En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercices : Continuité et différentiablité de fonctions de ℝp dans ℝq », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étudier l'existence des limites suivantes :
,
,
;
- limites de
en
,
et (?)
;
,
;
,
,
;
et
si
,
et
;
,
,
;
,
,
,
,
.
Solution
-
- Cette fonction étant continue sur
, sa limite en tout point égale sa valeur (ici :
).
- Quand
et
,
.
.
- Cette fonction étant continue sur le disque unité fermé, sa limite en
est
et celle en
est
. En
, la limite n'a pas de sens car ce point n'est pas adhérent au domaine de définition.
-
- Cette limite n'existe pas car
tandis que
.
Remarquons que cependant,
(et idem en intervertissant
et
).
- Pour
fixé tel que
(et il existe de tels
arbitrairement proches de
),
n'existe pas, donc
n'existe pas (et idem en intervertissant
et
). Remarquons que pourtant,
.
-
- Par changement de variable
,
n'existe pas car
, qui dépend de
.
n'existe pas car elle serait égale (en fixant
) à
, qui n'existe même pas car
, qui dépend de
.
- Par changement de variable
,
n'existe pas car
, qui dépend de
.
-
- Puisque
,
est majoré par
donc tend vers 0 quand
si
; si
mais
, la limite n'existe pas car si par exemple
,
; si
, la limite est
; si
, la fonction vaut constamment
.
- De même,
vaut
si
,
si
, et n'existe que dans ces deux cas.
-
.
n'existe pas car (par exemple)
et
.
n'existe pas car (par exemple)
.
-
.
(cf. question 5).
.
n'existe pas car quand
et
,
.
(cf. question 5).
Justifier la différentiabilité des fonctions suivantes et calculer leurs différentielles :
.
Solution
,
et
sont continues donc
est (au moins) de classe C1 et
.
En fait,
est (polynomiale donc) de classe C∞, mais si l'on s'intéresse seulement à sa différentiabilité — en un point quelconque
— on pouvait la prouver directement :

et la somme des trois premiers termes est une fonction linéaire continue de
tandis que la somme des trois termes restants est un
de
car en choisissant par exemple comme norme sur
la plus commode ici :
, on a :
.
De même pour
(en raisonnant composante par composante, avec l'une ou l'autre des deux méthodes ci-dessus) :
.
Pour
(non polynomiale mais quand même C∞), on obtient de même :
.
On pouvait aussi calculer la différentielle de
(ou sa matrice jacobienne) en exprimant
comme composée de
et de l'application
, bilinéaire continue donc facile à différentier (cf. cours, Exemple de calcul d'une différentielle). De même,
et les
se décomposent, par exemple
est la composée de la projection
(linéaire continue) et de la multiplication
(bilinéaire continue). Quant à
, on peut la différentier de même en généralisant aux applications multilinéaires l'exemple du cours précité sur les applications bilinéaires : si
est
-linéaire continue – par exemple si
est l'application produit (de
réels) – alors
.
On en déduit par exemple :

et plus généralement (pour
) :
.
Enfin,
est C∞, comme
.
Préciser les domaines de définition et calculer les dérivées partielles premières des six fonctions suivantes :
.
Est-ce que ces fonctions sont de classe C1 ou plus ?
Solution
est définie sur le demi-plan ouvert
. Pour tout
dans ce domaine,
.
est définie sur
. Pour tout
dans ce domaine,
et
.
est définie sur
. Pour tout
dans ce domaine,
et
.
est définie sur
. Pour tout
dans ce domaine,
et
.
est définie sur
. Pour tout
dans ce domaine,
et
.
est définie sur le disque unité fermé
. Pour tout
(le disque unité ouvert),
et
.
Sur le cercle unité, les dérivées partielles ne sont pas définies ; par exemple :
si
et
alors
.
Ces six fonctions sont de classe C∞ sur l'ouvert de définition de leurs dérivées partielles car celles-ci le sont.
Soient
différentiable en un point
et
différentiable au point
.
- Justifier la formule suivante :
.
- La simplifier dans le cas particulier
et
, en notant
(pour
) la fonction «
-ème coordonnée »
.
Solution
.
- Dans ce cas particulier,
et
est l'application linéaire continue
, donc
et
.
On définit le laplacien
d'une fonction
de
variables par :
.
Calculer le laplacien des deux fonctions
et
définies sur
par
,
où
désigne la norme euclidienne usuelle et
est un réel.
Soit

une fonction différentiable. On pose
.
- Expliciter une fonction
telle que
.
- Calculer la matrice jacobienne de
,
.
- En déduire une relation entre les gradients
.
- Montrer que
.
- Calculer les dérivées partielles de la fonction
.
- On pose
et
.
Calculer
,
, et
pour tout réel
.
Solution
.
.
(les trois dérivées partielles de
s'appliquant à
).
.
- En appliquant la question 3 à
donc
,
et
, on obtient :
,
et
.
- On peut effectuer des calculs directs, mais utilisons plutôt ce qui précède. Soit
. Alors,
donc
et
donc (les trois dérivées partielles de
s'appliquant à présent à
)

.
.
Soit un vecteur non nul
. Trouver toutes les fonctions
différentiables sur
telles que
.
Trouver les fonctions différentiables
telles que
.
(On pourra effectuer le changement de variables
.)
Solution
Posons
. Alors,
est différentiable sur
si et seulement si
l'est, et lorsqu'elles le sont, on a

donc de même, les solutions sont les fonctions de la forme

(pour une fonction dérivable
).
Trouver toutes les fonctions deux fois différentiables
qui vérifient :
;
;
.
Solution
, avec
et
dérivables.
On peut remarquer que les solutions forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions
.
, avec
et
dérivables.
Même remarque.
, avec
et
dérivables.
On peut remarquer que les solutions
sont la somme de l'une d'entre elles (par exemple
) et des solutions de l'équation linéaire homogène associée de la question 1.
Soit
définie par :
si
et
.
Déterminer les dérivées directionnelles de
en
dans toutes les directions, et en particulier ses dérivées partielles. Montrer que
n'est pas différentiable, ni même continue.
Solution
Si
alors, pour
suffisamment proche de
,
donc la dérivée directionnelle au point
suivant le vecteur
est
(ce qui n'est pas une fonction linéaire de ce vecteur donc
n'est pas différentiable en ce point).
En particulier,
et
.
En
,
n'a même pas de limite (donc n'est pas continue, et l'on retrouve ainsi qu'elle n'est pas différentiable) car
n'existe pas : par exemple
, tandis que
.
Mêmes questions pour
si
et
.
Solution
Pour tout
,
n'existe que si
, et vaut alors
.
En particulier,
et
n'existe pas donc
n'est pas différentiable en
.
Elle n'a même pas de limite en ce point car
mais
n'existe pas.
Soit
définie par :
si
et
.
Montrer que pour toute courbe
telle que
, si
est dérivable en
alors
aussi — en particulier, les dérivées directionnelles de
en
existent dans toutes les directions — mais que
n'est cependant pas différentiable en
.
Que dire des limites en ce point des dérivées directionnelles ?
Solution
est homogène de degré
et continue sur
. Par conséquent, pour tout vecteur
et toute fonction
telle que
:
.
(En particulier, pour tout vecteur
non nul,
; par exemple,
et
.)
Mais
n'est pas différentiable en
, puisqu'elle est homogène de degré
sans être linéaire (cf.
Différentiabilité, exercice 16).
De même, les dérivées directionnelles n'ont pas de limite en
, puisqu'elles sont homogènes de degré 0 mais non constantes.
À l'aide de la formule de Laplace, calculer les dérivées partielles de l'application
puis sa différentielle, en un point quelconque
.
Solution
Pour tous indices
et toute matrice
,

avec
et
ne dépendant tous deux que de coefficients de
autres que
, donc
.
L'application
est polynomiale donc dérivable (et même C∞), donc
.
Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer :
.
Solution
L'existence est simplement justifiée par les théorèmes que l'on applique au cours du calcul.
,
.
,
.
.
.

donc par symétrie,
.

donc par symétrie,
.
Soient
et
définies par
.
Calculer les matrices jacobiennes de
,
,
et
.
Solution

donc

et

Montrer que l'application
a un prolongement continu sur
et étudier la différentiabilité de ce prolongement.
Soient
une fonction différentiable de deux variables
et
.
Exprimer
et
en fonction de
et
, puis
en fonction de
.
Solution
avec
.
et 
donc

et
.
En réutilisant ces formules on obtient, quand on dérive l'une par rapport à
et l'autre par rapport à
:
et

et, en additionnant :
.
Soit
si
et
.
- Montrer que
est continue sur
.
- Calculer ses dérivées partielles en
.
- Est-elle différentiable en ce point ?
Solution
- Sur
,
est évidemment continue (comme quotient d'un polynôme par la racine carrée d'un polynôme strictement positif).
En
,
est aussi continue car
.
- Par définition,
.
On en déduit par symétrie (ou on démontre de même) que
.
- Non car d'après la question précédente on aurait alors
, c.-à-d.
, ce qui n’est pas.
Mêmes questions pour
si
et
.
Solution
Mêmes raisonnements. Détail des calculs :
.
.
- Non car
.
On pose
et
.
- Calculer le gradient de
et la matrice jacobienne de
.
- Calculer le gradient de
. Donner une relation entre
,
et
.
Solution
et
.
donc
. Ou encore (en assimilant les gradients à des matrices lignes) :
.
Soient
un intervalle ouvert et
une fonction de classe C1. On définit
par

Démontrer que
est continue.
Solution
D'après le théorème des accroissements finis, pour tout
tel que
, il existe
tel que
. Par continuité de
, on en déduit que
est continue en tout point
de la diagonale de
. Comme elle est évidemment continue hors de cette diagonale, elle est bien continue partout.
On considère la fonction
.
- Étudier la continuité de
en chaque point de
.
- Calculer les dérivées partielles de
en chaque point où elles existent.
- Étudier la continuité des dérivées partielles de
sur
, puis en
.
- Étudier la différentiabilité de
en chaque point de
.
- Calculer la différentielle de
au point
.
Solution
est continue sur tout
, par produit, somme, composition de fonctions continues.
- Pour tout
,
et
.
.
et
sont continues sur
, par produit, somme, composition, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues.
Elles sont aussi continues en
car nulles en ce point et
et
.
est donc C1 sur
et a fortiori différentiable sur
.
et
donc
.