Série entière/Fonction exponentielle

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Développement en série entière de la fonction exponentielle

En appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir la fonction exponentielle $\exp$ ou encore $z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ comme la somme d'une série entière. En effet, l'exponentielle est la solution de l'équation différentielle $y'=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$.

Début d’un théorème

Théorème

L'unique solution analytique de $f'=f,\quad f(0)=1$ est la série entière $\exp(z):=\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$. Son rayon de convergence est infini.

Fin du théorème

'Démonstration'

• Unicité. Soit $f$ somme d'une série entière de rayon de convergence R > 0 :
  $\forall z\in D(0,R)\quad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$.
  Alors, $f(0)=a_{0}$ et la dérivée est donnée par :
  $f'(z)=\sum _{n=1}^{+\infty }na_{n}z^{n-1}$.
  Par unicité des coefficients dans le développement en série entière, $f'=f$ si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=(n+1)a_{n+1}$, ce qui, par une récurrence immédiate, équivaut à $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {a_{0}}{n!}}$.
  La fonction $f$ est donc solution de $f'=f,\quad f(0)=1$ si et seulement si :
  $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {1}{n!}}$.
• Existence. D'après la règle de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$ est infini.