Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires

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Équations différentielles non linéaires
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Exercices no5
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Équations différentielles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Équations différentielles linéaires
Exo suiv. :Examen
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Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires
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désignera un intervalle réel et un ouvert de .

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On suppose que l'intervalle est compact et que pour tout , l'application est bornée (ce qui est le cas si elle est continue). Montrer l'équivalence entre :

  1. est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace de Banach, un ouvert de , une fonction localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, et une solution maximale de l'équation différentielle .

  1. Montrer que si est fini et si est bornée au voisinage de , alors admet au point une limite et le couple appartient à la frontière de .
  2. En déduire que si et si est inclus dans un compact de , alors .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction continue, et une solution de telle que .

Montrer que .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit de classe C1 et bornée. Pour on note la solution de

.

  1. Montrer que cette solution est définie sur .
  2. Montrer que .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit une solution d'une équation différentielle . Démontrer que si est de classe Cp alors est de classe Cp+1.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 3.

Soit . On considère le problème de Cauchy .

  1. Montrez qu'il existe une unique solution maximale et qu'elle est globale (c'est-à-dire définie sur ).
  2. Calculer la solution dans le cas .
  3. Étudier la régularité de cette solution.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 4.

Soit donnée par : si et . On s'intéresse à l'équation différentielle .

  1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local s'applique-t-il ?
  2. Soit une solution sur un intervalle ne contenant pas . On pose . Traduire l'équation différentielle sur par une équation différentielle sur et résoudre cette dernière.
  3. Que peut-on en déduire sur l'existence et l'unicité des solutions du problème de Cauchy  ?

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », , p. 260, lemme 7.22

Soient deux solutions de l'équation différentielle . On suppose que est -lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de et . Démontrer que .

On utilisera le lemme suivant, qui est un exercice sur les propriétés de l'intégrale :

pour tous et , si une fonction continue vérifie , alors .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

On considère le problème de Cauchy

.
  1. Montrer que la solution maximale est unique et globale.
  2. Pour quelles valeurs de est-elle constante ?
  3. Soit . Déterminer le comportement (monotonie ? limites ?) de la solution maximale du problème de Cauchy.
  4. Étudier de même le problème de Cauchy .

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

On considère le problème de Cauchy

.
  1. Montrer que la solution maximale est unique.
  2. Pour quelles valeurs de est-elle constante ?
  3. Comment la solution maximale de se déduit-elle de la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus ?
  4. Comment la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus pour chaque se déduit-elle de celle pour chaque  ? On supposera donc désormais .
  5. Soit la solution maximale. Montrer que est (strictement) positive et croissante et en déduire et .
  6. Par le calcul, retrouver ces résultats et donner et .
  7. La fonction est-elle lipschitzienne sur  ?
  8. On considère maintenant le problème de Cauchy non autonome
    .
    1. Montrer que la solution maximale est encore unique et qu'elle est C.
    2. On suppose toujours . Soit la solution maximale. Montrer que et en déduire que .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre .
  2. La fonction est-elle lipschitzienne sur un voisinage à gauche ou à droite de  ?

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équations de prédation de Lotka-Volterra ».

I. Soient . On considère le système

  1. Montrer que la solution maximale est unique.
  2. Résoudre le problème de Cauchy pour .
  3. Résoudre le problème de Cauchy pour .
  4. En déduire que si alors .
  5. On considère . Toujours dans le cas , montrer que la fonction est constante et en déduire que la solution maximale est globale.
Lotka Volterra field plot.png

II.  On suppose toujours .

  1. Déterminer les signes de et selon la zone de dans laquelle se trouve .
  2. On suppose par exemple que et . Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  3. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  4. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  5. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  6. Montrer enfin qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, .
  7. Vérifier que l'application est injective et en déduire que est -périodique.

III.  Calculer les valeurs moyennes de et sur une période.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Pendule simple ».
Simple pendulum generalized coordinates.svg

On s'intéresse au problème de Cauchy (scalaire d'ordre 2) :

.
  1. L'exprimer sous forme vectorielle d'ordre 1 et montrer qu'il a une unique solution maximale, .
  2. Déterminer les solutions stationnaires.
  3. On considère . Montrer que est constante.
  4. On suppose dans la suite et , donc .
    PenduleEspaceDesPhases.png
    1. Montrer que est impaire.
    2. Montrer que si , il existe tel que .
    3. Montrer que si , la solution est périodique.
    4. Décrire la solution si .

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction continue impaire et . On considère le problème de Cauchy

.
  1. Justifier que ce problème a une unique solution maximale, qu'on note encore .
  2. Montrer que est définie sur .
  3. Montrer que si s'annule en un point alors elle est partout nulle. En déduire que est de signe constant.
  4. Montrer que est encore solution. En déduire que est paire.

Exercice 15[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On considère le problème de Cauchy .

  1. Montrer que ce problème a une solution maximale, définie sur un intervalle ouvert .
  2. Déterminer les points d'équilibre du problème, c'est-à-dire tous les points tels que .
  3. Étudier la solution du problème de Cauchy  :
    • Montrer que est bornée sur  ; en déduire que  ;
    • Est-elle monotone ? a-t-elle une limite quand  ? et si oui, laquelle ? ou alors est-elle oscillante comme  ?