Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires

$I$ désignera un intervalle réel et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$.

Exercice 1

Soit $f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$. On suppose que l'intervalle $I$ est compact et que pour tout $x\in \Omega$, l'application $I\to \mathbb {R} ^{n},\ t\mapsto f(t,x)$ est bornée (ce qui est le cas si elle est continue). Montrer l'équivalence entre :

1. $f$ est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable ;
2. $\forall x_{0}\in \Omega \quad \exists \varepsilon >0\quad \exists M\in \mathbb {R} \quad \forall t\in I\quad \forall x,y\in B\left(x_{0},\varepsilon \right)\quad \left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq M\left\|x-y\right\|$ ;
3. $\forall K{\text{ compact }}\subset \Omega \quad \exists M\in \mathbb {R} \quad \forall t\in I\quad \forall x,y\in K\quad \left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq M\left\|x-y\right\|$.

Solution

On a clairement $3\Rightarrow 2\Rightarrow 1$. Montrons que $1\Rightarrow 3$. Soit $K{\text{ compact }}\subset \Omega$ et pour tout $(z,s)\in K\times I$, soient $\varepsilon _{z,s}>0$ et $M_{z,s}\in \mathbb {R}$ tels que
$\forall t\in I\quad \forall x,y\in K\quad |t-s|,\|x-z\|,\|y-z\|<\varepsilon _{z,s}\Rightarrow \left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq M_{z,s}\left\|x-y\right\|$.
Par compacité, $K\times I$ est recouvert par un nombre fini de boules $B_{i}:=\{(x,t)\mid |t-s_{i}|<\varepsilon _{i}{\text{ et }}\|x-z_{i}\|<\varepsilon _{i}/2\}$ avec $\varepsilon _{i}:=\varepsilon _{z_{i},s_{i}}$.

En prenant pour $M_{1}$ le plus grand des $M_{z_{i},s_{i}}$ et pour $\varepsilon$ le plus petit des $\varepsilon _{i}$, on a alors :

$\forall t\in I\quad \forall x,y\in K\quad \|x-y\|<\varepsilon /2\Rightarrow \left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq M_{1}\left\|x-y\right\|$.

Pour traiter aussi le cas $\|x-y\|\geq \varepsilon /2$, remarquons que si $(x,t)\in B_{i}$ et $(y,t)\in B_{j}$ alors :

$\left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq$

$\left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,z_{i}\right)\right\|+\left\|f\left(t,z_{i}\right)-f\left(t,z_{j}\right)\right\|+\left\|f\left(t,z_{j}\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq$

$M_{1}\varepsilon _{i}/2+\sup _{t\in I}\|f(t,z_{i})\|+\sup _{t\in I}\|f(t,z_{j})\|+M_{1}\varepsilon _{j}/2\leq$

$N:=M_{1}\max _{k}\varepsilon _{k}+2\max _{k}{\sup _{s\in I}\|f(s,z_{k})\|}$.

En posant $M_{2}:=2N/\varepsilon$, on a donc :

$\forall t\in I\quad \forall x,y\in K\quad \|x-y\|\geq \varepsilon /2\Rightarrow \left\|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right\|\leq N=M_{2}\varepsilon /2\leq M_{2}\left\|x-y\right\|$.

La propriété 3 est ainsi vérifiée, pour $M:=\max(M_{1},M_{2})$.

 

Exercice 2

Soient $E$ un espace de Banach, $U$ un ouvert de $\mathbb {R} \times E$, $f:U\to E$ une fonction localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, et $x:J=\left]a,b\right[\to E$ une solution maximale de l'équation différentielle $x'=f\left(t,x\right)$.

1. Montrer que si $b$ est fini et si $x'$ est bornée au voisinage de $b$, alors $x$ admet au point $b$ une limite $c$ et le couple $\left(b,c\right)$ appartient à la frontière de $U$.
2. En déduire que si $U=I\times \Omega$ et si $x(J)$ est inclus dans un compact de $\Omega$, alors $J=I$.

Solution

1. Si $x'$ est bornée sur un intervalle de la forme $\left[b-\varepsilon ,b\right[$ alors — d'après l'inégalité des accroissements finis — $x$ est lipschitzienne sur cet intervalle. D'après le critère de Cauchy pour une fonction, $x$ admet alors au point $b$ une limite $c$. Le couple $\left(b,c\right)$ est adhérent à l'ouvert $U$ mais ne lui appartient pas car sinon — d'après le théorème « limite de la dérivée » — $x$ serait prolongeable en une solution définie au point $b$, ce qui contredirait sa maximalité.
2. $J=\left]a,b\right[\subset I=\left]a',b'\right[$. Montrons par l'absurde que $b=b'$ (on montrerait de même que $a=a'$). Si $b<b'$ alors $b$ est fini. On peut donc appliquer la question précédente, en utilisant que $x$ est à valeurs dans un compact $K\subset \Omega$ et que sur le compact $\left[b-\varepsilon ,b\right]\times K$ (avec $\varepsilon >0$ assez petit pour que $b-\varepsilon >a'$), $f$ est continue donc bornée. On obtient alors un $c\in K\subset \Omega$ tel que $\left(b,c\right)\notin U=I\times \Omega$, ce qui est absurde puisque $b\in I$.

 

Exercice 3

Soient $V:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ une fonction continue, et $x:\left]0,+\infty \right[\to \Omega$ une solution de $x'=V\left(x\right)$ telle que $\lim _{t\to +\infty }x\left(t\right)=a\in \Omega$.

Montrer que $V\left(a\right)=0$.

Solution

Remarquons d'abord que

$\lim _{+\infty }x'=\lim _{+\infty }V\circ x=V\left(a\right)$.

Par ailleurs, d'après le théorème des accroissements finis, pour $k$ de $1$ à $n$ on a :

$\forall t\in \left]0,+\infty \right[\quad \exists s\in \left]t,t+1\right[$

$x_{k}\left(t+1\right)-x_{k}\left(t\right)=x_{k}'\left(s\right)$.

Par passage à la limite, on en déduit que les $n$ composantes de $V\left(a\right)$ sont nulles.

 

Exercice 4

Soit $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ de classe C¹ et bornée. Pour $x\in \mathbb {R} ^{n},$ on note $t\mapsto X^{t}\left(x\right)$ la solution de

${\dot {X}}=V\left(X\right),\quad X\left(0\right)=x$.

1. Montrer que cette solution est définie sur $\mathbb {R}$.
2. Montrer que $\forall t,s\in \mathbb {R} \quad X^{t}\circ X^{s}=X^{t+s}$.

Solution

1. Même argument que dans l'exercice 6 puisque, ici encore, ${\dot {X}}$ est bornée.
2. Fixons $s$ et $x$, et notons $y$ le vecteur $X^{s}\left(x\right)$ et $Y$ l'application $t\mapsto X^{t+s}\left(x\right)$. Alors, ${\dot {Y}}=V\left(Y\right)$ et $Y\left(0\right)=y$ donc
   $\forall t\in \mathbb {R} \quad Y\left(t\right)=X^{t}\left(y\right)$, c'est-à-dire $X^{t+s}\left(x\right)=X^{t}\left(X^{s}\left(x\right)\right)$.

 

Exercice 5

Soit $x$ une solution d'une équation différentielle $x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$. Démontrer que si $f$ est de classe C^p alors $x$ est de classe C^p+1.

Solution

Montrons, par récurrence sur k variant de 0 à p + 1, que $x^{\left(k\right)}$ est définie et continue. C'est immédiat pour k = 0 ($x$ est dérivable donc continue). Si c'est vrai pour un certain k ≤ p alors c'est encore vrai pour k + 1 car $x'$ est de classe C^k, comme composée de $f$ et de $t\mapsto \left(t,x\left(t\right)\right)$.

 

Exercice 6

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 3.

Soit $x_{0}\in \mathbb {R}$. On considère le problème de Cauchy $x'=\left|x\right|+\left|t\right|,\quad x\left(0\right)=x_{0}$.

1. Montrez qu'il existe une unique solution maximale $x$ et qu'elle est globale (c'est-à-dire définie sur $\mathbb {R}$).
2. Calculer la solution dans le cas $x_{0}=1$.
3. Étudier la régularité de cette solution.

Solution

1. L'application $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad \left(t,x\right)\mapsto \left|x\right|+\left|t\right|$ est continue et lipschitzienne par rapport à $x$ donc le théorème de Cauchy-Lipschitz global s'applique.
2. La solution $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est strictement croissante (puisque sa dérivée est $>0$). Soit $I$ le plus grand intervalle sur lequel elle reste $\geq 0$. Sur $I$, on a $x'=x+\left|t\right|$, donc (revoir « Équation différentielle linéaire du premier ordre ») : $x\left(t\right)=C\left(t\right)\mathrm {e} ^{t}$, avec $C\left(0\right)=1$ et $C'\left(t\right)=\left|t\right|\mathrm {e} ^{-t}$.
   Si $t\geq 0$, $C\left(t\right)=1+\int _{0}^{t}s\mathrm {e} ^{-s}\ \mathrm {d} s=2-\left(1+t\right)\mathrm {e} ^{-t}$ donc $x\left(t\right)=2\mathrm {e} ^{t}-\left(1+t\right)$.
   Si $t\in I$ et $t\leq 0$, $C\left(t\right)=1-\int _{0}^{t}s\mathrm {e} ^{-s}\ \mathrm {d} s=\left(1+t\right)\mathrm {e} ^{-t}$ donc $x\left(t\right)=1+t$, qui s'annule en $-1$ donc $I=\left[-1,+\infty \right[$.
   Sur $\left]-\infty ,-1\right]$, $x'=-x-t$ donc $x\left(t\right)=C\left(t\right)\mathrm {e} ^{-t}$ avec $C\left(-1\right)=0$ et $C'\left(t\right)=-t\mathrm {e} ^{t}$, donc $C\left(t\right)=\int _{-1}^{t}-s\mathrm {e} ^{s}\ \mathrm {d} s=\left(1-t\right)\mathrm {e} ^{t}-2\mathrm {e} ^{-1}$ et $x\left(t\right)=1-t-2\mathrm {e} ^{-1-t}$.
3. Cette solution est au moins de classe C¹ (cf. exercice précédent). Ailleurs qu'en $-1$ et $0$, elle est manifestement de classe C^∞.
   La restriction $f$ de $x$ à $\left]-\infty ,-1\right]$ vérifie $f'=-f-t$ donc $f''=-f'-1=f+t-1$, en particulier $x''_{g}\left(-1\right)=0-1-1=-2$.
   La restriction $g$ de $x$ à $\left[-1,0\right]$ vérifie $g''=\left(1+t\right)''=0$, en particulier $x''_{d}\left(-1\right)=x''_{g}\left(0\right)=0$.
   La restriction $h$ de $x$ à $\left[0,+\infty \right[$ vérifie $h'=h+t$ donc $h''=h'+1=h+t+1$, en particulier $x''_{d}\left(0\right)=1+0+1=2$.
   Aux points $-1$ et $0$, $x$ n'est donc pas deux fois dérivable.

 

Exercice 7

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 4.

Soit $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ donnée par : $f\left(t,x\right)={\frac {4t^{3}x}{t^{4}+x^{2}}}$ si $\left(t,x\right)\neq \left(0,0\right)$ et $f\left(0,0\right)=0$. On s'intéresse à l'équation différentielle $x'=f\left(t,x\right)$.

1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local s'applique-t-il ?
2. Soit $x$ une solution sur un intervalle ne contenant pas $0$. On pose $y\left(t\right)=t^{-2}x\left(t\right)$. Traduire l'équation différentielle sur $x$ par une équation différentielle sur $y$ et résoudre cette dernière.
3. Que peut-on en déduire sur l'existence et l'unicité des solutions $x$ du problème de Cauchy $x'=f\left(t,x\right),\quad x\left(0\right)=0$ ?

Solution

1. Ailleurs qu'en $\left(0,0\right)$, $f$ est C^∞. En $\left(0,0\right)$, elle est continue car $\left|f\left(t,x\right)\right|\leq 2\left|t\right|$, d'après l'inégalité $2\left|uv\right|\leq u^{2}+v^{2}$, appliquée à $u=t^{2}$ et $v=x$. Mais elle n'est lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur aucun voisinage de $\left(0,0\right)$ car ${\frac {\partial f}{\partial x}}\left(t,x\right)={\frac {4t^{3}\left(t^{4}-x^{2}\right)}{\left(t^{4}+x^{2}\right)^{2}}}$ équivaut, quand $\left(t,x\right)\to \left(0,0\right)$ avec $x^{2}\ll t^{4}$ (par exemple $x=t^{3}$) à ${\frac {4}{t}}$, non borné. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local ne s'applique donc pas.
2. $2ty+t^{2}y'={\frac {4t^{5}y}{t^{4}+t^{4}y^{2}}}\Leftrightarrow 2y+ty'={\frac {4y}{1+y^{2}}}\Leftrightarrow$
   ${\frac {2}{t}}={\frac {y'\left(1+y^{2}\right)}{y\left(1-y^{2}\right)}}={\frac {y'}{y}}-{\frac {y'}{y-1}}-{\frac {y'}{y+1}}$
   $\Leftrightarrow ct^{2}={\frac {y}{y^{2}-1}}\Leftrightarrow y={\frac {1\pm {\sqrt {1+4c^{2}t^{4}}}}{2ct^{2}}}$ avec $c\neq 0$, ou $y=0$.
3. $x={\frac {1\pm {\sqrt {1+4c^{2}t^{4}}}}{2c}}$ a pour limite $0$ en $0$ lorsque dans $\pm$ on choisit $-$. Chaque valeur de $c\neq 0$ fournit alors une solution autre que la solution évidente $x=0$. De plus, on peut recoller l'une de ces solutions à droite de $0$ avec n'importe quelle autre à gauche.

 

Exercice 8

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7.22

Soient $u,v:I\to E$ deux solutions de l'équation différentielle $x'=f\left(t,x\right)$. On suppose que $f$ est $k$-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de $u$ et $v$. Démontrer que $\forall s,t\in I\quad \left\|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right\|\leq \left\|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right\|\mathrm {e} ^{k\left|s-t\right|}$.

On utilisera le lemme suivant, qui est un exercice sur les propriétés de l'intégrale :

pour tous $s,k\geq 0$ et $c\in \mathbb {R}$, si une fonction continue $g:\left[0,s\right]\to \mathbb {R}$ vérifie $\forall r\in \left[0,s\right]\quad g\left(r\right)\leq k\int _{0}^{r}\left(c+g\left(h\right)\right)\ \mathrm {d} h$, alors $g\left(s\right)\leq c\left(\mathrm {e} ^{ks}-1\right)$.

Solution

Notons $w:=u-v$ et supposons, sans perte de généralité, $t=0$ et $s>0$. Il s'agit alors de démontrer que $\left\|w\left(s\right)\right\|\leq \left\|w\left(0\right)\right\|\mathrm {e} ^{ks}$.

Par hypothèse, $\left\|w'\right\|\leq k\left\|w\right\|$ donc (d'après l'inégalité des accroissements finis)

$\forall r\in \left[0,s\right]\quad g(r):=\left\|w\left(r\right)-w\left(0\right)\right\|\leq k\int _{0}^{r}\left\|w\left(h\right)\right\|\ \mathrm {d} h\leq k\int _{0}^{r}\left(\left\|w\left(0\right)\right\|+g\left(h\right)\right)\ \mathrm {d} h$.

Grâce au lemme, on en déduit :

$\left\|w\left(s\right)\right\|\leq g\left(s\right)+\left\|w\left(0\right)\right\|\leq \left\|w\left(0\right)\right\|\left(\mathrm {e} ^{ks}-1\right)+\left\|w\left(0\right)\right\|=\left\|w\left(0\right)\right\|\mathrm {e} ^{ks}$.

 

Exercice 9

On considère le problème de Cauchy

$u'\left(t\right)=\sin u\left(t\right),\quad u\left(0\right)=x_{0}$.

1. Montrer que la solution maximale est unique et globale.
2. Pour quelles valeurs de $x_{0}$ est-elle constante ?
3. Soit $x_{0}\in \left]0,\pi \right[$. Déterminer le comportement (monotonie ? limites ?) de la solution maximale du problème de Cauchy.
4. Étudier de même le problème de Cauchy $v'\left(t\right)=\cos v\left(t\right),\;v\left(0\right)=x_{0}$.

Solution

1. $\left|\sin '\right|=\left|\cos \right|\leq 1$ donc $\sin$ est $1$-lipschitzienne, de sorte que le théorème de Cauchy-Lipschitz global s'applique.
2. Pour $x_{0}\in \mathbb {Z} \pi$.
3. Puisque les courbes intégrales ne se coupent pas, la solution $u$ reste dans $\left]0,\pi \right[$ donc $u'=\sin u>0$ donc $u$ est strictement croissante. Par conséquent (cf. exercice 3 ci-dessus) $\lim _{-\infty }u=0$ et $\lim _{+\infty }u=\pi$ (pour une résolution complète, voir l'exercice 29 de cette feuille).
4. De même, $\cos$ est $1$-lipschitzienne donc la solution maximale est unique et globale. Elle est constante pour $x_{0}\in {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$. Si $x_{0}\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, la solution reste dans cet intervalle donc $v'>0$ donc $v$ est strictement croissante donc $\lim _{-\infty }v=-{\frac {\pi }{2}}$ et $\lim _{+\infty }v={\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 10

On considère le problème de Cauchy

$u'=u^{3},\quad u\left(0\right)=x_{0}$.

1. Montrer que la solution maximale est unique.
2. Pour quelles valeurs de $x_{0}$ est-elle constante ?
3. Comment la solution maximale $w$ de $w'=-w^{3},\quad w\left(0\right)=x_{0}$ se déduit-elle de la solution maximale $u$ du problème de Cauchy ci-dessus ?
4. Comment la solution maximale $u$ du problème de Cauchy ci-dessus pour chaque $x_{0}<0$ se déduit-elle de celle pour chaque $x_{0}>0$ ? On supposera donc désormais $x_{0}>0$.
5. Soit $u:\left]a,b\right[\to \mathbb {R}$ la solution maximale. Montrer que $u$ est (strictement) positive et croissante et en déduire $a$ et $\lim _{a}u$.
6. Par le calcul, retrouver ces résultats et donner $b$ et $\lim _{b}u$.
7. La fonction $x\mapsto x^{3}$ est-elle lipschitzienne sur $\mathbb {R}$ ?
8. On considère maintenant le problème de Cauchy non autonome

   $v'=v^{3}+1+t,\quad v\left(0\right)=x_{0}$.

   1. Montrer que la solution maximale est encore unique et qu'elle est C^∞.
   2. On suppose toujours $x_{0}>0$. Soit $v:\left]c,d\right[\to \mathbb {R}$ la solution maximale. Montrer que $\forall t\in \left]0,\min \left(b,d\right)\right[\quad v\left(t\right)>u\left(t\right)$ et en déduire que $d\leq b$.

Solution

1. La fonction $x\mapsto x^{3}$ est C¹ (et même C^∞) donc localement lipschitzienne, ce qui permet d'appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz local.
2. Pour $x_{0}=0$.
3. En posant $w(t)=u(-t)$.
4. En passant aux opposés.
5. Si $x_{0}>0$, puisque les courbes intégrales ne se coupent pas, la solution maximale reste dans $\left]0,+\infty \right[$ donc $u'=u^{3}>0$ donc $u$ est croissante. Par conséquent (cf. exercice 2 ci-dessus) $a=-\infty$ et (cf. exercice 3 ci-dessus) $\lim _{-\infty }u=0$.
6. La solution de cette équation de Bernoulli est $u:\left]-\infty ,{\frac {1}{2x_{0}^{2}}}\right[,\;t\mapsto {\frac {x_{0}}{\sqrt {1-2tx_{0}^{2}}}}$, qui croît de $0$ à $+\infty$.
7. Non, puisque la solution maximale n'est pas globale. Mais on peut bien sûr le démontrer plus directement.
8. 1. La fonction $\left(t,x\right)\mapsto x^{3}+1+t$ est C^∞ (car polynomiale).
   2. $v\left(0\right)=u\left(0\right)$ et $v'\left(0\right)>u'\left(0\right)$ donc il existe $\varepsilon >0$ (et $\leq \min \left(b,d\right)$) tel que $v>u$ au moins sur $\left]0,\varepsilon \right[$. Supposons que $v$ ne soit pas constamment $>u$ et notons alors $t_{0}$ le plus petit réel $>0$ (et $<\min \left(b,d\right)$) en lequel $v=u$. Alors, sur l'intervalle $\left]0,t_{0}\right[$, $v>u>0$ donc $v'=v^{3}+1+t>v^{3}>u^{3}=u'$, ce qui est impossible puisque $v=u$ aux deux extrémités. On a donc bien montré (par l'absurde) que $\forall t\in \left]0,\min \left(b,d\right)\right[\quad v\left(t\right)>u\left(t\right)$. Puisque $\lim _{b}u=+\infty$, ceci prouve que $d\leq b$.

 

Exercice 11

1. Résoudre $u'={\sqrt {|u|}}$.
2. La fonction $x\mapsto {\sqrt {|x|}}$ est-elle lipschitzienne sur un voisinage à gauche ou à droite de $0$ ?

Solution

1. Sur un intervalle où $u>0$, l'équation équivaut à $\left({\sqrt {u}}\right)'={\frac {1}{2}}$ donc les solutions $>0$ sont :

   $\left]t_{1},+\infty \right[,\;t\mapsto {\frac {\left(t-t_{1}\right)^{2}}{4}}$, avec $t_{1}\in \mathbb {R}$ arbitraire.

   De même, les solutions $<0$ sont :

   $\left]-\infty ,t_{0}\right[,\;t\mapsto -{\frac {\left(t-t_{0}\right)^{2}}{4}}$, avec $t_{0}\in \mathbb {R}$ arbitraire.

   Le prolongement de ces solutions partielles par la fonction constante nulle est dérivable au point de recollement.

   Par conséquent, les solutions sur $\mathbb {R}$ sont toutes les fonctions de la forme :

   $t\mapsto {\begin{cases}-{\frac {\left(t-t_{0}\right)^{2}}{4}}&{\text{si }}t<t_{0}\\0&{\text{si }}t_{0}\leq t\leq t_{1}\\{\frac {\left(t-t_{1}\right)^{2}}{4}}&{\text{si }}t>t_{1}\end{cases}}$,
   avec $-\infty \leq t_{0}\leq t_{1}\leq +\infty$ arbitraires.

2. Non, puisque pour tout voisinage à gauche ou à droite $V$ de $0$, le problème de Cauchy $u'={\sqrt {|u|}},\quad u\left(0\right)=0$ a une infinité de solutions maximales à valeurs dans $V$. Mais on peut bien sûr le démontrer plus directement.

 

Exercice 12

I. Soient $a,b,c,d>0$. On considère le système

${\begin{cases}x'=ax-bxy\\y'=-cy+dxy\\x\left(0\right)=x_{0},\;y\left(0\right)=y_{0}.\end{cases}}$

1. Montrer que la solution maximale $\left(x,y\right)$ est unique.
2. Résoudre le problème de Cauchy pour $y_{0}=0$.
3. Résoudre le problème de Cauchy pour $x_{0}=0$.
4. En déduire que si $x_{0},y_{0}>0$ alors $x,y>0$.
5. On considère $H:\left]0,+\infty \right[^{2}\to \mathbb {R} ,\;\left(x,y\right)\mapsto dx-c\ln x+by-a\ln y$. Toujours dans le cas $x_{0},y_{0}>0$, montrer que la fonction $t\mapsto H\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ est constante et en déduire que la solution maximale $\left(x,y\right)$ est globale.

Solution

1. La fonction $\left(x,y\right)\mapsto \left(ax-bxy,-cy+dxy\right)$ est C¹ (et même C^∞ car polynomiale) donc localement lipschitzienne, ce qui permet d'appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz local.
2. Si $y_{0}=0$, la solution est $y=0,x=x_{0}\operatorname {e} ^{at}$.
3. Si $x_{0}=0$, la solution est $x=0,y=y_{0}\operatorname {e} ^{-ct}$.
4. Par conséquent, si $x_{0},y_{0}>0$ alors $x,y$ ne s'annulent jamais donc restent $>0$.
5. Sur l'intervalle $I$ de définition de $\left(x,y\right)$, $H'=d-c{\frac {x'}{x}}+b-a{\frac {y'}{y}}=\left(dx-c\right)\left(a-by\right)+\left(by-a\right)\left(-c+dx\right)=0$ donc $H$ est constante, ce qui, vue sa forme, garantit que $\left(x,y\right)$ est bornée. Par conséquent (cf. exercice 2 ci-dessus), $I=\mathbb {R}$.

 

II.  On suppose toujours $x_{0},y_{0}>0$.

1. Déterminer les signes de $x'\left(t\right)$ et $y'\left(t\right)$ selon la zone de $\left]0,+\infty \right[^{2}$ dans laquelle se trouve $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$.
2. On suppose par exemple que $x_{0}\in \left]0,{\frac {c}{d}}\right[$ et $y_{0}\in \left]0,{\frac {a}{b}}\right[$. Montrer qu'il existe un premier instant $t_{1}>0$ tel que $x\left(t_{1}\right)={\frac {c}{d}}$ et qu'alors, $y\left(t_{1}\right)<{\frac {a}{b}}$ et $x'\left(t_{1}\right)>0$.
3. Montrer qu'il existe un premier instant $t_{2}>t_{1}$ tel que $y\left(t_{2}\right)={\frac {a}{b}}$ et qu'alors, $x\left(t_{2}\right)>{\frac {c}{d}}$ et $y'\left(t_{2}\right)>0$.
4. Montrer qu'il existe un premier instant $t_{3}>t_{2}$ tel que $x\left(t_{3}\right)={\frac {c}{d}}$ et qu'alors, $y\left(t_{3}\right)>{\frac {a}{b}}$ et $x'\left(t_{3}\right)<0$.
5. Montrer qu'il existe un premier instant $t_{4}>t_{3}$ tel que $y\left(t_{4}\right)={\frac {a}{b}}$ et qu'alors, $x\left(t_{4}\right)<{\frac {c}{d}}$ et $y'\left(t_{3}\right)<0$.
6. Montrer enfin qu'il existe un premier instant $t_{5}>t_{4}$ tel que $x\left(t_{5}\right)={\frac {c}{d}}$ et qu'alors, $y\left(t_{5}\right)<{\frac {a}{b}}$.
7. Vérifier que l'application $\left]0,{\frac {a}{b}}\right[\to \mathbb {R} ,\;y\mapsto H\left({\frac {c}{d}},y\right)$ est injective et en déduire que $\left(x,y\right)$ est $(t_{5}-t_{1})$-périodique.

Solution

1. $x'$ est du signe de ${\frac {a}{b}}-y$ et $y'$ est du signe de $x-{\frac {c}{d}}$.
2. $\left(x,y\right)$ ne peut pas rester indéfiniment dans $\left]0,{\frac {c}{d}}\right[\times \left]0,{\frac {a}{b}}\right[$ car dans cette zone, $y$ décroît et $x$ croît donc on aurait (cf. exercice 3 ci-dessus) $\lim _{+\infty }\left(x,y\right)=\left(x_{\infty },y_{\infty }\right)$ avec $x_{0}<x_{\infty }\leq {\frac {c}{d}}$, $0\leq y_{\infty }<y_{0}$ et $\left(a-by_{\infty }\right)x_{\infty }=\left(-c+dx_{\infty }\right)y_{\infty }=0$, ce qui est incompatible. Toujours par croissance de $x$ et décroissance de $y$, au premier instant auquel $\left(x,y\right)$ appartient à la frontière de cette zone, on a $x={\frac {c}{d}}$ et bien sûr, $y<y_{0}<{\frac {a}{b}}$ donc $x'>0$.
3. À l'instant $t_{1}$, $\left(x,y\right)$ passe dans la zone $\left]{\frac {c}{d}},+\infty \right[\times \left]0,{\frac {a}{b}}\right[$, dans laquelle $x$ et $y$ croissent (mais restent bornés). Puis, mêmes arguments que précédemment.
4. À l'instant $t_{2}$, $\left(x,y\right)$ passe dans la zone $\left]{\frac {c}{d}},+\infty \right[\times \left]{\frac {a}{b}},+\infty \right[$, dans laquelle $x$ décroît et $y$ croît (mais reste borné). Puis, mêmes arguments que précédemment.
5. À l'instant $t_{3}$, $\left(x,y\right)$ passe dans la zone $\left]0,{\frac {c}{d}}\right[\times \left]{\frac {a}{b}},+\infty \right[$, dans laquelle $x$ et $y$ décroissent. Puis, mêmes arguments que précédemment.
6. À l'instant $t_{4}$, $\left(x,y\right)$ revient dans la zone de départ $\left]0,{\frac {c}{d}}\right[\times \left]0,{\frac {a}{b}}\right[$. Puis, mêmes arguments que précédemment.
7. L'application $\left]0,{\frac {a}{b}}\right[\to \mathbb {R} ,\;y\mapsto H\left({\frac {c}{d}},y\right)$ est strictement décroissante (car sa dérivée est $<0$) donc injective, donc $\left(x,y\right)\left(t_{5}\right)=\left(x,y\right)\left(t_{1}\right)$.

 

III.  Calculer les valeurs moyennes de $x$ et $y$ sur une période.

Solution

Soit $T$ la période. La valeur moyenne de $x$ est

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}x\left(t\right)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{d}}\left({\frac {y'\left(t\right)}{y\left(t\right)}}+c\right)\mathrm {d} t={\frac {c}{d}}$.

De même, celle de $y$ est ${\frac {a}{b}}$. Remarquons (ce qui était prévisible…) que si l'on augmente la mortalité $c$ des prédateurs, la population moyenne des proies augmente, et que si l'on diminue le taux de reproduction $a$ des proies, la population moyenne des prédateurs diminue.

 

Exercice 13

On s'intéresse au problème de Cauchy (scalaire d'ordre 2) :

$\theta ''=-{\frac {g}{l}}\sin \theta ,\quad \theta \left(0\right)=\theta _{0},\quad \theta '\left(0\right)=\omega _{0}$.

1. L'exprimer sous forme vectorielle d'ordre 1 et montrer qu'il a une unique solution maximale, $X:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$.
2. Déterminer les solutions stationnaires.
3. On considère ${\mathcal {E}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {g}{l}}\cos x$. Montrer que ${\mathcal {E}}\circ X$ est constante.
4. On suppose dans la suite $\omega _{0}>0$ et $\theta _{0}=0$, donc ${\mathcal {E}}\circ X={\mathcal {E}}_{0}:={\frac {\omega _{0}^{2}}{2}}-{\frac {g}{l}}>-{\frac {g}{l}}$.

   

   1. Montrer que $\theta$ est impaire.
   2. Montrer que si ${\mathcal {E}}_{0}>{\frac {g}{l}}$, il existe $T$ tel que $\forall t\in \mathbb {R} \quad \theta \left(t+T\right)=\theta \left(t\right)+2\pi$.
   3. Montrer que si ${\mathcal {E}}_{0}<{\frac {g}{l}}$, la solution est périodique.
   4. Décrire la solution si ${\mathcal {E}}_{0}={\frac {g}{l}}$.

Solution

1. $X'=f\left(X\right),\quad X\left(0\right)={\begin{pmatrix}\theta _{0}\\\omega _{0}\end{pmatrix}}$ avec $f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-{\frac {g}{l}}\sin x\end{pmatrix}}$.
   $\mathrm {d} f_{x,y}={\begin{pmatrix}0&1\\-{\frac {g}{l}}\cos x&0\end{pmatrix}}$ est bornée donc $f$ est lipschitzienne.
2. Les solutions stationnaires correspondent à $\theta _{0}\in \pi \mathbb {Z} ,\quad \omega _{0}=0$.
3. $\left({\mathcal {E}}\circ X\right)'=yy'+{\frac {g}{l}}\left(\sin x\right)x'=y'\left(y-x'\right)=y'0=0$.
4. Sur tout intervalle centré en $0$ sur lequel la vitesse angulaire $\theta '$ ne s'annule pas, elle reste positive donc égale à ${\sqrt {2\left({\mathcal {E}}_{0}+{\frac {g}{l}}\cos \theta \right)}}$.
   1. Posons $\psi \left(t\right)=-\theta \left(-t\right)$. Alors, $\psi '\left(t\right)=\theta '\left(-t\right)$, $\psi ''\left(t\right)=-\theta ''\left(-t\right)={\frac {g}{l}}\sin \theta \left(-t\right)=-{\frac {g}{l}}\sin \psi \left(t\right)$, $\psi \left(0\right)=0=\theta \left(0\right)$ et $\psi '\left(0\right)=\theta \left(0\right)$ donc (par unicité de la solution maximale du problème de Cauchy) $\psi =\theta$.
   2. Si ${\mathcal {E}}_{0}>{\frac {g}{l}}$, l'angle $\theta$ atteint la valeur $2\pi$ à l'instant $T:=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {2\left({\mathcal {E}}_{0}+{\frac {g}{l}}\cos \theta \right)}}}$ (qui est fini, car c'est l'intégrale d'une fonction continue sur $\left[0,2\pi \right]$). On démontre facilement (par la même méthode que dans la question 4.1) que $\forall t\in \mathbb {R} \quad \theta \left(t+T\right)=\theta \left(t\right)+2\pi$.
   3. Si ${\mathcal {E}}_{0}<{\frac {g}{l}}$, $\theta$ atteint pour la première fois sa valeur maximum $\theta _{\text{max}}:=\arccos \left(-{\frac {l}{g}}{\mathcal {E}}_{0}\right)$ à l'instant $T_{0}:=\int _{0}^{\theta _{\text{max}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {2\left({\mathcal {E}}_{0}+{\frac {g}{l}}\cos \theta \right)}}}={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\theta _{\text{max}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{\text{max}}}}}$.
      $T_{0}$ est fini car cette intégrale est impropre en $\theta _{\text{max}}$ mais convergente ; en effet, quand $h\to 0^{+}$, en utilisant par exemple une formule de Simpson, on trouve que ${\frac {1}{\sqrt {\cos \left(\theta _{\text{max}}-h\right)-\cos \theta _{\text{max}}}}}$ est équivalent à ${\frac {1}{\sqrt {h\sin \theta _{\text{max}}}}}$, qui est intégrable en $0^{+}$.
      D'après la question 3, $\theta '\left(T_{0}\right)=0$. On démontre alors facilement (par la même méthode que dans la question 4.1) que $\forall t\in \mathbb {R} \quad \theta \left(T_{0}+t\right)=\theta \left(T_{0}-t\right)$. Comme elle est de plus impaire, la solution est donc $4T_{0}$-périodique.
   4. Si ${\mathcal {E}}_{0}={\frac {g}{l}}$, $\theta$ atteint la valeur $\pi$ en un temps $\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {2\left({\mathcal {E}}_{0}+{\frac {g}{l}}\cos \theta \right)}}}={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\cos \theta }}}=+\infty$. En effet, quand $h\to 0^{+}$, ${\frac {1}{\sqrt {1+\cos \left(\pi -h\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\cos h}}}$ est équivalent à ${\frac {1}{\sqrt {h^{2}/2}}}={\frac {\sqrt {2}}{h}}$, qui n'est pas intégrable en $0^{+}$.

 

Exercice 14

Soient $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction continue impaire et $y_{0}\in \mathbb {R}$. On considère le problème de Cauchy

$y'(t)=\sin \left(f(t)y(t)\right),\quad y\left(0\right)=y_{0}$.

1. Justifier que ce problème a une unique solution maximale, qu'on note encore $y$.
2. Montrer que $y$ est définie sur $\mathbb {R}$.
3. Montrer que si $y$ s'annule en un point alors elle est partout nulle. En déduire que $y$ est de signe constant.
4. Montrer que $t\mapsto y\left(-t\right)$ est encore solution. En déduire que $y$ est paire.

Solution

1. La fonction $\left(t,x\right)\mapsto \sin \left(f\left(t\right)x\right)$ est continue, et localement lipschitzienne par rapport à $x$ puisque sa dérivée partielle par rapport à $x$, $\left(t,x\right)\mapsto f(t)\cos \left(f(t)x\right)$, est continue donc localement bornée.
2. La lipschitzianité par rapport à $x$ est locale par rapport à $t$ mais globale par rapport à $x$ car $\forall \left(t,x\right)\in \left[-M,M\right]\times \mathbb {R} \quad \left|f(t)\cos \left(f(t)x\right)\right|\leq \max _{s\in \left[-M,M\right]}\left|f\left(s\right)\right|$. On peut donc invoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz global.
3. Si $y$ s'annule en un point $t_{0}$ alors elle est égale à la fonction nulle, par unicité de la solution maximale du problème de Cauchy $y'(t)=\sin \left(f(t)y(t)\right),\quad y\left(t_{0}\right)=0$. Si elle ne s'annule nulle part alors elle est de signe constant, par continuité.
4. Soit $z\left(t\right)=y\left(-t\right)$. Alors, $z\left(0\right)=y\left(0\right)=y_{0}$ et $z'\left(t\right)=-y'\left(-t\right)=-\sin \left(f\left(-t\right)y\left(-t\right)\right)=\sin \left(-f\left(-t\right)z\left(t\right)\right)=\sin \left(f\left(t\right)z\left(t\right)\right)$ donc $z$ est solution donc (par unicité) $z=y$, autrement dit : $y$ est paire.

 

Exercice 15

Soit $x_{0}\in \mathbb {R}$. On considère le problème de Cauchy $u'(t)=\cos \left(u(t)^{2}\right),\quad u(0)=x_{0}$.

1. Montrer que ce problème a une solution maximale, définie sur un intervalle ouvert $\left]T_{*}(x_{0}),T^{*}(x_{0})\right[$.
2. Déterminer les points d'équilibre du problème, c'est-à-dire tous les points $x\in \mathbb {R}$ tels que $\cos \left(x^{2}\right)=0$.
3. Étudier la solution du problème de Cauchy $u'(t)=\cos \left(u(t)^{2}\right),\quad u(0)=1$ :
   • Montrer que $u$ est bornée sur $\left]T_{*}(1),T^{*}(1)\right[$ ; en déduire que $T^{*}(1)=+\infty$ ;
   • Est-elle monotone ? a-t-elle une limite quand $t\to +\infty$ ? et si oui, laquelle ? ou alors est-elle oscillante comme $\cos$ ?

Solution

1. L'application $x\mapsto \cos \left(x^{2}\right)$ est C¹ donc localement lipschitzienne (donc continue).
2. $\cos \left(x^{2}\right)=0\Leftrightarrow x^{2}\in {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} \quad x=\pm {\sqrt {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}$.
3. • La valeur initiale $1$ est strictement comprise entre les deux points d'équilibre $-{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ et ${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ donc (par unicité des solutions maximales correspondant à ces deux valeurs et par le théorème des valeurs intermédiaires) $u$ reste strictement comprise entre ces deux valeurs. Par conséquent (cf. exercice 2 ci-dessus) $T^{*}(1)=+\infty$ (et de même, $T_{*}(1)=-\infty$).
   • Puisque (sur $\left]T_{*}(1),T^{*}(1)\right[=\mathbb {R}$) $u(t)\in \left]-{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right[$, on a $u'(t)=\cos \left(u(t)^{2}\right)>0$ donc $u$ est strictement croissante. Elle admet donc une limite $\ell$ en $+\infty$ avec $1<\ell \leq {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ si bien que (d'après l'exercice 3 ci-dessus) $\ell ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ (de même, $\lim _{-\infty }u=-{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$).