Série entière/Fonction exponentielle
Aller à la navigation
Aller à la recherche
Développement en série entière de la fonction exponentielle[modifier | modifier le wikicode]
En appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir la fonction exponentielle ou encore comme la somme d'une série entière. En effet, l'exponentielle est la solution de l'équation différentielle avec la condition initiale .
Théorème
L'unique solution analytique de est la série entière . Son rayon de convergence est infini.
Démonstration
- Unicité. Soit somme d'une série entière de rayon de convergence R > 0 :
.
Alors, et la dérivée est donnée par :
.
Par unicité des coefficients dans le développement en série entière, si et seulement si , ce qui, par une récurrence immédiate, équivaut à .
La fonction est donc solution de si et seulement si :
. - Existence. D'après la règle de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière est infini.