Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires

$I$ désignera un intervalle réel et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$.

Exercice 1

Soient $n$ fonctions continues $a_{0},\dots ,a_{n-1}:I\to \mathbb {R}$.

1. Mettre l'équation différentielle $y^{(n)}=a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y$ sous la forme d'un système d'ordre $1$.
2. Lorsque les fonctions $a_{j}$ sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.

Solution

1. On applique le procédé général (valable pour toute E.D. d'ordre n, même non linéaire ni sous forme résolue), en posant
   $Y={\begin{pmatrix}y^{(n-1)}\\\vdots \\y'\\y\end{pmatrix}}$.
   L'équation devient, pour une E.D. linéaire sous forme résolue comme ici : $Y'=AX$, avec
   $A={\begin{pmatrix}a_{n-1}&a_{n-2}&\dots &a_{1}&a_{0}\\1&0&\dots &0&0\\0&1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&0\end{pmatrix}}$.
2. Si les fonctions $a_{j}$ sont des constantes, $A$ est la matrice compagnon de son polynôme caractéristique, $P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_{1}X-a_{0}$ (au signe près et à transposition près de la matrice, selon les auteurs). Plus précisément :
   $\det \left(X\mathrm {I} _{n}-A\right)=\left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&-a_{0}\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&X\end{matrix}}\right|=$
   en ajoutant à la dernière colonne $C_{n}$ la combinaison linéaire $\sum _{k=1}^{n-1}X^{n-k}C_{k}$ des colonnes précédentes, puis en développant suivant cette dernière colonne :
   $\left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&P(X)\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&0\end{matrix}}\right|=(-1)^{n-1}P(X)\left|{\begin{matrix}-1&X&\dots &0\\0&-1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1\end{matrix}}\right|=P(X)$.
   Pour l'utilité de ce résultat, voir « Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants » sur Wikipédia.

 

Exercice 2

Soient un entier $N\geq 2$ et un réel $C$. Montrer que l'équation différentielle

$x\left(x+C\right)y''+CNy'-N\left(N-1\right)y=0$

admet comme solutions particulières non nulles, sur $\left]0,+\infty \right[$ :

1. une fonction de la forme $x\mapsto x^{\alpha }$, pour un réel $\alpha$ à déterminer ;
2. un polynôme dont on précisera le degré.

Solution

Cette équation différentielle s'écrit aussi $x^{2}y''-N\left(N-1\right)y+C(xy''+Ny')=0$.

1. Si $y=x^{\alpha }$ alors $xy'=\alpha y$ et $xy''=\left(\alpha -1\right)y'$ donc
   $x\left(x+C\right)y''+CNy'-N\left(N-1\right)y=\left[(\alpha -1)\alpha -N\left(N-1\right)\right]y+C(\alpha -1+N)y'=0$ si $\alpha =-N+1$.
2. Pour $y(x)=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}$ avec $a_{d}\neq 0$, l'équation différentielle se traduit par :
   • $d\left(d-1\right)=N\left(N-1\right)$
   • $\forall n<d\quad a_{n}\left[n\left(n-1\right)-N\left(N-1\right)\right]+Ca_{n+1}\left(n+1\right)\left(n+N\right)=0$

   c'est-à-dire : $d=N$ et $a_{d-1},\dots ,a_{0}$ déterminés de proche en proche en fonction de $a_{d}$. Il existe donc une solution polynomiale de degré $N$.

 

Exercice 3

Soient $a,b:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ deux fonctions continues $T$-périodiques. On s'intéresse aux solutions de

$y'+ay+b=0$.

Montrer que :

1. si $y$ est solution, $t\mapsto y\left(t+T\right)$ aussi ;
2. une solution $y$ est $T$-périodique si (et seulement si) $y\left(T\right)=y\left(0\right)$ ;
3. toute solution $y$ vérifie : $y\left(T\right)=$$y\left(0\right)\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t$.
   Que peut-on en conclure ?

Solution

1. Soit $y$ une solution ; posons $z\left(t\right)=y\left(t+T\right)$. Alors, $z'\left(t\right)=y'\left(t+T\right)=-a\left(t+T\right)y\left(t+T\right)+b\left(t+T\right)=-a\left(t\right)z\left(t\right)-b\left(t\right)$.
2. Soit $y$ une solution vérifiant $y\left(T\right)=y\left(0\right)$. Alors, la solution $z$ de la question précédente coïncide avec $y$ en $0$ donc partout, d'après l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz (qui s'applique ici car la fonction $\left(t,x\right)\mapsto -a\left(t\right)x-b\left(t\right)$ est bien continue, et localement lipschitzienne par rapport à $x$).
3. Revoir « Équation différentielle linéaire du premier ordre » (niveau 13).
   Si $\Phi \left(t\right)=\int _{0}^{t}a(s)\ \mathrm {d} s$ (la primitive de $a$ qui s'annule en $0$),
   $y\left(T\right)=\mathrm {e} ^{-\Phi \left(T\right)}\left(y\left(0\right)-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{\Phi \left(t\right)}\,\mathrm {d} t\right)$, ce qui est bien la formule annoncée.
   On en déduit les équivalences suivantes :
   $y$ est $T$-périodique $\Leftrightarrow$$y\left(0\right)\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t=y\left(0\right)$$\Leftrightarrow$$\left(\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-1\right)y\left(0\right)=\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t$.

 

Exercice 4

1. Soient $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction de classe C^k et $a$ un réel tel que $f\left(a\right)=0$ et $f^{\left(k\right)}\left(a\right)\neq 0$. Montrer que $a$ est un zéro isolé de $f$.
2. Soient $n$ fonctions continues $a_{0},\dots ,a_{n-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ et $y$ une solution non identiquement nulle de
   $y^{\left(n\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}y^{\left(j\right)}$.
   Montrer que les éventuels zéros de $y$ sont isolés.

Solution

1. S'il existait une suite de zéros de $f$ distincts de $a$ et convergeant vers $a$, on en déduirait, en appliquant le théorème de Rolle successivement à $f,f',\dots ,f^{\left(k-1\right)}$, une suite de zéros de $f^{\left(k\right)}$ convergeant vers $a$, ce qui (par continuité de $f^{\left(k\right)}$) contredirait l'hypothèse $f^{\left(k\right)}\left(a\right)\neq 0$.
2. Si $a$ est un zéro non isolé d'une solution $y$, on en déduit, par le même raisonnement que dans la question précédente, que c'est aussi un zéro de $y^{\left(k\right)}$ pour tout $k$ de $1$ à $n-1$. Les $n$ valeurs au point $a$ de $y,y',\dots ,y^{\left(n-1\right)}$ déterminent entièrement la solution de l'équation différentielle et coïncident avec celles de la solution nulle, donc $y=0$.

 

Exercice 5

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

$\left({\mathcal {E}}\right)\quad y''+y=f$

où $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est une fonction continue. Montrer que :

1. la fonction $x\mapsto \int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ est une solution de $\left({\mathcal {E}}\right)$. En déduire la solution générale de $\left({\mathcal {E}}\right)$ ;
2. si $\forall t\in \mathbb {R} \quad \left|f\left(t\right)\right|\leq {\frac {1}{1+t^{2}}}$ alors toutes les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont des fonctions bornées. En est-il de même si $f$ est seulement bornée sur $\mathbb {R}$ ?

Solution

1. Soit $g\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$. Alors, $g'\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\cos \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ et $g''\left(x\right)=f\left(x\right)-\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ donc $g''+g=f$. Dès lors, les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont :
   $y=g+\lambda \cos +\mu \sin \quad \left(\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \right)$.
2. D'après la question précédente, les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont bornées si et seulement si $g$ l'est.
   Si $\left|f\left(t\right)\right|\leq {\frac {1}{1+t^{2}}}$ alors $\left|g\left(x\right)\right|\leq \left|\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}\ \mathrm {d} t\right|=\left|\arctan x\right|\leq {\frac {\pi }{2}}$.
   En revanche, si par exemple $f=\sin$ (bornée) alors $g\left(x\right)={\frac {\sin x-x\cos x}{2}}$ (non bornée).

 

Exercice 6

1. Soient $\omega _{1},\omega _{2},\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C}$, avec $\omega _{1}\neq \omega _{2}$. Montrer que si $\lim _{t\to \pm \infty }{\alpha _{1}\mathrm {e} ^{\omega _{1}t}+\alpha _{2}\mathrm {e} ^{\omega _{2}t}}=0$ alors $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$.
2. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle
   $y''+ay'+by=0$,
   où $a$ et $b$ sont des constantes réelles ?

Solution

1. Soit $\omega =\omega _{1}-\omega _{2}$. En supposant par exemple $\alpha _{1}\neq 0$, l'hypothèse peut se mettre sous la forme $\lim _{t\to \pm \infty }{\mathrm {e} ^{\omega t}}=\beta$, ce qui n'est possible que si $\omega =0$.
2. Si $a^{2}-4b\neq 0$, la seule solution $y$ vérifiant $\lim _{\pm \infty }y=0$ est la fonction nulle.

 

Exercice 7

Calculer la résolvante $R(t,t_{0})$ du système suivant.

${{\rm {d}}x \over {\rm {d}}t}=3x,\quad {{\rm {d}}y \over {\rm {d}}t}=2y+z,\quad {{\rm {d}}z \over {\rm {d}}t}=2z$.

Avant de présenter les calculs, on indiquera la méthode que l'on entend suivre (il y en a plusieurs).

Solution

Résolvons le système, puis déduisons-en $R(t,t_{0})$ comme la matrice telle que pour toute solution $X=(x,y,z)$, $X(t)=R(t,t_{0})X(t_{0})$.

$x'=3x\Longleftrightarrow x=a{\rm {e}}^{3t}$, $z'=2z\Longleftrightarrow z=c{\rm {e}}^{2t}$ et $y'=2y+c{\rm {e}}^{2t}\Longleftrightarrow y=(ct+b){\rm {e}}^{2t}$ (avec $a,b,c\in {\mathbb {R}}$ quelconques).

Donc $X(t)=S(t){\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ avec $S(t)={\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{3t}&0&0\\0&{\rm {e}}^{2t}&t{\rm {e}}^{2t}\\0&0&{\rm {e}}^{2t}\end{pmatrix}}$

$R(t,t_{0})=S(t)S(t_{0})^{-1}={\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{3(t-t_{0})}&0&0\\0&{\rm {e}}^{2(t-t_{0})}&(t-t_{0}){\rm {e}}^{2(t-t_{0})}\\0&0&{\rm {e}}^{2(t-t_{0})}\end{pmatrix}}$.

(On peut éviter le calcul de $S(t)S(t_{0})^{-1}$ en remarquant que $X(0)=(a,b,c)$ donc $S(t)=R(t,0)={\rm {exp}}(tA)$, d'où $R(t,t_{0})={\rm {exp}}((t-t_{0})A)=S(t-t_{0})$).

Une autre méthode serait de calculer l'exponentielle de la matrice $(t-t_{0})A$, où $A={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$.