Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq

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Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
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Exercices no9
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Courbes et surfaces dans ℝ3
Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier l'existence des limites suivantes :

  1. , si  ;
  2. ,  ;
  3. ,  ;
  4. , .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Justifier la différentiabilité des fonctions suivantes et calculer leurs différentielles :

.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Préciser les domaines de définition et calculer les dérivées partielles premières des trois fonctions suivantes :

.

Est-ce que ces fonctions sont de classe C1 ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient différentiable en un point et différentiable au point .

  1. Justifier la formule suivante :
    .
  2. La simplifier dans le cas particulier et , en notant (pour ) la fonction « -ème coordonnée » .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction harmonique ».

Soient ,

.

Calculer

.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit

une fonction différentiable. On pose

.
  1. Expliciter une fonction telle que .
  2. Calculer la matrice jacobienne de ,
    .
  3. En déduire une relation entre les gradients
    .
  4. Montrer que
    .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Trouver les fonctions différentiables telles que
    .
    (On pourra effectuer le changement de variables .)
  2. Trouver les fonctions différentiables telles que
    .
    (On pourra effectuer le changement de variables .)

Voir aussi : Différentiabilité, Exercice 5.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par :

si et .

Montrer qu'en , admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions, mais n'est pas continue (donc pas différentiable).

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par :

si et .

Montrer que pour toute courbe telle que , si est dérivable en alors aussi, mais que n'est cependant pas différentiable en .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de la formule de Laplace, calculer les dérivées partielles de l'application puis sa différentielle, en un point quelconque .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer :

.

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soient et définies par

.

Calculer les matrices jacobiennes de , , et .