Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces métriques

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Espaces métriques
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Exercices no3
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace métrique

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Espaces topologiques
Exo suiv. :Espaces complets
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Topologie générale/Exercices/Espaces métriques
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Exercice 1 : Espace ultramétrique[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace ultramétrique, c'est-à-dire un espace métrique tel que

.

Montrer que :

  1. si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun alors l'une contient l'autre ;
  2. tout point d'une boule en est un centre ;
  3. toute boule fermée est ouverte ;
  4. toute boule ouverte est fermée ;
  5. tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux ;
  6. une suite est de Cauchy si (et seulement si) .


Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace topologique, un espace métrique, un ouvert de et une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que est continue.