Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Équations différentielles

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Équations différentielles
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Chapitre no 6
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Recherches d'extrema
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Équations différentielles linéaires
Exercices :Équations différentielles non linéaires
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Calcul différentiel/Équations différentielles
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Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équation différentielle ».

Soit E un espace vectoriel normé. Une équation différentielle (E.D.) d'ordre n à valeurs dans E sous « forme implicite » est une équation de la forme

où l'inconnue est une fonction (de la variable réelle) à valeurs dans E et la donnée F est une fonction continue sur un ouvert de ℝ × En+1.

En restreignant cet ouvert, on met l'équation sous « forme résolue » :

.

Elle est dite linéaire si de plus, est de la forme où, pour tout , l'application (continue) est linéaire.

Par ailleurs, on peut transformer une E.D. d'ordre n sous forme implicite (resp. résolue, resp. linéaire) à valeurs dans E en une E.D. d'ordre 1 sous forme implicite (resp. résolue, resp. linéaire) à valeurs dans En, en posant .




Théorème de Cauchy-Lipschitz local[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Cauchy-Lipschitz ».
Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque
L'application étant supposée localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable, il suffit, pour qu'elle soit continue, qu'elle le soit par rapport à sa première variable : c'est un exercice de topologie générale.

Solution maximale[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Théorème de Cauchy-Lipschitz global[modifier | modifier le wikicode]

On suppose ici que l'ouvert est de la forme , où est un intervalle ouvert de . Toute solution globale (c'est-à-dire définie sur tout entier) de est évidemment maximale, mais la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple de l'équation . Divers théorèmes « d'échappement » ou « d'explosion », parfois joints au lemme de Grönwall, donnent des conditions suffisantes pour une telle réciproque, mais l'énoncé suivant, qui nous suffira par exemple dans la théorie des équations différentielles linéaires, se démontre directement :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dépendance des conditions initiales[modifier | modifier le wikicode]

Dans toute cette section, on reprend les hypothèses plus générales des sections « Théorème de Cauchy-Lipschitz local » et « Solution maximale » :

est un espace de Banach, un ouvert de et une fonction continue et (au moins) localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable.
Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque
Par rapport à sa première variable, le flot est de classe Cp+1 dès que est de classe Cp.
Début d'un lemme


Fin du lemme


Remarque sur les équations à paramètre
(Cette remarque sera utile pour le théorème de régularité locale ci-dessous)
Si est un espace topologique, un ouvert de et une application continue et localement lipschitzienne par rapport à sa dernière variable, on démontre exactement de la même façon que pour tout , le flot correspondant est défini et continu au voisinage de .

Lorsque est un peu plus régulière, on obtient pour le flot un théorème de régularité locale puis, un corollaire global s'en déduit exactement de la même façon que le théorème de continuité ci-dessus se déduisait du lemme. Plus précisément :

Début d’un théorème


Fin du théorème





Équations différentielles linéaires[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équation différentielle linéaire ».

D'après ce qui précède, on peut se contenter d'étudier les E.D. linéaires d'ordre 1, et l'on a :




L'ensemble de ses solutions est donc .

Sous les mêmes hypothèses, on peut alors énoncer :



Pour chaque réel , on a un isomorphisme , et donc un isomorphisme réciproque. Par composition, on peut donc définir une application à valeurs dans le groupe des éléments bijectifs de  :





En particulier, est la solution du problème de Cauchy (à valeurs dans ) .