Espaces vectoriels normés/Dimension finie

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Dans ce chapitre, nous verrons comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :

• les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
• les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sont automatiquement continues.

Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).

Équivalence des normes et conséquences

Début d'un lemme

Lemme

Dans $\left(\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty }\right)$, les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées.

Fin du lemme

Démonstration

On sait déjà qu'une partie compacte est toujours fermée et bornée ; il s'agit donc de montrer la réciproque.

Commençons par montrer que tout intervalle de $\left(\mathbb {R} ,|\cdot |\right)$ de la forme $I=[-M,M]$ est compact.

Soit $(u_{n})$ une suite de $I$. Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous assure de l'existence d'une suite extraite convergente $(u_{\phi (n)})$. Soit $u\in \mathbb {R}$ sa limite. Comme $I$ est un fermé de $\mathbb {R}$, $u\in I$. Ainsi, $(u_{n})$ admet une valeur d'adhérence dans $I$, ce qui prouve que $I$ est compact.

Examinons maintenant le cas général.

Soit $X$ une partie fermée et bornée de $\left(\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty }\right)$. Comme $X$ est bornée, elle est incluse dans un pavé $[-M,M]^{n}$. Or, la compacité de $[-M,M]$ implique celle de $[-M,M]^{n}$, et comme $X$ est un fermé inclus dans ce compact, on en déduit que $X$ est compact.

 

Proposition

Sur un ℝ-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration

Nous allons tout d'abord démontrer le résultat pour l'espace $\mathbb {R} ^{n}$, en montrant que toutes les normes sur $\mathbb {R} ^{n}$ sont équivalentes à la norme infini $\|\cdot \|_{\infty }$.

Soit $N$ une norme sur $\mathbb {R} ^{n}$. Notons $(e_{i})_{1\leq i\leq n}$ la base canonique de $\mathbb {R} ^{n}$. On a alors, en utilisant l'inégalité triangulaire :

$\forall x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\in E\quad N(x)\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|N(e_{i})\leq \left(\sum _{i=1}^{n}N(e_{i})\right)\|x\|_{\infty }$.

Posons $M=\sum _{i=1}^{n}N(e_{i})$. Ainsi,

$\forall x\in E\quad N(x)\leq M\|x\|_{\infty }$.

Avec la seconde inégalité triangulaire, on en déduit :

$\forall x,y\in E\quad |N(x)-N(y)|\leq N(x-y)\leq M\|x-y\|_{\infty }$,

ce qui prouve que sur $(\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty })$, $N$ est $M$-lipschitzienne donc continue.

Dans $(\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty })$, la sphère ${\mathcal {S}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|_{\infty }=1\}$ est fermée et bornée donc compacte. La restriction de $N$ à ${\mathcal {S}}$ est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. Notons $m$ sa borne inférieure. Celle-ci, a priori positive ou nulle, est forcément non nulle car $N(x)=0$ implique $x=0$, ce qui est impossible sur la sphère.

Finalement, soit $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$. Alors, ${\frac {x}{\|x\|_{\infty }}}\in {\mathcal {S}}$, ce qui donne :

$m\leq N\left({\frac {x}{\|x\|_{\infty }}}\right)$

ou encore :

$m\|x\|_{\infty }\leq N(x)$.

Cette inégalité restant vraie pour $x=0$, on a fini de montrer que $N$ est équivalente à la norme infini.

Considérons maintenant un ℝ-espace vectoriel E de dimension finie n. Alors, E est isomorphe à $\mathbb {R} ^{n}$. Notons $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to E$ un tel isomorphisme.

Soient $N_{1}$ et $N_{2}$ deux normes sur E ; on vérifie que $N_{1}\circ \phi$ et $N_{2}\circ \phi$ sont des normes sur $\mathbb {R} ^{n}$, qui sont donc équivalentes.

Il existe donc $C_{1},C_{2}>0$ tels que $\forall x\in \mathbb {R} ^{n}\quad C_{1}N_{1}\circ \phi (x)\leq N_{2}\circ \phi (x)\leq C_{2}N_{1}\circ \phi (x)$. La surjectivité de $\phi$ permet alors de conclure.

 

Remarque

En particulier sur un $\mathbb {C}$-espace vectoriel E de dimension finie m, toutes les normes sont équivalentes, puisque E est alors un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension finie n = 2m.

Corollaire

Soient $(E,\|\cdot \|_{E})$ et $(F,\|\cdot \|_{F})$ deux e.v.n. réels et $f:E\to F$ une application linéaire. Si $E$ est de dimension finie, alors $f$ est (uniformément) continue.

Démonstration

Notons $(e_{i})_{1\leq i\leq n}$ une base de $E$, et définissons $N:E\to \mathbb {R}$ par :

$\forall x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\in E\quad N(x)=\|(x_{1},\cdots ,x_{n})\|_{\infty }$.

On vérifie que $N$ est une norme sur $E$. Puisque $E$ est de dimension finie, on sait alors que $N$ et $\|\cdot \|_{E}$ sont équivalentes, c'est-à-dire définissent la même topologie.

Or

$\|f(x)\|_{F}\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|_{F}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\|f(e_{i})\|_{F}\right)N(x)$,

ce qui prouve la continuité de $f$.

 

Proposition

Tout e.v.n. réel de dimension finie est complet.

En particulier, tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un e.v.n. réel E est complet, donc fermé dans E.

Démonstration

Soit $(F,\|~\|_{F})$ un e.v.n. réel de dimension finie $n$, alors il existe un isomorphisme de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $F$ que l'on note $\phi$.

La proposition précédente nous assure que les bijections $\phi :(\mathbb {R} ^{n},\|~\|_{\infty })\to (F,\|~\|_{F})$ et $\phi ^{-1}$ sont uniformément continues.

Ainsi, $(F,\|~\|_{F})$ est complet car $(\mathbb {R} ^{n},\|~\|_{\infty })$ l'est.

 

Remarque

On peut démontrer les deux propositions ci-dessus sans faire appel à la notion de compacité :

Faites ces exercices : Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude.

Compacité et dimension finie

Proposition

Une partie d'un ℝ-e.v.n. de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.

Démonstration

Nous avons déjà vu que dans un e.v.n. quelconque, toute partie compacte est fermée et bornée.

Réciproquement, soit A une partie fermée et bornée d'un ℝ-e.v.n. E de dimension finie n. Alors, E est isomorphe à ℝⁿ. Notons $f:E\to \mathbb {R} ^{n}$ un tel isomorphisme. Les applications $f$ et $f^{-1}$ sont linéaires continues (quelles que soient les normes choisies sur E et sur ℝⁿ, puisque toutes les normes sur un ℝ-e.v. de dimension finie sont équivalentes). Ainsi, $f(A)$ est une partie fermée et bornée de ℝⁿ ; elle est donc compacte, si bien que son image $A$ par l'application continue $f^{-1}$ est compacte.

 

Réciproquement :

Début d’un théorème

Théorème de Riesz

Un ℝ-e.v.n. est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.

Fin du théorème

Démonstration

Soit E un ℝ-e.v.n.. Sa boule unité fermée $B_{F}=B_{F}(0,1)$ est compacte d'après le théorème précédent si E est de dimension finie.

Réciproquement, supposons que $B_{F}$ est compacte.

La famille $(B(x,1/2))_{x\in B_{F}}$ est un recouvrement ouvert de $B_{F}$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B(x_{i},1/2))_{1\leq i\leq n}$.

Notons alors F le sous-espace engendré par la famille $(x_{1},\dots ,x_{n})$. Par construction, $B_{F}\subset F+{\frac {1}{2}}B_{F}$ donc (par récurrence) $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad B_{F}\subset F+{\frac {1}{2^{n}}}B_{F}$, c'est-à-dire $B_{F}\subset {\overline {F}}$. Mais F étant de dimension finie, il est fermé. Par conséquent, $B_{F}\subset F$, si bien que $E=\cup _{t>0}tB_{F}\subset \cup _{t>0}tF=F$. Ceci prouve que E est égal à F donc est de dimension finie.