Calcul différentiel/Sous-variétés de Rn

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Soient $E\simeq F\oplus G$ avec $E={\mathbb {R}}^{n},F={\mathbb {R}}^{d},G={\mathbb {R}}^{n-d}$, $M\subset E$ et k ≥ 1.

Début d’un théorème

Théorème-définition

On dit que $M$ est une sous-variété de ℝⁿ de classe C^k et de dimension $d$ (donc de codimension $n-d$) si pour tout $m\in M$, $M$ est, au point $m$, une sous-variété de ℝⁿ de classe C^k et de dimension $d$, c'est-à-dire si l'une des 4 conditions (équivalentes) suivantes est satisfaite.

1. (Difféo local) Il existe un voisinage $U$ de $m$ dans $E$, un voisinage $V$ d'un point $m'$ dans $E$, et une application C^k, $\varphi :U\to V$ (ou : $\Phi :V\to U$), telle que
   • $\varphi (m)=m'$ et $D\varphi (m)\in {\rm {Isom}}(E,E)$ (ou : $\Phi (m')=m$ et $D\Phi (m')\in {\rm {Isom}}(E,E)$) ;
   • $\varphi (U\cap M)=V\cap (m'+F)$ (ou : $U\cap M=\Phi (V\cap (m'+F))$).
2. (Submersion) Il existe un voisinage $U$ de $m$ dans $E$ et une application C^k, $g=(g_{d+1},\ldots ,g_{n}):U\to G$, telle que
   • $Dg(m):E\to G$ est surjective (ou : $Dg_{d+1}(m),\ldots ,Dg_{n}(m)$ sont linéairement indépendantes dans ${\cal {L}}(E,{\mathbb {R}})$) ;
   • en posant $c=(c_{d+1},\ldots ,c_{n})=g(m)$, on a
     $U\cap M=g^{-1}(\{c\})\ (=\{x\in U\mid g_{d+1}(x)=c_{d+1},\ldots ,g_{n}(x)=c_{n}\})$.
3. (Graphe) Pour une certaine décomposition de $E$ sous la forme $F\oplus G$, il existe un voisinage $U$ de $m=(m_{1},m_{2})$ dans $E=F\oplus G$, un voisinage $U_{1}$ de $m_{1}$ dans $F$, et une application C^k, $h:U_{1}\to G$, telle que
   $U\cap M=\{(x_{1},h(x_{1}))\mid x_{1}\in U_{1}\}$.
4. (Immersion) Il existe un voisinage $U$ de $m$ dans $E$, un voisinage $V_{1}$ d'un point $m'_{1}$ dans $F$, et une application C^k, $\Psi :V_{1}\to U$ telle que
   • $\Psi (m'_{1})=m$ et $D\Psi (m'_{1}):F\to E$ est injective ;
   • $U\cap M=\Psi (V_{1})$.

(Variantes : 1bis : $m'=0$ ; 2bis : $c=0$ ; 4bis : $m'_{1}=0$).

Fin du théorème

En fait tout ceci resterait vrai pour des espaces de Banach de dimension infinie, à condition de remplacer, dans la condition (2), « surjective » par « admet un inverse à droite dans ${\cal {L}}(G,E)$ », et dans la condition (4), « injective » par « admet un inverse à gauche dans ${\cal {L}}(E,F)$ ».

Preuve des équivalences

• $1)\Rightarrow 2)$ en posant $g=\pi \circ \varphi$, où $\pi :E=F\oplus G\to G$ est la projection naturelle.
• $2)\Rightarrow 3)$ en choisissant une décomposition $E\simeq F\oplus G$ de telle sorte que $D_{2}g(m)\in {\rm {Isom}}(G,G)$, puis en appliquant le théorème des fonctions implicites à l'équation $g(x_{1},h(x_{1}))=c$ avec $h(m_{1})=m_{2}$.
• $3)\Rightarrow 4)$ en posant $\Psi (x_{1})=(x_{1},h(x_{1}))$.
• $4)\Rightarrow 1)$ en choisissant une décomposition $E\simeq F\oplus G$ de telle sorte que $\Psi =(\Psi _{1},\Psi _{2}):F\to F\oplus G$ vérifie $D\Psi _{1}(m'_{1})\in {\rm {Isom}}(F,F)$, puis en posant $\Phi (x_{1},x_{2})=\Psi (x_{1})+x_{2}$.

 

Espace tangent

$T_{m}M:=\{\gamma '(0)\mid \exists I{\text{ voisinage de }}0{\text{ dans }}{\mathbb {R}},\exists \gamma :I\to M{\text{ dérivable en }}0,\gamma (0)=m\}$.

Proposition

Si les conditions précédentes (1,2,3 ou 4) sont vérifiées alors :

1. $T_{m}M=D\Phi (m').F=(D\varphi (m))^{-1}.F$ ;
2. $T_{m}M={\rm {Ker}}(Dg(m))=\cap _{i=d+1}^{n}{\rm {Ker}}(Dg_{i}(m))$ ;
3. $T_{m}M=\{(h_{1},Dh(m_{1}).h_{1})\mid h_{1}\in F\}$ ;
4. $T_{m}M=D\Psi (m'_{1}).F={\rm {Im}}(D\Psi (m'_{1}))$.

Donc si $M$ est une sous-variété en $m$ alors $T_{m}M$ est un sous-espace vectoriel (de $E$) isomorphe à $F$, et on l'appelle l'espace vectoriel tangent à $M$ en $m$ (par opposition à l'espace affine tangent, qui est $m+T_{m}M$).