Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Dimension finie

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Dimension finie
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Chapitre no 6
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Espaces de Banach - Complétude
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Dimension finie
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Espaces vectoriels normés/Dimension finie
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Dans ce chapitre, nous verrons comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :

  • les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
  • les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sont automatiquement continues.

Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).

Wikipédia possède un article à propos de « Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie ».

Équivalence des normes et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme
Fin du lemme


Remarque
En particulier sur un -espace vectoriel E de dimension finie m, toutes les normes sont équivalentes, puisque E est alors un -espace vectoriel de dimension finie 2m.



Remarque
On peut démontrer les deux propositions ci-dessus sans faire appel à la notion de compacité :
Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude.



Compacité et dimension finie[modifier | modifier le wikicode]

Réciproquement :

Début d’un théorème
Fin du théorème