Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercices : Continuité et différentiablité de fonctions de ℝp dans ℝq », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
Image logo représentative de la faculté
Exercices no9
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Courbes et surfaces dans ℝ3
Exo suiv. :Sommaire
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier l'existence des limites suivantes :

  1. , ,  ;
  2. limites de en , et (?)  ;
  3. ,  ;
  4. , ,  ;
  5. et si , et  ;
  6. , ,  ;
  7. , , , , .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Justifier la différentiabilité des fonctions suivantes et calculer leurs différentielles :

.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Préciser les domaines de définition et calculer les dérivées partielles premières des six fonctions suivantes :

.

Est-ce que ces fonctions sont de classe C1 ou plus ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient différentiable en un point et différentiable au point .

  1. Justifier la formule suivante :
    .
  2. La simplifier dans le cas particulier et , en notant (pour ) la fonction « -ème coordonnée » .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction harmonique ».

On définit le laplacien d'une fonction de variables par : .

Calculer le laplacien des deux fonctions et définies sur par

,

désigne la norme euclidienne usuelle et est un réel.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit

une fonction différentiable. On pose

.
  1. Expliciter une fonction telle que .
  2. Calculer la matrice jacobienne de ,
    .
  3. En déduire une relation entre les gradients
    .
  4. Montrer que
    .
  5. Calculer les dérivées partielles de la fonction .
  6. On pose et .
    Calculer , , et pour tout réel .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un vecteur non nul . Trouver toutes les fonctions différentiables sur telles que

.

Trouver les fonctions différentiables telles que

.

(On pourra effectuer le changement de variables .)

Trouver toutes les fonctions deux fois différentiables qui vérifient :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par :

si et .

Déterminer les dérivées directionnelles de en dans toutes les directions, et en particulier ses dérivées partielles. Montrer que n'est pas différentiable, ni même continue.

Mêmes questions pour si et .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par :

si et .

Montrer que pour toute courbe telle que , si est dérivable en alors aussi — en particulier, les dérivées directionnelles de en existent dans toutes les directions — mais que n'est cependant pas différentiable en .

Que dire des limites en ce point des dérivées directionnelles ?

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de la formule de Laplace, calculer les dérivées partielles de l'application puis sa différentielle, en un point quelconque .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer :

.

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soient et définies par

.

Calculer les matrices jacobiennes de , , et .

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que l'application a un prolongement continu sur et étudier la différentiabilité de ce prolongement.

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction différentiable de deux variables et .

Exprimer et en fonction de et , puis en fonction de .

Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]

Soit si et .

  1. Montrer que est continue sur .
  2. Calculer ses dérivées partielles en .
  3. Est-elle différentiable en ce point ?

Mêmes questions pour si et .

Exercice 16[modifier | modifier le wikicode]

On pose et .

  1. Calculer le gradient de et la matrice jacobienne de .
  2. Calculer le gradient de . Donner une relation entre , et .

Exercice 17[modifier | modifier le wikicode]

Soient un intervalle ouvert et une fonction de classe C1. On définit par

Démontrer que est continue.