Leçons de niveau 14

Application (mathématiques)/Application caractéristique

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Application caractéristique
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Chapitre no 5
Leçon : Application (mathématiques)
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Application (mathématiques)/Application caractéristique
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Nous avons défini au premier chapitre, pour toute partie A d'un ensemble E, la fonction indicatrice de A (ou « application caractéristique de A ») :

.

La bijection [modifier | modifier le wikicode]

Grimpons à l'étage supérieur : l'ensemble E restant fixe, faisons maintenant varier A dans l'ensemble des parties de .

Début d’un théorème


Fin du théorème





Traduction arithmétique des opérations ensemblistes[modifier | modifier le wikicode]

On peut combiner des fonctions à valeurs entières en utilisant les opérations arithmétiques usuelles. Le résultat est une fonction à valeurs entières. Mais si les fonctions de départ ne prennent que les valeurs 0 ou 1 alors, certaines combinaisons arithmétiques produisent une fonction qui, elle aussi, ne prend que ces deux valeurs. En particulier :



Transformation des formules entières en formules modulo 2[modifier | modifier le wikicode]

Identifions l’ensemble {0, 1} à l'ensemble des deux classes de congruence modulo 2 (0 = Pair, 1 = Impair) et munissons cet ensemble de l'addition et de la multiplication correspondantes. Sur {0, 1}, la multiplication modulo 2 est la même que la multiplication usuelle, mais l'addition modulo 2 correspond au OU exlusif, ou XOR, noté ici  :

0 1
0 0 1
1 1 0

Avec ces nouvelles opérations, par construction, n'importe quelle combinaison de fonctions à valeurs dans {0, 1} sera automatiquement à valeurs dans {0, 1}. Les formules précédentes deviennent :