Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces métriques

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Espaces métriques
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Exercices no3
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace métrique

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Espaces topologiques
Exo suiv. :Espaces complets
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Topologie générale/Exercices/Espaces métriques
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Exercice 1 : espace ultramétrique[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace ultramétrique, c'est-à-dire un espace métrique tel que

.

Montrer que :

  1. si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun alors l'une contient l'autre ;
  2. tout point d'une boule en est un centre ;
  3. toute boule fermée est ouverte ;
  4. toute boule ouverte est fermée ;
  5. tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux ;
  6. une suite est de Cauchy si (et seulement si) .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace topologique, un espace métrique, un ouvert de et une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que est continue.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux espaces métriques, une application de dans et un point de .

Montrer que est continue au point si et seulement s'il existe une application telle que

(pour tout ) et .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace métrique et une partie non vide de . Pour tout , on pose

.
  1. Dans muni de la distance usuelle, quelle est la distance de à  ?
  2. Dans muni d'une distance associée à une norme, montrer que pour tout , il existe tel que .
  3. On revient à un espace métrique quelconque. Montrer qu'on a encore : si et seulement si .
  4. Montrer que l'application est -lipschitzienne.
  5. En déduire que si est un fermé de et un compact de tels que et sont disjoints, alors il existe une constante telle que .
  6. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si l'on suppose seulement que et sont deux fermés disjoints.