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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

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Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Chapitre no 11
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Cas général de la résistance de l'air : notion de traînée et de portance[modifier | modifier le wikicode]

Ce cas général [1] n'est pas explicitement précisé dans le programme de physique de P.C.S.I..

Définitions de la traînée et de la portance exercées par l'air globalement immobile sur un système fermé (indéformable) de points matériels en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous plaçons dans le cas où le système fermé indéformable de points matériels en translation relativement au référentiel terrestre n'a pas d’axe de symétrie ou, s'il en a un, que le vecteur vitesse de translation de relativement à n'est pas porté par cet axe, le système se déplaçant dans l'air supposé globalement immobile dans  ;

Schéma de définition de la traînée et de la portance sur une aile d'avion, la traînée étant la projection de la résistance de l'air sur le vecteur vitesse de l'avion parallèlement à la verticale, et la portance la projection de la résistance de l'air sur la verticale parallèlement au vecteur vitesse de l'avion, la portance devant être ascendante
Schéma de définition de la traînée et de la portance sur une aile d'avion en situation de décrochage, la traînée étant la projection de la résistance de l'air sur le vecteur vitesse de l'avion parallèlement à la verticale et la portance la projection de la résistance de l'air sur la verticale parallèlement au vecteur vitesse de l'avion, la portance étant descendante quand l'avion décroche

     dans ce cas général, la résistance de l'air sur notée «» n’étant pas colinéaire au vecteur vitesse de translation «» de ce dernier, nous la décomposons en

  • une « composante à » appelée « traînée » laquelle est, plus précisément, « la projection de sur parallèlement à la verticale » et
  • une « composante verticale » appelée « portance » laquelle est, plus précisément, « la projection de sur la verticale parallèlement à »,

     ci-contre à gauche, le « cas d'une portance ascendante » correspondant à un vecteur vitesse de translation de « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque » [2] du système du dessus vers le dessous c.-à-d. correspondant à un angle [3] orienté [4] et

     ci-contre à droite, le « cas d'une portance descendante » correspondant à un vecteur vitesse de translation de « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque » [2] du système du dessous vers le dessus c.-à-d. correspondant à un angle [3] orienté [4] .

But recherché dans la création d'une portance[modifier | modifier le wikicode]

  • Dans le cas d'un avion, la résultante des portances agissant sur chaque aile d'avion doit bien sûr être ascendante de norme supérieure ou égale à celle du poids de l'avion [5] ;
  • dans le cas d'un camion ou d'une voiture de course, la portance agissant sur l'aileron au-dessus de la cabine doit être descendante de façon à améliorer le contact des roues sur le sol.

Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation parallèlement à cet axe : portance nulle[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé et indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour une 1ère introduction.

Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation dans l'air globalement immobile de vecteur vitesse porté par cet axe[modifier | modifier le wikicode]

Résistance de l'air agissant sur un système ayant un axe de symétrie et en translation dans l'air globalement immobile avec un vecteur vitesse porté par cet axe

     Dans le cas d'un système fermé indéformable de points matériels possédant un axe de symétrie et en mouvement de translation dans l'air globalement immobile relativement à un référentiel terrestre avec, à l'instant , un vecteur vitesse porté par cet axe,

     « la résistance de l'air s'exerçant sur est aussi portée par cet axe, de sens opposé au vecteur vitesse »,
     ce qui implique « l'identification de la résistance de l'air avec la traînée, ainsi que la nullité de la portance » ;
     on peut écrire, à l'instant , la résistance de l'air sous la forme
«»
avec « le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement de translation »,
« la norme du vecteur vitesse de translation du système à l'instant »
et « la norme de la résistance de l'air à l'instant »
laquelle est fonction de la norme du vecteur vitesse du système au même instant.

Variation de la norme de la résistance de l'air avec la vitesse de translation du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La façon dont la norme de la résistance de l'air varie avec la vitesse de translation du système fermé indéformable de points matériels dépend de la valeur de cette dernière selon

  • les « faibles vitesses » [6] où « la résistance de l'air est linéaire » revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à savoir
    «» où
    « est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique [7], [8] et de la densité de l'air »
    ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » en particulier,
    « pour de forme sphérique de rayon », « est donné par la formule de Stokes » [9]
    «» où « est la viscosité dynamique [7] de l'air » ;
  • les « vitesses moyennes » [6] où « la résistance de l'air est quadratique » revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à savoir
    «» où
    « est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que » avec et
    « est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique [7] et de la densité de l'air »
    ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » [10] ;
    la résistance de l'air s'écrit encore «» avec «» [11].
  • les « vitesses élevées » [6], [12] où « la résistance de l'air varie plus rapidement que quadratiquement » revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à savoir
    «» où
    « est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que » avec et
    « est une fonction positive de croissant plus rapidement que » [13]
    « dépendant de la viscosité dynamique [7] et de la densité de l'air » ainsi que
    « de la forme et des dimensions du système de points matériels ».

En complément, condition de vitesses faibles, moyennes ou élevées évaluée relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans l'air immobile[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour une introduction étendue à tout fluide.

     Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide dans l'air on évalue l'ordre de grandeur d'un « nombre sans dimension » appelé « nombre de Reynolds » [14] et défini selon

«» avec « la norme du vecteur vitesse de translation du système »,
« une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et « la viscosité cinématique [8] de l'air »,
ou encore «» avec « et respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique [7] de l'air ».

     Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance de l'air s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme

  • « linéaire si », l'écoulement de l'air autour de étant laminaire ou
  • « quadratique si », l'écoulement de l'air autour de étant alors turbulent.

     Remarques : « Que choisir si » ? En fait on pourrait considérer variant comme avec compris entre et , d'autant plus proche de que le nombre de Reynolds est grand mais pour éviter une trop grande complication on choisira « pour » et « pour le restant de l'intervalle » en étant conscient de commettre une erreur [15].

     Remarques : « Que choisir si » ? On pourrait considérer variant comme avec supérieur à et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds est grand mais pour éviter une trop grande complication on choisira « pour restant de l'ordre de quelques unités » en étant conscient de commettre une erreur [15] et si la comparaison au résultat expérimental n'était pas satisfaisante ou pourrait essayer

     Application sur l'exemple d'une boule : Nous envisageons le mouvement de translation d'une boule de rayon en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse dans l'air globalement immobile au niveau du sol dans les conditions de température et de pression dans lesquelles « la masse volumique de l'air vaut » ;

     Application sur l'exemple d'une boule : nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de dans les conditions précédentes de température et de pression pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique voire à variation plus rapide connaissant la valeur de « la viscosité dynamique [7] de l'air » [16] ou celle de «sa viscosité cinématique [8] » [17], « la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     Application sur l'exemple d'une boule : nous évaluons alors le nombre de Reynolds de la boule de rayon en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse dans l'air globalement immobile selon «» où est exprimé en et en .

Boule de dimension millimétrique[modifier | modifier le wikicode]

     Le nombre de Reynolds d'une boule de «rayon » correspondant à la dimension d'un grain de sable, se réécrivant « » où « est exprimée en », nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique voire à variation plus rapide :

  • condition des « faibles vitesses » correspondant à une « résistance de l'air linéaire » si soit ou encore «» ce qui est lent mais réalisable ;
  • condition des « vitesses moyennes » correspondant à une « résistance de l'air quadratique » si soit une vitesse telle que ou encore «» ce qui est tout à fait réalisable

Boule de dimension métrique[modifier | modifier le wikicode]

     Le nombre de Reynolds d'une boule de rayon «» correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, se réécrivant « » où « est exprimée en », nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique voire à variation plus rapide :

  • condition des « faibles vitesses » correspondant à une « résistance de l'air linéaire » si soit ou encore «» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
  • condition des « vitesses moyennes » correspondant à une « résistance de l'air quadratique » si soit une vitesse telle que ou encore «» ce qui est réalisable [18]

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique [19],

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, sinon elle doit raisonnablement être quadratique

Cas de la résistance de l'air de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans un fluide sur l'exemple d'un cylindre de révolution de rayon et de hauteur se déplaçant perpendiculairement à son axe

     Définition du maître couple d'un objet en translation relative dans l'air : Le maître couple d'un système fermé indéformable de points matériels en translation dans le référentiel terrestre avec un vecteur vitesse dans l'air globalement immobile est le « projeté orthogonal du solide sur un plan transverse c.-à-d. un plan à » ;

     Définition du maître couple d'un objet en translation relative dans l'air : sur l'exemple ci-contre représentant un cylindre de révolution de rayon et de hauteur se déplaçant perpendiculairement à son axe avec un vecteur vitesse , le maître couple est un rectangle de hauteur et de largeur  ;

     Définition du maître couple d'un objet en translation relative dans l'air : notant l'aire du maître couple, on obtient, dans l'exemple ci-contre, .

     Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : La forme quadratique de la résistance de l'air agissant sur un système fermé indéformable de points matériels en translation dans le référentiel terrestre avec un « vecteur vitesse à l'instant dans l'air globalement immobile » s'écrivant, à l'aide de « un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que » et «», selon «» [20],

     Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : avec « une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique [7] et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », dont l'expression est explicitée ci-dessous :

     Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : pour préciser la dépendance de avec les quantités énoncées ci-dessus on pose

«» [21] dans laquelle les différents facteurs sont
« la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression de l'expérience »,
l'aire du « maître couple » de l'objet en translation de vecteur vitesse et
« le cœfficient de traînée de l'objet en translation » c.-à-d. une grandeur sans dimension
caractéristique de l'aérodynamisme de l'objet lors de son déplacement [22].

     Quelques valeurs de cœfficient de traînée suivant la forme de l'objet [23] les commentaires entre parenthèses correspondant à un système de points matériels fermé immobile, le fluide se déplaçant en direction du système :

  • «» [24] l'un des plus faibles cœfficients de traînée caractéristique d'un bon aérodynamisme,
  • «» [25],
  • «» [26],
  • «» [27],
  • «» [28],
  • «» [29],
  • «» [30] et
  • «» mauvais aérodynamisme mais c'est le but recherché, la surface de front est alors concave d'où une difficulté de l'air de pouvoir « couler » à l'intérieur du parachute pour se retrouver à l'extérieur.

Problème du parachutiste : observation d'une vitesse limite de chute, établissement, par approche numérique, de la nécessité de prendre en compte une forme quadratique de résistance de l'air[modifier | modifier le wikicode]

Problème du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     Le parachutiste est assimilé à un système fermé indéformable de points matériels de C.D.I. [31] de masse en « translation dans l'air globalement immobile » ;

                            il est largué « sans vitesse initiale » relativement au référentiel terrestre supposé galiléen [32] d'un « point situé à l'altitude » ;

     lors de sa chute, il est soumis à deux forces :

  • « son poids » où est le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme et
  • « la résistance de l'air ».

Observation d'une vitesse limite de chute[modifier | modifier le wikicode]

     Le parachutiste tombe initialement sans résistance de l'air la vitesse initiale étant nulle avec, d'après l'application du théorème du mouvement du C.D.I. [31], une accélération initiale égale à l'accélération de la pesanteur, dont découle une vitesse à partir de la valeur nulle et par suite une résistance de l'air également ;

     une 1ère conséquence est une de l'accélération par nouvelle application du théorème du mouvement du C.D.I. [31], mais tant que celle-ci reste dirigée vers le bas, la vitesse continue de ainsi que la résistance de l'air et l'accélération de

     pratiquement on constate assez rapidement que « l'accélération atteint la valeur nulle quand la résistance de l'air compense le poids du parachutiste », la chute continuant alors de se faire à vitesse constante, appelée « vitesse limite de chute du parachutiste ».

Approche numérique et nécessité de prendre en compte la résistance de l'air sous forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     La vitesse limite de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » est de à [33] ;

     la vitesse limite de chute « libre » d'un parachutiste [34] est de à [35].

     En utilisant l'ordre de grandeur des valeurs de vitesses possibles pour une « forme linéaire ou quadratique de la résistance de l'air agissant sur une boule de dimension métrique » établies plus haut dans ce chapitre, à savoir :

  • « si » la forme de la résistance de l'air est « linéaire »,
  • « si » la forme de la résistance de l'air est « quadratique » et
  • sinon c.-à-d. pratiquement « si » [12], la forme de la résistance de l'air est telle qu'elle « varie plus rapidement que quadratiquement »,

     Il semble que la vitesse de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » autorise une « résistance de l'air de forme quadratique » [36] et que

      Il semble que la vitesse de celle d'un parachutiste en chute « libre » [34] autorise aussi une « résistance de l'air de forme quadratique » [37].

Problème du parachutiste : détermination, par récurrence, de la nature verticale du mouvement de chute[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

     Nous ne pouvons démontrer simplement la nature verticale du mouvement de chute en raisonnant sur la direction des forces car

     seule l'une des deux forces extérieures appliquées « le poids du parachutiste » est verticale quel que soit le mouvement de chute,

     seule l'autre « la résistance de l'air » étant colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse du parachutiste [38] n'est verticale que dans la mesure où la vitesse du parachutiste l'est et chercher à établir la verticalité du mouvement c'est ne pas être autorisé à utiliser que serait vertical puisque c'est ce que nous cherchons à démontrer par conséquent nous ne connaissons pas, a priori, la verticalité de « la résistance de l'air » à tout instant [39]

Établissement de la nature verticale du mouvement de chute[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. [31] au parachutiste on trouve, après division de part et d'autre par la masse inerte ou grave de ce dernier :

«» [40] avec
«» [41] et
« fonction de ».

Initiation de la récurrence sur un 1er intervalle de temps[modifier | modifier le wikicode]

     « Au départ de la chute, c.-à-d. à », la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit , nous en déduisons la nullité de la résistance de l'air initiale c.-à-d. «» d'où le vecteur accélération initiale du parachutiste «» ou, « en choisissant pour vecteur de base cartésienne le vecteur unitaire vertical descendant » et, pour les deux autres vecteurs de base cartésienne, des vecteurs unitaires horizontaux orthogonaux et tel que la base de l'espace physique orienté à droite [42] soit directe [43],
     « Au départ de la chute, c.-à-d. à », la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit , nous en déduisons les relations à l'instant initial suivantes :

«» «».

     Approximation permettant de déterminer la vitesse du parachutiste à un instant légèrement postérieur à un instant où sa vitesse est connue  : l'hypothèse qui permettra d'évaluer le vecteur vitesse du parachutiste à l'instant [44] connaissant celle à l'instant consiste à supposer que « son accélération moyenne sur l’intervalle «» [44] est son accélération à l'instant » accélération connue dans la mesure où la vitesse à cet instant l'est [45] et à intégrer une fois par rapport au temps sur l’intervalle «» pour en déduire la vitesse à l'instant [44] connaissant celle à l'instant .

     Application de l'approximation sur l'intervalle  : l'approximation à savoir «» se réécrivant «» nous en déduisons

«» ou «»
c.-à-d. « la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant ».

Raisonnement sur l'intervalle de temps suivant[modifier | modifier le wikicode]

     De la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit « vertical » ou encore « » ;

     appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. [31] au parachutiste à l'instant on trouve, après division de part et d'autre par la masse inerte ou grave de ce dernier, « [40] vertical comme somme de deux composantes verticales » c.-à-d. «».

     Application de l'approximation sur l'intervalle  : l'approximation à savoir « vertical » se réécrivant « » nous en déduisons

«» ou «»
c.-à-d. « la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant »
soit encore «».

Exposé de la récurrence[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant vérifié la propriété à savoir « vecteur vitesse de chute du parachutiste vertical » pour [46], nous allons montrer que .

  • Hypothèse de récurrence : propriété « le mouvement est vertical à l'instant , le vecteur vitesse du parachutiste y étant vertical (descendant) c.-à-d. tel que ».
  • Corps de la démonstration : de la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant «» on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit « vertical » ou encore «» ;
    Corps de la démonstration : appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. [31] au parachutiste à l'instant «» on trouve, après division de part et d'autre par la masse inerte ou grave de ce dernier, «[40] vertical comme somme de deux composantes verticales » c.-à-d. «» ;
    Corps de la démonstration : utilisant l'approximation sur l'intervalle à savoir « vertical » qui se réécrit «», nous en déduisons
    «» ou «»
    c.-à-d. « la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant » propriété ,
    soit encore «».
  • Conclusion : la propriété étant vérifiée pour et telle que « pour quelconque », est démontrée par récurrence.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

« Le mouvement de chute du parachutiste sans vitesse initiale et freinée par résistance de l'air est vertical » [47].

Commentaire[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode exposée ci-dessus pour déterminer le vecteur vitesse à l'instant connaissant le vecteur vitesse à l'instant est celle utilisée lors de la « résolution numérique d'une équation différentielle » ;

     « on fixe un pas d'incrémentation » puis

     « on intègre » successivement sur , « en considérant sur chaque intervalle que le vecteur accélération est constant égal à celui du début de l'intervalle » et comme le vecteur accélération est supposé constant sur chaque intervalle il peut aussi être assimilé au vecteur accélération moyen sur l'intervalle considéré

     soit « pour , le vecteur accélération » d'une part et «» d'autre part permettant de déduire

«».

Problème du parachutiste : établissement d'une vitesse limite de chute[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     « Le mouvement de chute du parachutiste étant, après démonstration du paragraphe précédent, vertical selon descendant », on projette le théorème du mouvement du C.D.I. [31] du parachutiste sur et on obtient, après division de chaque membre par la masse inerte ou grave du parachutiste ,

«» avec
« une fonction de » [48] dans laquelle «»
ou encore «».

Établissement de la croissance « continue » de la vitesse du parachutiste et de la décroissance « continue » de la résistance de l'air[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit de la et d'une fonction mathématique au sens large.

     Initialement «» « à partir de » « aussi à partir de » et par suite
     Initialement « à partir de mais en restant » [49] ce qui assure,
     Initialement « pour », la poursuite de la « de la vitesse et de la résistance de l'air » suivie de celle de la « de l'accélération en restant » [49] et

Existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible[modifier | modifier le wikicode]

     Admettant qu'« il existe un instant tel que » « la vitesse y devient stationnaire » [50] ce qui entraîne la « stationnarité [50] de la résistance de l'air à ce même instant » d'où « l'accélération garde alors la valeur nulle pour tout instant postérieur à », ceci ayant pour conséquence que « la vitesse garde la valeur pour tout instant postérieur à », cette valeur définissant la « vitesse limite de chute » du parachutiste notée .

     En fait le mouvement décrit ci-dessus est un mouvement « asymptotique » dans la mesure où on démontrera que la valeur nulle de l'accélération du parachutiste ne peut être rigoureusement atteinte qu'au bout d'une « durée infinie » [51] mais
     En fait pratiquement, le parachutiste atteignant sa vitesse limite à près à un instant fini, on peut estimer qu'à partir de cet instant la vitesse du parachutiste restant quasiment constante et par conséquent son accélération restant pratiquement nulle, le mouvement « asymptotique » du parachutiste est pratiquement réalisé si est supérieur à la durée nécessaire de chute jusqu'au sol [52].

Expression de la vitesse limite de chute d'un parachutiste soumis à la résistance de l'air de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     La vitesse limite de chute du parachutiste est donc définie par «» ou

«»

     avec, comme nous l'avons suggéré précédemment, une forme quadratique de résistance de l'air

«» dans laquelle «» [53]

     où « est le cœfficient de traînée du parachutiste », « la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression locales de la chute » et « l'aire du maître couple » [54] ;      finalement « la vitesse limite de chute du parachutiste à résistance de l'air quadratique » se calcule par

«» [55].

Vérification numérique[modifier | modifier le wikicode]

     Parachutiste à parachute ouvert : Considérons un parachutiste de « masse équipements compris », dont « l'aire du maître couple [54] du parachute ouvert est » [56], de « cœfficient de traînée en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique » dans le « champ de pesanteur terrestre d’intensité », l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute du parachutiste précédemment établie nous donne

«»
légèrement « au-dessous » [57] des vitesses réelles situées entre et [58].

     Parachutiste en chute libre [34] : Considérons le même parachutiste de « masse équipements compris » [59], dont « l'aire du maître couple [54] du parachutiste à parachute replié est », de « cœfficient de traînée en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique » dans le « champ de pesanteur terrestre d'intensité », l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute libre [34] du parachutiste précédemment établie nous donne

«»
légèrement « au-dessus » [60] des vitesses réelles situées entre et .

Problème du parachutiste : mise en équation de sa chute verticale freinée par résistance de l'air quadratique : lois horaires de vitesse et de position[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste avec résistance de l'air quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi précédemment, pour un parachutiste tombant sans vitesse initiale dans l'air globalement immobile,

  • la « nature rectiligne verticale de son mouvement de chute suivant descendant », ainsi que
  • son « accélération suivant descendant  » [61] ou «» dans laquelle est l'intensité du champ de pesanteur terrestre et « la norme de la résistance de l'air s'exerçant sur le parachutiste »,

     on en déduit l'équation différentielle du mouvement de chute du parachutiste en remplaçant, dans l'expression de , la résistance de l'air par sa forme quadratique « » avec «» dans laquelle « est le cœfficient de traînée [62] du parachutiste lors de sa chute », « la masse volumique de l'air dans les conditions de la chute » et « l'aire du maître couple [54] du parachutiste », ce qui donne

«»
c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en .

     On peut réécrire cette équation différentielle en faisant intervenir la « vitesse limite de chute du parachutiste » laquelle, étant obtenue pour une accélération nulle c.-à-d. , est définie selon «» d'où, en éliminant par son expression en fonction de la vitesse limite,

«».

Détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle du 1er ordre en étant non linéaire s'intègre en « séparant les variables » [63] selon

«»,

     le 1er membre nécessitant de décomposer la fonction rationnelle [64] «» en éléments simples [65] selon « », les constantes et se déterminant

  • « en multipliant chaque membre par puis en y faisant » d'où «» et
  • « en multipliant chaque membre par puis en y faisant » d'où «» ;

     l'équation différentielle du 1er ordre en se réécrit donc «» ou

« avec » et

     elle s'intègre en «» « » soit « » [66] et finalement on obtient
     une 1ère forme de loi horaire de vitesse « » que l'on peut réécrire selon

«» avec «[67] la constante de temps de cette loi » ;

     une 2ème forme de cette loi de vitesse s'obtient en l'inversant pour expliciter en fonction de soit «» ou encore « » «» soit enfin, en mettant haut et bas en facteur ce qui permet une simplification d'une part et de faire apparaître la fonction tangente hyperbolique [68] d'autre part

«» avec
« la constante de temps de la loi horaire de vitesse ».

Tracé du diagramme horaire de vitesse du parachutiste et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique

     Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de vitesse de chute du parachutiste «» :

     « la constante de temps » caractérise la durée de l’établissement de la vitesse limite » plus exactement « il faut approximativement pour atteindre la vitesse limite à près » [69].

     Numériquement le parachutiste précédemment introduit atteindra sa vitesse limite de chute verticale [32]

  • à parachute déployé «» à l'instant en soit « après une durée de chute » [70] c.-à-d. « quasi-instantanément » [71], ou
  • en chute libre «» à l'instant en soit « après une durée de chute » [70] c.-à-d. plus longue qu'à parachute déployé d'un facteur égal au rapport de vitesse limite en chute libre sur la vitesse limite à parachute déployé.

Détermination de la loi horaire de position du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir la loi horaire de position du parachutiste on intègre «» par rapport soit « » ou « » [72] d'où, en reconnaissant dans la fraction la différentielle de et en prenant pour origine des la position initiale du parachutiste,

la loi horaire de position du parachutiste
«» [73] avec «».

Tracé du diagramme horaire de position du parachutiste et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale et à partir d'une position choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique

     Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de position de chute du parachutiste «» :

     compte-tenu du fait que la vitesse de chute du parachutiste tend vers une vitesse limite, on doit « vérifier que le graphe admet une asymptote quand » c.-à-d. en pratique quand , asymptote d'équation  ;

     on retrouve ce résultat mathématiquement en utilisant «» ce qui donne ici, « quand , » soit «» [74] d'où « » soit finalement

«» [75].

     Commentaires : Si le sol se trouve à la distance verticale de la position initiale du parachutiste lorsqu'il ouvre son parachute en absence de vitesse initiale, « l'instant où le parachutiste atteint le sol est défini par » , soit encore, en inversant la fonction cosinus hyperbolique, «» [76] ou, en adoptant la forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique [77], «» et enfin, en éliminant au profit de par dans les exponentielles, l'expression de l'instant de contact avec le sol

«» ;

     Commentaires : « dans l'hypothèse où est », il est alors possible de remplacer la loi horaire de position du parachutiste par l'équation de son asymptote «» ;
     Commentaires : « dans l'hypothèse où est », toutefois ce résultat nécessite de « valider l'hypothèse », correspondant à ou encore soit, compte-tenu de , la condition «».

     Commentaires : Numériquement, en supposant que le parachutiste précédemment introduit ait ouvert son parachute en absence de vitesse initiale à une altitude «», sa vitesse limite étant « » et la constante de temps «», «son instant de contact avec le sol peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si est » [78], [79], on obtient alors «» [80] pour atteindre la vitesse limite et de chute à vitesse constante ;

     Commentaires : Numériquement, supposant le parachutiste précédemment introduit en chute libre [34] sans vitesse initiale à partir d'une altitude «» avec fin de la chute libre par ouverture du parachute à l'altitude «», la vitesse limite du parachutiste en chute libre ayant été déterminée à «» et la constante de temps à « », « l'instant d'ouverture du parachute peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si est » [81], on obtient alors «