Topologie générale/Bases
Base d'ouverts
[modifier | modifier le wikicode]Soit un espace topologique. On appelle base d'ouverts, ou encore base de la topologie , toute famille d'ouverts telle que tout ouvert (soit tout élément de ) est réunion d'éléments de .
Soient un ensemble et un ensemble de parties de . Il existe une topologie sur dont est une base si et seulement si vérifie les deux conditions suivantes :
- est une réunion d'éléments de ;
- l'intersection de deux éléments quelconques de est une réunion d'éléments de .
Cette topologie est alors unique : ses ouverts sont les réunions d'éléments de .
Les deux conditions sont évidemment nécessaires et si elles sont vérifiées, l'ensemble des réunions d'éléments de est la seule possible. Vérifions qu'il s'agit bien d'une topologie.
- (c'est la condition 1).
- (c'est la réunion indexée par ).
- est stable par réunions (par définition).
- Si alors : et avec donc , car chaque appartient à (c'est la condition 2).
Prébase
[modifier | modifier le wikicode]Soit un espace topologique. On appelle prébase de la topologie , toute partie telle que les intersections finies d'éléments de forment une base de .
Par convention, dans ce contexte, l'intersection d'une famille vide de parties de est .
Soit un ensemble. Pour tout ensemble de parties de , il existe une (unique) topologie sur dont est une prébase.
Il s'agit de vérifier que l'ensemble des intersections finies d'éléments de satisfait les deux conditions de la proposition précédente.
- d'après la convention sur l'intersection d'une famille vide.
- L'intersection de deux éléments de appartient à par définition.
Sur muni de sa topologie usuelle, l’ensemble des intervalles ouverts forme une base d'ouverts.
Le sous-ensemble des demi-droites ouvertes n'est pas une base de . En effet, un ouvert borné non vide ne peut pas être exprimé comme union d'éléments de ce type. C'est seulement une prébase : les intervalles ouverts sont les intersections finies de demi-droites ouvertes, et forment une base.
Base de voisinages
[modifier | modifier le wikicode]Soient un espace topologique et un point de . On appelle base de voisinages de tout ensemble de voisinages de tel que :
Soient un espace topologique et un ensemble de parties de . Les propositions suivantes sont équivalentes :
- est une base d'ouverts de la topologie ;
- pour tout , les éléments de qui contiennent forment une base de voisinages de .
- : Soit un voisinage de . Il contient un ouvert contenant et cet ouvert est, d'après l'hypothèse 1, union d'ouverts de . appartient alors à l'un des ouverts de cette union et cet ouvert est inclus dans .
- : Soit . C'est un voisinage de tous ses points donc d'après l'hypothèse 2, , donc . De plus, tout élément de est bien un ouvert car d'après l'hypothèse 2, il est voisinage de tous ses points.