Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires

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Équations différentielles linéaires
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Exercices no4
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Équations différentielles

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Recherches d'extrema
Exo suiv. :Équations différentielles non linéaires
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Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires
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désignera un intervalle réel et un ouvert de .

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient fonctions continues .

  1. Mettre l'équation différentielle sous la forme d'un système d'ordre .
  2. Lorsque les fonctions sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un entier et un réel . Montrer que l'équation différentielle

admet comme solutions particulières non nulles, sur  :

  1. une fonction de la forme , pour un réel à déterminer ;
  2. un polynôme dont on précisera le degré.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux fonctions continues -périodiques. On s'intéresse aux solutions de

.

Montrer que :

  1. si est solution, aussi ;
  2. une solution est -périodique si (et seulement si)  ;
  3. toute solution vérifie : .
    Que peut-on en conclure ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient une fonction de classe Ck et un réel tel que et . Montrer que est un zéro isolé de .
  2. Soient fonctions continues et une solution non identiquement nulle de
    .
    Montrer que les éventuels zéros de sont isolés.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

est une fonction continue. Montrer que :

  1. la fonction est une solution de . En déduire la solution générale de  ;
  2. si alors toutes les solutions de sont des fonctions bornées. En est-il de même si est seulement bornée sur  ?

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient , avec . Montrer que si alors .
  2. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle
    ,
    et sont des constantes réelles ?

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient fixé et une fonction de classe C1 sur . Montrer que l'unique fonction de classe C1 sur vérifiant :

est :

.