Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Intervalles dans l’ensemble des nombres réels

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Intervalles

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\leq b$.

L'ensemble des réels $x$ vérifiant l'expression $a\leq x\leq b$ s’appelle l'intervalle $[a;b]$.

N. B. Géométriquement, cet intervalle correspond au segment $[AB]$ où les points A et B ont pour abscisses respectives les nombres $a$ et $b$.

Types d'intervalles

Intervalle	Inéquations correspondantes	Représentation géométrique
$]a;b[$	$a<x<b$	Segment
$[a;b[$	$a\leq x<b$	Segment
$]a;b]$	$a<x\leq b$	Segment
$[a;+\infty [$	$a\leq x$	Demi-droite
$]a;+\infty [$	$a<x$	Demi-droite
$]-\infty ;a]$	$x\leq a$	Demi-droite
$]-\infty ;a[$	$x<a$	Demi-droite

Crochets et accolades

Début de l'exemple

Exemple

Attention à ne pas confondre :

• $[2;3]$ qui contient une infinité de nombres
• et {2;3} qui contient exactement 2 nombres.

Fin de l'exemple

Union d'intervalles

Définition

* Étant donnés deux ensembles A et B, on note $A\cup B$ l'ensemble formé par la réunion des éléments de A et des éléments de B.

• $A\cup B$ s’appelle "union" ou "réunion" de A et B.
• On a alors $x\in A\cup B$

si

$x\in A$ OU $x\in B$

Remarque : La réunion correspond au connecteur logique OU inclusif. Ainsi x peut parfaitement appartenir aux deux ensembles en même temps.

Exemple

On peut utiliser la notation $\cup$ pour décrire des sous-ensembles de l’ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$.

Par exemple :

• $]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [=\mathbb {R} -\{0\}$
• Donner trois nombres entiers relatifs appartenant à l’ensemble :

$]-1;1]\cup ]1;3[$