Espace euclidien/Produit scalaire

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Nous allons commencer par introduire quelques notions qui généralisent la notion de produit scalaire dans le plan ou dans l'espace vue aux niveaux 11 et 12.

Produit scalaire

Une application $\langle \cdot |\cdot \rangle$ définie sur $E\times E$ est appelée un produit scalaire sur $E$ si c’est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E :

• forme : $\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle \in \mathbb {R}$ ;
• symétrique : $\forall x,y\in E\quad \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle$ ;
• bilinéaire : linéaire par rapport à ses deux variables, ce qui équivaut, compte tenu de la symétrie, à la linéarité par rapport à la seconde variable

  $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \forall x,y,z\in E\quad \langle x|\lambda y+z\rangle =\langle x|z\rangle +\lambda \langle x|y\rangle$ ;

• définie positive : $\forall x\in E\quad x\neq 0\Rightarrow \langle x|x\rangle >0$.

Espace euclidien

On appelle espace euclidien un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Remarque de niveau 15 : En d'autres termes, un espace préhilbertien réel E est dit euclidien lorsqu’il est de dimension finie.

Norme euclidienne

On appelle norme induite par le produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ l’application $x\mapsto \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

Plus généralement, on dit qu’une norme est euclidienne si elle est induite par un produit scalaire.

Remarque de niveau 15 : En dimension finie, la norme préhilbertienne devient la norme euclidienne.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Dans un espace euclidien, on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\forall (x,y)\in E^{2},~|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$.

On a égalité (si et) seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

La parenthèse « (si et) » est facile à vérifier, et dans le cas $x=0$, l'énoncé tout entier est immédiat.

Supposons maintenant $x\neq 0$ donc $\|x\|\neq 0$ et posons

$\lambda :={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|^{2}}}\quad {\text{puis}}\quad \mu :=\|\lambda x-y\|^{2}\quad {\text{(donc }}\mu \geq 0$).

En développant (par définition de la norme et par bilinéarité et symétrie du produit scalaire), on obtient :

${\begin{aligned}\mu &=\lambda ^{2}\|x\|^{2}-2\lambda \langle x|y\rangle +\|y\|^{2}\\&={\frac {{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}-2{\frac {{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}+\|y\|^{2}\\&={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}.\end{aligned}}$

Puisque $\mu \geq 0$, on a donc $\|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq {\langle x,y\rangle }^{2}$, ou encore : $\|x\|\,\|y\|\geq |\langle x,y\rangle |$.

Enfin,

$\|x\|\,\|y\|=|\langle x,y\rangle |\Rightarrow \mu =0\Rightarrow \|\lambda x-y\|=0\Rightarrow y=\lambda x$.

 

Début de l'exemple

Exemple : produit scalaire et norme dans Rⁿ

$E=\mathbb {R} ^{n}$ muni du produit scalaire usuel $\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$.

• La norme associée est la norme euclidienne : $\forall x\in E\quad \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$
• L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (x,y)\in E^{2},~\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$

Fin de l'exemple

Remarque de niveau 15 : l'inégalité de Cauchy-Schwarz est en fait valide (avec la même démonstration) dans tout espace préhibertien, de dimension non nécessairement finie.

Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $\langle x|y\rangle =0$.