Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires

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Équations différentielles non linéaires
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Exercices no5
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Équations différentielles

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Équations différentielles linéaires
Exo suiv. :Examen
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Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires
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désignera un intervalle réel et un ouvert de .

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On suppose que l'intervalle est compact et que pour tout , l'application est bornée (ce qui est le cas si elle est continue). Montrer l'équivalence entre :

  1. est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace de Banach, un ouvert de , une fonction localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, et une solution maximale de l'équation différentielle .

  1. Montrer que si est fini et si est bornée au voisinage de , alors admet au point une limite et le couple appartient à la frontière de .
  2. En déduire que si et si est inclus dans un compact de , alors .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction continue, et une solution de telle que .

Montrer que .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit de classe C1 et bornée. Pour on note la solution de

.

  1. Montrer que cette solution est définie sur .
  2. Montrer que .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit une solution d'une équation différentielle . Démontrer que si est de classe Cp alors est de classe Cp+1.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 3.

Soit . On considère le problème de Cauchy .

  1. Montrez qu'il existe une unique solution maximale et qu'elle est globale (c'est-à-dire définie sur ).
  2. Calculer la solution dans le cas .
  3. Étudier la régularité de cette solution.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 4.

Soit donnée par : si et . On s'intéresse à l'équation différentielle .

  1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local s'applique-t-il ?
  2. Soit une solution sur un intervalle ne contenant pas . On pose . Traduire l'équation différentielle sur par une équation différentielle sur et résoudre cette dernière.
  3. Que peut-on en déduire sur l'existence et l'unicité des solutions du problème de Cauchy  ?

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7.22

Soient deux solutions de l'équation différentielle . On suppose que est -lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de et . Démontrer que .

On utilisera le lemme suivant, qui est un exercice sur les propriétés de l'intégrale :

pour tous et , si une fonction continue vérifie , alors .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

On considère le problème de Cauchy

.
  1. Montrer que la solution maximale est unique et globale.
  2. Pour quelles valeurs de est-elle constante ?
  3. Soit . Déterminer le comportement (monotonie ? limites ?) de la solution maximale du problème de Cauchy.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

On considère le problème de Cauchy

.
  1. Montrer que la solution maximale est unique.
  2. Pour quelles valeurs de est-elle constante ?
  3. Comment la solution maximale de se déduit-elle de la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus ?
  4. Comment la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus pour chaque se déduit-elle de celle pour chaque  ? On supposera donc désormais .
  5. Soit la solution maximale. Montrer que est (strictement) positive et croissante et en déduire et .
  6. Par le calcul, retrouver ces résultats et donner et .
  7. La fonction est-elle lipschitzienne sur  ?
  8. On considère maintenant le problème de Cauchy non autonome
    .
    1. Montrer que la solution maximale est encore unique et qu'elle est C.
    2. On suppose toujours . Soit la solution maximale. Montrer que et en déduire que .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

  1. Résoudre .
  2. La fonction est-elle lipschitzienne sur un voisinage à gauche ou à droite de  ?

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équations de prédation de Lotka-Volterra ».

I. Soient . On considère le système

  1. Montrer que la solution maximale est unique.
  2. Résoudre le problème de Cauchy pour .
  3. Résoudre le problème de Cauchy pour .
  4. En déduire que si alors .
  5. On considère . Toujours dans le cas , montrer que la fonction est constante et en déduire que la solution maximale est globale.
Lotka Volterra field plot.png

II.  On suppose toujours .

  1. Déterminer les signes de et selon la zone de dans laquelle se trouve .
  2. On suppose par exemple que et . Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  3. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  4. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  5. Montrer qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, et .
  6. Montrer enfin qu'il existe un premier instant tel que et qu'alors, .
  7. Vérifier que l'application est injective et en déduire que est -périodique.

III.  Calculer les valeurs moyennes de et sur une période.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Pendule simple ».
Simple pendulum generalized coordinates.svg

On s'intéresse au problème de Cauchy (scalaire d'ordre 2) :

.
  1. L'exprimer sous forme vectorielle d'ordre 1 et montrer qu'il a une unique solution maximale, .
  2. Déterminer les solutions stationnaires.
  3. On considère . Montrer que est constante.
  4. On suppose dans la suite et , donc .
    PenduleEspaceDesPhases.png
    1. Montrer que est impaire.
    2. Montrer que si , il existe tel que .
    3. Montrer que si , la solution est périodique.
    4. Décrire la solution si .

Exercice 14[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction continue impaire et . On considère le problème de Cauchy

.
  1. Justifier que ce problème a une unique solution maximale, qu'on note encore .
  2. Montrer que est définie sur .
  3. Montrer que si s'annule en un point alors elle est partout nulle. En déduire que est de signe constant.
  4. Montrer que est encore solution. En déduire que est paire.