétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant, dans un espace à deux dimensions plan , une symétrie axiale par rapport à un axe de cet espace, symétrie notée , et un champ vectoriel , nous dirons que

......le champ vectoriel est invariant par symétrie axiale si le symétrique par rapport à l'axe (Δ) du champ vectoriel au point générique M à savoir le symétrique de est le champ vectoriel au point symétrique du point générique M à savoir est le point symétrique du point générique  ;

......Propriété de la composante axiale et de la composante normale du champ vectoriel au point générique M : soit un vecteur unitaire de l'axe et un vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe [23], on en déduit :

  • la composante axiale [24] du symétrique du champ vectoriel au point symétrique est égale à la composante axiale du champ vectoriel au point symétrique soit
    ,
  • la composante normale [25] du symétrique du champ vectoriel au point symétrique est opposée à la composante normale du champ vectoriel au point symétrique soit
    .

......Propriété du champ vectoriel en un point de l'axe de symétrie : si , il est alors son propre symétrique à savoir et le champ vectoriel en ce point devant être son propre symétrique , on en déduit que

est nécessairement parallèle à l'axe [26].

Invariance par antisymétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant, dans l'espace à trois dimensions , une antisymétrie plane par rapport à un plan de cet espace, antisymétrie notée , et un champ vectoriel , nous dirons que

......le champ vectoriel est invariant par antisymétrie plane si l'antisymétrique par rapport au plan (Π) du champ vectoriel au point générique M à savoir l'antisymétrique de est le champ vectoriel au point symétrique du point générique M à savoir est le point symétrique du point générique  ;

Exemple de champ vectoriel invariant par antisymétrie plane

......Propriété des composantes tangentielles et de la composante normale du champ vectoriel au point générique M : soit deux vecteurs unitaires orthogonaux du plan et un vecteur unitaire perpendiculaire au plan [19], on en déduit :

  • les composantes tangentielles[20] de l'antisymétrique du champ vectoriel (au point symétrique) sont opposées aux composantes tangentielles du champ vectoriel au point symétrique soit
    ,
  • la composante normale[21] de l'antisymétrique du champ vectoriel (au point symétrique) est égale à la composante normale du champ vectoriel au point symétrique soit
    .

......Propriété du champ vectoriel en un point du plan d'antisymétrie : si , il est alors son propre symétrique à savoir et le champ vectoriel en ce point devant être son propre antisymétrique , on en déduit que

est perpendiculaire au plan [27].

Invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant, dans un espace à deux dimensions plan , une antisymétrie axiale par rapport à un axe de cet espace, antisymétrie notée , et un champ vectoriel , nous dirons que

......le champ vectoriel est invariant par antisymétrie axiale si l'antisymétrique par rapport à l'axe (Δ) du champ vectoriel au point générique M à savoir l'antisymétrique de est le champ vectoriel au point symétrique du point générique M à savoir est le point symétrique du point générique  ;

......Propriété de la composante axiale et de la composante normale du champ vectoriel au point générique M : soit un vecteur unitaire de l'axe et un vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe [23], on en déduit :

  • la composante axiale[24] de l'antisymétrique du champ vectoriel (au point symétrique) est opposée à la composante axiale du champ vectoriel au point symétrique soit
    ,
  • la composante normale[25] de l'antisymétrique du champ vectoriel (au point symétrique) est égale à la composante normale du champ vectoriel au point symétrique soit
    .

......Propriété du champ vectoriel en un point de l'axe d'antisymétrie : si , il est alors son propre symétrique à savoir et le champ vectoriel en ce point devant être son propre antisymétrique , on en déduit que

est nécessairement perpendiculaire à l'axe [28].

Principe de Curie reliant causes et effets lors d'une invariance par symétrie plane (ou axiale)[modifier | modifier le wikicode]

......en attente

Principe de Curie reliant causes et effets lors d'une invariance par antisymétrie plane (ou axiale)[modifier | modifier le wikicode]

......en attente

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Voir définition dans le paragraphe « base directe (ou indirecte) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. Ou différentielle du vecteur position, la différenciation ne nécessitant pas de préciser le caractère direct ou indirect des bases de l'espace.
  3. S'obtient à partir du vecteur déplacement élémentaire en divisant par la durée élémentaire ou en dérivant le vecteur position relativement au temps, ces deux opérations ne nécessitant pas de préciser le caractère direct ou indirect des bases de l'espace.
  4. 4,0 4,1 et 4,2 Le caractère « vrai (ou polaire) » est conservé si on multiplie un vrai vecteur (ou vecteur polaire) par un scalaire.
  5. En effet un courant étant le déplacement de porteurs mobiles de charge positive, son sens est lié au vecteur vitesse de déplacement d'ensemble des dits porteurs qui est un vrai vecteur ;
    ...on peut aussi définir le courant en tout point d'un conducteur ou d'un semi-conducteur par un « vecteur densité volumique de courant » [chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »] lié au vecteur vitesse de déplacement d'ensemble des dits porteurs par dans lequel le caractère scalaire de , charge volumique des porteurs mobiles de charge, entraîne le caractère polaire de compte tenu du caractère polaire de .
  6. 6,0 et 6,1 Voir paragraphe suivant « caractère polaire ou axial du produit vectoriel » de ce chapitre.
  7. Voir le paragraphe « définition du moment cinétique vectoriel du point M relativement à un point A » du chapitre de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  8. Voir le paragraphe « définition du moment vectoriel d'une force relativement à un point A » du chapitre de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  9. étant la masse du point, le rayon et le centre du cercle décrit ;
    ...Voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel du point M en mouvement circulaire relativement au centre de rotation C » du chapitre de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  10. et étant des vrais vecteurs, ne peut être qu'un pseudo-vecteur car son produit vectoriel avec un vrai vecteur donne un vrai vecteur ;
    ...Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  11. Voir le paragraphe « force magnétique de Lorentz » du </math>chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
    ... et étant des vrais vecteurs, ne peut être qu'un pseudo-vecteur car son produit vectoriel avec un vrai vecteur donne un vrai vecteur.
  12. Pouvant être soit un vrai vecteur (ou vecteur polaire), soit un pseudo-vecteur (ou vecteur axial).
  13. 13,0 et 13,1 Voir le paragraphe « composantes cartésiennes d'un produit vectoriel » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. 14,0 14,1 et 14,2 Revoir l'« expression des composantes du produit vectoriel suivant que la base est directe ou indirecte » dans le paragraphe précédent de ce chapitre.
  15. Point de vue peu adopté en physique.
  16. Point de vue adopté en optique géométrique voir le paragraphe « réflexion métallique ou dioptrique » du chapitre ou le paragraphe « algébrisation des plans transverses d'un miroir plan » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  17. Elle peut encore être centrale mais ce n'est pas envisagé ici.
  18. En fait l'inversion de l'orientation de l'espace des fonctions vectorielles d'un espace à deux dimensions plan par antisymétrie axiale, l'axe étant au plan de l'espace, n'a que très peu d'intérêt pratique ;
    ...ce qui est important est que le vecteur de base à l'axe est conservé et que le vecteur de base porté par l'axe est changé en son opposé …
  19. 19,0 et 19,1 On choisira la base directe, sans que ce soit, a priori, une obligation.
  20. 20,0 et 20,1 C'est-à-dire les composantes sur .
  21. 21,0 et 21,1 C'est-à-dire la composante sur .
  22. En effet avec n'est possible que si .
  23. 23,0 et 23,1 Avec , le vecteur unitaire orientant les angles de l'espace à deux dimensions plan, tel que la base soit directe, sans que ce soit, a priori, une obligation.
  24. 24,0 et 24,1 C'est-à-dire la composante sur .
  25. 25,0 et 25,1 C'est-à-dire la composante sur .
  26. En effet avec n'est possible que si .
  27. En effet avec n'est possible que si .
  28. En effet avec n'est possible que si .